不等式 02 分式不等式的解法
分式不等式是指分母和分子都是整式，且分母中含有未知数的不等式。
其一般形式为\(\frac{f(x)}{g(x)} > 0\)（或\(\geq0\)、\(<0\)、\(\leq0\)），其中\(f(x)\)和\(g(x)\)是关于\(x\)的整式，且\(g(x)\neq0\)。
例如\(\frac{x + 1}{x - 2}>1\)就是一个分式不等式，其中分子\(f(x)=x + 1\)，分母\(g(x)=x - 2\)，\(x\)是未知数。
比如\(\frac{3x - 2}{2x + 1}\leq0\)，同样满足分式不等式的定义，这里分子是\(3x - 2\)，分母是\(2x+1\)，并且求解这个不等式时要考虑分母\(2x + 1\neq0\)这一条件。
与整式不等式的区别
整式不等式是指不等式的两边都是整式的不等式，如\(2x+3>5\)，它的两边都是整式，不涉及分式的形式。
而分式不等式的关键特征是有分数形式，且分母含有未知数，这使得它的求解方法相较于整式不等式更为复杂，通常需要先将其转化为整式不等式再进行求解。
一、简单分式不等式（一边为分式，一边为常数）
形如\(\frac{f(x)}{g(x)} > a\)（\(a\)为常数）、\(\frac{f(x)}{g(x)} < a\)、\(\frac{f(x)}{g(x)} \geq a\)、\(\frac{f(x)}{g(x)} \leq a\)这几种类型。
1. 步骤一：移项通分
将常数移到分式的同一侧，然后进行通分，把不等式整理成一个分式的形式。
例如，对于不等式\(\frac{x + 1}{x - 2} > 1\)：
先移项得到\(\frac{x + 1}{x - 2} - 1 > 0\)，通分后为\(\frac{x + 1 - (x - 2)}{x - 2}=\frac{3}{x - 2} > 0\)。
2. 步骤二：转化为整式不等式
根据分式不等式的性质：
\(\frac{f(x)}{g(x)} > 0\)等价于\(f(x)g(x) > 0\)；
\(\frac{f(x)}{g(x)} < 0\)等价于\(f(x)g(x) < 0\)；
\(\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0\)等价于\(\begin{cases}f(x)g(x) \geq 0 \\ g(x) \neq 0\end{cases}\)；
\(\frac{f(x)}{g(x)} \leq 0\)等价于\(\begin{cases}f(x)g(x) \leq 0 \\ g(x) \neq 0\end{cases}\)。
对于\(\frac{3}{x - 2} > 0\)，就等价于\(3(x - 2) > 0\)，解这个整式不等式得\(x > 2\)。
再如\(\frac{x - 3}{x + 1} \leq 2\)，移项通分得到\(\frac{x - 3}{x + 1} - 2 \leq 0\)，即\(\frac{x - 3 - 2(x + 1)}{x + 1} \leq 0\)，进一步化简为\(\frac{-x - 5}{x + 1} \leq 0\)，等价于\(\begin{cases}(-x - 5)(x + 1) \leq 0 \\ x + 1 \neq 0\end{cases}\)，然后求解这个不等式组。
二、多个分式组成的不等式
形如\(\frac{f(x)}{g(x)} > \frac{h(x)}{k(x)}\)、\(\frac{f(x)}{g(x)} < \frac{h(x)}{k(x)}\)等类型。
1. 步骤一：移项通分
将不等式两边的分式移到同一侧，然后进行通分，化为一个分式的形式。
例如，对于\(\frac{1}{x - 1} > \frac{2}{x + 1}\)，移项通分得到\(\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x + 1} > 0\)，通分后为\(\frac{(x + 1) - 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} > 0\)，即\(\frac{-x + 3}{(x - 1)(x + 1)} > 0\)。
2. 步骤二：转化为整式不等式
同样按照上述分式与整式不等式转化的规则，\(\frac{-x + 3}{(x - 1)(x + 1)} > 0\)等价于\((-x + 3)(x - 1)(x + 1) > 0\)，然后可以通过零点分段法等方法来求解这个整式不等式。
先找出使每个因式为零的根，分别是\(x = 3\)、\(x = 1\)、\(x = -1\)，将数轴分成几段，再分别判断每一段上不等式的符号情况来确定解集。
三、含绝对值的分式不等式
形如\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| > a\)（\(a\)为常数）、\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < a\)等类型。
1. 步骤一：去绝对值
根据绝对值的性质：
