初中数学 11 一元三次方程、韦达定理
1. 一元三次方程的解法
卡尔丹公式法（针对特殊形式\(x^{3}+px + q = 0\)）
首先计算判别式\(\Delta = (\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}\)。
当\(\Delta>0\)时，方程有一个实根和一对共轭虚根。实根为\(x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}}\)。
当\(\Delta = 0\)时，方程有三个实根，其中一个是两重根。此时\(x_1 = 2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}\)，\(x_2 = x_3=-\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}\)。
当\(\Delta<0\)时，方程有三个不相等的实根，可通过三角函数来表示这些根。
盛金公式法（针对一般形式\(ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0\)）
首先计算判别式：\(A = b^{2}-3ac\)，\(B = bc - 9ad\)，\(C = c^{2}-3bd\)，\(\Delta = B^{2}-4AC\)。
当\(\Delta>0\)时，方程有一个实根和一对共轭虚根，可通过盛金公式计算实根\(x_1=\frac{-b - \sqrt[3]{Y_1}-\sqrt[3]{Y_2}}{3a}\)（其中\(Y_1\)和\(Y_2\)是根据\(A\)、\(B\)、\(C\)计算得到的复杂表达式）。
当\(\Delta = 0\)时，方程有三个实根，其中有一个两重根，具体公式为\(x_1 = \frac{-b}{3a}\)，\(x_2 = x_3=\frac{-b\pm\sqrt{B - \frac{8A^3}{27}}}{3a}\)（当\(B\neq\frac{8A^3}{27}\)时），当\(B = \frac{8A^3}{27}\)时，\(x_1 = x_2 = x_3=\frac{-b}{3a}\)。
当\(\Delta<0\)时，方程有三个不等实根，通过另外的盛金公式来计算。
因式分解法
尝试找出方程的一个根\(x = k\)，通常可以通过试根法，比如\(\pm1\)，\(\pm2\)等简单数字。
当找到一个根\(k\)后，利用多项式除法，将原三次方程\(ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0\)除以\((x - k)\)，得到一个二次方程\(mx^{2}+nx + p = 0\)。
然后通过求解二次方程来得到另外两个根，二次方程的求根公式为\(x=\frac{-n\pm\sqrt{n^{2}-4mp}}{2m}\)。
换元法（以\(ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0\)为例）
令\(x = y-\frac{b}{3a}\)，代入原方程，将其化为\(y^{3}+py + q = 0\)的形式，其中\(p\)和\(q\)是关于\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)的表达式。
然后按照针对特殊形式三次方程的方法来求解\(y\)，最后再将\(y\)的值代回\(x = y-\frac{b}{3a}\)求出\(x\)。
2. 一元三次方程的韦达定理
对于一元三次方程\(ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0\)（\(a\neq0\)），设其三个根为\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)。
则有\(x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3=\frac{c}{a}\)，\(x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}\)。
例如，对于方程\(x^{3}-6x^{2}+11x - 6 = 0\)，设其根为\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)，根据韦达定理可得\(x_1 + x_2 + x_3 = 6\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 11\)，\(x_1x_2x_3 = 6\)。通过试根法可以发现\(x = 1\)是方程的一个根，然后利用多项式除法将方程化为\((x - 1)(x^{2}-5x + 6)=0\)，进一步求解得到另外两个根\(x = 2\)和\(x = 3\)，可以验证这些根满足韦达定理。
应用
1. 一元三次方程求解（因式分解法）
例题1：解方程\(x^{3}-4x^{2}+x + 6 = 0\)。
首先尝试试根，当\(x = -1\)时，\((-1)^{3}-4\times(-1)^{2}+(-1)+6=-1 - 4 - 1+6 = 0\)，所以\(x = -1\)是方程的一个根。
然后利用多项式除法，将\(x^{3}-4x^{2}+x + 6\)除以\((x + 1)\)，得到\(x^{2}-5x + 6\)。
再解方程\(x^{2}-5x + 6 = 0\)，分解因式得\((x - 2)(x - 3)=0\)，解得\(x = 2\)或\(x = 3\)。
所以方程的根为\(x=-1\)，\(x = 2\)，\(x = 3\)。
2. 一元三次方程求解（卡尔丹公式法）
例题2：解方程\(x^{3}-3x - 2 = 0\)。
对于方程\(x^{3}-3x - 2 = 0\)，这里\(p=-3\)，\(q=-2\)。
计算判别式\(\Delta = (\frac{-2}{2})^{2}+(\frac{-3}{3})^{3}=1 - 1 = 0\)。
当\(\Delta = 0\)时，方程有三个实根，其中一个是两重根。此时\(x_1 = 2\sqrt[3]{-\frac{-2}{2}} = 2\)，\(x_2 = x_3=-\sqrt[3]{-\frac{-2}{2}}=-1\)。
