函数 03 抽象函数\(f(x)\)
一、抽象函数的定义
抽象函数是指没有给出具体的函数表达式，只给出了函数满足的一些性质（如函数的运算性质、函数值之间的关系等）的函数。
例如，已知函数\(f(x)\)满足\(f(x + y)=f(x)+f(y)\)，这就是一个抽象函数，它没有像\(y = 2x + 1\)这样具体的表达式。
二、抽象函数的性质：函数值的运算性质
加法性质：设函数\(f(x)\)满足\(f(x + y)=f(x)+f(y)\)，且\(f(1)=2\)。
求\(f(2)\)：因为\(f(2)=f(1 + 1)\)，根据\(f(x + y)=f(x)+f(y)\)，可得
\(f(2)=f(1)+f(1)=2 + 2 = 4\)。
求\(f(n)\)（\(n\in N^*\)）：通过归纳可得\(f(n)=f((n - 1)+1)=f(n - 1)+f(1)\)，
利用这个递推关系可以推出\(f(n)=nf(1)=2n\)。
乘法性质：设函数\(g(x)\)满足\(g(xy)=g(x)g(y)\)，且\(g(2)=3\)。
求\(g(4)\)：因为\(g(4)=g(2\times2)\)，由\(g(xy)=g(x)g(y)\)可知\(g(4)=g(2)g(2)=3\times3 = 9\)。
求\(g(\frac{1}{2})\)：因为\(g(1)=g(2\times\frac{1}{2})\)，根据\(g(xy)=g(x)g(y)\)可得\(g(1)=g(2)g(\frac{1}{2})\)。
又因为\(g(1\times x)=g(1)g(x)\)，所以\(g(1)=1\)，则\(g(\frac{1}{2})=\frac{1}{g(2)}=\frac{1}{3}\)。
三、抽象函数的性质：函数的奇偶性
判断奇偶性：已知函数\(h(x)\)满足\(h(x + y)+h(x - y)=2h(x)h(y)\)，且\(h(0)\neq0\)。
令\(x = y = 0\)，则\(h(0)+h(0)=2h(0)h(0)\)，即\(2h(0)=2h(0)^2\)，解得\(h(0)=1\)。
令\(x = 0\)，则\(h(y)+h(-y)=2h(0)h(y)=2h(y)\)，移项可得\(h(-y)=h(y)\)，
所以函数\(h(x)\)是偶函数。
四、抽象函数的性质：函数的单调性
判断单调性：设函数\(F(x)\)满足\(F(x + y)=F(x)F(y)\)（\(F(x)>0\)），且当\(x>0\)时，\(F(x)>1\)。
设\(x_1<x_2\)，则\(x_2 - x_1>0\)，\(F(x_2)=F((x_2 - x_1)+x_1)=F(x_2 - x_1)F(x_1)\)。
因为\(x_2 - x_1>0\)，所以\(F(x_2 - x_1)>1\)，又\(F(x_1)>0\)，所以\(F(x_2)>F(x_1)\)，
所以函数\(F(x)\)在定义域上是单调递增函数。
1、正比例函数型抽象函数：\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)
单调性证明：设\(x_{1}\)，\(x_{2}\in R\)，且\(x_{1}<x_{2}\)，则\(x_{2}-x_{1}>0\)。
已知当\(x>0\)时，\(f(x)>0\)，所以\(f(x_{2}-x_{1})>0\)。
\(f(x_{2})=f(x_{1}+(x_{2}-x_{1}))=f(x_{1})+f(x_{2}-x_{1})\)，即\(f(x_{2})-f(x_{1})=f(x_{2}-x_{1})>0\)，所以\(f(x)\)在\(R\)上是增函数.
2、对数函数型抽象函数：\(f(xy)=f(x)+f(y)\)；\(f(\frac{x}{y})=f(x)-f(y)\).
