解析几何 12 直线和圆的方程
直线的方程
直线的倾斜角与斜率：
倾斜角：当直线\(l\)与\(x\)轴相交时，取\(x\)轴作为基准，\(x\)轴正向与直线\(l\)向上方向之间所成的角\(\alpha\)叫做直线\(l\)的倾斜角。倾斜角的取值范围是\([0, \pi)\)。
斜率：一条直线的倾斜角\(\alpha\)（\(\alpha\neq\frac{\pi}{2}\)）的正切值叫做这条直线的斜率，常用\(k\)表示，即\(k = \tan\alpha\)。经过两点\(P_1(x_1, y_1)\)，\(P_2(x_2, y_2)\)（\(x_1\neq x_2\)）的直线的斜率公式为\(k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)。
直线方程的几种形式：
点斜式：已知直线上一点\(P(x_0, y_0)\)并且存在直线的斜率\(k\)，则直线可表示为\(y - y_0 = k(x - x_0)\)。
斜截式：直线的斜率为\(k\)，且与\(y\)轴的交点为\((0, b)\)，则直线方程为\(y = kx + b\)，其中\(b\)为直线在\(y\)轴上的截距。
两点式：已知直线上两点\(P_1(x_1, y_1)\)，\(P_2(x_2, y_2)\)（\(x_1\neq x_2\)，\(y_1\neq y_2\)），则直线方程为\(\frac{y - y_1}{y_2 - y_1}=\frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\)。
截距式：直线在\(x\)轴、\(y\)轴上的截距分别为\(a\)、\(b\)（\(a\neq0\)，\(b\neq0\)），则直线方程为\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)。
一般式：任何直线都可以写成\(Ax + By + C = 0\)（\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)）的形式，称为直线的一般式方程。
直线的位置关系
平行：两条不重合的直线\(l_1\)：\(y = k_1x + b_1\)，\(l_2\)：\(y = k_2x + b_2\)，当\(k_1 = k_2\)且\(b_1\neq b_2\)时，\(l_1\parallel l_2\)；对于直线\(l_1\)：\(A_1x + B_1y + C_1 = 0\)，\(l_2\)：\(A_2x + B_2y + C_2 = 0\)，当\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)时，\(l_1\parallel l_2\)。
垂直：两条直线\(l_1\)：\(y = k_1x + b_1\)，\(l_2\)：\(y = k_2x + b_2\)，当\(k_1k_2=-1\)时，\(l_1\perp l_2\)；对于直线\(l_1\)：\(A_1x + B_1y + C_1 = 0\)，\(l_2\)：\(A_2x + B_2y + C_2 = 0\)，当\(A_1A_2 + B_1B_2 = 0\)时，\(l_1\perp l_2\)。
圆的方程
圆的标准方程：圆心为\(C(a, b)\)，半径为\(r\)的圆的标准方程为\((x - a)^2+(y - b)^2 = r^2\)。例如，圆心为\((2, -3)\)，半径为\(4\)的圆的方程为\((x - 2)^2+(y + 3)^2 = 16\)。
圆的一般方程：方程\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)（\(D^2 + E^2 - 4F>0\)）表示圆，其圆心为\((-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})\)，半径为\(r=\frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}\)。
直线与圆的位置关系
判断方法：设直线\(l\)：\(Ax + By + C = 0\)，圆\(C\)：\((x - a)^2+(y - b)^2 = r^2\)，圆心\((a, b)\)到直线\(l\)的距离为\(d=\frac{\vert Aa + Bb + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)。
当\(d>r\)时，直线\(l\)与圆\(C\)相离；
当\(d = r\)时，直线\(l\)与圆\(C\)相切；
当\(d<r\)时，直线\(l\)与圆\(C\)相交。
直线与圆相交的弦长问题：设直线与圆相交于\(A\)、\(B\)两点，弦长\(\vert AB\vert = 2\sqrt{r^2 - d^2}\)。
圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为\(d\)，两圆半径分别为\(r_1\)、\(r_2\)（\(r_1\neq r_2\)）。
两圆相外离\(\Leftrightarrow d>r_1 + r_2\)；
两圆外切\(\Leftrightarrow d = r_1 + r_2\)；
两圆相交\(\Leftrightarrow\vert r_1 - r_2\vert<d<r_1 + r_2\)；
两圆内切\(\Leftrightarrow d=\vert r_1 - r_2\vert\)；
两圆内含\(\Leftrightarrow d<\vert r_1 - r_2\vert\)。
直线和圆的方程在解析几何中具有重要地位，它为解决几何问题提供了代数化的方法，在实际生活中也有广泛的应用，如建筑设计、机械制造等领域中涉及到的图形问题等。
