基于“轴对称”的 5 类辅助线

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轴对称的核心是“沿对称轴折叠后，两侧图形完全重合”，其性质为：对称轴垂直平分对应点的连线，对应边相等、对应角相等。在几何解题中，通过构造轴对称辅助线，可将分散的边、角集中到同一图形中（如等腰三角形、全等三角形），进而利用等腰、全等的性质突破难点。

一、“角平分线”相关的轴对称辅助线（核心：角平分线是对称轴）

角平分线本身是角的对称轴，沿角平分线折叠，角的两边会完全重合。因此，围绕角平分线构造轴对称辅助线，可直接利用“折叠后重合”的性质，产生全等三角形或等腰三角形。

1. 向角的两边作垂线（“角平分线+垂线”模型）

适用条件

题目中出现角平分线，且需要证明“线段相等”“角相等”或“线段和差”，但已知条件中无明显全等/等腰关系。

作法

1. 取角平分线上任意一点（通常是已知点，如角平分线上的动点、与其他线段的交点）；

2. 过该点分别向角的两条边作垂线，垂足记为M、N；

3. 连接该点与两个垂足，得到两条垂线段（设为PD、PE，P为角平分线上的点，D在一边，E在另一边）。

原理

根据“角平分线的性质定理”：角平分线上的点到角两边的距离相等，即PD=PE；同时，∠PDO=∠PEO=90°（O为角的顶点），OP为公共边，故Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），可进一步推出OD=OE、∠DPO=∠EPO，实现边、角的转化。

示例

已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE。

辅助线：过P作PD⊥OA、PE⊥OB（即上述作法）。

证明：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE（角平分线性质）；又∵OP=OP，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），故OD=OE。

2. 在角的两边截取相等线段（“角平分线+截等长”模型）

适用条件

题目中出现角平分线，且需要证明“两条线段相等”或“两个三角形全等”，但角的两边上无现成的相等线段。

作法

1. 设角平分线为OC，角的顶点为O，在OA上取一点D；

2. 以O为圆心、OD为半径画弧，交OB于点E，使OE=OD（即截取OE=OD）；

3. 连接DE，交OC于点P（或直接连接P与D、E，P为OC上的已知点）。

原理

沿OC折叠，OA与OB重合，因OE=OD，故点D与点E重合，进而△ODP≌△OEP（SAS：OD=OE，∠DOP=∠EOP，OP=OP），可推出PD=PE、∠ODP=∠OEP，将分散的边、角集中到△PDE中（△PDE为等腰三角形，PD=PE）。

示例

已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，求证：若在OA上取OD=OB，则△ODP≌△OBP。

辅助线：在OA上截取OD=OB（O为顶点）。

证明：∵OC平分∠AOB，∴∠DOP=∠BOP；又∵OD=OB，OP=OP，∴△ODP≌△OBP（SAS），故PD=PB、∠ODP=∠OBP。

3. 延长角的一边构造对称三角形（“角平分线+延长线”模型）

适用条件

题目中出现角平分线，且角的一边上有线段，另一边无对应线段，需补全对称图形以构造全等。

作法

1. 设角平分线为AD，平分∠BAC，AB边较长，AC边较短；

2. 延长AC至点E，使AE=AB（即沿AD折叠，AB与AE重合，B与E重合）；

3. 连接DE，此时AD为△ABE的对称轴。

原理

AE=AB，∠BAD=∠EAD，AD=AD，故△ABD≌△AED（SAS），可推出BD=DE、∠B=∠E，将△ABD中的边BD、角B转化到△AED中，利用DE与其他线段的关系（如DE=EC可推出∠E=∠C）解题。

示例

已知：如图，AD平分∠BAC，AB>AC，求证：AB-AC=BD-CD。

辅助线：延长AC至E，使AE=AB，连接DE。

证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD；又AB=AE，AD=AD，∴△ABD≌△AED（SAS），故BD=DE、AB=AE。∵AE-AC=EC，∴AB-AC=EC；又∵DE=BD，若能证DE=CD（如∠E=∠C），则AB-AC=BD-CD。

二、“线段垂直平分线”相关的轴对称辅助线（核心：垂直平分线是对称轴）

线段垂直平分线本身是线段的对称轴，沿垂直平分线折叠，线段的两个端点会完全重合。因此，连接“垂直平分线上的点与线段两端点”，可构造等腰三角形，利用“等腰三角形两腰相等”的性质解题。

1. 连接垂直平分线上的点与线段两端点（“中垂线+连端点”模型）

适用条件

题目中出现线段垂直平分线（或隐含垂直平分线条件，如“某点到线段两端距离相等”“过线段中点且垂直于线段的直线”），需证明“线段相等”“角相等”或“三角形周长关系”。