单调性证明：设\(x_{1}\)，\(x_{2}\in(0,+\infty)\)，且\(x_{1}<x_{2}\)，则\(\frac{x_{2}}{x_{1}}>1\)。
已知当\(x>1\)时，\(f(x)>0\)，所以\(f(\frac{x_{2}}{x_{1}})>0\)。
\(f(x_{2})=f(x_{1}\cdot\frac{x_{2}}{x_{1}})=f(x_{1})+f(\frac{x_{2}}{x_{1}})\)，即\(f(x_{2})-f(x_{1})=f(\frac{x_{2}}{x_{1}})>0\)，所以\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上是增函数 。
3、指数函数型抽象函数：\(f(x+y)=f(x)f(y)\)
单调性证明：设\(x_{1}\)，\(x_{2}\in R\)，且\(x_{1}<x_{2}\)，则\(x_{2}-x_{1}>0\)。
令\(f(x_{2})=f((x_{2}-x_{1})+x_{1})=f(x_{2}-x_{1})f(x_{1})\)。
已知当\(x>0\)时，\(f(x)>1\)，所以\(f(x_{2}-x_{1})>1\)，且\(f(x_{1})>0\)，则\(f(x_{2})-f(x_{1})=f(x_{1})[f(x_{2}-x_{1})-1]>0\)，所以\(f(x)\)在\(R\)上是增函数 。
4、三角函数型抽象函数：如\(f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}\) 等
单调性分析：以\(f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}\)为例，设\(0<x_{1}<x_{2}<\frac{\pi}{2}\)，
\(f(x_{2})-f(x_{1})=f(x_{2}-x_{1}+x_{1})-f(x_{1})=\frac{f(x_{2}-x_{1})+f(x_{1})}{1-f(x_{2}-x_{1})f(x_{1})}-f(x_{1})\)
\(=\frac{f(x_{2}-x_{1})+f(x_{1})-f(x_{1})+f(x_{2}-x_{1})f^{2}(x_{1})}{1-f(x_{2}-x_{1})f(x_{1})}\)
\(=\frac{f(x_{2}-x_{1})[1+f^{2}(x_{1})]}{1-f(x_{2}-x_{1})f(x_{1})}\)
若已知当\(0<x<\frac{\pi}{2}\)时，\(f(x)>0\)，且\(f(x)\)在\((0,\frac{\pi}{2})\)上满足\(f(x_{2}-x_{1})>0\)，\(1-f(x_{2}-x_{1})f(x_{1})>0\)，则\(f(x_{2})-f(x_{1})>0\)，所以\(f(x)\)在\((0,\frac{\pi}{2})\)上是增函数 。
五、求抽象函数的定义域
1. 已知\(f(x)\)的定义域，求\(f(g(x))\)的定义域
原理：已知\(y = f(x)\)的定义域为\(a\leqslant x\leqslant b\)，那么对于\(y = f(g(x))\)，\(g(x)\)的取值范围应该在\([a,b]\)内，
即\(a\leqslant g(x)\leqslant b\)，然后解这个不等式就可以得到\(f(g(x))\)的定义域。
示例：若\(f(x)\)的定义域是\([1,3]\)，求\(f(2x - 1)\)的定义域。
令\(1\leqslant2x - 1\leqslant3\)，先解\(1\leqslant2x - 1\)，得到\(2\leqslant2x\)，即\(x\geqslant1\)；
再解\(2x - 1\leqslant3\)，得到\(2x\leqslant4\)，即\(x\leqslant2\)。
所以\(f(2x - 1)\)的定义域是\([1,2]\)。
2. 已知\(f(g(x))\)的定义域，求\(f(x)\)的定义域
原理：已知\(y = f(g(x))\)的定义域为\(m\leqslant x\leqslant n\)，则\(g(x)\)在\(x\in[m,n]\)这个区间上的值域就是\(f(x)\)的定义域。