当\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| > a\)（\(a > 0\)）时，等价于\(\frac{f(x)}{g(x)} > a\)或\(\frac{f(x)}{g(x)} < -a\)；
当\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < a\)（\(a > 0\)）时，等价于\(-a < \frac{f(x)}{g(x)} < a\)。
例如，对于\(\left|\frac{x - 1}{x + 2}\right| > 2\)，等价于\(\frac{x - 1}{x + 2} > 2\)或\(\frac{x - 1}{x + 2} < -2\)，然后再按照前面简单分式不等式的解法分别求解这两个不等式，最后取并集得到原不等式的解集。
2. 特殊情况考虑
当\(a = 0\)时，\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| > 0\)等价于\(\frac{f(x)}{g(x)} \neq 0\)，即\(f(x) \neq 0\)且\(g(x) \neq 0\)；\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| \leq 0\)等价于\(\frac{f(x)}{g(x)} = 0\)，即\(f(x) = 0\)且\(g(x) \neq 0\)。
总之，解分式不等式的核心思路是通过移项通分等操作转化为整式不等式，再结合整式不等式的解法以及考虑分母不为零等相关条件来准确求出解集。
四、分式不等式的解法实例
1. 简单分式不等式\(\frac{f(x)}{g(x)}>0\)（或\(<0\)）型
解法：等价于\(f(x)g(x)>0\)（或\(<0\)），然后求解整式不等式。
例1：求解不等式\(\frac{x + 1}{x - 1}>0\)。
解：等价于\((x + 1)(x - 1)>0\)，令\((x + 1)(x - 1)=0\)，解得\(x=-1\)或\(x = 1\)。根据二次函数\(y=(x + 1)(x - 1)=x^{2}-1\)的图象开口向上，可得不等式的解集为\(x>1\)或\(x < - 1\)。
例2：求解不等式\(\frac{2x - 3}{x + 2}<0\)。
解：等价于\((2x - 3)(x + 2)<0\)，令\((2x - 3)(x + 2)=0\)，解得\(x=\frac{3}{2}\)或\(x=-2\)。根据二次函数\(y=(2x - 3)(x + 2)=2x^{2}+x - 6\)的图象开口向上，可得不等式的解集为\(-2 < x <\frac{3}{2}\)。
例3：求解不等式\(\frac{3 - x}{x - 5}>0\)。
解：等价于\((3 - x)(x - 5)>0\)，即\((x - 3)(x - 5)<0\)。令\((x - 3)(x - 5)=0\)，解得\(x = 3\)或\(x = 5\)。根据二次函数\(y=(x - 3)(x - 5)=x^{2}-8x + 15\)的图象开口向上，可得不等式的解集为\(3 < x < 5\)。
例4：求解不等式\(\frac{x}{x + 3}<0\)。
解：等价于\(x(x + 3)<0\)，令\(x(x + 3)=0\)，解得\(x = 0\)或\(x=-3\)。根据二次函数\(y=x(x + 3)=x^{2}+3x\)的图象开口向上，可得不等式的解集为\(-3 < x < 0\)。
2. 分式不等式\(\frac{f(x)}{g(x)}\geqslant0\)（或\(\leqslant0\)）型
解法：等价于\(\begin{cases}f(x)g(x)\geqslant0（或\leqslant0）\\g(x)\neq0\end{cases}\)，然后求解整式不等式组。
例1：求解不等式\(\frac{x - 1}{x + 2}\geqslant0\)。
解：等价于\(\begin{cases}(x - 1)(x + 2)\geqslant0\\x + 2\neq0\end{cases}\)。令\((x - 1)(x + 2)=0\)，解得\(x = 1\)或\(x=-2\)。根据二次函数\(y=(x - 1)(x + 2)=x^{2}+x - 2\)的图象开口向上，可得不等式的解集为\(x\geqslant1\)或\(x < - 2\)。
例2：求解不等式\(\frac{2 - x}{x - 3}\leqslant0\)。
解：等价于\(\begin{cases}(2 - x)(x - 3)\leqslant0\\x - 3\neq0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}(x - 2)(x - 3)\geqslant0\\x\neq3\end{cases}\)。令\((x - 2)(x - 3)=0\)，解得\(x = 2\)或\(x = 3\)。根据二次函数\(y=(x - 2)(x - 3)=x^{2}-5x + 6\)的图象开口向上，可得不等式的解集为\(x\geqslant3\)或\(x\leqslant2\)。
例3：求解不等式\(\frac{x + 4}{3 - x}\geqslant0\)。
