∏ - 连乘符号（大写派）的性质
1. 乘法交换律性质
对于连乘符号\(\prod_{i = 1}^{n}a_{i}\)，如果\(\{a_i\}\)是一个数列，交换其中因子的顺序，连乘的结果不变。即
\(\prod_{i = 1}^{n}a_{i}=\prod_{j = 1}^{n}a_{\sigma(j)}\)，其中\(\sigma\)是\(\{1,2,\cdots,n\}\)的一个排列。
例如，对于\(a_1 = 2\)，\(a_2 = 3\)，\(a_3 = 4\)，\(\prod_{i = 1}^{3}a_{i}=2\times3\times4 = 24\)。
如果交换顺序，比如按照\(a_2,a_3,a_1\)的顺序，即\(a_{\sigma(1)} = 3\)，\(a_{\sigma(2)} = 4\)，\(a_{\sigma(3)} = 2\)，
\(\prod_{j = 1}^{3}a_{\sigma(j)}=3\times4\times2 = 24\)。
2. 乘法结合律性质
对于连乘符号\(\prod_{i = 1}^{n}a_{i}\)，可以将相邻的因子结合起来进行计算，结果不变。
例如，\(\prod_{i = 1}^{n}a_{i}=\left(\prod_{i = 1}^{k}a_{i}\right)\left(\prod_{i = k + 1}^{n}a_{i}\right)\)，其中\(1\leq k < n\)。
例如，对于\(a_1 = 2\)，\(a_2 = 3\)，\(a_3 = 4\)，\(a_4 = 5\)，\(\prod_{i = 1}^{4}a_{i}=2\times3\times4\times5 = 120\)。
如果令\(k = 2\)，\(\left(\prod_{i = 1}^{2}a_{i}\right)\left(\prod_{i = 3}^{4}a_{i}\right)=(2\times3)\times(4\times5)=6\times20 = 120\)。
3. 分配律性质（与常数相乘）
对于常数\(c\)和数列\(\{a_i\}\)，\(c\prod_{i = 1}^{n}a_{i}=\prod_{i = 1}^{n}(ca_{i})\)。
例如，对于\(a_1 = 2\)，\(a_2 = 3\)，\(c = 4\)，\(c\prod_{i = 1}^{2}a_{i}=4\times(2\times3)=4\times6 = 24\)，
\(\prod_{i = 1}^{2}(ca_{i})=(4\times2)\times(4\times3)=8\times12 = 24\)。
4. 连乘指标的变换性质
平移性质：设\(k\)为常数，\(\prod_{i = m}^{n}a_{i}=\prod_{j=m + k}^{n + k}a_{j - k}\)。
例如，对于\(a_i = i\)，\(m = 1\)，\(n = 3\)，\(k = 1\)，\(\prod_{i = 1}^{3}a_{i}=1\times2\times3 = 6\)，\(\prod_{j = 2}^{4}a_{j - 1}\)，当\(j = 2\)时，\(a_{j - 1}=a_1 = 1\)；当\(j = 3\)时，\(a_{j - 1}=a_2 = 2\)；当\(j = 4\)时，\(a_{j - 1}=a_3 = 3\)，所以\(\prod_{j = 2}^{4}a_{j - 1}=1\times2\times3 = 6\)。
换元性质（重命名性质）：若\(j = f(i)\)是一个一一对应的映射（双射），那么
\(\prod_{i = m}^{n}a_{i}=\prod_{j = f(m)}^{f(n)}a_{f^{-1}(j)}\)（这里\(f^{-1}\)是\(f\)的反函数）。
例如，设\(a_i = i\)，\(m = 1\)，\(n = 3\)，令\(j = i+1\)，则\(i = j - 1\)，\(\prod_{i = 1}^{3}a_{i}=1\times2\times3 = 6\)，\(\prod_{j = 2}^{4}a_{j - 1}\)，
当\(j = 2\)时，\(a_{j - 1}=a_1 = 1\)；
当\(j = 3\)时，\(a_{j - 1}=a_2 = 2\)；
当\(j = 4\)时，\(a_{j - 1}=a_3 = 3\)，所以\(\prod_{j = 2}^{4}a_{j - 1}=1\times2\times3 = 6\)。
5. 拆分与合并区间性质
拆分性质：对于整数\(m\)，\(n\)，\(p\)（\(m\leq n\leq p\)），\(\prod_{i = m}^{p}a_{i}=\left(\prod_{i = m}^{n}a_{i}\right)\left(\prod_{i = n + 1}^{p}a_{i}\right)\)。
例如，对于\(a_1 = 2\)，\(a_2 = 3\)，\(a_3 = 4\)，\(a_4 = 5\)，\(\prod_{i = 1}^{4}a_{i}=2\times3\times4\times5 = 120\)。
如果令\(n = 2\)，\(\left(\prod_{i = 1}^{2}a_{i}\right)\left(\prod_{i = 3}^{4}a_{i}\right)=(2\times3)\times(4\times5)=6\times20 = 120\)。
合并性质（相反过程）：如果有\(\prod_{i = m}^{n}a_{i}\)和\(\prod_{i = n + 1}^{p}a_{i}\)，可以合并为\(\prod_{i = m}^{p}a_{i}\)，前提是区间是连续的。