示例：若\(f(2x + 1)\)的定义域是\([0,2]\)，求\(f(x)\)的定义域。
当\(x\in[0,2]\)时，\(2x+1\)的值域为：先计算\(x = 0\)时，\(2x + 1 = 1\)；\(x = 2\)时，\(2x + 1=5\)。
所以\(f(x)\)的定义域是\([1,5]\)。
3. 同一对应法则下，多个抽象函数组合的定义域
原理：对于同一对应法则\(f\)下的多个函数组合，如\(f(g(x))\)和\(f(h(x))\)，它们的定义域是由\(g(x)\)和\(h(x)\)分别满足的条件共同确定的，即求两个条件的交集。
示例：已知\(f(x)\)的定义域是\((-1,1)\)，求\(y = f(x^2 - 1)+f(2x)\)的定义域。
对于\(f(x^2 - 1)\)，令\(-1 < x^2 - 1 < 1\)，解不等式\(x^2 - 1 > - 1\)，得到\(x^2>0\)，即\(x\neq0\)；解不等式\(x^2 - 1 < 1\)，得到\(x^2 < 2\)，即\(-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}\)。
对于\(f(2x)\)，令\(-1 < 2x < 1\)，解得\(-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}\)。
所以\(y = f(x^2 - 1)+f(2x)\)的定义域是\((-\frac{1}{2},0)\cup(0,\frac{1}{2})\)。
六、求抽象函数的值域问题
1、利用函数的单调性求值域
如果能确定抽象函数在其定义域内的单调性，再结合定义域的端点值等情况，就能确定其值域范围。
单调递增函数，自变量越大函数值越大；单调递减函数，自变量越大函数值越小。
已知函数\(f(x)\)对于任意的\(x_1\)，\(x_2 \in D\)（\(D\)为定义域），当\(x_1 < x_2\)时，都有\(f(x_1) < f(x_2)\)，且\(f(x)\)的定义域为\([a,b]\)。
首先判断出\(f(x)\)在\([a,b]\)上单调递增。那么\(f(x)\)的值域就是\([f(a),f(b)]\)，因为在定义域内最小的自变量\(a\)对应的函数值\(f(a)\)最小，最大的自变量\(b\)对应的函数值\(f(b)\)最大。
2、利用函数的奇偶性结合单调性求值域
若抽象函数具有奇偶性，根据奇偶性的性质（奇函数关于原点对称，偶函数关于\(y\)轴对称），再结合其在部分区间上的单调性，可以推断出在其他对称区间上的单调性，进而确定值域。
设\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，且已知\(f(x)\)在\((0, +\infty)\)上单调递增。
由奇函数的性质可得\(f(0)=0\)，且\(f(x)\)在\((-\infty, 0)\)上也单调递增（因为奇函数在对称区间上单调性相同）。
那么对于任意的\(x \in R\)，当\(x \to -\infty\)时，\(f(x) \to -\infty\)；当\(x \to +\infty\)时，\(f(x) \to +\infty\)，所以\(f(x)\)的值域就是\(R\)。
3、利用函数的周期性求值域
若抽象函数具有周期性，说明函数值会按照一定的周期重复出现，只需研究一个周期内函数的值域情况，就可以推广到整个定义域上的值域情况。
已知函数\(f(x)\)是周期为\(T\)的周期函数，在区间\([0,T)\)上，\(f(x)\)的值域为\([m,n]\)。
因为对于任意的\(x\)，都存在\(k \in Z\)，使得\(x = kT + x_0\)（\(x_0 \in [0,T)\)），而\(f(x)=f(kT + x_0)=f(x_0)\)，所以\(f(x)\)在整个定义域上的值域就是\([m,n]\)。
4、利用已知的函数关系及特殊值求值域
有些抽象函数会给出特定的函数关系，例如\(f(x + y)=f(x) + f(y)\)等，通过代入特殊值来逐步确定函数的一些特征，进而分析值域。