解：等价于\(\begin{cases}(x + 4)(3 - x)\geqslant0\\3 - x\neq0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}(x + 4)(x - 3)\leqslant0\\x\neq3\end{cases}\)。令\((x + 4)(x - 3)=0\)，解得\(x=-4\)或\(x = 3\)。根据二次函数\(y=(x + 4)(x - 3)=x^{2}+x - 12\)的图象开口向上，可得不等式的解集为\(-4\leqslant x < 3\)。
例4：求解不等式\(\frac{3x - 1}{2x + 1}\leqslant0\)。
解：等价于\(\begin{cases}(3x - 1)(2x + 1)\leqslant0\\2x + 1\neq0\end{cases}\)。令\((3x - 1)(2x + 1)=0\)，解得\(x=\frac{1}{3}\)或\(x=-\frac{1}{2}\)。根据二次函数\(y=(3x - 1)(2x + 1)=6x^{2}+x - 1\)的图象开口向上，可得不等式的解集为\(-\frac{1}{2}<x\leqslant\frac{1}{3}\)。
3. 含高次式的分式不等式\(\frac{f(x)}{g(x)}>0\)（或\(<0\)）型，其中\(f(x)\)或\(g(x)\)是高次式
解法：同样等价于\(f(x)g(x)>0\)（或\(<0\)），对于高次式可以通过因式分解，然后利用数轴标根法来求解。
例1：求解不等式\(\frac{(x + 1)(x - 2)(x + 3)}{(x - 1)(x + 2)}>0\)。
解：等价于\((x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 1)(x + 2)>0\)。令\((x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 1)(x + 2)=0\)，解得\(x=-3,-2,-1,1,2\)。在数轴上依次标记这些点，从最右边的点\(2\)开始，自上而下，奇穿偶回（指数为奇数的因式对应的根穿过数轴，指数为偶数的因式对应的根不穿过数轴）。可得不等式的解集为\(x > 2\)或\(-2 < x < - 1\)或\(1 < x < 2\)。
例2：求解不等式\(\frac{(x - 1)^{2}(x + 2)}{(x + 3)^{3}(x - 2)}<0\)。
解：等价于\((x - 1)^{2}(x + 2)(x + 3)^{3}(x - 2)<0\)。令\((x - 1)^{2}(x + 2)(x + 3)^{3}(x - 2)=0\)，解得\(x=-3,-2,1,2\)。利用数轴标根法，因为\((x - 1)^{2}\)的指数为\(2\)（偶数），所以\(x = 1\)这个根不穿过数轴，其余根按规则穿轴。可得不等式的解集为\(x < - 3\)或\(-3 < x < - 2\)或\(1 < x < 2\)。
例3：求解不等式\(\frac{(x^{2}-1)(x + 3)}{(x - 2)^{2}(x + 1)}>0\)。
解：先对\(x^{2}-1\)因式分解为\((x + 1)(x - 1)\)，则不等式等价于\(\frac{(x + 1)^{2}(x - 1)(x + 3)}{(x - 2)^{2}(x + 1)}>0\)，即\(\frac{(x + 1)(x - 1)(x + 3)}{(x - 2)^{2}}>0\)，等价于\((x + 1)(x - 1)(x + 3)(x - 2)^{2}>0\)。令\((x + 1)(x - 1)(x + 3)(x - 2)^{2}=0\)，解得\(x=-3,-1,1,2\)。利用数轴标根法，可得不等式的解集为\(x > 2\)或\(-3 < x < - 1\)或\(1 < x < 2\)。
例4：求解不等式\(\frac{(x^{3}-1)(x + 2)}{(x - 3)(x^{2}+1)}>0\)。
解：对\(x^{3}-1\)因式分解为\((x - 1)(x^{2}+x + 1)\)，因为\(x^{2}+x + 1\)恒大于\(0\)（\(\Delta=1 - 4=-3<0\)），所以不等式等价于\(\frac{(x - 1)(x + 2)(x - 3)}{x^{2}+1}>0\)，等价于\((x - 1)(x + 2)(x - 3)>0\)。令\((x - 1)(x + 2)(x - 3)=0\)，解得\(x=-2,1,3\)。利用数轴标根法，可得不等式的解集为\(x > 3\)或\(-2 < x < 1\)。
4. 分式不等式与绝对值结合型，如\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|>a\)（或\(<a\)）型，\(a>0\)
解法：对于\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|>a\)，等价于\(\frac{f(x)}{g(x)}>a\)或\(\frac{f(x)}{g(x)} < - a\)；对于\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|<a\)，等价于\(-a <\frac{f(x)}{g(x)}<a\)，然后按照前面的方法分别求解。