作法

1. 设线段AB的垂直平分线为l，点P在l上（P为已知点，如l与其他线段的交点、动点）；

2. 连接PA、PB，此时PA=PB，△PAB为等腰三角形。

原理

根据“线段垂直平分线的性质定理”：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，即PA=PB；因此△PAB为等腰三角形，可推出∠PAB=∠PBA，实现“线段相等”与“角相等”的转化，或通过PA=PB简化三角形周长（如△PAC的周长=PA+PC+AC=PB+PC+AC）。

示例

已知：如图，l是AB的垂直平分线，点P在l上，C是l上另一点，求证：PA+PC=PB+PC。

辅助线：连接PA、PB（因l是AB的中垂线）。

证明：∵l是AB的垂直平分线，P在l上，∴PA=PB（中垂线性质）；∴PA+PC=PB+PC，即△PAC与△PBC的周长差为AC与BC的差（若C固定，则周长关系可简化）。

2. 补全线段垂直平分线（“隐中垂线+作垂线”模型）

适用条件

题目中隐含“线段中点”（如M是AB的中点），但无垂直关系，需构造线段AB的垂直平分线以利用轴对称性质。

作法

1. 找到线段AB的中点M（已知或通过“中点”条件确定）；

2. 过M作直线l⊥AB，即l为AB的垂直平分线；

3. 在l上取一点P（根据解题需求，如P与已知点C共线），连接PA、PB。

原理

l是AB的垂直平分线，故PA=PB，△PAB为等腰三角形；若P与C共线，则可通过PA=PB、MC⊥AB等条件，构造全等三角形（如△PAM≌△PBM，SAS：AM=BM，∠PMA=∠PMB=90°，PM=PM），进而推出其他边、角关系。

示例

已知：如图，M是AB的中点，∠ACB=90°，求证：CM=1/2 AB。

辅助线：过M作l⊥AB（即AB的垂直平分线），连接CM并延长交l于P，连接PA、PB。

证明：∵M是AB中点，l⊥AB，∴l是AB的中垂线，故PA=PB；又∠ACB=90°，M是AB中点，结合PA=PB可证△PAC≌△PBC（SSS），进而推出CM=AM=BM=1/2 AB（直角三角形斜边中线性质，本质是中垂线的轴对称应用）。

三、“等腰/等边三角形”相关的轴对称辅助线（核心：等腰三角形的“三线合一”是对称轴）

等腰三角形的“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”三线重合，这条线是等腰三角形的对称轴；等边三角形有三条对称轴（每条边上的“三线合一”线）。利用这条对称轴构造辅助线，可将等腰三角形分成两个全等的直角三角形，简化计算或证明。

1. 作等腰三角形底边上的高（“等腰+底边高”模型）

适用条件

题目中出现等腰三角形（AB=AC），需证明“底边中点”“角平分线”或计算“腰长、底边、高的长度”（如勾股定理应用）。

作法

1. 设等腰△ABC中，AB=AC，BC为底边；

2. 过顶点A作AD⊥BC，垂足为D，此时AD是△ABC的对称轴（AD同时是底边中线、顶角平分线）。

原理

AD是对称轴，沿AD折叠，B与C重合，故△ABD≌△ACD（HL：AB=AC，AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°），可推出BD=DC（底边中点）、∠BAD=∠CAD（顶角平分线）；若已知BC长度，可直接得BD=1/2 BC，结合勾股定理（AB²=AD²+BD²）计算腰长或高。

示例

已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，BC=8，AD⊥BC于D，AD=3，求AB的长。

辅助线：作AD⊥BC于D（等腰三角形三线合一）。

证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=1/2 BC=4（三线合一）；在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²=3²+4²=25，故AB=5。

2. 作等边三角形任意一边的高（“等边+边上高”模型）

适用条件

题目中出现等边三角形，需计算“高、面积”或证明“线段比例”“角的度数”（如60°、30°角的应用）。

作法

1. 设等边△ABC，边长为a；

2. 过A作AD⊥BC于D，AD为对称轴，将△ABC分为两个含30°角的直角三角形（∠BAD=30°，∠ABD=60°）。

原理

等边三角形三边相等、三角均为60°，AD是对称轴，故BD=1/2 BC=1/2 a，∠BAD=30°；在Rt△ABD中，AD= (√3/2)a（勾股定理：AD²=AB²-BD²=a²-(a/2)²= (3/4)a²），面积S=1/2×BC×AD= (√3/4)a²，可直接利用30°角的性质（30°所对直角边=斜边的一半）解题。

示例

已知：如图，等边△ABC的边长为4，求其高AD和面积。

辅助线：作AD⊥BC于D（等边三角形三线合一）。

证明：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BD=2（1/2边长），∠BAD=30°；在Rt△ABD中，AD= √(AB²-BD²)= √(4²-2²)= 2√3；面积S=1/2×4×2√3= 4√3。

