不等式 02 一元二次不等式数学建模
一、数学建模的基本步骤
1. 问题分析
仔细研读实际问题的背景信息，明确问题的核心以及涉及到的关键因素。确定哪些量是已知的，哪些量是需要求解的未知量，同时分析这些量之间存在的内在关系。
2. 模型假设
为了使复杂的实际问题能够简化并便于用数学知识进行处理，需要对问题做出一些合理的假设。例如，忽略一些次要因素的影响、假设某些量在一定范围内保持恒定等。这些假设要既能简化问题，又不会使模型严重偏离实际情况。
3. 变量设定
根据问题中的关键因素，选择合适的变量来表示它们。通常用字母（如 \(x\)、\(y\) 等）来代表未知量，并明确其实际意义和取值范围。
4. 建立模型
依据变量之间的关系以及问题所遵循的客观规律，运用数学知识构建相应的数学表达式，这里就是构建一元二次不等式模型。这个过程往往需要结合已有的数学公式、定理以及实际问题中的约束条件等，将实际问题转化为数学语言描述的不等式关系。
5. 模型求解
运用解一元二次不等式的方法（如化为标准形式、求根、根据根和不等式符号确定解集等）来求解所建立的不等式，得到变量的取值范围，也就是数学模型的解。
6. 模型检验与解释
将求解得到的结果带回实际问题中进行检验，看是否符合实际情况，是否合理地解决了最初提出的问题。如果结果不符合实际，可能需要重新审视前面的步骤，对模型进行调整和完善。最后，根据实际问题对解的意义进行合理的解释说明。
二、实际案例分析
（一）利润最大化问题
问题背景：
某工厂生产一种产品，已知每件产品的成本是 \(30\) 元，若以每件 \(x\) 元的价格出售（\(x \geq 30\)），根据市场调研，销售量 \(y\)（单位：件）与销售价格 \(x\) 之间满足关系 \(y = -10x + 800\)。问如何定价才能使工厂获得的利润最大？
建模过程：
1. 问题分析：
利润等于总收入减去总成本。总收入是销售价格乘以销售量，总成本是每件成本乘以生产数量，这里要找到使利润最大时的销售价格 \(x\) 的取值范围。
2. 模型假设：
假设产品能按设定价格顺利销售出去，不考虑其他额外的成本变动因素（如运输成本、存储成本等的波动）以及市场突发变化对销售量的影响等。
3. 变量设定：
设销售价格为 \(x\) 元（\(x \geq 30\)），利润为 \(W\) 元，销售量 \(y = -10x + 800\)。
4. 建立模型：
利润 \(W=(x - 30)y=(x - 30)(-10x + 800)\)，展开可得 \(W = -10x^{2}+1100x - 24000\)。要使利润 \(W\) 最大，也就是求 \(W\) 的最大值对应的 \(x\) 的取值范围，由于 \(W\) 是关于 \(x\) 的二次函数，对于二次函数 \(y = ax^{2}+bx + c\)（\(a \neq 0\)），当 \(a < 0\) 时，函数图象开口向下，有最大值，这里 \(a = -10 < 0\)，函数有最大值。我们可以通过求其顶点坐标来确定最大值情况，也可以利用一元二次不等式来分析 \(W\) 的取值范围。因为要使利润 \(W > 0\)（毕竟要盈利），所以建立一元二次不等式 \(-10x^{2}+1100x - 24000 > 0\)。
5. 模型求解：
先将不等式化为标准形式：\(x^{2}-110x + 2400 < 0\)。
对于方程 \(x^{2}-110x + 2400 = 0\)，求根可得 \(x_{1}=\frac{110 + \sqrt{110^{2}-4×2400}}{2}=\frac{110 + 10}{2}=60\)，\(x_{2}=\frac{110 - \sqrt{110^{2}-4×2400}}{2}=\frac{110 - 10}{2}=50\)。
根据一元二次不等式“小于取中间”的原则，不等式的解集为 \(50 < x < 60\)。
6. 模型检验与解释：
在实际的市场销售中，价格 \(x\) 在 \(50\) 元到 \(60\) 元之间时，根据前面设定的销售量与价格的关系以及成本等因素，确实能保证工厂获得利润，并且在这个范围内可以进一步通过分析二次函数的顶点等情况来找到使利润最大的具体价格（这里顶点横坐标 \(x = -\frac{b}{2a}=-\frac{110}{2×(-10)} = 55\) 元时利润最大）。
（二）场地规划问题
问题背景：
学校要在一块长为 \(80\) 米、宽为 \(60\) 米的矩形空地上修建一个矩形花坛，四周留出宽度相同的小路，若花坛的面积不小于空地面积的一半，问小路的宽度最多为多少米？
建模过程：
1. 问题分析：
需要根据空地和花坛的尺寸关系以及面积要求来确定小路宽度的取值范围，关键是找到表示花坛面积和空地面积的表达式，并依据面积关系建立不等式。
2. 模型假设：
假设小路宽度处处相等，且修建花坛和小路过程中不考虑边角等特殊位置的额外占地情况（理想化处理）。
3. 变量设定：
设小路的宽度为 \(x\) 米（\(x \geq 0\)）。
4. 建立模型：
空地的面积为 \(80×60 = 4800\) 平方米，花坛的长为\((80 - 2x)\) 米，宽为\((60 - 2x)\) 米，则花坛的面积为\((80 - 2x)(60 - 2x)\) 平方米。因为花坛的面积不小于空地面积的一半，所以可建立一元二次不等式 \((80 - 2x)(60 - 2x) \geq \frac{1}{2}×4800\)，即 \((80 - 2x)(60 - 2x) \geq 2400\)。
5. 模型求解：
展开不等式左边可得：
\((80 - 2x)(60 - 2x)&=4800 - 160x - 120x + 4x^{2}\)
\(=4x^{2}-280x + 4800\)
则不等式变为 \(4x^{2}-280x + 4800 \geq 2400\)，进一步化为标准形式 \(x^{2}-70x + 600 \leq 0\)。
对于方程 \(x^{2}-70x + 600 = 0\)，求根得 \(x_{1}=\frac{70 + \sqrt{70^{2}-4×600}}{2}=\frac{70 + 10}{2}=40\)，\(x_{2}=\frac{70 - \sqrt{70^{2}-4×600}}{2}=\frac{70 - 10}{2}=30\)。
根据“小于取中间”原则，不等式的解集为 \(30 \leq x \leq 40\)。
又因为 \(x \geq 0\)（小路宽度不能为负），结合实际意义，小路宽度最多为 \(10\) 米（取 \(x\) 的较小值符合“最多”的要求）。
6. 模型检验与解释：
将小路宽度取值代入花坛面积和空地面积的计算中，确实能满足花坛面积不小于空地面积一半的要求，符合实际场地规划的合理性，说明建立的模型和求解结果是有效的。
通过这些案例可以看出，利用一元二次不等式进行数学建模，关键在于准确分析实际问题，合理设定变量，依据实际关系构建不等式，再通过正确求解和检验来解决实际问题并给出合理的解释。
