圆锥曲线 13 双曲线

一、双曲线的第一定义

1. 定义内容

平面内与两个定点\(F_{1}\)、\(F_{2}\)（\(\vert F_{1}F_{2}\vert=2c > 0\)）的距离之差的绝对值等于常数（小于\(\vert F_{1}F_{2}\vert\)且大于\(0\)）的点的轨迹叫做双曲线。即\(\vert\vert PF_{1}\vert-\vert PF_{2}\vert\vert = 2a\)（\(0 < 2a<\vert F_{1}F_{2}\vert\)），其中\(a\)为双曲线的实半轴长，\(c\)为双曲线的半焦距。

2. 详细解释

设两个定点\(F_{1}\)、\(F_{2}\)为双曲线的焦点。点\(P\)为平面内的动点。

当\(\vert PF_{1}\vert-\vert PF_{2}\vert = 2a\)（\(P\)在双曲线右支上）时，点\(P\)到\(F_{1}\)的距离大于点\(P\)到\(F_{2}\)的距离。

当\(\vert PF_{2}\vert-\vert PF_{1}\vert = 2a\)（\(P\)在双曲线左支上）时，点\(P\)到\(F_{2}\)的距离大于点\(P\)到\(F_{1}\)的距离。

例如，若\(F_{1}(-3,0)\)，\(F_{2}(3,0)\)，\(a = 2\)，则满足\(\vert\vert PF_{1}\vert-\vert PF_{2}\vert\vert = 4\)的点\(P\)的轨迹是双曲线。

这里\(\vert F_{1}F_{2}\vert = 6\)，\(c = 3\)，根据\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)（对于双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)），可以求出\(b^{2}=c^{2}-a^{2}=9 - 4 = 5\)，双曲线方程为\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1\)。

3. 与椭圆定义的对比

椭圆的定义是平面内与两个定点\(F_{1}\)、\(F_{2}\)的距离之和等于常数（大于\(\vert F_{1}F_{2}\vert\)）的点的轨迹。而双曲线是距离之差的绝对值等于常数（小于\(\vert F_{1}F_{2}\vert\)且大于\(0\)）的点的轨迹。

椭圆中\(\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert = 2a\)（\(a > c\)），双曲线中\(\vert\vert PF_{1}\vert-\vert PF_{2}\vert\vert = 2a\)（\(a < c\)）。这种差异导致了它们的形状完全不同，椭圆是封闭曲线，双曲线是有两支的开放曲线。

4. 应用示例

已知双曲线的两个焦点\(F_{1}(-5,0)\)，\(F_{2}(5,0)\)，且双曲线上一点\(P\)到两焦点距离之差的绝对值为\(6\)，求双曲线的方程。

由题意得\(c = 5\)，\(2a = 6\)，则\(a = 3\)。

根据\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)，可得\(b^{2}=c^{2}-a^{2}=25 - 9 = 16\)。

因为焦点在\(x\)轴上，所以双曲线的方程为\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)。

二、双曲线的第二定义

1. 定义内容

平面内到一个定点\(F\)（焦点）和到一条定直线\(l\)（准线）的距离之比为常数\(e\)（\(e>1\)）的点的轨迹叫做双曲线。即\(\frac{\vert PF\vert}{d}=e\)（\(e > 1\)），其中\(PF\)表示点\(P\)到焦点\(F\)的距离，\(d\)表示点\(P\)到准线\(l\)的距离。

2. 详细解释

焦点与准线的位置关系及方程

对于双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a>0,b>0\)），焦点在\(x\)轴上，焦点坐标为\(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\)，其中\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)。相应的准线方程为\(x = -\frac{a^{2}}{c}\)和\(x=\frac{a^{2}}{c}\)。

例如，对于双曲线\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1\)，这里\(a = 2\)，\(b=\sqrt{5}\)，则\(c=\sqrt{4 + 5}=3\)，准线方程为\(x = -\frac{4}{3}\)和\(x=\frac{4}{3}\)。

距离之比的含义及推导

设点\(P(x,y)\)是双曲线上的任意一点。以焦点\(F_2(c,0)\)为例，点\(P\)到焦点\(F_2\)的距离\(\vert PF_{2}\vert=\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}\)，点\(P\)到准线\(x=\frac{a^{2}}{c}\)的距离\(d=\vert x - \frac{a^{2}}{c}\vert\)。