例1：求解不等式\(\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right|>1\)。
解：等价于\(\frac{x - 1}{x + 1}>1\)或\(\frac{x - 1}{x + 1} < - 1\)。
对于\(\frac{x - 1}{x + 1}>1\)，移项通分得到\(\frac{x - 1}{x + 1}-1>0\)，即\(\frac{x - 1-(x + 1)}{x + 1}>0\)，\(\frac{-2}{x + 1}>0\)，解得\(x < - 1\)。
对于\(\frac{x - 1}{x + 1} < - 1\)，移项通分得到\(\frac{x - 1}{x + 1}+1<0\)，即\(\frac{x - 1 + x + 1}{x + 1}<0\)，\(\frac{2x}{x + 1}<0\)，解得\(-1 < x < 0\)。
综上，不等式的解集为\(x < - 1\)或\(-1 < x < 0\)。
例2：求解不等式\(\left|\frac{2x + 1}{x - 2}\right|<3\)。
解：等价于\(-3 <\frac{2x + 1}{x - 2}<3\)。
先解\(\frac{2x + 1}{x - 2}>-3\)，移项通分得到\(\frac{2x + 1}{x - 2}+3>0\)，即\(\frac{2x + 1 + 3(x - 2)}{x - 2}>0\)，\(\frac{5x - 5}{x - 2}>0\)，等价于\((5x - 5)(x - 2)>0\)，解得\(x > 2\)或\(x < 1\)。
再解\(\frac{2x + 1}{x - 2}<3\)，移项通分得到\(\frac{2x + 1}{x - 2}-3<0\)，即\(\frac{2x + 1-3(x - 2)}{x - 2}<0\)，\(\frac{-x + 7}{x - 2}<0\)，等价于\((x - 7)(x - 2)>0\)，解得\(x > 7\)或\(x < 2\)。
综上，不等式的解集为\(x < 1\)或\(x > 7\)。
例3：求解不等式\(\left|\frac{3 - x}{x + 3}\right|>2\)。
解：等价于\(\frac{3 - x}{x + 3}>2\)或\(\frac{3 - x}{x + 3} < - 2\)。
对于\(\frac{3 - x}{x + 3}>2\)，移项通分得到\(\frac{3 - x}{x + 3}-2>0\)，即\(\frac{3 - x-2(x + 3)}{x + 3}>0\)，\(\frac{-3x - 3}{x + 3}>0\)，等价于\((-3x - 3)(x + 3)>0\)，解得\(-3 < x < - 1\)。
对于\(\frac{3 - x}{x + 3} < - 2\)，移项通分得到\(\frac{3 - x}{x + 3}+2<0\)，即\(\frac{3 - x + 2(x + 3)}{x + 3}<0\)，\(\frac{x + 9}{x + 3}<0\)，等价于\((x + 9)(x + 3)<0\)，解得\(-9 < x < - 3\)。
综上，不等式的解集为\(-9 < x < - 3\)或\(-3 < x < - 1\)。
例4：求解不等式\(\left|\frac{x^{2}-1}{x}\right|<1\)。
解：等价于\(-1 <\frac{x^{2}-1}{x}<1\)。
先解\(\frac{x^{2}-1}{x}>-1\)，移项通分得到\(\frac{x^{2}-1}{x}+1>0\)，即\(\frac{x^{2}-1 + x}{x}>0\)，\(\frac{x^{2}+x - 1}{x}>0\)。令\(x^{2}+x - 1 = 0\)，解得\(x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)。根据数轴标根法，解得\(x >\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)或\(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<x < 0\)。
再解\(\frac{x^{2}-1}{x}<1\)，移项通分得到\(\frac{x^{2}-1}{x}-1<0\)，即\(\frac{x^{2}-1 - x}{x}<0\)，\(\frac{x^{2}-x - 1}{x}<0\)。令\(x^{2}-x - 1 = 0\)，解得\(x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)。根据数轴标根法，解得\(0 < x <\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)。
综上，不等式的解集为\(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<x < 0\)或\(0 < x <\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)。
