不等式 02 琴生不等式
琴生不等式：设\(f(x)\)是定义在区间\(I\)上的凸函数，则对于区间\(I\)上的任意\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\)，有
\(f(\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n})\leqslant\frac{f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots+f(x_{n})}{n}\)；当\(f(x)\)是凹函数时，不等号方向相反。
1. 证明均值不等式\(\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)（\(a,b>0\)）
分析：设\(f(x)=-\ln x\)，\(x > 0\)，先证明\(f(x)\)是凸函数，再利用琴生不等式证明。
证明：\(f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x}\)，\(f^{\prime\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}}>0\)，所以\(f(x)\)是凸函数。设\(x_{1}=a\)，\(x_{2}=b\)，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\frac{1}{2}\)。根据琴生不等式\(f(\frac{a + b}{2})\leqslant\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)\)，即\(-\ln(\frac{a + b}{2})\leqslant-\frac{1}{2}\ln a-\frac{1}{2}\ln b\)，化简得\(\ln(\frac{a + b}{2})\geqslant\ln\sqrt{ab}\)，所以\(\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)。
2. 证明\(\frac{a + b + c}{3}\geqslant\sqrt[3]{abc}\)（\(a,b,c>0\)）
分析：设\(f(x)=-\ln x\)，\(x > 0\)，利用其凸性和琴生不等式证明。
证明：\(f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x}\)，\(f^{\prime\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}}>0\)，\(f(x)\)是凸函数。设\(x_{1}=a\)，\(x_{2}=b\)，\(x_{3}=c\)，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\frac{1}{3}\)。由琴生不等式\(f(\frac{a + b + c}{3})\leqslant\frac{1}{3}f(a)+\frac{1}{3}f(b)+\frac{1}{3}f(c)\)，即\(-\ln(\frac{a + b + c}{3})\leqslant-\frac{1}{3}\ln a-\frac{1}{3}\ln b-\frac{1}{3}\ln c\)，整理得\(\ln(\frac{a + b + c}{3})\geqslant\ln\sqrt[3]{abc}\)，所以\(\frac{a + b + c}{3}\geqslant\sqrt[3]{abc}\)。
3. 设\(a,b,c>0\)，且\(a + b + c = 1\)，证明\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leqslant\sqrt{3}\)
分析：设\(f(x)=\sqrt{x}\)，\(x > 0\)，判断其凹凸性后利用琴生不等式证明。
证明：\(f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)，\(f^{\prime\prime}(x)=-\frac{1}{4x^{\frac{3}{2}}}<0\)，\(f(x)\)是凹函数。设\(x_{1}=a\)，\(x_{2}=b\)，\(x_{3}=c\)，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\frac{1}{3}\)。根据琴生不等式（凹函数反向）\(f(\frac{a + b + c}{3})\geqslant\frac{1}{3}f(a)+\frac{1}{3}f(b)+\frac{1}{3}f(c)\)，即\(\sqrt{\frac{a + b + c}{3}}\geqslant\frac{1}{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\)，已知\(a + b + c = 1\)，所以\(\frac{1}{\sqrt{3}}\geqslant\frac{1}{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\)，即\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leqslant\sqrt{3}\)。
4. 已知\(x,y,z\in R^{+}\)，证明\((x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geqslant9\)
分析：设\(f(t)=t+\frac{1}{t}\)，\(t > 0\)，先判断凹凸性，再应用琴生不等式。
证明：\(f^{\prime}(t)=1-\frac{1}{t^{2}}\)，\(f^{\prime\prime}(t)=\frac{2}{t^{3}}>0\)，\(f(t)\)是凸函数。设\(t_{1}=x^{2}\)，\(t_{2}=y^{2}\)，\(t_{3}=z^{2}\)，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\frac{1}{3}\)。由琴生不等式\(f(\frac{t_{1}+t_{2}+t_{3}}{3})\leqslant\frac{1}{3}f(t_{1})+\frac{1}{3}f(t_{2})+\frac{1}{3}f(t_{3})\)，即\(\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}+\frac{3}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\leqslant\frac{1}{3}(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+y^{2}+\frac{1}{y^{2}}+z^{2}+\frac{1}{z^{2}})\)。
