初中数学 01 有理数四则运算

一、加法运算

同号相加：两个有理数同号相加时，取相同的符号，并把绝对值相加。例如，\(3 + 5 = 8\)，因为两个数都是正数，所以结果为正，且绝对值相加；\(-3+(-5)=-(3 + 5)=-8\)，两个数都是负数，结果为负，同样是绝对值相加。

异号相加：两个有理数异号相加时，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如，\(7+(-3)=7 - 3 = 4\)，因为\(7\)的绝对值大于\(-3\)的绝对值，所以结果为正，用\(7\)的绝对值减去\(-3\)的绝对值；\(-7+3=-(7 - 3)=-4\)，这里\(-7\)的绝对值大于\(3\)的绝对值，结果为负，用\(-7\)的绝对值减去\(3\)的绝对值。

加法运算律：有理数加法满足交换律\(a + b = b + a\)和结合律\((a + b)+c=a+(b + c)\)。例如，\(2 + 3 = 3 + 2\)体现了交换律；\((1 + 2)+3 = 1+(2 + 3)\)体现了结合律。这些运算律可以简化计算，如计算\((-2)+3+(-8)+7\)，利用交换律和结合律可变形为\((-2)+(-8)+(3 + 7)=-10 + 10 = 0\)。

二、减法运算

有理数减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数。例如，\(5-3 = 5+(-3)=2\)；\(-5-(-3)=-5+3=-2\)。这个法则将减法运算转化为加法运算，方便在有理数范围内进行计算。

三、乘法运算

同号相乘：两个有理数同号相乘得正，并把绝对值相乘。例如，\(3\times5 = 15\)；\(-3\times(-5)=3\times5 = 15\)。

异号相乘：两个有理数异号相乘得负，并且把绝对值相乘。例如，\(3\times(-5)=-15\)；\(-3\times5=-15\)。

乘法运算律：有理数乘法满足交换律\(ab = ba\)、结合律\((ab)c=a(bc)\)和分配律\(a(b + c)=ab + ac\)。例如，\(2\times3 = 3\times2\)体现交换律；\((2\times3)\times4 = 2\times(3\times4)\)体现结合律；\(2\times(3 + 4)=2\times3+2\times4\)体现分配律。这些运算律在计算中经常使用，如计算\((-2)\times3\times(-4)\)，利用交换律和结合律可得\((-2)\times(-4)\times3 = 8\times3 = 24\)。

四、除法运算

有理数除法法则是除以一个不等于\(0\)的数，等于乘这个数的倒数。例如，\(6\div3 = 6\times\frac{1}{3}=2\)；\(-6\div(-3)=-6\times(-\frac{1}{3}) = 2\)；\(6\div(-3)=6\times(-\frac{1}{3})=-2\)。需要注意的是，\(0\)不能做除数。

有理数的乘除混合运算可以统一为乘法运算，然后按照乘法法则进行计算。例如，计算\(\frac{3}{4}\div(-\frac{1}{2})\times(-2)\)，先将除法转化为乘法，得到\(\frac{3}{4}\times(-2)\times(-2)=\frac{3}{4}\times4 = 3\)。

在进行有理数四则运算时，要先确定运算顺序，先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的。例如，计算\(2\times(3 - 4)+5\div(-1)\)，先算括号里的\(3 - 4=-1\)，再算乘除\(2\times(-1)=-2\)，\(5\div(-1)=-5\)，最后算加法\(-2+(-5)=-7\)。

五、有理数四则运算运用

1. 加法运算例题

例1：计算\((-3\frac{1}{2}) + 2\frac{1}{3}\)

分析：这是异号分数相加，需要先将带分数化为假分数，再通分计算。

解答：\(-3\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}\)，\(2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\)。通分得到\(-\frac{21}{6}+\frac{14}{6}=-\frac{7}{6}=-1\frac{1}{6}\)。

例2：计算\((-0.8)+0.5+(-0.7)+0.4+1.3\)

