导数 15 导数问题

题型一：导数的基本运算与切线问题

1. 已知函数\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2x\)，求：\(f^\prime(x)\)；曲线\(y = f(x)\)在点\((1,0)\)处的切线方程。

解：\(f^\prime(x)=3x^{2}-6x + 2\)。

由\(f^\prime(x)\)可知，在点\((1,0)\)处的切线斜率\(k = f^\prime(1)=3 - 6 + 2=-1\)，所以切线方程为\(y - 0 = -1\times(x - 1)\)，即\(y=-x + 1\)。

2. 已知函数\(y = e^{x}\sin x\)，求：\(y^\prime\)；曲线\(y = e^{x}\sin x\)在点\((0,0)\)处的切线方程。

解：根据乘积法则\((uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime\)，设\(u = e^{x}\)，\(v=\sin x\)，则\(u^\prime = e^{x}\)，\(v^\prime=\cos x\)，所以\(y^\prime=e^{x}\sin x + e^{x}\cos x\)。

当\(x = 0\)时，\(y^\prime(0)=e^{0}\sin 0 + e^{0}\cos 0=1\)，切线方程为\(y - 0 = 1\times(x - 0)\)，即\(y = x\)。

题型二：函数的单调性与极值

3. 求函数\(f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x + 5\)的单调区间和极值。

解：\(f^\prime(x)=3x^{2}-6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)\)。

令\(f^\prime(x)>0\)，则\((x + 1)(x - 3)>0\)，解得\(x<-1\)或\(x>3\)，所以函数的单调递增区间为\((-\infty,-1)\)和\((3,+\infty)\)。

令\(f^\prime(x)<0\)，则\((x + 1)(x - 3)<0\)，解得\(-1<x<3\)，所以函数的单调递减区间为\((-1,3)\)。

当\(x = -1\)时，\(f(x)\)取得极大值\(f(-1)=10\)；

当\(x = 3\)时，\(f(x)\)取得极小值\(f(3)=-22\)。

4. 已知函数\(f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-3x + 1\)，求函数\(f(x)\)的单调区间和极值。

解：\(f^\prime(x)=x^{2}-2x - 3=(x + 1)(x - 3)\)。

令\(f^\prime(x)>0\)，解得\(x<-1\)或\(x>3\)，函数的单调递增区间为\((-\infty,-1)\)和\((3,+\infty)\)。

令\(f^\prime(x)<0\)，解得\(-1<x<3\)，函数的单调递减区间为\((-1,3)\)。

当\(x = -1\)时，\(f(x)\)取得极大值\(f(-1)=\frac{8}{3}\)；

当\(x = 3\)时，\(f(x)\)取得极小值\(f(3)=-8\)。

题型三：函数的最值

5. 求函数\(f(x)=x^{4}-2x^{2}+3\)在区间\([-2,2]\)上的最大值和最小值。

解：\(f^\prime(x)=4x^{3}-4x = 4x(x^{2}-1)=4x(x + 1)(x - 1)\)。

令\(f^\prime(x)=0\)，解得\(x = 0\)，\(x = 1\)，\(x = -1\)。

计算\(f(-2)=11\)，\(f(-1)=2\)，\(f(0)=3\)，\(f(1)=2\)，\(f(2)=11\)。

所以函数在区间\([-2,2]\)上的最大值为\(11\)，最小值为\(2\)。

6. 已知函数\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+6x - 2\)，\(x\in[-1,1]\)，求函数\(f(x)\)在\([-1,1]\)上的最大值和最小值。

解：\(f^\prime(x)=3x^{2}-6x + 6=3(x^{2}-2x + 2)=3[(x - 1)^{2}+1]>0\)，所以函数\(f(x)\)在\([-1,1]\)上单调递增。

则\(f(x)_{\min}=f(-1)=-12\)，\(f(x)_{\max}=f(1)=2\)。

题型四：导数在实际问题中的应用

7. 用长为\(18m\)的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为\(2:1\)，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

解：设长方体的宽为\(x m\)，则长为\(2x m\)，高为\(h=\frac{18 - 4\times(2x + x)}{4}=\frac{9}{2}-3x m\)。

长方体体积\(V = 2x\cdot x\cdot(\frac{9}{2}-3x)=9x^{2}-6x^{3}\)，\(x\in(0,\frac{3}{2})\)。

\(V^\prime = 18x - 18x^{2}=18x(1 - x)\)。

令\(V^\prime=0\)，解得\(x = 1\)或\(x = 0\)（舍去）。

当\(0<x<1\)时，\(V^\prime>0\)，\(V\)单调递增；当\(1<x<\frac{3}{2}\)时，\(V^\prime<0\)，\(V\)单调递减。

所以当\(x = 1\)时，\(V\)取得最大值，此时长为\(2m\)，宽为\(1m\)，高为\(\frac{3}{2}m\)，最大体积\(V_{\max}=3m^{3}\)。

8. 某工厂要建造一个无盖的长方体水池，其容积为\(4800m^{3}\)，深为\(3m\)，如果池底每平方米的造价为\(150\)元，池壁每平方米的造价为\(120\)元，问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？

解：设水池底面一边的长度为\(x m\)，则底面另一边的长度为\(\frac{4800}{3x}=\frac{1600}{x}m\)。

总造价\(y = 150\times\frac{4800}{3}+120\times2\times(3x + 3\times\frac{1600}{x})=240000 + 720\times(x+\frac{1600}{x})\)，\(x>0\)。

\(y^\prime = 720\times(1-\frac{1600}{x^{2}})\)。

令\(y^\prime=0\)，解得\(x = 40\)。

当\(0<x<40\)时，\(y^\prime<0\)，\(y\)单调递减；当\(x>40\)时，\(y^\prime>0\)，\(y\)单调递增。

所以当\(x = 40\)时，\(y\)取得最小值，此时底面为边长是\(40m\)的正方形。

最低总造价为\(y_{\min}=240000 + 720\times(40+\frac{1600}{40})=297600\)元。

题型五：导数与不等式

9. 证明：当\(x>0\)时，\(x>\ln(1 + x)\)。

证明：令\(f(x)=x-\ln(1 + x)\)，\(x>0\)。

\(f^\prime(x)=1-\frac{1}{1 + x}=\frac{x}{1 + x}>0\)，所以函数\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。

则\(f(x)>f(0)=0\)，即\(x-\ln(1 + x)>0\)，所以\(x>\ln(1 + x)\)。

10. 已知函数\(f(x)=e^{x}-ax - 1\)，当\(x\geq0\)时，\(f(x)\geq0\)恒成立，求\(a\)的取值范围。

解：\(f^\prime(x)=e^{x}-a\)。

当\(a\leq1\)时，因为\(x\geq0\)，\(e^{x}\geq1\)，所以\(f^\prime(x)=e^{x}-a\geq0\)，函数\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)上单调递增，\(f(x)\geq f(0)=0\)恒成立。

当\(a>1\)时，令\(f^\prime(x)=0\)，解得\(x=\ln a\)。

当\(0<x<\ln a\)时，\(f^\prime(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；当\(x>\ln a\)时，\(f^\prime(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增。

则\(f(x)_{\min}=f(\ln a)=a - a\ln a - 1\)，令\(g(a)=a - a\ln a - 1\)，\(a>1\)，\(g^\prime(a)=-\ln a<0\)，所以\(g(a)\)在\((1,+\infty)\)上单调递减，\(g(a)<g(1)=0\)，即\(f(\ln a)<0\)，不符合题意。

综上，\(a\)的取值范围是\((-\infty,1]\)。