又因为\((x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})=x^{2}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})+y^{2}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})+z^{2}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\)
展开后可得\(3+\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{y^{2}}\geqslant9\)（利用均值不等式\(\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)），所以\((x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geqslant9\)。
5. 已知\(a,b,c\in R^{+}\)，且\(abc = 1\)，证明\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
分析：设\(f(x)=\frac{1}{x}\)，\(x > 0\)和\(g(x)=\sqrt{x}\)，\(x > 0\)，分别判断凹凸性，利用琴生不等式证明。
证明：对于\(f(x)=\frac{1}{x}\)，\(f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}}\)，\(f^{\prime\prime}(x)=\frac{2}{x^{3}}>0\)，\(f(x)\)是凸函数。对于\(g(x)=\sqrt{x}\)，\(g^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)，\(g^{\prime\prime}(x)=-\frac{1}{4x^{\frac{3}{2}}}<0\)，\(g(x)\)是凹函数。
设\(x_{1}=a\)，\(x_{2}=b\)，\(x_{3}=c\)，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\frac{1}{3}\)。根据琴生不等式，\(f(\frac{a + b + c}{3})\leqslant\frac{1}{3}f(a)+\frac{1}{3}f(b)+\frac{1}{3}f(c)\)，即\(\frac{3}{a + b + c}\leqslant\frac{1}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)。
又因为\(g(\frac{a + b + c}{3})\geqslant\frac{1}{3}g(a)+\frac{1}{3}g(b)+\frac{1}{3}g(c)\)，即\(\sqrt{\frac{a + b + c}{3}}\geqslant\frac{1}{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\)。
由均值不等式\(a + b + c\geqslant3\sqrt[3]{abc}=3\)，所以\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)。
6. 已知\(x,y\in R^{+}\)，且\(x + y = 1\)，求\(2^{x}+2^{y}\)的最小值
分析：设\(f(t)=2^{t}\)，\(t\in R\)，判断凹凸性后利用琴生不等式求解最小值。
证明：\(f^{\prime}(t)=2^{t}\ln 2\)，\(f^{\prime\prime}(t)=2^{t}(\ln 2)^{2}>0\)，\(f(t)\)是凸函数。设\(x_{1}=x\)，\(x_{2}=y\)，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\frac{1}{2}\)。根据琴生不等式\(f(\frac{x + y}{2})\leqslant\frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}f(y)\)，即\(2^{\frac{x + y}{2}}\leqslant\frac{1}{2}(2^{x}+2^{y})\)。
已知\(x + y = 1\)，所以\(2^{\frac{1}{2}}\leqslant\frac{1}{2}(2^{x}+2^{y})\)，即\(2^{x}+2^{y}\geqslant2\sqrt{2}\)，当且仅当\(x = y=\frac{1}{2}\)时取到最小值\(2\sqrt{2}\)。
7. 设\(a,b,c,d\in R^{+}\)，且\(a + b + c + d = 4\)，证明\(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}}\geqslant4\)
分析：设\(f(t)=\frac{1}{t^{2}}\)，\(t > 0\)，判断凹凸性后用琴生不等式证明。
证明：\(f^{\prime}(t)=-\frac{2}{t^{3}}\)，\(f^{\prime\prime}(t)=\frac{6}{t^{4}}>0\)，\(f(t)\)是凸函数。设\(x_{1}=a\)，\(x_{2}=b\)，\(x_{3}=c\)，\(x_{4}=d\)，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\lambda_{4}=\frac{1}{4}\)。
根据琴生不等式\(f(\frac{a + b + c + d}{4})\leqslant\frac{1}{4}f(a)+\frac{1}{4}f(b)+\frac{1}{4}f(c)+\frac{1}{4}f(d)\)，即\(\frac{1}{(\frac{a + b + c + d}{4})^{2}}\leqslant\frac{1}{4}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}})\)。
已知\(a + b + c + d = 4\)，所以\(\frac{1}{4}\leqslant\frac{1}{4}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}})\)，即\(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}}\geqslant4\)。