设函数\(f(x)\)满足\(f(x + y)=f(x) + f(y)\)，\(x\)，\(y \in R\)，且已知\(f(1)=2\)。
令\(y = x\)，可得\(f(2x)=2f(x)\)，进而可推出\(f(n)=nf(1)=2n\)（\(n\)为正整数）。
又因为\(f(0)=f(0 + 0)=f(0) + f(0)\)，所以\(f(0)=0\)，再结合奇函数的判定方法（令\(y = -x\)可得\(f(0)=f(x) + f(-x)\)，即\(f(-x)=-f(x)\)，说明\(f(x)\)是奇函数），能得到\(f(-n)=-f(n)=-2n\)。
综合来看，\(f(x)\)的值域是\(R\)（随着\(x\)取遍所有实数，\(f(x)\)能取到所有实数）。
5、利用不等式等工具求值域
如果能根据抽象函数所满足的条件构造出不等式，例如通过分析函数的有界性等情况，利用不等式的性质来确定值域范围。
已知抽象函数\(f(x)\)满足对于任意的\(x \in R\)，都有\(f(x)^2 \leq 1 + f(x^2)\)。
设\(y = f(x)\)，则\(y^2 \leq 1 + f(x^2)\)，由此可以分析出\(y^2\)有一定的上界限制，再进一步结合函数的其他性质来确定\(y\)（也就是\(f(x)\)）的取值范围，即值域。
七、求抽象函数的解析式
1、换元法 - 求抽象函数解析式
方法原理：
通过引入一个新的变量来替换抽象函数中某个复杂的表达式，从而将原抽象函数转化为一个关于新变量的表达式，再将新变量还原为原变量，进而得到函数的解析式。
解题步骤及示例：
已知\(f(\sqrt{x}+1)=x + 2\sqrt{x}\)，求\(f(x)\)的解析式。
步骤一：设换元变量
设\(t = \sqrt{x} + 1\)（\(t \geq 1\)，因为\(\sqrt{x} \geq 0\)，所以\(\sqrt{x} + 1 \geq 1\)），则可以通过这个等式来用\(t\)表示\(x\)。
步骤二：用换元变量表示原变量并代入原式
由\(t = \sqrt{x} + 1\)可得\(\sqrt{x} = t - 1\)，那么\(x = (t - 1)^2\)。
将\(x = (t - 1)^2\)和\(\sqrt{x} = t - 1\)代入\(f(\sqrt{x}+1)=x + 2\sqrt{x}\)中，得到\(f(t)=(t - 1)^2 + 2(t - 1)\)。
步骤三：化简并还原变量
对\(f(t)=(t - 1)^2 + 2(t - 1)\)进行化简：
\[\begin{align*}f(t)&=(t^2 - 2t + 1) + 2t - 2\\&=t^2 - 1\end{align*}\]
因为\(t\)是我们设的变量，最后将\(t\)换为\(x\)，所以\(f(x)=x^2 - 1\)（\(x \geq 1\)），要注意写上\(x\)的取值范围，它是由最初设的变量\(t\)的取值范围决定的。
2、配凑法 - 求抽象函数解析式
方法原理：
观察已知的抽象函数表达式的结构特点，通过对式子进行适当的变形、配凑，凑出与已知函数自变量形式一致的表达式，从而直接得出函数的解析式。
解题步骤及示例：
已知\(f(x + \frac{1}{x}) = x^2 + \frac{1}{x^2}\)，求\(f(x)\)的解析式。
步骤一：分析式子结构并进行配凑
观察到\(x^2 + \frac{1}{x^2}=(x + \frac{1}{x})^2 - 2\)，所以原函数\(f(x + \frac{1}{x}) = x^2 + \frac{1}{x^2}\)可变形为\(f(x + \frac{1}{x})=(x + \frac{1}{x})^2 - 2\)。
步骤二：得出解析式并确定取值范围
直接令\(t = x + \frac{1}{x}\)，则\(f(t)=t^2 - 2\)，进而得到\(f(x)=x^2 - 2\)。
这里需要注意\(t = x + \frac{1}{x}\)的值域，根据均值不等式\(|x + \frac{1}{x}| \geq 2\)（当且仅当\(x = \pm 1\)时取等号），所以\(x\)的取值范围是\(|x| \geq 2\)或\(|x| \leq -2\)，那么\(f(x)=x^2 - 2\)（\(|x| \geq 2\)或\(|x| \leq -2\)）。