由双曲线的第二定义\(\frac{\vert PF_{2}\vert}{d}=e=\frac{c}{a}\)（\(e>1\)），可得\(\frac{\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}}{\vert x - \frac{a^{2}}{c}\vert}=\frac{c}{a}\)。

3. 与椭圆第二定义的对比

椭圆的第二定义中，平面内到一个定点\(F\)和到一条定直线\(l\)（\(F\)不在\(l\)上）的距离之比为常数\(e\)（\(0<e<1\)）的点的轨迹是椭圆。而双曲线是\(e>1\)。

这一差异导致了它们的形状不同。椭圆是封闭曲线，双曲线是两支向外无限延伸的曲线。在椭圆中，点到焦点和准线的距离之比小于\(1\)，使得点的轨迹向内弯曲；而在双曲线中，点到焦点和准线的距离之比大于\(1\)，使得点的轨迹向外弯曲。

4. 应用示例

已知双曲线\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)，求点\(P(6,y)\)到右焦点和右准线的距离之比。

首先，对于双曲线\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)，可得\(a = 3\)，\(b = 4\)，\(c=\sqrt{9 + 16}=5\)。

右焦点坐标为\(F(5,0)\)，右准线方程为\(x=\frac{9}{5}\)。

点\(P(6,y)\)到右焦点\(F\)的距离\(\vert PF\vert=\sqrt{(6 - 5)^{2}+y^{2}}=\sqrt{1 + y^{2}}\)。

点\(P(6,y)\)到右准线\(x=\frac{9}{5}\)的距离\(d=\vert6 - \frac{9}{5}\vert=\frac{21}{5}\)。

则距离之比\(\frac{\vert PF\vert}{d}=\frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\frac{21}{5}}\)。

又因为点\(P(6,y)\)在双曲线上，将\(x = 6\)代入双曲线方程\(\frac{6^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)，解得\(y=\pm\frac{8\sqrt{3}}{3}\)。

当\(y=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)时，\(\vert PF\vert=\sqrt{1 + (\frac{8\sqrt{3}}{3})^{2}}=\frac{13}{3}\)，距离之比\(\frac{\vert PF\vert}{d}=\frac{\frac{13}{3}}{\frac{21}{5}}=\frac{65}{63}\approx1.03\)（大于\(1\)，符合双曲线第二定义）。

当\(y = -\frac{8\sqrt{3}}{3}\)时，同样可验证距离之比大于\(1\)。

三、双曲线的第三定义

1. 定义内容

平面内动点到两定点（双曲线的顶点）连线的斜率之积为定值（大于0）的点的轨迹是双曲线。

设双曲线方程为\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a\gt0,b\gt0\)），两顶点\(A_1(-a,0)\)，\(A_2(a,0)\)，若动点\(P(x,y)\)满足\(k_{PA_1}\cdot k_{PA_2}=\frac{y}{x + a}\cdot\frac{y}{x - a}=\frac{y^{2}}{x^{2}-a^{2}} = k\)（\(k\gt0\)），则点\(P\)的轨迹是双曲线。

2. 详细解释

与标准方程的联系

从双曲线标准方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)变形可得\(\frac{y^{2}}{x^{2}-a^{2}}=\frac{b^{2}}{a^{2}}\)。

对比第三定义中的\(k_{PA_1}\cdot k_{PA_2}=\frac{y^{2}}{x^{2}-a^{2}} = k\)，这里的\(k\)相当于\(\frac{b^{2}}{a^{2}}\)（\(k\gt0\)），它体现了双曲线的形状特征，\(k\)的值与双曲线的实半轴\(a\)和虚半轴\(b\)有关。

