一、相反数的定义

相反数是指绝对值相等，正负号相反的两个数。例如，\(5\)和\(-5\)互为相反数，\(\frac{2}{3}\)和\(-\frac{2}{3}\)互为相反数。规定\(0\)的相反数是\(0\)。从数轴的角度看，互为相反数的两个数位于原点两侧，且到原点的距离相等。比如，在数轴上\(3\)对应的点在原点右侧\(3\)个单位长度处，\(-3\)对应的点在原点左侧\(3\)个单位长度处。

二、相反数的性质

代数性质：设\(a\)为一个数，它的相反数记为\(-a\)，则\(a+(-a)=0\)。例如，\(7+(-7) = 0\)。这体现了相反数的和为\(0\)的特性，是相反数最重要的代数性质，可用于简化计算和方程求解。比如，在解方程\(x + 3 = 0\)时，我们可以将\(3\)移项得到\(x=-3\)，这里\(-3\)就是\(3\)的相反数。

几何性质：在数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称。这种对称性质有助于直观地理解数的分布。例如，\(-2\)和\(2\)关于原点对称，它们到原点的距离都是\(2\)个单位长度。

三、相反数的运算规则

多重符号化简：当一个数前面有多个符号时，根据“负负得正”的原则化简。例如，\(-(-3)=3\)，\(+(-2)= - 2\)。可以这样理解，\(-(-3)\)表示\(-3\)的相反数，所以是\(3\)；\(+(-2)\)表示取\(-2\)这个数，所以结果是\(-2\)。

在加减法中的应用：在进行加减法运算时，减去一个数等于加上它的相反数。例如，\(5-3\)可以看成\(5+(-3)\)，这是加减法运算的一个重要转换规则，能统一加法和减法运算，方便计算。在有理数的混合运算中，这种转换尤为重要，如计算\(4 - 7+3\)，可以写成\(4+(-7)+3\)，先将减法转化为加法，再按照加法法则进行计算。

四、相反数在实际问题中的应用

温度变化问题：例如，以\(0^{\circ}C\)为基准，温度上升\(5^{\circ}C\)记为\(+5^{\circ}C\)，那么温度下降\(5^{\circ}C\)就记为\(-5^{\circ}C\)，\(+5^{\circ}C\)和\(-5^{\circ}C\)互为相反数，体现了相反意义的量在实际生活中的记录方式。

财务收支问题：在财务中，收入用正数表示，支出用负数表示。如果收入\(100\)元记为\(+100\)元，那么支出\(100\)元就记为\(-100\)元，\(+100\)元和\(-100\)元互为相反数，这种表示方法可以清晰地记录财务的收支情况和余额变化。

1. 化简类

例题1：化简\(-\left[+\left(-\vert -3\vert\right)\right]\)

解答：先计算绝对值，\(\vert -3\vert = 3\)，式子变为\(-\left[+\left(-3\right)\right]\)，去括号得\(-\left(-3\right)=3\)。

例题2：化简\(\vert -(-a)\vert\)，其中\(a < 0\)

解答：因为\(a < 0\)，\(-a > 0\)，所以\(\vert -(-a)\vert=\vert a\vert=-a\)。

例题3：化简\(-\vert -x + 2\vert\)，当\(x = 3\)时

解答：当\(x = 3\)时，\(-x + 2=-3 + 2=-1\)，所以\(-\vert -x + 2\vert=-\vert -1\vert=-1\)。

2. 方程类

例题4：已知\(\vert 2x - 1\vert = 3\)，求\(x\)的值

解答：根据绝对值的性质，当\(2x - 1 = 3\)时，\(2x = 4\)，解得\(x = 2\)；当\(2x - 1=-3\)时，\(2x=-2\)，解得\(x=-1\)。

例题5：解方程\(\vert x + 3\vert+\vert x - 1\vert = 6\)

解答：当\(x \geq 1\)时，方程变为\((x + 3)+(x - 1)=6\)，即\(2x + 2 = 6\)，解得\(x = 2\)；当\(-3 < x < 1\)时，方程变为\((x + 3)-(x - 1)=6\)，化简得\(4 = 6\)，无解；当\(x \leq -3\)时，方程变为\(-(x + 3)-(x - 1)=6\)，即\(-2x - 2 = 6\)，解得\(x=-4\)。所以\(x = 2\)或\(x=-4\)。

