平面向量 06 向量的数乘 \(\lambda\overrightarrow{a}\)
1. 向量数乘的定义
实数\(\lambda\)与向量\(\overrightarrow{a}\)的乘积是一个向量，记作\(\lambda\overrightarrow{a}\)。
2. 向量数乘的性质
大小（模）方面
向量\(\lambda\overrightarrow{a}\)的模\(\vert\lambda\overrightarrow{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\overrightarrow{a}\vert\)。
例如，若\(\overrightarrow{a}\)是一个模为\(2\)的向量，当\(\lambda = 3\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}\)的模\(\vert3\overrightarrow{a}\vert = 3\times\vert\overrightarrow{a}\vert=3\times2 = 6\)。
方向方面
当\(\lambda>0\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{a}\)方向相同；当\(\lambda<0\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{a}\)方向相反；当\(\lambda = 0\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)。
例如，设\(\overrightarrow{a}\)是一个方向向右的向量，当\(\lambda = 2\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}\)的方向依然向右；当\(\lambda=-1\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}\)的方向向左。
3. 向量数乘的几何意义
向量的伸缩与反向
当\(\vert\lambda\vert>1\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}\)是\(\overrightarrow{a}\)的伸长；当\(\vert\lambda\vert<1\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}\)是\(\overrightarrow{a}\)的缩短。
例如，对于向量\(\overrightarrow{a}=(1,0)\)，\(2\overrightarrow{a}=(2,0)\)，是\(\overrightarrow{a}\)在\(x\)轴正方向上的伸长；\(\frac{1}{2}\overrightarrow{a}=(\frac{1}{2},0)\)，是\(\overrightarrow{a}\)在\(x\)轴正方向上的缩短。当\(\lambda\)为负数时，除了长度伸缩外，还会改变向量的方向。比如\(-\overrightarrow{a}\)是\(\overrightarrow{a}\)的反向向量。
向量共线的判定依据
若存在实数\(\lambda\)，使得向量\(\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}\)（\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\)），那么\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)共线。
例如，已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,4)\)，可以发现\(\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}\)，所以\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)共线。
4. 向量数乘的运算律
结合律
对于任意实数\(\lambda\)、\(\mu\)和向量\(\overrightarrow{a}\)，有\(\lambda(\mu\overrightarrow{a})=(\lambda\mu)\overrightarrow{a}\)。
例如，设\(\lambda = 2\)，\(\mu = 3\)，\(\overrightarrow{a}=(1,1)\)，\(\lambda(\mu\overrightarrow{a})=2(3(1,1))=2(3,3)=(6,6)\)，\((\lambda\mu)\overrightarrow{a}=(2\times3)(1,1)=(6,6)\)，两者结果相同。
分配律
对于任意实数\(\lambda\)、\(\mu\)和向量\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)，有\((\lambda+\mu)\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{a}\)和\(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}\)。
例如，设\(\lambda = 1\)，\(\mu = 2\)，\(\overrightarrow{a}=(3,4)\)，
\((\lambda+\mu)\overrightarrow{a}=(1 + 2)(3,4)=3(3,4)=(9,12)\)，
\(\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{a}=1(3,4)+2(3,4)=(3,4)+(6,8)=(3 + 6,4 + 8)=(9,12)\)；
再设\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,4)\)，\(\lambda = 2\)，
\(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=2((1,2)+(3,4))=2(4,6)=(8,12)\)
\(\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}=2(1,2)+2(3,4)=(2,4)+(6,8)=(2 + 6,4 + 8)=(8,12)\)，结果都一致。