3. 构造等腰三角形的对称顶点（“等腰+对称顶点”模型）

适用条件

题目中出现等腰三角形，且有一个点在对称轴一侧，需在另一侧构造对称点，使线段和最小（如“将军饮马”问题）。

作法

1. 设等腰△ABC中，AB=AC，对称轴为AD（BC边上的高）；

2. 点P是AB上的动点，需在AC上找一点Q，使PQ+QC最小（或其他线段和最小）；

3. 作点C关于AD的对称点（因AD是对称轴，C的对称点为B），连接PB，PB与AC的交点即为Q，此时PQ+QC=PQ+QB=PB（最小值）。

原理

AD是对称轴，C与B对称，故QC=QB（对称点到对称轴上点的距离相等）；因此PQ+QC=PQ+QB，根据“两点之间线段最短”，当P、Q、B共线时，PQ+QB=PB最小，实现“线段和最小”的转化（本质是“将军饮马”模型的等腰三角形应用）。

示例

已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，P是AB上动点，求P到AC和BC的距离之和的最小值。

辅助线：作点B关于AD的对称点（即C），或作点P关于AC的对称点P'，连接P'C（具体需结合距离定义）。

证明：利用AD的对称性，P到BC的距离=对称点P'到BC的距离，P到AC的距离=P'到AC的距离，故距离之和=P'到BC的距离，当P'在BC的垂线上时最小（即高的长度）。

四、“将军饮马”系列问题的轴对称辅助线（核心：利用轴对称转化线段，求最短路径）

“将军饮马”问题是轴对称辅助线的经典应用，核心是“将折线转化为直线”，利用“两点之间线段最短”求最短路径。根据动点位置的不同，可分为以下几类：

1. 两定一动（动点在直线上）

适用条件

已知两点A、B，动点P在直线l上，求PA+PB的最小值（或|PA-PB|的最大值）。

作法（求最小值）

1. 作点A关于直线l的对称点A'；

2. 连接A'B，A'B与直线l的交点即为使PA+PB最小的点P；

3. 此时PA+PB=PA'+PB=A'B（最小值，两点之间线段最短）。

原理

直线l是AA'的垂直平分线，故PA=PA'（轴对称性质），因此PA+PB=PA'+PB；当P在A'B与l的交点时，PA'+PB=A'B（直线段），若P为其他点，则PA'+PB>A'B（三角形两边之和大于第三边），故A'B是最小值。

示例

已知：如图，直线l外有A、B两点，求l上一点P，使PA+PB最小。

辅助线：作A关于l的对称点A'，连接A'B交l于P。

证明：∵A与A'关于l对称，∴PA=PA'；∴PA+PB=PA'+PB=A'B，若P'是l上另一点，则PA'+P'B>A'B（三角形三边关系），故P是所求点。

2. 两动一定（动点在两条直线上）

适用条件

已知点A，动点P在直线l₁上，动点Q在直线l₂上，求PA+PQ+QB的最小值（或其他三段线段和最小）。

作法

1. 作点A关于l₁的对称点A'，作点B关于l₂的对称点B'；

2. 连接A'B'，A'B'与l₁的交点为P，与l₂的交点为Q；

3. 此时PA+PQ+QB=PA'+PQ+QB'=A'B'（最小值）。

原理

l₁是AA'的中垂线，故PA=PA'；l₂是BB'的中垂线，故QB=QB'；因此PA+PQ+QB=PA'+PQ+QB'，当P、Q在A'B'上时，三段线段和为A'B'（直线段），是最小值。

示例

已知：如图，∠MON内有一点A，求在OM上找P、ON上找Q，使△APQ的周长最小。

辅助线：作A关于OM的对称点A'，关于ON的对称点A''，连接A'A''交OM于P、ON于Q。

证明：∵A与A'关于OM对称，∴PA=PA'；A与A''关于ON对称，∴QA=QA''；∴△APQ的周长=PA+PQ+QA=PA'+PQ+QA''=A'A''（最小值）。

3. 动点在圆上（“圆上动点+轴对称”模型）

适用条件

已知点A、B，动点P在⊙O上，求PA+PB的最小值（或最大值）。

作法（求最小值）

1. 作点A关于圆心O的对称点A'（或作A关于某条直线的对称点，需结合圆的对称性）；

2. 连接A'B，A'B与⊙O的交点即为使PA+PB最小的点P（需判断A'B与圆的位置关系，若相交则交点为P）；

3. 此时PA+PB=PA'+PB=A'B-2r（r为圆半径，若A'在圆内）或A'B（若A'在圆外，需结合具体位置）。

原理

圆是中心对称图形，对称中心为O，故OA=OA'；若P在圆上，则PA'=2r-PA（或其他关系，需结合位置），通过轴对称转化PA为PA'，再利用“两点之间线段最短”求A'B与圆的交点。