例题6：若\(\vert 3x - 2y\vert\)与\(\vert x + 2y - 8\vert\)互为相反数，求\(x\)和\(y\)的值

解答：因为互为相反数的两数和为\(0\)，所以\(\vert 3x - 2y\vert+\vert x + 2y - 8\vert = 0\)。又因为绝对值是非负的，所以\(\begin{cases}3x - 2y = 0 \\ x + 2y - 8 = 0\end{cases}\)，将两式相加得\(4x - 8 = 0\)，解得\(x = 2\)，把\(x = 2\)代入\(3x - 2y = 0\)得\(6 - 2y = 0\)，解得\(y = 3\)。

3. 比较大小类

例题7：比较\(-\vert -3.14\vert\)和\(-\left(-\pi\right)\)的大小

解答：先化简，\(-\vert -3.14\vert=-3.14\)，\(-\left(-\pi\right)=\pi\approx3.14159\)，因为\(-3.14 < 3.14159\)，所以\(-\vert -3.14\vert<-\left(-\pi\right)\)。

例题8：已知\(a < 0\)，\(b > 0\)，且\(\vert a\vert > \vert b\vert\)，比较\(a\)，\(-a\)，\(b\)，\(-b\)的大小

解答：因为\(a < 0\)，所以\(-a > 0\)；又因为\(b > 0\)，所以\(-b < 0\)。且\(\vert a\vert > \vert b\vert\)，所以\(a < -b < 0 < b < -a\)。

例题9：比较\(\vert a - b\vert\)和\(\vert a\vert-\vert b\vert\)的大小（\(a\neq b\)）

解答：当\(a\)和\(b\)异号时，不妨设\(a > 0\)，\(b < 0\)，\(\vert a - b\vert=a - b\)，\(\vert a\vert-\vert b\vert=a +\vert b\vert\)，显然\(a - b > a+\vert b\vert\)，即\(\vert a - b\vert > \vert a\vert-\vert b\vert\)；当\(a\)和\(b\)同号且\(\vert a\vert > \vert b\vert\)时，不妨设\(a > b > 0\)，\(\vert a - b\vert=a - b\)，\(\vert a\vert-\vert b\vert=a - b\)，此时\(\vert a - b\vert=\vert a\vert-\vert b\vert\)。

4. 求值类

例题10：已知\(a\)和\(b\)互为相反数，\(c\)和\(d\)互为倒数，\(m\)的绝对值是\(3\)，求\(\frac{a + b}{m}+m^{2}-cd\)的值

解答：因为\(a\)和\(b\)互为相反数，所以\(a + b = 0\)；\(c\)和\(d\)互为倒数，所以\(cd = 1\)；\(\vert m\vert = 3\)，则\(m^{2}=9\)。所以原式\(=\frac{0}{m}+9 - 1 = 8\)。

例题11：若\(\vert x - 2\vert\)与\((y + 3)^{2}\)互为相反数，求\(x + y\)的值

解答：因为互为相反数的两数和为\(0\)，所以\(\vert x - 2\vert+(y + 3)^{2}=0\)。又因为绝对值和平方数都是非负的，所以\(x - 2 = 0\)，解得\(x = 2\)；\(y + 3 = 0\)，解得\(y=-3\)。则\(x + y = 2+(-3)=-1\)。

例题12：已知\(a = -(-2)\)，\(b\)是\(a\)的相反数，\(c\)是\(b\)的绝对值，求\(a + b + c\)的值

解答：\(a = -(-2)=2\)，\(b\)是\(a\)的相反数，所以\(b=-2\)，\(c\)是\(b\)的绝对值，所以\(c=\vert -2\vert = 2\)。则\(a + b + c = 2+(-2)+2 = 2\)。