分析：多个小数相加，可利用加法交换律和结合律简便计算。

解答：\([(-0.8)+(-0.7)]+(0.5 + 0.4 + 1.3)= - 1.5 + 2.2 = 0.7\)

例3：计算\(\vert - 4\frac{1}{3}\vert+(-3\frac{1}{2})\)

分析：先求出绝对值，再进行加法运算。

解答：\(\vert - 4\frac{1}{3}\vert = 4\frac{1}{3}\)，\(4\frac{1}{3}+(-3\frac{1}{2})=\frac{13}{3}-\frac{7}{2}=\frac{26 - 21}{6}=\frac{5}{6}\)

2. 减法运算例题

例4：计算\(3 - 5 - (-7)\)

分析：按照减法法则，减去一个数等于加上它的相反数进行计算。

解答：\(3 - 5 + 7 = - 2 + 7 = 5\)

例5：计算\(4\frac{1}{2}-(-3\frac{1}{3})-(-1\frac{1}{6})\)

分析：先将减法转化为加法，再将带分数化为假分数进行计算。

解答：\(4\frac{1}{2}+3\frac{1}{3}+1\frac{1}{6}=\frac{9}{2}+\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{27 + 20 + 7}{6}=9\)

例6：计算\(\vert - 3\vert - \vert - 5\vert - (-4)\)

分析：先分别求出绝对值，再进行减法和加法运算。

解答：\(3 - 5 + 4 = 2\)

3. 乘法运算例题

例7：计算\((-2\frac{1}{2})\times(-1\frac{1}{3})\times(-1\frac{1}{4})\)

分析：先将带分数化为假分数，再根据乘法法则计算，注意负号的个数。

解答：\((-\frac{5}{2})\times(-\frac{4}{3})\times(-\frac{5}{4})=\frac{5}{2}\times\frac{4}{3}\times(-\frac{5}{4})=-\frac{25}{6}=-4\frac{1}{6}\)

例8：计算\((-0.25)\times0.5\times(-100)\times4\)

分析：利用乘法交换律和结合律简便计算。

解答：\([(-0.25)\times4]\times[0.5\times(-100)]=-1\times(-50)=50\)

例9：计算\((-3)\times(\frac{1}{3}-\frac{1}{2})\times(-2)\)

分析：先算括号里的减法，再进行乘法运算。

解答：\((-3)\times(-\frac{1}{6})\times(-2)=-\frac{3}{6}\times2=-1\)

4. 除法运算例题

例10：计算\((-2\frac{1}{2})\div(-1\frac{1}{4})\div(-2)\)

分析：先将带分数化为假分数，再按照除法法则将除法转化为乘法进行计算。

解答：\((-\frac{5}{2})\div(-\frac{5}{4})\div2=(-\frac{5}{2})\times(-\frac{4}{5})\times\frac{1}{2}=2\times\frac{1}{2}=1\)

例11：计算\(\frac{3}{4}\div(-\frac{3}{8})\times(-\frac{4}{9})\div\frac{2}{3}\)

分析：将除法统一为乘法后，约分计算。

解答：\(\frac{3}{4}\times(-\frac{8}{3})\times(-\frac{4}{9})\times\frac{3}{2}=\frac{3\times(-8)\times(-4)\times3}{4\times3\times9\times2}= \frac{2}{3}\)

例12：计算\((-4)\div[(-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{3})]\)

分析：先算括号里的减法，再进行除法运算。

解答：\((-4)\div(-\frac{1}{6})=(-4)\times(-6)=24\)

5. 混合运算例题

例13：计算\(3\times(-\frac{2}{3})^2 - 2\times(-\frac{3}{4}) - 4\frac{1}{2}\div(-1\frac{1}{8})\)

分析：先算乘方，再算乘除，最后算加减。

解答：\(3\times\frac{4}{9}+\frac{3}{2}- \frac{9}{2}\div(-\frac{9}{8})=\frac{4}{3}+\frac{3}{2}- \frac{9}{2}\times(-\frac{8}{9})=\frac{8 + 9}{6}+4=\frac{17}{6}+4 = 6\frac{5}{6}\)