几何意义

斜率之积为定值这一条件反映了动点\(P\)与双曲线两顶点连线的倾斜程度之间的一种内在关系。

例如，当\(k\)较大时，说明动点\(P\)与两顶点连线的斜率的绝对值相对较大，双曲线的“开口”相对更开阔；当\(k\)较小时，双曲线的“开口”相对较窄。

3. 与椭圆第三定义的对比

椭圆第三定义是平面内动点到两定点（椭圆的顶点）连线的斜率之积为定值（小于0且不等于 - 1）的点的轨迹是椭圆。

主要区别在于斜率之积的正负性。双曲线中该定值大于0，这使得轨迹是两支向外延伸的曲线；而椭圆中定值小于0，其轨迹是封闭曲线。

从几何角度看，椭圆的形状是向内弯曲的，双曲线是向外弯曲的，这种差异通过斜率之积的正负很好地体现出来。

4. 应用示例

已知两定点\(A_1(-2,0)\)，\(A_2(2,0)\)，若动点\(P(x,y)\)满足\(k_{PA_1}\cdot k_{PA_2}=\frac{1}{2}\)，求动点\(P\)的轨迹方程。

由\(k_{PA_1}\cdot k_{PA_2}=\frac{y}{x + 2}\cdot\frac{y}{x - 2}=\frac{y^{2}}{x^{2}-4}=\frac{1}{2}\)。

整理可得\(2y^{2}=x^{2}-4\)，即\(x^{2}-2y^{2}=4\)，进一步化为标准方程为\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1\)，这是一个双曲线方程。

四、双曲线的标准方程

1. 焦点在\(x\)轴上的双曲线标准方程

方程形式：\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a\gt0,b\gt0\)）。

参数含义：

\(a\)为双曲线的实半轴长，\(b\)为双曲线的虚半轴长。双曲线的两个顶点坐标为\((\pm a,0)\)。

\(c\)表示半焦距，且满足\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)，双曲线的焦点坐标为\((\pm c,0)\)。例如，对于双曲线\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)，这里\(a = 3\)，\(b = 4\)，则\(c=\sqrt{9 + 16}=5\)，顶点坐标是\((\pm3,0)\)，焦点坐标是\((\pm5,0)\)。

方程的推导：

根据双曲线的第一定义，平面内与两个定点\(F_1,F_2\)（\(\vert F_1F_2\vert = 2c\gt0\)）的距离之差的绝对值等于常数（小于\(\vert F_1F_2\vert\)且大于\(0\)）的点的轨迹叫做双曲线，即\(\vert\vert PF_1\vert-\vert PF_2\vert\vert = 2a\)。

设\(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\)，点\(P(x,y)\)是双曲线上的任意一点，则\(\vert\sqrt{(x + c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}\vert = 2a\)。

对这个等式进行移项、平方等一系列运算（为了去掉根号），经过化简可以得到\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)，其中\(b^{2}=c^{2}-a^{2}\)。

2. 焦点在\(y\)轴上的双曲线标准方程

方程形式：\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a\gt0,b\gt0\)）。

参数含义：

\(a\)为双曲线的实半轴长，\(b\)为双曲线的虚半轴长。双曲线的两个顶点坐标为\((0,\pm a)\)。

\(c\)表示半焦距，且满足\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)，双曲线的焦点坐标为\((0,\pm c)\)。例如，对于双曲线\(\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{9}=1\)，\(a = 25\)，\(b = 9\)，则\(c=\sqrt{25 + 9}=\sqrt{34}\)，顶点坐标是\((0,\pm5)\)，焦点坐标是\((0,\pm\sqrt{34})\)。

方程的推导：

同样根据双曲线的第一定义，设焦点\(F_1(0,-c)\)，\(F_2(0,c)\)，点\(P(x,y)\)是双曲线上的任意一点，则\(\vert\sqrt{(y + c)^{2}+x^{2}}-\sqrt{(y - c)^{2}+x^{2}}\vert = 2a\)。

通过移项、平方等运算化简后可得\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)，其中\(b^{2}=c^{2}-a^{2}\)。

3. 判断焦点位置的方法

观察\(x^{2}\)和\(y^{2}\)项的系数正负。如果\(x^{2}\)项的系数为正，\(y^{2}\)项的系数为负，那么焦点在\(x\)轴上；如果\(y^{2}\)项的系数为正，\(x^{2}\)项的系数为负，那么焦点在\(y\)轴上。例如，双曲线方程\(3x^{2}-4y^{2}=12\)，化为标准形式为\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1\)，焦点在\(x\)轴上；而方程\(2y^{2}-5x^{2}=10\)，化为标准形式为\(\frac{y^{2}}{5}-\frac{x^{2}}{2}=1\)，焦点在\(y\)轴上。

