导数 15 函数曲线的法线方程（切线的垂线）
1. 法线的定义
对于函数\(y = f(x)\)，在曲线上某点\((x_0,y_0)\)处的切线的垂线称为该点处的法线。
如果切线的斜率为\(k\)，那么法线的斜率为\(-\frac{1}{k}\)（前提是\(k\neq0\)）。
2. 求法线方程的步骤
首先求出函数\(y = f(x)\)在点\((x_0,y_0)\)处的导数\(f^{\prime}(x_0)\)，它就是切线的斜率\(k\)。
然后求出法线的斜率\(k_{法}=-\frac{1}{f^{\prime}(x_0)}\)（当\(f^{\prime}(x_0)\neq0\)时）。
最后利用点斜式\(y - y_0=k_{法}(x - x_0)\)来写出法线方程。
例1：求函数\(y = x^{2}\)在点\((1,1)\)处的法线方程。
先对\(y = x^{2}\)求导，根据求导公式\((x^{n})^\prime = nx^{n - 1}\)，可得\(y^\prime = 2x\)。
把\(x = 1\)代入导数\(y^\prime\)中，得到切线的斜率\(k = y^\prime|_{x = 1}=2\times1 = 2\)。
那么法线的斜率\(k_{法}=-\frac{1}{2}\)。
利用点斜式\(y - y_0 = k_{法}(x - x_0)\)，这里\(x_0 = 1,y_0 = 1,k_{法}=-\frac{1}{2}\)，所以法线方程为\(y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)\)，化简后得到\(y = -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\)。
例2：求函数\(y=\sin x\)在点\((\frac{\pi}{6},\frac{1}{2})\)处的法线方程。
对\(y=\sin x\)求导，\(y^\prime=\cos x\)。
把\(x = \frac{\pi}{6}\)代入\(y^\prime\)中，得到切线的斜率\(k = y^\prime|_{x=\frac{\pi}{6}}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。
法线的斜率\(k_{法}=-\frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\)。
利用点斜式\(y - y_0 = k_{法}(x - x_0)\)，这里\(x_0=\frac{\pi}{6},y_0 = \frac{1}{2},k_{法}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\)，法线方程为\(y - \frac{1}{2}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}(x - \frac{\pi}{6})\)，化简可得\(y = -\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{2}\)。
例3：求函数\(y=\frac{1}{x}\)在点\((2,\frac{1}{2})\)处的法线方程。
对\(y=\frac{1}{x}\)求导，根据求导公式\((\frac{1}{x})^\prime = -\frac{1}{x^{2}}\)，可得\(y^\prime = -\frac{1}{x^{2}}\)。
把\(x = 2\)代入\(y^\prime\)中，得到切线的斜率\(k = y^\prime|_{x = 2}=-\frac{1}{2^{2}}=-\frac{1}{4}\)。
法线的斜率\(k_{法}=4\)。
利用点斜式\(y - y_0 = k_{法}(x - x_0)\)，这里\(x_0 = 2,y_0=\frac{1}{2},k_{法}=4\)，法线方程为\(y - \frac{1}{2}=4(x - 2)\)，化简后得到\(y = 4x-\frac{15}{2}\)。
例4：求函数\(y = \ln x\)在点\((e,1)\)处的法线方程。
对\(y = \ln x\)求导，根据求导公式\((\ln x)^\prime=\frac{1}{x}\)，可得\(y^\prime=\frac{1}{x}\)。
把\(x = e\)代入\(y^\prime\)中，得到切线的斜率\(k = y^\prime|_{x = e}=\frac{1}{e}\)。
法线的斜率\(k_{法}=-e\)。
利用点斜式\(y - y_0 = k_{法}(x - x_0)\)，这里\(x_0 = e,y_0 = 1,k_{法}=-e\)，法线方程为\(y - 1=-e(x - e)\)，化简可得\(y=-ex + e^{2}+1\)。
例5：求函数\(y = e^{x}\)在点\((0,1)\)处的法线方程。
因为\((e^{x})^\prime = e^{x}\)，所以\(y^\prime = e^{x}\)。
把\(x = 0\)代入\(y^\prime\)中，得到切线的斜率\(k = y^\prime|_{x = 0}=e^{0} = 1\)。
法线的斜率\(k_{法}=-1\)。
利用点斜式\(y - y_0 = k_{法}(x - x_0)\)，这里\(x_0 = 0,y_0 = 1,k_{法}=-1\)，法线方程为\(y - 1=-1\times(x - 0)\)，即\(y=-x + 1\)。