示例

已知：如图，⊙O的半径为2，A、B在圆外，OA=5，OB=4，求圆上一点P，使PA+PB最小。

辅助线：作A关于O的对称点A'（OA'=OA=5），连接A'B交⊙O于P。

证明：∵O是A'A的中点，P在圆上，∴PA=PA'（或通过三角形中位线等推导）；∴PA+PB=PA'+PB=A'B，A'B的长度可由勾股定理计算（若A'B与圆相交，则P为交点，此时PA+PB最小）。

五、“折叠问题”中的轴对称辅助线（核心：折叠前后的图形关于折痕对称）

折叠是轴对称的直观体现，折痕即为对称轴，折叠前后的对应点、对应边、对应角完全重合。因此，解决折叠问题的核心是“找出对应点，连接对应点，利用对称轴垂直平分对应点连线”构造辅助线。

1. 连接折叠前后的对应点（“折叠+连对应点”模型）

适用条件

题目中出现“图形折叠”（如将△ABC沿DE折叠，点A落在A'处），需证明“线段相等”“角相等”或计算“折痕长度”“线段长度”。

作法

1. 确定折叠前后的对应点（如A与A'，B与B'）；

2. 连接对应点AA'（或BB'），此时折痕DE是AA'的垂直平分线；

3. 过折痕上的点（如D、E）作AA'的垂线，或连接D与A、A'，利用全等三角形解题。

原理

折叠后A与A'关于DE对称，故DE垂直平分AA'（对称轴性质），即DE⊥AA'，且M为AA'的中点（M为DE与AA'的交点）；因此△ADM≌△A'DM（SAS：AM=A'M，∠AMD=∠A'MD=90°，DM=DM），可推出AD=A'D、∠DAM=∠DA'M，实现边、角的转化。

示例

已知：如图，将△ABC沿DE折叠，点A落在A'处，DE交AB于D、交AC于E，求证：DE∥BC。

辅助线：连接AA'，设DE与AA'交于M。

证明：∵折叠后A与A'关于DE对称，∴DE⊥AA'，且∠DAE=∠DA'E；若AB=AC（等腰三角形），则AA'⊥BC（三线合一），故DE∥BC（垂直于同一直线的两条直线平行）。

2. 补全折叠后的对称图形（“折叠+补全图形”模型）

适用条件

题目中仅给出折叠后的部分图形（如将矩形ABCD沿BD折叠，点A落在A'处，A'在矩形内部），需补全对称图形以利用矩形、全等三角形的性质。

作法

1. 确定原图形的形状（如矩形ABCD，AB=CD，AD=BC，∠A=90°）；

2. 根据折叠性质，补全折叠后的对应边、对应角（如A'B=AB=CD，∠A'=∠A=90°）；

3. 连接A'C、A'D等，构造全等三角形（如△A'BD≌△ABD，△A'BC≌△DCB）。

原理

折叠后△ABD≌△A'BD（轴对称性质），故A'B=AB=CD，A'D=AD=BC，∠A'BD=∠ABD；结合矩形ABCD的性质（AB=CD，AD=BC），可推出△A'BC≌△DCB（SSS），进而计算∠A'BC=∠DCB，或A'C的长度。

示例

已知：如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，沿BD折叠△ABD，使A落在A'处，求A'到BC的距离。

辅助线：补全A'B=AB=3，A'D=AD=4，作A'E⊥BC于E。

证明：∵折叠后A'B=AB=3，∠A'=∠A=90°；设A'E=x，BE=y，则EC=4-y；由勾股定理，A'E²+BE²=A'B²（x²+y²=9），A'E²+EC²=A'C²（需结合△A'BC≌△DCB得A'C=BC=4），解得x= 9/4（A'到BC的距离）。

六、总结：轴对称辅助线的核心思路

所有基于轴对称的辅助线，本质都是“利用对称轴的性质（对应点连线被对称轴垂直平分、对应边相等、对应角相等），将分散的几何元素（边、角、线段）集中到同一图形中（全等三角形、等腰三角形、直线段）”，进而利用已知定理（全等、等腰、勾股定理、两点之间线段最短）解题。关键在于：

1. 识别“对称轴线索”：角平分线、垂直平分线、等腰/等边三角形的三线合一、折叠的折痕；

2. 明确“转化目标”：需转化的是线段（如PA=PA'）还是角（如∠BAD=∠CAD）；

3. 选择“辅助线作法”：根据线索选择“作垂线”“截等长”“连对称点”“补全图形”等，确保转化后的元素能构成可利用的基本图形（全等、等腰、直线段）。

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