4. 一般双曲线方程化为标准方程的步骤

对于一般方程\(Ax^{2}+By^{2}=C\)（\(A\)、\(B\)、\(C\)为常数且\(AB\lt0\)）。

先将方程两边同时除以\(C\)，得到\(\frac{Ax^{2}}{C}+\frac{By^{2}}{C}=1\)。

再根据焦点位置判断标准方程的形式。如果\(\frac{A}{C}\gt0\)，\(\frac{B}{C}\lt0\)，则焦点在\(x\)轴上，标准方程为\(\frac{x^{2}}{\frac{C}{A}}-\frac{y^{2}}{\frac{-C}{B}} = 1\)；如果\(\frac{A}{C}\lt0\)，\(\frac{B}{C}\gt0\)，则焦点在\(y\)轴上，标准方程为\(\frac{y^{2}}{\frac{C}{B}}-\frac{x^{2}}{\frac{-C}{A}} = 1\)。例如，对于方程\(4x^{2}-9y^{2}=-36\)，两边同时除以\(-36\)得到\(\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{9}=1\)，这是焦点在\(y\)轴上的双曲线标准方程。

五、双曲线的几何性质

1. 范围

焦点在\(x\)轴上的双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a>0,b>0\)）

对于\(y\)，因为\(\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)，所以\(y = \pm\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}\)。当\(\vert x\vert < a\)时，\(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\)无意义（在实数范围内），所以\(x\)的取值范围是\(x \leq -a\)或\(x \geq a\)，\(y \in R\)。例如，对于双曲线\(\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1\)，当\(x = 0\)时，\(y\)的值不存在，当\(x = 3\)时，\(y=\pm\frac{9}{2}\)。

焦点在\(y\)轴上的双曲线\(\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a>0,b>0\)）

同理可得，\(y\)的取值范围是\(y \leq -a\)或\(y \geq a\)，\(x \in R\)。例如，对于双曲线\(\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{4} = 1\)，当\(y = 0\)时，\(x\)的值不存在，当\(y = 3\)时，\(x=\pm2\)。

2. 对称性

双曲线关于\(x\)轴、\(y\)轴和原点对称。

对于双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)（或\(\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)），如果点\((x,y)\)在双曲线上，那么将\(x\)换为\(-x\)，\(y\)换为\(-y\)，\((-x,-y)\)也在双曲线上，这体现了关于原点对称；将\(x\)换为\(-x\)，\((-x,y)\)也在双曲线上，这体现了关于\(y\)轴对称；将\(y\)换为\(-y\)，\((x,-y)\)也在双曲线上，这体现了关于\(x\)轴对称。例如，双曲线\(\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1\)，点\((4,3)\)在双曲线上，那么\((-4,3)\)、\((4,-3)\)、\((-4,-3)\)也在双曲线上。

3. 顶点

焦点在\(x\)轴上的双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a>0,b>0\)）

顶点坐标为\((\pm a,0)\)。这是因为当\(y = 0\)时，\(x=\pm a\)，这两个点是双曲线与\(x\)轴的交点，例如双曲线\(\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{16} = 1\)，顶点为\((\pm5,0)\)。

焦点在\(y\)轴上的双曲线\(\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a>0,b>0\)）

顶点坐标为\((0,\pm a)\)。当\(x = 0\)时，\(y=\pm a\)，这是双曲线与\(y\)轴的交点，例如双曲线\(\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{4} = 1\)，顶点为\((0,\pm3)\)。

4. 渐近线

焦点在\(x\)轴上的双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a>0,b>0\)）

渐近线方程为\(y = \pm\frac{b}{a}x\)。渐近线的定义是：当曲线上一点\(M\)沿曲线无限远离原点时，如果\(M\)到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。对于双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)，可以通过令\(\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0\)，即\(y = \pm\frac{b}{a}x\)得到渐近线方程。例如，双曲线\(\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1\)，渐近线方程为\(y=\pm\frac{2}{3}x\)。