3、解方程组法 - 求抽象函数解析式
方法原理：
当抽象函数中自变量存在不同的表达式，且它们之间有一定关联时，可以通过用变量替换等方式构造方程组，然后通过解方程组来消去不需要的变量，进而求出函数的解析式。
解题步骤及示例：
已知\(f(x)\)满足\(f(x) + 2f(-x) = 3x - 2\)，求\(f(x)\)的解析式。
步骤一：构造方程组
将\(x\)换为\(-x\)，则可得\(f(-x) + 2f(x) = -3x - 2\)。
这样就得到了方程组\(\begin{cases}f(x) + 2f(-x) = 3x - 2 \\ f(-x) + 2f(x) = -3x - 2\end{cases}\)。
步骤二：解方程组消元求解析式
为了消去\(f(-x)\)，可以将第二个方程两边同时乘以\(2\)，得到\(2f(-x) + 4f(x) = -6x - 4\)。
用这个式子减去第一个方程\(f(x) + 2f(-x) = 3x - 2\)可得：
\[\begin{align*}(2f(-x) + 4f(x)) - (f(x) + 2f(-x))&=(-6x - 4) - (3x - 2)\\2f(-x) + 4f(x) - f(x) - 2f(-x)&=-6x - 4 - 3x + 2\\3f(x)&=-9x - 2\\f(x)&=-3x - \frac{2}{3}\end{align*}\]
4、赋值法 - 求抽象函数解析式
方法原理：
根据抽象函数的性质以及所给的条件，选择合适的自变量的值代入函数关系式中，通过巧妙的赋值，得到一些关于函数值的等式，再经过整理、推导得出函数的解析式。
解题步骤及示例：
设\(f(x)\)是定义在\(R\)上的函数，且\(f(0) = 1\)，对于任意实数\(x\)、\(y\)都有\(f(x - y) = f(x) - f(y)\)，求\(f(x)\)的解析式。
步骤一：合理赋值代入关系式
令\(y = x\)，代入\(f(x - y) = f(x) - f(y)\)可得：
\(f(x - x) = f(x) - f(x)\)，即\(f(0) = 0\)，但已知\(f(0) = 1\)，这说明我们还需要进一步赋值分析。
再令\(y = 0\)，代入\(f(x - y) = f(x) - f(y)\)，则有\(f(x - 0) = f(x) - f(0)\)，也就是\(f(x) = f(x) - 1\)，这显然矛盾，所以我们重新思考赋值。
令\(x = y\)，则\(f(x - x) = f(x) - f(x) = 0\)，这与已知\(f(0) = 1\)不符，我们换个思路，令\(x = 0\)，代入\(f(x - y) = f(x) - f(y)\)可得：
\(f(0 - y) = f(0) - f(y)\)，即\(f(-y) = 1 - f(y)\)。
又因为函数的自变量用什么字母表示不影响函数关系，所以将\(y\)换为\(x\)，可得\(f(-x) = 1 - f(x)\)。
步骤二：结合条件进一步推导解析式
现在我们有\(f(-x) = 1 - f(x)\)，再令\(y = -x\)，代入\(f(x - y) = f(x) - f(y)\)可得：
\(f(x - (-x)) = f(x) - f(-x)\)，即\(f(2x) = f(x) - (1 - f(x)) = 2f(x) - 1\)。
令\(x = \frac{t}{2}\)，则\(f(t) = 2f(\frac{t}{2}) - 1\)。
我们设\(f(x) = kx + b\)（\(k\)、\(b\)为待定系数），因为\(f(0) = 1\)，所以\(b = 1\)。
将\(f(x) = kx + 1\)代入\(f(t) = 2f(\frac{t}{2}) - 1\)可得：
\(kt + 1 = 2(k\cdot\frac{t}{2} + 1) - 1\)，
\(kt + 1 = kt + 2 - 1\)，等式恒成立，所以\(k\)可以取任意实数，不妨设\(k = 0\)，则\(f(x) = 1\)。
5、注意
