初中数学 04 代数式
一、代数式的定义
代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。
例如，\(3x + 2y\)、\(\frac{a - b}{c}\)、\(m^{2}-n^{2}\)、\(\sqrt{a}\)（\(a\geqslant0\)）等都是代数式。
单独的一个数或者一个字母也称为代数式，比如\(5\)、\(a\)。
二、代数式的分类：整式、分式、根式
1、整式：
（1）单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
例如，\(3x\)、\(-5\)、\(y\)都是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如在单项式\(3x^{2}y\)中，系数是\(3\)，次数是\(2 + 1 = 3\)。
（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。
例如，\(2x^{2}+3x - 1\)是多项式，它由单项式\(2x^{2}\)、\(3x\)、\(-1\)组成。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。如多项式\(x^{3}-2x^{2}+5\)的次数是\(3\)，常数项是\(5\)。
2、分式：
用\(A\)、\(B\)表示两个整式，\(A\div B\)就可以表示成\(\frac{A}{B}\)的形式，如果\(B\)中含有字母，式子\(\frac{A}{B}\)就叫做分式。
例如，\(\frac{x + 1}{x - 1}\)、\(\frac{2}{x}\)都是分式。分式的分母不能为\(0\)，否则分式无意义。
3、根式：
一般地，形如\(\sqrt{a}(a\geqslant0)\)的代数式叫做二次根式。当\(n\)为大于\(1\)的整数时，\(n\)次根式表示为\(\sqrt[n]{a}\)。
例如，\(\sqrt{2}\)是二次根式，\(\sqrt[3]{8}\)是三次根式。
根式的被开方数须满足一定条件，对于二次根式\(\sqrt{a}\)，\(a\geqslant0\)；对于奇数次根式，\(a\)可以为任意实数。
三、代数式的运算
整式运算
加法和减法：整式的加减法实质是合并同类项。同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
例如，在\(3x^{2}+2x^{2}-5x\)中，\(3x^{2}\)和\(2x^{2}\)是同类项，可以合并为\((3 + 2)x^{2}=5x^{2}\)，所以\(3x^{2}+2x^{2}-5x = 5x^{2}-5x\)。
乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如，\(3x\cdot2y = 6xy\)。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，如\(a(b + c)=ab + ac\)。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，如\((a + b)(c + d)=ac + ad+bc + bd\)。
除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
例如，\(6x^{3}y\div2xy = 3x^{2}\)。多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，如\((9x^{2}-6x)\div3x = 3x - 2\)。
分式运算
加法和减法：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。例如，\(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a + c}{b}\)。异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减。如\(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad + bc}{bd}\)。
乘法和除法：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。例如，\(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，如\(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\)。
根式运算
加法和减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。例如，\(\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)。
乘法和除法：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。例如，\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geqslant0,b\geqslant0)\)。二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。如\(\sqrt{a}\div\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geqslant0,b>0)\)。
四、代数式的应用
列代数式解决实际问题：在实际生活中，很多问题可以用代数式来表示。
例如，若苹果的单价为\(a\)元/千克，香蕉的单价为\(b\)元/千克，购买\(3\)千克苹果和\(2\)千克香蕉的总价可以用代数式\(3a + 2b\)来表示。
在几何问题中的应用：在几何图形的面积、体积等计算中也经常用到代数式。
例如，一个长方形的长为\(a\)，宽为\(b\)，其面积\(S = ab\)；一个正方体的棱长为\(a\)，其体积\(V=a^{3}\)。代数式可以帮助我们方便地表示几何量之间的关系，并且通过运算求解相关问题。
在函数中的应用：函数表达式本身就是代数式。
例如，一次函数\(y = kx + b\)（\(k\)、\(b\)为常数，\(k\neq0\)），二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)为常数，\(a\neq0\)）等，通过对代数式的研究可以分析函数的性质，如单调性、最值等。
五、数论
1. 整除性问题
例1：证明对于任意整数\(n\)，代数式\(n^2 - n\)能被\(2\)整除。
分析：将\(n^2 - n\)分解为\(n(n - 1)\)，因为\(n\)和\(n - 1\)是两个连续的整数，所以它们中必有一个是偶数，能被\(2\)整除，那么\(n(n - 1)\)也能被\(2\)整除。
例2：若\(a = 3k + 1\)，\(b = 3m + 2\)（\(k,m\)为整数），判断代数式\(a + b\)能否被\(3\)整除。
分析：将\(a + b\)表示为\((3k + 1)+(3m + 2)=3(k + m + 1)\)，显然可以被\(3\)整除。