3. 一元三次方程求解（盛金公式法）
例题3：解方程\(2x^{3}-4x^{2}-3x + 3 = 0\)。
首先计算判别式：\(a = 2\)，\(b=-4\)，\(c=-3\)，\(d = 3\)。
\(A=b^{2}-3ac=(-4)^{2}-3\times2\times(-3)=16 + 18 = 34\)。
\(B = bc - 9ad=(-4)\times(-3)-9\times2\times3=12 - 54=-42\)。
\(C=c^{2}-3bd=(-3)^{2}-3\times(-4)\times3=9 + 36 = 45\)。
\(\Delta = B^{2}-4AC=(-42)^{2}-4\times34\times45=1764 - 6120=-4356<0\)。
当\(\Delta<0\)时，利用盛金公式来计算三个不等实根（具体计算过程略，因为公式较复杂）。
4. 一元三次方程韦达定理（已知方程求根的关系）
例题4：已知方程\(x^{3}-6x^{2}+11x - 6 = 0\)，设其根为\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)，求\(x_1 + x_2 + x_3\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3\)，\(x_1x_2x_3\)的值。
根据韦达定理，对于方程\(ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0\)（\(a = 1\)，\(b=-6\)，\(c = 11\)，\(d=-6\)）。
\(x_1 + x_2 + x_3=-\frac{b}{a}=6\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3=\frac{c}{a}=11\)，\(x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}=6\)。
5. 一元三次方程韦达定理（已知根的关系求方程）
例题5：已知一元三次方程的三个根为\(1\)、\(2\)、\(-3\)，求这个方程。
根据韦达定理，\(x_1 + x_2 + x_3=1 + 2-3 = 0\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3=(1\times2)+(1\times(-3))+(2\times(-3))=-7\)，\(x_1x_2x_3=1\times2\times(-3)= - 6\)。
所以方程为\(x^{3}-0x^{2}-7x + 6 = 0\)，即\(x^{3}-7x + 6 = 0\)。
6. 换元法求解一元三次方程
例题6：解方程\(x^{3}+3x^{2}+3x - 1 = 0\)。
令\(x = y - \frac{3}{3}=y - 1\)，代入原方程得\((y - 1)^{3}+3(y - 1)^{2}+3(y - 1)-1 = 0\)。
展开并化简得\(y^{3}-3y^{2}+3y - 1+3(y^{2}-2y + 1)+3y - 3 - 1 = 0\)，即\(y^{3}-1 = 0\)。
解得\(y = 1\)，将\(y = 1\)代回\(x = y - 1\)，得\(x = 0\)。
7. 综合应用（方程与函数）
例题7：函数\(y = x^{3}-3x^{2}-9x + 5\)，求函数的零点。
令\(y = 0\)，即\(x^{3}-3x^{2}-9x + 5 = 0\)。
通过试根法，发现\(x = 5\)是一个根。
然后用多项式除法将\(x^{3}-3x^{2}-9x + 5\)除以\((x - 5)\)得到\(x^{2}+2x - 1\)。
再解方程\(x^{2}+2x - 1 = 0\)，根据求根公式\(x=\frac{-2\pm\sqrt{4 + 4}}{2}=-1\pm\sqrt{2}\)。
所以函数的零点为\(x = 5\)，\(x=-1+\sqrt{2}\)，\(x=-1-\sqrt{2}\)。
8. 综合应用（方程与几何）
例题8：已知一个长方体的体积是\(x^{3}-2x^{2}-15x\)，长是\(x\)，宽是\((x - 5)\)，求高。
设高为\(h\)，根据长方体体积公式\(V =长\times宽\times高\)，则\(x^{3}-2x^{2}-15x=x\times(x - 5)\times h\)。
化简得\(h=\frac{x^{3}-2x^{2}-15x}{x(x - 5)}=\frac{x(x^{2}-2x - 15)}{x(x - 5)}=\frac{(x - 5)(x + 3)}{(x - 5)}=x + 3\)，所以高为\(x + 3\)。
9. 一元三次方程在实际问题中的应用（物理）
例题9：在一个物理实验中，物体的位移\(s\)与时间\(t\)的关系满足方程\(s = t^{3}-6t^{2}+9t\)，求物体静止的时刻。
物体静止时速度为\(0\)，速度\(v = s^\prime\)（\(s^\prime\)是\(s\)对\(t\)的导数）。
对\(s = t^{3}-6t^{2}+9t\)求导得\(v = 3t^{2}-12t + 9\)。
令\(v = 0\)，即\(3t^{2}-12t + 9 = 0\)，化简为\(t^{2}-4t + 3 = 0\)，分解因式得\((t - 1)(t - 3)=0\)，解得\(t = 1\)或\(t = 3\)，所以物体在\(t = 1\)秒和\(t = 3\)秒时静止。
10. 一元三次方程在实际问题中的应用（经济）
例题10：某产品的利润\(P\)与产量\(x\)之间的关系为\(P = x^{3}-10x^{2}+33x - 36\)，求利润为\(0\)时的产量。
令\(P = 0\)，即\(x^{3}-10x^{2}+33x - 36 = 0\)。
通过试根法，发现\(x = 4\)是一个根。
用多项式除法将\(x^{3}-10x^{2}+33x - 36\)除以\((x - 4)\)得到\(x^{2}-6x + 9\)。
再解方程\(x^{2}-6x + 9 = 0\)，即\((x - 3)^{2}=0\)，解得\(x = 3\)或\(x = 4\)，所以当产量为\(3\)或\(4\)时利润为\(0\)。