5. 函数类

例题13：已知函数\(y=\vert x + 1\vert - \vert x - 1\vert\)，当\(x = 2\)时，求\(y\)的值

解答：当\(x = 2\)时，\(y=\vert 2 + 1\vert - \vert 2 - 1\vert=\vert 3\vert - \vert 1\vert = 3 - 1 = 2\)。

例题14：对于函数\(y=\vert x - a\vert\)，当\(a = 3\)时，求当\(x\)在区间\([1,5]\)时\(y\)的最大值和最小值

解答：当\(a = 3\)时，\(y=\vert x - 3\vert\)。当\(x = 3\)时，\(y\)取得最小值\(0\)；当\(x = 1\)或\(x = 5\)时，\(y=\vert 1 - 3\vert=\vert -2\vert = 2\)或\(y=\vert 5 - 3\vert = 2\)，所以\(y\)的最大值是\(2\)。

例题15：已知函数\(y = k\vert x\vert\)（\(k\neq0\)），当\(x = -2\)时，\(y = 6\)，求\(k\)的值

解答：把\(x = -2\)，\(y = 6\)代入函数\(y = k\vert x\vert\)得\(6 = k\vert -2\vert\)，即\(6 = 2k\)，解得\(k = 3\)。

6. 几何类

例题16：在数轴上，点\(A\)表示的数为\(a\)，点\(B\)表示的数为\(b\)，\(\vert a - b\vert = 5\)，若\(a = -1\)，求\(b\)的值

解答：因为\(\vert a - b\vert = 5\)，\(a = -1\)，所以\(\vert -1 - b\vert = 5\)。当\(-1 - b = 5\)时，\(b=-6\)；当\(-1 - b=-5\)时，\(b = 4\)。

例题17：在数轴上，点\(P\)到原点的距离为\(\vert x\vert\)，已知\(\vert x\vert = 3\)，且点\(P\)在原点左侧，求点\(P\)表示的数

解答：因为点\(P\)在原点左侧且\(\vert x\vert = 3\)，所以点\(P\)表示的数是\(-3\)。

例题18：已知数轴上有\(A\)、\(B\)两点，\(A\)表示的数为\(a\)，\(B\)表示的数为\(b\)，\(\vert a\vert = 3\)，\(\vert b\vert = 5\)，且\(A\)、\(B\)两点在原点两侧，求\(a - b\)的值

解答：因为\(\vert a\vert = 3\)，所以\(a=\pm3\)；因为\(\vert b\vert = 5\)，所以\(b=\pm5\)。又因为\(A\)、\(B\)两点在原点两侧，当\(a = 3\)时，\(b=-5\)，\(a - b = 3-(-5)=8\)；当\(a=-3\)时，\(b = 5\)，\(a - b=-3 - 5=-8\)。

7. 不等式类

例题19：解不等式\(\vert 2x + 1\vert < 3\)

解答：当\(2x + 1 \geq 0\)即\(x \geq -\frac{1}{2}\)时，不等式变为\(2x + 1 < 3\)，解得\(x < 1\)，所以\(-\frac{1}{2} \leq x < 1\)；当\(2x + 1 < 0\)即\(x < -\frac{1}{2}\)时，不等式变为\(-(2x + 1) < 3\)，即\(2x + 1 > -3\)，解得\(x > -2\)，所以\(-2 < x < -\frac{1}{2}\)。综上，不等式的解集为\(-2 < x < 1\)。

例题20：已知不等式\(\vert x - a\vert \leq b\)（\(b > 0\)）的解集为\([-1,3]\)，求\(a\)和\(b\)的值

解答：当\(x - a \geq 0\)即\(x \geq a\)时，不等式变为\(x - a \leq b\)，解得\(x \leq a + b\)；当\(x - a < 0\)即\(x < a\)时，不等式变为\(-(x - a) \leq b\)，即\(x \geq a - b\)。所以不等式的解集为\([a - b,a + b]\)，又因为解集为\([-1,3]\)，所以\(\begin{cases}a - b=-1 \\ a + b = 3\end{cases}\)，两式相加得\(2a = 2\)，解得\(a = 1\)，把\(a = 1\)代入\(a - b=-1\)得\(1 - b=-1\)，解得\(b = 2\)。

数学基础 - 中初数学、高中数学