函数 03 幂函数：\(x、x^{2}、x^{3}、\sqrt{x}、x^{-1}\)
幂函数：\(y = x\)
定义域和值域：定义域为\(R\)，值域为\(R\)。因为\(x\)可以取任意实数，对应的\(y\)值也能取到任意实数。
单调性：在\(R\)上单调递增。例如，当\(x_1=-1\)，\(x_2 = 1\)时，\(y_1=-1\)，\(y_2 = 1\)，且\(-1<1\)，随着\(x\)值的增大，\(y\)值也增大。
奇偶性：是奇函数。对于任意\(x\)，\(f(x)=x\)，\(f(-x)=-x=-f(x)\)，其图象关于原点对称。
图象特征：是一条过原点且斜率为\(1\)的直线，经过第一、三象限，它是最基本的线性函数图象。
幂函数：\(y = x^{2}\)
定义域和值域：定义域是\(R\)，值域是\([0,+\infty)\)。由于任何实数的平方都大于等于\(0\)，当\(x = 0\)时，\(y\)取最小值\(0\)。
单调性：在\((-\infty,0)\)上单调递减，在\((0,+\infty)\)上单调递增。例如，当\(x_1=-2\)，\(x_2=-1\)时，\(y_1 = 4\)，\(y_2 = 1\)，\(y_1>y_2\)；当\(x_1 = 1\)，\(x_2 = 2\)时，\(y_1 = 1\)，\(y_2 = 4\)，\(y_1<y_2\)。
奇偶性：是偶函数。因为\(f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)\)，图象关于\(y\)轴对称，其图象是开口向上的抛物线，顶点在原点。
图象特征：图象为开口向上的抛物线，对称轴是\(y\)轴，顶点坐标为\((0,0)\)，在第一、二象限，并且随着\(\vert x\vert\)的增大，\(y\)值增长速度加快。
幂函数：\(y = x^{3}\)
定义域和值域：定义域为\(R\)，值域为\(R\)。当\(x\to-\infty\)时，\(y\to-\infty\)；当\(x\to+\infty\)时，\(y\to+\infty\)。
单调性：在\(R\)上单调递增。设\(x_1 < x_2\)，则\((x_2 - x_1)(x_2^{2}+x_1x_2 + x_1^{2})>0\)（因为\(x_2 - x_1>0\)且\(x_2^{2}+x_1x_2 + x_1^{2}>0\)），即\(x_2^{3}-x_1^{3}>0\)，所以\(y_2 > y_1\)。
奇偶性：是奇函数。因为\(f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)\)，图象关于原点对称。
图象特征：图象过原点\((0,0)\)和\((1,1)\)，形状类似“S”形，在第一、三象限，且随着\(\vert x\vert\)的增大，\(y\)值的增长速度比\(y = x\)更快，是一条连续光滑的曲线。
幂函数：\(y = x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\)
定义域和值域：定义域是\([0,+\infty)\)，值域是\([0,+\infty)\)。因为在实数范围内，负数不能开平方，且算术平方根是非负的。
单调性：在\([0,+\infty)\)上单调递增。对于\(0\leq x_1 < x_2\)，有\(\sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}\)。
奇偶性：非奇非偶函数。因为定义域\([0,+\infty)\)不关于原点对称。
图象特征：图象在第一象限，从原点出发，向右上方延伸，形状像半支抛物线，增长速度相对较慢。
幂函数：\(y = x^{-1}=\frac{1}{x}\)
定义域和值域：定义域是\(\{x|x\neq0\}\)，值域是\(\{y|y\neq0\}\)。当\(x\to0^{+}\)时，\(y\to+\infty\)；当\(x\to0^{-}\)时，\(y\to-\infty\)；当\(x\to+\infty\)时，\(y\to0^{+}\)；当\(x\to-\infty\)时，\(y\to0^{-}\)。
单调性：在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上单调递减。例如，对于\(x_1=-2\)，\(x_2=-1\)（\(x_1 < x_2 < 0\)），\(y_1 = -\frac{1}{2}\)，\(y_2=-1\)，\(y_1>y_2\)；对于\(x_1 = 1\)，\(x_2 = 2\)（\(0 < x_1 < x_2\)），\(y_1 = 1\)，\(y_2=\frac{1}{2}\)，\(y_1>y_2\)。
奇偶性：是奇函数。因为\(f(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f(x)\)，图象关于原点对称。
图象特征：图象是双曲线，位于第一、三象限，两条渐近线分别是\(x = 0\)（\(y\)轴）和\(y = 0\)（\(x\)轴），当\(x\)远离原点时，\(y\)的值趋近于\(0\)