焦点在\(y\)轴上的双曲线\(\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a>0,b>0\)）

渐近线方程为\(y = \pm\frac{a}{b}x\)。同样通过令\(\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 0\)得到。例如，双曲线\(\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1\)，渐近线方程为\(y=\pm\frac{4}{3}x\)。

5. 离心率

双曲线的离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(e>1\)），其中\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)。离心率反映了双曲线的开口大小，\(e\)越大，双曲线的开口越宽。例如，对于双曲线\(\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1\)，\(a = 2\)，\(c=\sqrt{4 + 5}=3\)，离心率\(e=\frac{3}{2}\)。如果有另一个双曲线离心率\(e = 3\)，那么它的开口会比这个双曲线更宽。

六、双曲线的切线方程

1. 焦点在\(x\)轴上的双曲线切线方程推导

设双曲线方程为\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a\gt0,b\gt0\)），对双曲线方程两边同时求导，根据求导公式\((X^n)^\prime=nX^{n - 1}\)。

先将方程变形为\(y^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}}(x^{2}-a^{2})\)，两边对\(x\)求导得\(2y\cdot y^\prime=\frac{2b^{2}}{a^{2}}x\)，所以\(y^\prime=\frac{b^{2}x}{a^{2}y}\)。

设点\(P(x_{0},y_{0})\)是双曲线上的一点，则在点\(P\)处的切线斜率\(k = \frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}\)。

根据点斜式方程\(y - y_{0}=k(x - x_{0})\)，可得切线方程为\(y - y_{0}=\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}(x - x_{0})\)，整理后得到\(\frac{x_{0}x}{a^{2}}-\frac{y_{0}y}{b^{2}} = 1\)。

2. 焦点在\(y\)轴上的双曲线切线方程推导

对于双曲线方程\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a\gt0,b\gt0\)），同样先将其变形为\(x^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}}(y^{2}-a^{2})\)，两边对\(y\)求导得\(2x\cdot x^\prime=\frac{2b^{2}}{a^{2}}y\)，所以\(x^\prime=\frac{b^{2}y}{a^{2}x}\)。

设点\(P(x_{0},y_{0})\)是双曲线上的一点，则在点\(P\)处的切线斜率\(k=\frac{b^{2}y_{0}}{a^{2}x_{0}}\)。

根据点斜式方程\(y - y_{0}=k(x - x_{0})\)（这里\(x\)是自变量，\(y\)是因变量），可得切线方程为\(y - y_{0}=\frac{b^{2}y_{0}}{a^{2}x_{0}}(x - x_{0})\)，整理后得到\(\frac{y_{0}y}{a^{2}}-\frac{x_{0}x}{b^{2}} = 1\)。

3. 应用示例

例1：求双曲线\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)在点\((6, \frac{8\sqrt{3}}{3})\)处的切线方程。

这里\(a = 3\)，\(b = 4\)，\(x_{0}=6\)，\(y_{0}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)。

根据切线方程\(\frac{x_{0}x}{a^{2}}-\frac{y_{0}y}{b^{2}} = 1\)，代入可得\(\frac{6x}{9}-\frac{\frac{8\sqrt{3}}{3}y}{16}=1\)，化简后得到\(\frac{2x}{3}-\frac{\sqrt{3}y}{6}=1\)，进一步整理为\(4x - \sqrt{3}y = 6\)。

例2：求双曲线\(\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{3}=1\)在点\((\sqrt{3},2)\)处的切线方程。

这里\(a = 2\)，\(b=\sqrt{3}\)，\(x_{0}=\sqrt{3}\)，\(y_{0}=2\)。

根据切线方程\(\frac{y_{0}y}{a^{2}}-\frac{x_{0}x}{b^{2}} = 1\)，代入可得\(\frac{2y}{4}-\frac{\sqrt{3}x}{3}=1\)，化简后得到\(\frac{y}{2}-\frac{\sqrt{3}x}{3}=1\)，进一步整理为\(3y - 2\sqrt{3}x = 6\)。

七、双曲线的准线方程

1. 标准方程及定义

双曲线的标准方程有两种形式：

焦点在\(x\)轴上的双曲线标准方程为\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)），其中\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)，双曲线的焦点坐标为\((\pm c,0)\)。

