初中数学 30 平均数、中位数、方差、极差、标准差
平均数
定义：平均数是一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。它反映了这组数据的平均水平。
计算方法：若有\(n\)个数\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，则它们的平均数\(\bar{x}=\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\)。例如，对于数据\(2\)、\(4\)、\(6\)、\(8\)、\(10\)，其平均数为\(\bar{x}=\frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5}=\frac{30}{5}=6\)。
中位数
定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。中位数是将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”。
计算方法：例如，对于数据\(3\)、\(5\)、\(7\)、\(9\)、\(11\)，从小到大排列后为\(3\)、\(5\)、\(7\)、\(9\)、\(11\)，数据个数为\(5\)（奇数），所以中位数是\(7\)；对于数据\(2\)、\(4\)、\(6\)、\(8\)、\(10\)、\(12\)，从小到大排列为\(2\)、\(4\)、\(6\)、\(8\)、\(10\)、\(12\)，数据个数为\(6\)（偶数），则中位数是\(\frac{6 + 8}{2}=7\) 。
众数
定义：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。众数可以反映一组数据的集中趋势，一组数据可能有一个众数，也可能有多个众数，甚至没有众数。
举例：在数据\(1\)、\(2\)、\(2\)、\(3\)、\(3\)、\(3\)、\(4\)中，\(3\)出现的次数最多，所以众数是\(3\)；在数据\(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(5\)中，每个数都只出现一次，没有众数。
方差
定义：方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据的波动越大，稳定性越差；方差越小，表明数据越接近平均数，波动越小，稳定性越好。
计算方法：对于\(n\)个数\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，其方差\(s^2=\frac{1}{n}[(x_1 - \bar{x})^2+(x_2 - \bar{x})^2+\cdots+(x_n - \bar{x})^2]\)。例如，对于数据\(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(5\)，平均数\(\bar{x}=3\)，则方差\(s^2=\frac{1}{5}[(1 - 3)^2+(2 - 3)^2+(3 - 3)^2+(4 - 3)^2+(5 - 3)^2]=\frac{1}{5}(4 + 1 + 0 + 1 + 4)=2\)。
极差
定义：极差是一组数据中的最大值减去最小值所得的差。它反映了一组数据的变化范围。
计算方法：极差 = 最大值 - 最小值。例如，对于数据\(10\)、\(15\)、\(20\)、\(25\)、\(30\)，最大值是\(30\)，最小值是\(10\)，则极差为\(30 - 10 = 20\)。
标准差
定义：标准差是方差的算术平方根。它和方差一样，也是衡量数据离散程度的统计量，但标准差的单位与原数据的单位相同，在实际应用中更便于理解和比较数据的离散程度。
计算方法：标准差\(s=\sqrt{s^2}\)。例如，对于上述方差为\(2\)的数据，其标准差\(s=\sqrt{2}\approx1.414\) 。
这些统计量从不同角度描述了一组数据的特征，在数据分析、统计推断等方面都有重要的应用。例如，在比较不同班级学生的成绩时，可以通过平均数、中位数、众数了解成绩的平均水平和集中趋势，通过方差、极差、标准差了解成绩的离散程度，从而更全面地评价教学效果和学生的学习情况。
