小学数学：工程问题

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一、基本原理

工程问题主要围绕着工作量、工作效率和工作时间这三个核心要素展开，它们之间存在着紧密的数量关系，即“工作量 = 工作效率×工作时间”。通过这个基本关系式，在已知其中两个量的情况下，能够推导出第三个量。

二、常见类型及解法

（一）基本工程问题

已知工作时间求效率：

例如，一项工程甲单独做需要 10 天完成，把整个工程的工作量看作单位“1”，根据工作效率 = 工作量÷工作时间，那么甲的工作效率就是\(1÷10 = \frac{1}{10}\)。

已知效率和时间求工作量：

若甲的工作效率是每天完成\(\frac{1}{8}\)，工作了 5 天，工作量就是\(\frac{1}{8}×5 = \frac{5}{8}\)。

（二）合作工程问题

两人合作：

例：甲单独做一项工程需 12 天，乙单独做需 15 天，两人合作完成这项工程需要多久？

首先分别求出甲、乙的工作效率，甲的工作效率为\(\frac{1}{12}\)，乙的工作效率为\(\frac{1}{15}\)。

两人合作的工作效率就是甲、乙工作效率之和，即\(\frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{5 + 4}{60} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20}\)。

再根据工作时间 = 工作量÷工作效率，整个工作量为“1”，所以合作完成需要的时间是\(1÷\frac{3}{20} = \frac{20}{3}\)（天）。

多人合作：

原理与两人合作类似，比如甲、乙、丙三人合作一项工程，甲的工作效率是\(\frac{1}{10}\)，乙的工作效率是\(\frac{1}{12}\)，丙的工作效率是\(\frac{1}{15}\)，三人合作的工作效率就是\(\frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{6 + 5 + 4}{60} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}\)，完成工程所需时间就是\(1÷\frac{1}{4} = 4\)（天）。

（三）交替工作问题

例如：一项工程，甲、乙两人交替工作，甲工作一天，乙工作一天，依次类推。甲单独做需 6 天完成，乙单独做需 8 天完成，问完成这项工程需要多少天？

先求出甲、乙的工作效率，甲的工作效率是\(\frac{1}{6}\)，乙的工作效率是\(\frac{1}{8}\)。

把甲乙各做一天看成一个循环周期，一个周期完成的工作量是\(\frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{4 + 3}{24} = \frac{7}{24}\)。

用总工作量“1”除以一个周期完成的工作量可得需要的周期数：\(1÷\frac{7}{24} = \frac{24}{7}≈3.43\)，向上取整为 4 个周期（因为不到 4 个周期做不完）。

4 个周期共做了\(\frac{7}{24}×4 = \frac{7}{6}\)，超过了工作量“1”，说明在第 4 个周期内就做完了。

然后具体分析第 4 个周期内甲乙各做了多少天来确定总天数。前 3 个周期完成了\(\frac{7}{24}×3 = \frac{7}{8}\)，还剩下\(1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}\)，轮到甲做，甲一天完成\(\frac{1}{6}\)，\(\frac{1}{8}÷\frac{1}{6} = \frac{3}{4}\)（天），所以总共需要\(3×2 + \frac{3}{4} = 6\frac{3}{4}\)（天）。

（四）有休息情况的工程问题

例如：一项工程，甲、乙两人合作，甲单独做需 15 天完成，乙单独做需 20 天完成，两人合作了 5 天后，甲休息了 3 天，乙继续工作，问完成这项工程总共需要多少天？

先求出甲乙合作的工作效率：\(\frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{4 + 3}{60} = \frac{7}{60}\)。

两人合作 5 天完成的工作量是\(\frac{7}{60}×5 = \frac{7}{12}\)。

甲休息 3 天，这 3 天乙单独做的工作量是\(\frac{1}{20}×3 = \frac{3}{20}\)。

此时剩下的工作量是\(1 - \frac{7}{12} - \frac{3}{20} = 1 - \frac{35 - 9}{60} = 1 - \frac{26}{60} = \frac{34}{60} = \frac{17}{30}\)。

之后甲乙一起做剩下的工作量需要的时间\(t = \frac{\frac{17}{30}}{\frac{7}{60}} = \frac{17}{30}×\frac{60}{7} = \frac{34}{7}\)（天）。

所以总共需要的时间是\(5 + 3 + \frac{34}{7} = 8 + \frac{34}{7} = \frac{56 + 34}{7} = \frac{90}{7}\)（天）。

（五）涉及工作效率变化的工程问题

例如：一项工程，原计划由若干台机器在规定时间内完成。如果增加 2 台机器，则只需用规定时间的\(\frac{7}{8}\)就可完成；如果减少 2 台机器，就要推迟\(\frac{2}{3}\)小时完成。问原计划用几台机器？规定时间是多少小时？

设原计划用\(x\)台机器，规定时间为\(t\)小时，每台机器的工作效率看作单位“1”。

根据工作量相等来列方程，可得\(xt = (x + 2)×\frac{7}{8}t\)，化简可得\(8x = 7(x + 2)\)，解得\(x = 14\)（台）。

再根据减少 2 台机器的情况列出方程\(14t = (14 - 2)(t + \frac{2}{3})\)，

即\(14t = 12(t + \frac{2}{3})\)，

展开得\(14t = 12t + 8\)，

移项可得\(14t - 12t = 8\)，

解得\(t = 4\)（小时）。

三、解题思路总结

解决工程问题的关键在于准确识别题目中的工作量、工作效率和工作时间这三个要素，根据不同的题目条件，灵活运用它们之间的关系来构建方程或者进行计算，同时要注意分析题目中是否存在合作、交替、休息以及效率变化等特殊情况，以便准确求解问题。 

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