焦点在\(y\)轴上的双曲线标准方程为\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)），这里\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)，焦点坐标为\((0,\pm c)\)。

双曲线的定义是平面内与两个定点\(F_1,F_2\)（即焦点）的距离的差的绝对值是常数（小于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹。

2. 准线方程推导（焦点在\(x\)轴上的情况）

设双曲线上一点\(P(x,y)\)，根据双曲线的定义\(\vert\vert PF_1\vert-\vert PF_2\vert\vert = 2a\)（\(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\)）。

由两点间距离公式\(\vert PF_1\vert=\sqrt{(x + c)^{2}+y^{2}}\)，\(\vert PF_2\vert=\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}\)。

对于双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)，变形可得\(y^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}}(x^{2}-a^{2})\)。

根据双曲线的第二定义（平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比为常数\(e\)（\(e\gt1\)）的点的轨迹是双曲线），设准线方程为\(x=\pm\frac{a^{2}}{c}\)。

点\(P\)到准线\(x = \frac{a^{2}}{c}\)的距离\(d_1=\vert x-\frac{a^{2}}{c}\vert\)，点\(P\)到焦点\(F_2(c,0)\)的距离\(\vert PF_2\vert=\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}\)，离心率\(e=\frac{c}{a}\)，可以证明\(\frac{\vert PF_2\vert}{d_1}=e\)。同理对于准线\(x = -\frac{a^{2}}{c}\)也满足。

3. 准线方程（完整形式）

对于焦点在\(x\)轴上的双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)，准线方程为\(x=\pm\frac{a^{2}}{c}\)。

对于焦点在\(y\)轴上的双曲线\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)，准线方程为\(y=\pm\frac{a^{2}}{c}\)。

4. 应用示例

已知双曲线方程为\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)，求其准线方程。

首先，这里\(a^{2}=9\)，\(b^{2}=16\)，则\(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{9 + 16}=5\)。

因为焦点在\(x\)轴上，所以准线方程为\(x=\pm\frac{a^{2}}{c}=\pm\frac{9}{5}\)。

八、双曲线的渐近线方程

1. 渐近线的定义

渐近线是指当曲线上的一点沿着曲线无限远离原点时，该点与某条直线的距离趋近于零，这条直线就是曲线的渐近线。

2. 焦点在\(x\)轴上的双曲线渐近线方程推导

对于双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)），我们来分析它的渐近线。

当\(x\)的值趋近于正无穷或负无穷时，我们对双曲线方程进行变形：

由\(\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)可得\(y^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}}(x^{2}-a^{2})\)，进一步得到\(y = \pm\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}\)。

当\(x\to\pm\infty\)时，\(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\approx\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert\)，所以\(y\approx\pm\frac{b}{a}x\)。

因此，焦点在\(x\)轴上的双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)的渐近线方程是\(y = \pm\frac{b}{a}x\)。

3. 焦点在\(y\)轴上的双曲线渐近线方程推导

对于双曲线\(\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)），同样进行分析。

由\(\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)可得\(x^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}}(y^{2}-a^{2})\)，即\(x = \pm\frac{b}{a}\sqrt{y^{2}-a^{2}}\)。

当\(y\to\pm\infty\)时，\(\sqrt{y^{2}-a^{2}}\approx\sqrt{y^{2}}=\vert y\vert\)，所以\(x\approx\pm\frac{b}{a}y\)，变形可得\(y=\pm\frac{a}{b}x\)。

所以焦点在\(y\)轴上的双曲线\(\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)的渐近线方程是\(y = \pm\frac{a}{b}x\)。

4. 渐近线的性质和应用

渐近线能够帮助我们快速了解双曲线的大致形状。例如，当\(a = b\)时，焦点在\(x\)轴上的双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1\)（即等轴双曲线）的渐近线方程为\(y=\pm x\)，其形状关于直线\(y = \pm x\)对称。

在绘制双曲线图像时，渐近线可以作为参考线，先画出渐近线，再根据双曲线的性质和一些特殊点（如顶点等）来准确描绘双曲线的形状。

在解决一些极限问题或者分析双曲线函数的变化趋势时，渐近线也起着关键的作用。例如，通过渐近线可以分析双曲线函数在无穷远处的函数值变化情况。

九、双曲线的焦半径

1. 焦点在\(x\)轴上的双曲线焦半径公式推导及应用

公式推导：

设双曲线方程为\(\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a > 0,b > 0\)），其焦点为\(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\)，离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(e > 1\)）。