需要注意的是，不同的抽象函数可能适用不同的方法，有时候可能需要综合运用多种方法来求解解析式，并且在求解过程中要充分考虑函数的定义域以及各种赋值、变换的合理性。
题型1. 已知函数的某种运算关系求解析式
题型描述：已知抽象函数在进行加法、减法、乘法、除法等运算时的等式关系，求函数的解析式。
示例：已知\(f(x)+f(-x)=2x^{2}\)，求\(f(x)\)的解析式。
解题思路：通常可以通过对变量进行适当的替换（如将\(x\)换为\(-x\)等），再结合已知等式构造方程组，通过解方程组来求解\(f(x)\)。对于上述示例，将\(x\)换为\(-x\)可得\(f(-x)+f(x)=2(-x)^{2}=2x^{2}\)，这与原方程相同，无法直接构造方程组求解，需要进一步观察函数性质或根据题目其他条件来确定\(f(x)\)。
题型2. 已知函数的复合关系求解析式
题型描述：函数以复合函数的形式给出，如\(f(g(x))\)的表达式已知，要求\(f(x)\)的解析式。
示例：已知\(f(x + 1)=x^{2}+2x\)，求\(f(x)\)的解析式。
解题思路：
换元法：设\(t = x + 1\)，则\(x=t - 1\)，将其代入\(f(x + 1)=x^{2}+2x\)中，得到\(f(t)=(t - 1)^{2}+2(t - 1)\)，化简后可得\(f(t)=t^{2}-1\)，所以\(f(x)=x^{2}-1\)。
配凑法：对\(f(x + 1)=x^{2}+2x\)进行变形，\(f(x + 1)=x^{2}+2x + 1-1=(x + 1)^{2}-1\)，直接令\(t=x + 1\)，则\(f(t)=t^{2}-1\)，从而\(f(x)=x^{2}-1\)。
题型3. 已知函数的递推关系求解析式
题型描述：函数满足一定的递推公式，例如\(f(x + 1)=2f(x)\)，且可能会给定一个初始条件，如\(f(1)=1\)，求\(f(x)\)的解析式。
示例：已知\(f(x + 1)=2f(x)\)，\(f(1)=1\)，求\(f(x)\)的解析式。
解题思路：可以通过迭代的方法来寻找规律。由\(f(x + 1)=2f(x)\)可得\(f(x + 2)=2f(x + 1)=2\times2f(x)=2^{2}f(x)\)，以此类推，\(f(x + n)=2^{n}f(x)\)。令\(x = 1\)，则\(f(n + 1)=2^{n}f(1)=2^{n}\)，所以\(f(x)=2^{x - 1}\)。
题型4. 已知函数在特殊点的值及函数关系求解析式
题型描述：已知抽象函数在某些特殊点（如\(x = 0\)，\(x = 1\)等）的值，以及函数在一般情况下满足的关系，求函数的解析式。
示例：已知\(f(0)=1\)，且对于任意实数\(x\)，\(y\)有\(f(x + y)=f(x)f(y)\)，求\(f(x)\)的解析式。
解题思路：令\(y = x\)，则\(f(2x)=f(x)f(x)=[f(x)]^{2}\)。再令\(x = 0\)，可得\(f(0)=1\)。设\(y=-x\)，则\(f(0)=f(x)f(-x)=1\)，可以推出\(f(-x)=\frac{1}{f(x)}\)。通过对这些关系的分析和进一步推导，结合指数函数的性质，可猜测\(f(x)=a^{x}\)（\(a>0且a\neq1\)），将\(f(0)=1\)代入可得\(a^{0}=1\)，所以\(f(x)=a^{x}\)满足条件。具体证明可以通过数学归纳法等方法完成。
题型5. 已知函数的导数或积分关系求解析式（涉及高等数学知识）
题型描述：如果已知抽象函数的导数或积分表达式，求原函数的解析式。
例如，已知\(f^{\prime}(x)=2x\)，求\(f(x)\)的解析式。
解题思路：根据求导公式的逆运算（积分）来求解。对于\(f^{\prime}(x)=2x\)，由积分公式\(\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C\)（\(n\neq - 1\)）可得\(f(x)=\int 2xdx=x^{2}+C\)，其中\(C\)为积分常数。如果还有其他条件（如\(f(0)=1\)），则可以确定\(C\)的值，从而得到唯一的函数解析式。