8. 在三角形\(ABC\)中，证明\(\sin A+\sin B+\sin C\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
分析：设\(f(x)=\sin x\)，\(x\in(0,\pi)\)，判断凹凸性后利用琴生不等式证明。
证明：\(f^{\prime}(x)=\cos x\)，\(f^{\prime\prime}(x)=-\sin x<0\)（\(x\in(0,\pi)\)），\(f(x)\)是凹函数。设\(A,B,C\)为三角形内角，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\frac{1}{3}\)。
根据琴生不等式（凹函数反向）\(f(\frac{A + B + C}{3})\geqslant\frac{1}{3}f(A)+\frac{1}{3}f(B)+\frac{1}{3}f(C)\)，因为\(A + B + C=\pi\)，所以\(\sin\frac{\pi}{3}\geqslant\frac{1}{3}(\sin A+\sin B+\sin C)\)，即\(\frac{\sqrt{3}}{2}\geqslant\frac{1}{3}(\sin A+\sin B+\sin C)\)，所以\(\sin A+\sin B+\sin C\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{2}\)。
9. 已知\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\in R^{+}\)，且\(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=1\)，证明\(\frac{1}{1 + x_{1}}+\frac{1}{1 + x_{2}}+\cdots+\frac{1}{1 + x_{n}}\geqslant\frac{n}{1+\frac{1}{n}}\)
分析：设\(f(t)=\frac{1}{1 + t}\)，\(t > 0\)，判断凹凸性后用琴生不等式证明。
证明：\(f^{\prime}(t)=-\frac{1}{(1 + t)^{2}}\)，\(f^{\prime\prime}(t)=\frac{2}{(1 + t)^{3}}>0\)，\(f(t)\)是凸函数。设\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\)，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n}=\frac{1}{n}\)。
根据琴生不等式\(f(\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n})\leqslant\frac{1}{n}f(x_{1})+\frac{1}{n}f(x_{2})+\cdots+\frac{1}{n}f(x_{n})\)，即\(\frac{1}{1+\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}}\leqslant\frac{1}{n}(\frac{1}{1 + x_{1}}+\frac{1}{1 + x_{2}}+\cdots+\frac{1}{1 + x_{n}})\)。
已知\(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=1\)，所以\(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\leqslant\frac{1}{n}(\frac{1}{1 + x_{1}}+\frac{1}{1 + x_{2}}+\cdots+\frac{1}{1 + x_{n}})\)，即\(\frac{1}{1 + x_{1}}+\frac{1}{1 + x_{2}}+\cdots+\frac{1}{1 + x_{n}}\geqslant\frac{n}{1+\frac{1}{n}}\)。
10. 设\(a,b,c\in R^{+}\)，证明\(\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geqslant a + b + c\)
分析：设\(f(x)=x^{3}\)，\(x > 0\)，判断凹凸性后利用琴生不等式证明。
证明：\(f^{\prime}(x)=3x^{2}\)，\(f^{\prime\prime}(x)=6x>0\)，\(f(x)\)是凸函数。设\(x_{1}=\frac{a}{b}\)，\(x_{2}=\frac{b}{c}\)，\(x_{3}=\frac{c}{a}\)，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\frac{1}{3}\)。
根据琴生不等式\(f(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3})\leqslant\frac{1}{3}f(x_{1})+\frac{1}{3}f(x_{2})+\frac{1}{3}f(x_{3})\)，即\((\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{3})^{3}\leqslant\frac{1}{3}[(\frac{a}{b})^{3}+(\frac{b}{c})^{3}+(\frac{c}{a})^{3}]\)。
由均值不等式\(\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{3}\geqslant\sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}} = 1\)，所以\((\frac{a}{b})^{3}+(\frac{b}{c})^{3}+(\frac{c}{a})^{3}\geqslant3\)。
又因为\(\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}=b\cdot\frac{a^{3}}{b^{2}}+c\cdot\frac{b^{3}}{c^{2}}+a\cdot\frac{c^{3}}{a^{2}}\geqslant b\cdot\frac{a}{b}+c\cdot\frac{b}{c}+a\cdot\frac{c}{a}=a + b + c\)（利用了前面得到的\((\frac{a}{b})^{3}+(\frac{b}{c})^{3}+(\frac{c}{a})^{3}\geqslant3\)的结论），所以\(\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geqslant a + b + c\)。