设点\(P(x,y)\)是双曲线上一点。

当点\(P\)在双曲线右支上时（\(x\geq a\)），根据双曲线的第二定义：平面内到一个定点\(F\)（焦点）和到一条定直线\(l\)（准线）的距离之比为常数\(e\)（\(e > 1\)）的点的轨迹叫做双曲线。对于右焦点\(F_2(c,0)\)，相应的右准线方程为\(x = \frac{a^{2}}{c}\)，点\(P\)到右焦点\(F_2\)的距离\(\vert PF_{2}\vert\)与点\(P\)到右准线的距离\(d = x - \frac{a^{2}}{c}\)之比为\(e\)，即\(\vert PF_{2}\vert = e(x - \frac{a^{2}}{c}) = ex - a\)。

同理，对于左焦点\(F_1(-c,0)\)，左准线方程为\(x = -\frac{a^{2}}{c}\)，点\(P\)到左焦点\(F_1\)的距离\(\vert PF_{1}\vert\)与点\(P\)到左准线的距离\(d = x + \frac{a^{2}}{c}\)之比为\(e\)，所以\(\vert PF_{1}\vert = e(x + \frac{a^{2}}{c}) = ex + a\)。

应用示例：

已知双曲线\(\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1\)，点\(P(5,y)\)在双曲线右支上，求\(\vert PF_{1}\vert\)和\(\vert PF_{2}\vert\)。

首先，由双曲线方程可得\(a = 3\)，\(b = 4\)，则\(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{9 + 16}=5\)，离心率\(e = \frac{c}{a}=\frac{5}{3}\)。

根据焦半径公式，\(\vert PF_{2}\vert = ex - a=\frac{5}{3}\times5 - 3=\frac{25 - 9}{3}=\frac{16}{3}\)，\(\vert PF_{1}\vert = ex + a=\frac{5}{3}\times5 + 3=\frac{25 + 9}{3}=\frac{34}{3}\)。

2. 焦点在\(y\)轴上的双曲线焦半径公式推导及应用

公式推导：

设双曲线方程为\(\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a > 0,b > 0\)），焦点为\(F_1(0,-c)\)，\(F_2(0,c)\)，离心率\(e = \frac{c}{a}\)（\(e > 1\)）。

设点\(P(x,y)\)是双曲线上一点。

当点\(P\)在双曲线的上支时（\(y\geq a\)），对于上焦点\(F_2(0,c)\)，相应的上准线方程为\(y = \frac{a^{2}}{c}\)，点\(P\)到上焦点\(F_2\)的距离\(\vert PF_{2}\vert\)与点\(P\)到上准线的距离\(d = y - \frac{a^{2}}{c}\)之比为\(e\)，即\(\vert PF_{2}\vert = e(y - \frac{a^{2}}{c}) = ey - a\)。

对于下焦点\(F_1(0,-c)\)，下准线方程为\(y = -\frac{a^{2}}{c}\)，点\(P\)到下焦点\(F_1\)的焦半径\(\vert PF_{1}\vert\)与点\(P\)到下准线的距离\(d = y + \frac{a^{2}}{c}\)之比为\(e\)，所以\(\vert PF_{1}\vert = e(y + \frac{a^{2}}{c}) = ey + a\)。

应用示例：

已知双曲线\(\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1\)，点\(P(x,5)\)在双曲线的上支，求\(\vert PF_{1}\vert\)和\(\vert PF_{2}\vert\)。

由双曲线方程可得\(a = 4\)，\(b = 3\)，则\(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{16 + 9}=5\)，离心率\(e = \frac{c}{a}=\frac{5}{4}\)。

根据焦半径公式，\(\vert PF_{2}\vert = ey - a=\frac{5}{4}\times5 - 4=\frac{25 - 16}{4}=\frac{9}{4}\)，\(\vert PF_{1}\vert = ey + a=\frac{5}{4}\times5 + 4=\frac{25 + 16}{4}=\frac{41}{4}\)。