不等式 02 绝对值不等式 \(|x| < a\)、\(|x| > a\)
一、绝对值不等式定义
绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，常见的形式有\(|x| < a\)（\(a > 0\)）、\(|x| > a\)（\(a > 0\)），以及更复杂一些的如\(|ax + b| < c\)（\(c > 0\)）、\(|ax + b| > c\)（\(c > 0\)）等。例如\(|x - 3| < 5\)、\(|2x + 1| > 3\)都是绝对值不等式。
二、绝对值不等式基本类型及解法
（一）\(|x| < a\)（\(a > 0\)）型
其解集为\(-a < x < a\)。
原理：绝对值的几何意义是数轴上表示数\(x\)的点与原点的距离，\(|x| < a\)表示这个距离小于\(a\)，那么对应的数\(x\)就在以原点为中心，长度为\(2a\)的开区间内，即\(-a < x < a\)。
示例：解不等式\(|x - 1| < 3\)，可以把\(x - 1\)看作一个整体，相当于\(|u| < 3\)（这里\(u = x - 1\)），根据上述规则可得\(-3 < x - 1 < 3\)，然后通过移项（不等式两边同时加\(1\)）得到\(-2 < x < 4\)，所以不等式\(|x - 1| < 3\)的解集是\(\{x|-2 < x < 4\}\)，用区间表示为\((-2, 4)\)。
（二）\(|x| > a\)（\(a > 0\)）型
其解集为\(x > a\)或\(x < -a\)。
原理：从几何意义上讲，\(|x| > a\)表示数轴上表示数\(x\)的点与原点的距离大于\(a\)，那么\(x\)就在原点左侧距离原点大于\(a\)的部分（即\(x < -a\)）或者原点右侧距离原点大于\(a\)的部分（即\(x > a\)）。
示例：解不等式\(|x + 2| > 4\)，把\(x + 2\)视为整体，相当于\(|v| > 4\)（这里\(v = x + 2\)），依据规则可得\(x + 2 > 4\)或\(x + 2 < -4\)。分别解这两个不等式，对于\(x + 2 > 4\)，移项可得\(x > 2\)；对于\(x + 2 < -4\)，移项可得\(x < -6\)。所以不等式\(|x + 2| > 4\)的解集是\(\{x|x > 2\)或\(x < -6\}\)，用区间表示为\((-\infty, -6)\cup(2, +\infty)\)。
（三）\(|ax + b| < c\)（\(c > 0\)）型
解法步骤：
先将其转化为\(-c < ax + b < c\)，这是利用了\(|x| < a\)（\(a > 0\)）的解法思路，把\(ax + b\)整体当作前面基本类型中的\(x\)来处理。
然后再分别解这两个不等式，即解\(-c < ax + b\)和\(ax + b < c\)，通过移项、系数化为\(1\)等操作求出\(x\)的取值范围。
示例：解不等式\(|2x - 1| < 5\)，转化为\(-5 < 2x - 1 < 5\)。先解\(-5 < 2x - 1\)，移项可得\(-4 < 2x\)，两边同时除以\(2\)得\(-2 < x\)；再解\(2x - 1 < 5\)，移项可得\(2x < 6\)，两边同时除以\(2\)得\(x < 3\)。所以不等式\(|2x - 1| < 5\)的解集是\(\{x|-2 < x < 3\}\)，用区间表示为\((-2, 3)\)。
（四）\(|ax + b| > c\)（\(c > 0\)）型
解法步骤：
转化为\(ax + b > c\)或\(ax + b < -c\)，这是参照\(|x| > a\)（\(a > 0\)）的解法逻辑，把\(ax + b\)当作基本类型里的\(x\)。
接着分别求解这两个不等式，从而确定\(x\)的取值范围。
示例：解不等式\(|3x + 2| > 7\)，可得到\(3x + 2 > 7\)或\(3x + 2 < -7\)。解\(3x + 2 > 7\)，移项得\(3x > 5\)，两边同时除以\(3\)得\(x > \frac{5}{3}\)；解\(3x + 2 < -7\)，移项得\(3x < -9\)，两边同时除以\(3\)得\(x < -3\)。所以不等式\(|3x + 2| > 7\)的解集是\(\{x|x > \frac{5}{3}\)或\(x < -3\}\)，用区间表示为\((-\infty, -3)\cup(\frac{5}{3}, +\infty)\)。
三、含多个绝对值的不等式
（一）解法思路
对于形如\(|x - a| + |x - b| < c\)（\(c > 0\)）或\(|x - a| + |x - b| > c\)（\(c > 0\)）等含有多个绝对值的不等式，通常采用零点分段法来求解。
（二）零点分段法步骤
1. 找零点：令绝对值里面的式子等于\(0\)，求出相应的\(x\)的值，这些值就是零点。例如对于不等式\(|x - 1| + |x - 3| < 4\)，令\(x - 1 = 0\)，解得\(x = 1\)；令\(x - 3 = 0\)，解得\(x = 3\)，所以\(1\)和\(3\)就是零点。
2. 分区间讨论：根据零点将数轴分成若干区间，在每个区间内去掉绝对值符号，将不等式转化为不含绝对值的不等式进行求解。
对于上述例子，分三个区间来讨论：
当\(x < 1\)时，\(x - 1 < 0\)，\(x - 3 < 0\)，则原不等式可化为\(-(x - 1) - (x - 3) < 4\)，即\(-x + 1 - x + 3 < 4\)，化简得\(-2x + 4 < 4\)，进一步解得\(x > 0\)。结合前提\(x < 1\)，此时的解为\(0 < x < 1\)。
当\(1\leq x\leq 3\)时，\(x - 1\geq 0\)，\(x - 3\leq 0\)，原不等式化为\((x - 1) - (x - 3) < 4\)，即\(x - 1 - x + 3 < 4\)，\(2 < 4\)恒成立，所以在这个区间内\(1\leq x\leq 3\)都是解。
当\(x > 3\)时，\(x - 1 > 0\)，\(x - 3 > 0\)，原不等式化为\((x - 1) + (x - 3) < 4\)，即\(2x - 4 < 4\)，解得\(x < 4\)。结合前提\(x > 3\)，此时的解为\(3 < x < 4\)。
3. 综合各区间的解：将各个区间求得的解合并起来，得到原不等式的解集。对于\(|x - 1| + |x - 3| < 4\)，其解集就是\(\{x|0 < x < 4\}\)，用区间表示为\((0, 4)\)。
四、绝对值不等式应用
在实际问题中的应用：
例如在测量误差分析中，如果允许某个测量值\(x\)与标准值\(a\)的误差绝对值不超过一定范围\(c\)，就可以用绝对值不等式\(|x - a| \leq c\)来描述。通过解这样的不等式，能确定测量值的合理区间，从而判断测量结果是否符合要求。
在数学其他领域的应用：在函数图象的平移、伸缩等变换过程中，有时需要根据图象之间的距离等条件列出绝对值不等式来求解相关参数的取值范围；在解析几何里，求点到直线、点到点的距离满足一定条件时，也可能涉及绝对值不等式的运用。
例如，已知点\(P(x, y)\)到直线\(l:Ax + By + C = 0\)的距离\(d\)满足\(|d - 2| < 1\)，结合点到直线距离公式\(d=\frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)，可以列出相应的绝对值不等式并求解，进而确定点\(P\)的坐标满足的条件等。