例3：证明对于任意整数\(n\)，代数式\(n^3 - n\)能被\(6\)整除。
分析：\(n^3 - n=n(n - 1)(n + 1)\)，这是三个连续整数的乘积。三个连续整数中一定有一个能被\(3\)整除，一个能被\(2\)整除，所以它们的乘积能被\(6\)整除。
2. 同余问题
例4：求代数式\(3x + 5\)除以\(7\)的余数，其中\(x = 4k + 3\)（\(k\)为整数）。
分析：将\(x = 4k + 3\)代入\(3x + 5\)得\(3(4k + 3)+5 = 12k+9 + 5=12k + 14\)，\(12k + 14\)除以\(7\)的余数为\(0\)，因为\(12k\)能被\(4\)整除，\(14\)能被\(7\)整除。
例5：已知\(a\equiv 2\pmod{5}\)，\(b\equiv 3\pmod{5}\)，求\((2a - 3b)\)对\(5\)取模的结果。
分析：因为\(a\equiv 2\pmod{5}\)，所以\(2a\equiv 4\pmod{5}\)；又因为\(b\equiv 3\pmod{5}\)，所以\(3b\equiv 9\equiv 4\pmod{5}\)，那么\(2a-3b\equiv 4 - 4\equiv 0\pmod{5}\)。
例6：对于代数式\(7n + 4\)，\(n\in Z\)，求其除以\(3\)的所有可能余数。
分析：将\(n\)分为\(3k\)、\(3k + 1\)、\(3k + 2\)（\(k\in Z\)）三种情况。当\(n = 3k\)时，\(7n+4 = 21k + 4\equiv 1\pmod{3}\)；当\(n = 3k + 1\)时，\(7n + 4=7(3k + 1)+4 = 21k+7 + 4\equiv 2\pmod{3}\)；当\(n = 3k + 2\)时，\(7n + 4=7(3k + 2)+4 = 21k + 14 + 4\equiv 0\pmod{3}\)。所以余数可能为\(0\)、\(1\)、\(2\)。
3. 素数判定问题
例7：对于代数式\(n^2 + n + 41\)，当\(n = 1\)到\(n = 39\)时，判断其值是否为素数。
分析：依次将\(n = 1,2,\cdots,39\)代入\(n^2 + n + 41\)进行计算。当\(n = 1\)时，\(1^2 + 1 + 41 = 43\)是素数；当\(n = 2\)时，\(2^2 + 2 + 41 = 47\)是素数……经检验，在这个范围内的值大多是素数，但当\(n = 40\)时，\(40^2+40 + 41=40\times(40 + 1)+41 = 40\times41+41=(40 + 1)\times41\)不是素数，说明这个代数式不能总是生成素数。
例8：证明如果\(2^p - 1\)是素数（\(p\)也是素数），那么\(M_p = 2^p - 1\)被称为梅森素数。判断代数式\(M_p\)在\(p = 2,3,5\)时是否为素数。
分析：当\(p = 2\)时，\(M_2 = 2^2 - 1 = 3\)是素数；当\(p = 3\)时，\(M_3 = 2^3 - 1 = 7\)是素数；当\(p = 5\)时，\(M_5 = 2^5 - 1 = 31\)是素数。
4. 数的分解问题
例9：对于代数式\(x^2 - y^2\)，将\(120\)表示成这种形式（\(x,y\)为整数）。
分析：\(x^2 - y^2=(x + y)(x - y)\)，令\(x + y = 12\)，\(x - y = 10\)，解得\(x = 11\)，\(y = 1\)，此时\(x^2 - y^2 = 120\)。
例10：用代数式\(n(n + 1)(n + 2)\)的形式分解\(336\)。
分析：尝试不同的\(n\)值，当\(n = 6\)时，\(n(n + 1)(n + 2)=6\times7\times8 = 336\)。
例11：将\(1001\)分解为两个代数式的乘积，形如\((a + b)(a - b)\)。
分析：设\(a + b = 143\)，\(a - b = 7\)，解得\(a = 75\)，\(b = 68\)，则\(1001=(75 + 68)(75 - 68)\)。
5. 最大公因数和最小公倍数问题
例12：设\(a = 2n + 1\)，\(b = 2n - 1\)（\(n\)为整数），求\((a,b)\)（最大公因数）。
分析：利用辗转相除法，\(a - b=(2n + 1)-(2n - 1)=2\)，所以\((a,b)=1\)。
例13：对于代数式\(m = 3x^2y\)，\(n = 4xy^2\)（\(x,y\)为正整数），求\([m,n]\)（最小公倍数）。
分析：先求\(m\)和\(n\)的质因数分解，\(m = 3\times x\times x\times y\)，\(n = 2\times2\times x\times y\times y\)，所以\([m,n]=12x^2y^2\)。
例14：已知\(a = 5k + 3\)，\(b = 5m + 2\)（\(k,m\)为整数），求\((a,b)\)。
分析：\(a - b=(5k + 3)-(5m + 2)=5(k - m)+1\)，通过试值等方法可得\((a,b)=1\)。
6. 完全平方数问题
例15：证明代数式\(n^2 + 2n + 1\)是完全平方数。
分析：\(n^2 + 2n + 1=(n + 1)^2\)，所以它是完全平方数。
例16：对于代数式\(9n^2 + 6n + 1\)，判断当\(n\)为整数时是否为完全平方数。
分析：\(9n^2 + 6n + 1=(3n + 1)^2\)，因为\(n\)是整数，所以它是完全平方数。
例17：若\(m^2 = n^2 + 2n + 1\)，\(m,n\)为整数，求\(m\)和\(n\)的关系。
分析：因为\(n^2 + 2n + 1=(n + 1)^2\)，所以\(m = n + 1\)或\(m=-(n + 1)\)。
7. 不定方程问题
例18：求代数式\(x + y = 10\)（\(x,y\)为正整数）的所有正整数解。
分析：当\(x = 1\)时，\(y = 9\)；当\(x = 2\)时，\(y = 8\)……当\(x = 9\)时，\(y = 1\)，共有\(9\)组解。
例19：对于不定方程\(2x + 3y = 17\)（\(x,y\)为整数），求解。
分析：对\(y\)进行讨论，当\(y = 1\)时，\(2x+3\times1 = 17\)，解得\(x = 7\)；当\(y = 3\)时，\(2x+3\times3 = 17\)，解得\(x = 4\)；当\(y = 5\)时，\(2x + 3\times5 = 17\)，解得\(x = 1\)。
例20：求满足\(x^2 - y^2 = 21\)（\(x,y\)为正整数）的解。
分析：\(x^2 - y^2=(x + y)(x - y)=21\)，因为\(21 = 1\times21=3\times7\)，分别讨论可得\(\begin{cases}x + y = 7\\x - y = 3\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x = 5\\y = 2\end{cases}\)。
