初中数学 05 整式：整式的除法
一、单项式除以单项式
法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
举例：计算\(24x^3y^2\div 6xy\)。
系数相除：\(24\div6 = 4\)。
同底数幂分别相除：\(x^3\div x = x^{3 - 1}=x^2\)，\(y^2\div y = y^{2 - 1}=y\)。
所以，\(24x^3y^2\div 6xy = 4x^2y\)。
应用场景：在物理中，当计算速度（\(v = s/t\)）、密度（\(\rho=m/V\)）等物理量的变化时，如果这些量用单项式表示，可能会用到单项式除法。例如，已知路程\(s = 12x^2y\)米，时间\(t = 3xy\)秒，那么速度\(v = s/t=(12x^2y)\div(3xy) = 4x\)米/秒。
二、多项式除以单项式
法则：多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
举例：计算\((12x^3 - 8x^2 + 4x)\div 4x\)。
分别用多项式的每一项除以单项式：\(12x^3\div 4x = 3x^2\)，\(-8x^2\div 4x=-2x\)，\(4x\div 4x = 1\)。
再把商相加：\((12x^3 - 8x^2 + 4x)\div 4x = 3x^2 - 2x + 1\)。
应用场景：在计算平均成本等实际问题中有应用。例如，生产\(x\)件产品的总成本\(C = 3x^3 - 2x^2 + x\)元，那么单位产品成本（即平均成本）\(c = C/x=(3x^3 - 2x^2 + x)\div x = 3x^2 - 2x + 1\)元/件。
三、多项式除以多项式（长除法）
方法介绍：和整数的除法类似，把被除式、除式按某个字母作降幂排列，然后用竖式进行计算。
举例：计算\((x^2 + 3x + 2)\div(x + 1)\)。
首先，将被除数\(x^2 + 3x + 2\)和除数\(x + 1\)按\(x\)的降幂排列。
用\(x^2\)除以\(x\)得\(x\)，将\(x\)写在商的位置上，然后\((x + 1)\times x = x^2 + x\)，用被除数\((x^2 + 3x + 2)\)减去\((x^2 + x)\)得\(2x + 2\)。
再用\(2x\)除以\(x\)得\(2\)，将\(2\)写在商的位置上，\((x + 1)\times2 = 2x + 2\)，相减得\(0\)，所以商为\(x + 2\)。
应用场景：在因式分解、化简代数式以及求函数的零点等方面有应用。例如，在判断一个多项式是否能被另一个多项式整除，或者将一个多项式分解为两个多项式之积（通过已知一个因式，用除法求另一个因式）时会用到多项式除法。
