圆锥曲线 13 比较圆锥曲线的第二定义

1. 椭圆的第二定义

定义内容：平面内与一个定点（焦点）的距离和它到一条定直线（准线）的距离之比是常数\(e\)（\(0 < e<1\)）的动点的轨迹为椭圆。设椭圆方程为\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a > b > 0)\)，焦点\(F(c,0)\)（\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)），准线方程\(x=\frac{a^{2}}{c}\)。对于椭圆上任意一点\(P(x,y)\)，\(\frac{\vert PF\vert}{d}=e\)，其中\(\vert PF\vert\)是点\(P\)到焦点\(F\)的距离，\(d\)是点\(P\)到准线的距离。

举例：对于椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)，\(a = 2\)，\(b=\sqrt{3}\)，则\(c = 1\)，离心率\(e=\frac{1}{2}\)，焦点\(F(1,0)\)，准线\(x = 4\)。设点\(P(x,y)\)在椭圆上，点\(P\)到焦点\(F\)的距离\(\vert PF\vert=\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}\)，点\(P\)到准线\(x = 4\)的距离\(d=\vert x - 4\vert\)，则\(\frac{\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}}{\vert x - 4\vert}=\frac{1}{2}\)。

2. 双曲线的第二定义

定义内容：平面内与一个定点（焦点）的距离和它到一条定直线（准线）的距离之比是常数\(e\)（\(e>1\)）的动点的轨迹为双曲线。设双曲线方程为\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)，焦点\(F(c,0)\)（\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)），准线方程\(x=\pm\frac{a^{2}}{c}\)。对于双曲线上任意一点\(P(x,y)\)，\(\frac{\vert PF\vert}{d}=e\)，其中\(\vert PF\vert\)是点\(P\)到焦点\(F\)的距离，\(d\)是点\(P\)到准线的距离。

举例：对于双曲线\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)，\(a = 3\)，\(b = 4\)，则\(c = 5\)，离心率\(e=\frac{5}{3}\)，焦点\(F(5,0)\)，准线\(x=\frac{9}{5}\)。设点\(P(x,y)\)在双曲线上，点\(P\)到焦点\(F\)的距离\(\vert PF\vert=\sqrt{(x - 5)^{2}+y^{2}}\)，点\(P\)到准线\(x=\frac{9}{5}\)的距离\(d=\vert x-\frac{9}{5}\vert\)，则\(\frac{\sqrt{(x - 5)^{2}+y^{2}}}{\vert x-\frac{9}{5}\vert}=\frac{5}{3}\)。

3. 抛物线的第二定义

定义内容：平面内与一个定点\(F\)（焦点）和一条定直线\(l\)（准线）的距离相等的动点的轨迹叫做抛物线。即对于抛物线上任意一点\(P\)，\(\vert PF\vert=d\)，此时离心率\(e = 1\)。例如，对于抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)，焦点\(F(\frac{p}{2},0)\)，准线方程\(x = -\frac{p}{2}\)。设点\(P(x,y)\)在抛物线上，则点\(P\)到焦点\(F\)的距离\(\vert PF\vert=\sqrt{(x-\frac{p}{2})^{2}+y^{2}}\)，点\(P\)到准线\(x = -\frac{p}{2}\)的距离\(d=\vert x-(-\frac{p}{2})\vert=\vert x+\frac{p}{2}\vert\)，且\(\vert PF\vert=d\)。

4. 比较

离心率的范围：

椭圆离心率\(0 < e<1\)，双曲线离心率\(e>1\)，抛物线离心率\(e = 1\)。

这是三种圆锥曲线在第二定义下最显著的区别，离心率的大小决定了曲线的形状特征。

椭圆是相对封闭、较为“圆润”的曲线；双曲线有两支，形状较为“开放”；抛物线则介于两者之间，只有一支且向一个方向无限延伸。

焦点与准线的关系：

椭圆和双曲线都有两个焦点和两条准线，而抛物线只有一个焦点和一条准线。在椭圆和双曲线中，焦点和准线的位置关系对于曲线的对称性等性质有重要影响。例如，椭圆和双曲线关于\(x\)轴、\(y\)轴或原点对称，其焦点和准线的分布也体现了这种对称性；抛物线的焦点和准线则决定了抛物线的开口方向，如\(y^{2}=2px(p>0)\)开口向右，焦点在\(x\)轴正半轴，准线在\(x\)轴负半轴。