初中数学 26 锐角三角函数：正弦、余弦、正切
正弦函数（sin）
定义：在直角三角形中，一个锐角\(A\)的正弦是它的对边与斜边的比值，记作\(\sin A\)。即\(\sin A=\frac{对边}{斜边}\)。例如，在直角三角形\(ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(\angle A\)的对边是\(BC\)，斜边是\(AB\)，那么\(\sin A=\frac{BC}{AB}\)。
特殊角的正弦值：
\(\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)
\(\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
余弦函数（cos）
定义：在直角三角形中，一个锐角\(A\)的余弦是它的邻边与斜边的比值，记作\(\cos A\)。即\(\cos A=\frac{邻边}{斜边}\)。在直角三角形\(ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(\angle A\)的邻边是\(AC\)，斜边是\(AB\)，则\(\cos A=\frac{AC}{AB}\)。
特殊角的余弦值：
\(\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}\)
正切函数（tan）
定义：在直角三角形中，一个锐角\(A\)的正切是它的对边与邻边的比值，记作\(\tan A\)。即\(\tan A=\frac{对边}{邻边}\)。在直角三角形\(ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(\angle A\)的对边是\(BC\)，邻边是\(AC\)，所以\(\tan A=\frac{BC}{AC}\)。
特殊角的正切值：
\(\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\tan45^{\circ}=1\)
\(\tan60^{\circ}=\sqrt{3}\)
锐角三角函数之间的关系
平方关系：\(\sin^{2}A+\cos^{2}A = 1\)。这个关系可以通过勾股定理推导得出，在直角三角形中，根据勾股定理\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)（其中\(a\)、\(b\)为直角边，\(c\)为斜边），将\(\sin A=\frac{a}{c}\)，\(\cos A=\frac{b}{c}\)代入可得\(\sin^{2}A+\cos^{2}A = (\frac{a}{c})^{2}+(\frac{b}{c})^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=1\)。
商数关系：\(\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}\)。由正弦和余弦的定义可知\(\tan A=\frac{对边}{邻边}=\frac{\frac{对边}{斜边}}{\frac{邻边}{斜边}}=\frac{\sin A}{\cos A}\)。
锐角三角函数的应用
解直角三角形：已知直角三角形的一些边和角的信息，利用锐角三角函数可以求出其他未知的边和角。例如，已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，可通过正弦、余弦或正切函数求出另一条直角边和斜边的长度。
实际问题中的应用：锐角三角函数在测量物体的高度、距离等实际问题中有着广泛的应用。如测量建筑物的高度，可通过测量在地面上某点到建筑物底部的距离以及在该点观测建筑物顶部的仰角，利用正切函数求出建筑物的高度。
锐角三角函数是初中数学中重要的知识点，它将直角三角形的边与角建立了联系，为解决几何问题和实际问题提供了有力的工具。
