数论：裂项

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、一次两项乘积：\(a_n = \frac{1}{(An+B)(An+C)}\)（\(A,B,C\)为常数，且\(C - B = d \neq 0\)）

特征：分母是两个“一次式”的乘积，分子为常数1。

公式：\(\frac{1}{(An+B)(An+C)} = \frac{1}{C - B} \left( \frac{1}{An+B} - \frac{1}{An+C} \right)\)

推导：右边通分后分子为\((An+C) - (An+B) = C - B\)，需除以\(C - B\)使分子为1，匹配左边

例题：求\(S_n = \frac{1}{1\times3} + \frac{1}{3\times5} + \frac{1}{5\times7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\)

裂项：\(\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)\)

求和：\(S_n = \frac{1}{2}\left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \right] = \frac{n}{2n+1}\)

要点：必须保留“系数\(\frac{1}{C - B}\)”；分母的两个一次式需“同系数、差常数”（如\(2n-1\)与\(2n+1\)，系数均为2，差为2）。

二、一次三项乘积：\(a_n = \frac{1}{(An+B)(An+C)(An+D)}\)（\(C - B = D - C = d \neq 0\)，即三项成等差）

特征：分母是三个“一次式”的乘积，分子为常数1，需拆分为“两个分式差的一半”。

公式：\(\frac{1}{(An+B)(An+C)(An+D)} = \frac{1}{2d} \left[ \frac{1}{(An+B)(An+C)} - \frac{1}{(An+C)(An+D)} \right]\)

推导：利用上面“一”的结果，将三项乘积拆为两个两项乘积的差，再进一步裂项抵消。

例题：求\(S_n = \frac{1}{1\times2\times3} + \frac{1}{2\times3\times4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)}\)

裂项：\(\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2}\left[ \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right]\)

求和：\(S_n = \frac{1}{2}\left[ \left(\frac{1}{1\times2} - \frac{1}{2\times3}\right) + \left(\frac{1}{2\times3} - \frac{1}{3\times4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) \right] = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\)

三、分子为多项式：\(a_n = \frac{P(n)}{(An+B)(An+C)}\)（\(P(n)\)为一次或二次多项式，如\(P(n) = 2n+3\)）

特征：分子不是常数，需先“多项式拆分”，将通项拆为“常数+简单分式”，再裂项。

思路：\(\frac{P(n)}{(An+B)(An+C)} = k + \frac{m}{An+B} + \frac{n}{An+C}\)（\(k,m,n\)为待定系数）

例题：求\(S_n = \sum_{k=1}^n \frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}\)

变形：\(\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2} = \frac{(k+1)^2 - k^2}{k^2(k+1)^2} = \frac{1}{k^2} - \frac{1}{(k+1)^2}\)（巧妙利用平方差，避免待定系数）

求和：\(S_n = \left(1 - \frac{1}{2^2}\right) + \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}\right) = 1 - \frac{1}{(n+1)^2}\)

四、两个根号和：\(a_n = \frac{1}{\sqrt{An+B} + \sqrt{An+C}}\)（\(B - C = d \neq 0\)）

特征：分母是两个“根号式”的和，分子为1，需有理化拆分。

公式：\(\frac{1}{\sqrt{An+B} + \sqrt{An+C}} = \frac{1}{B - C} \left( \sqrt{An+B} - \sqrt{An+C} \right)\)

推导：分子分母同乘\(\sqrt{An+B} - \sqrt{An+C}\)，分母变为\((An+B) - (An+C) = B - C\)

例题：求\(S_n = \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n-1} + \sqrt{2n+1}}\)

裂项：\(\frac{1}{\sqrt{2n-1} + \sqrt{2n+1}} = \frac{1}{2}\left( \sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1} \right)\)

求和：\(S_n = \frac{1}{2}\left[ (\sqrt{3} - \sqrt{1}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}) \right] = \frac{\sqrt{2n+1} - 1}{2}\)

五、根号乘积+根号：\(a_n = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{(n+1)n}}\)（或类似结构）

特征：分子已为根号差，可拆分为“两个根号分式的差”，直接抵消。

公式：\(\frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{(n+1)n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

推导：分子拆分后，分别与分母约分，如\(\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{(n+1)n}} = \frac{1}{\sqrt{n}}\)

例题：求\(S_n = \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{\sqrt{k(k+1)}}\)

裂项：直接拆分为\(\frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k+1}}\)

求和：\(S_n = \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \dots + \left(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) = 1 - \frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

六、指数两项乘积：\(a_n = \frac{q^n}{(q^n - 1)(q^{n+1} - 1)}\)（\(q > 0,q \neq 1\)，如\(q=2,3\)）

特征：分母是两个“指数式减1”的乘积，分子为中间指数\(q^n\)。

公式：\(\frac{q^n}{(q^n - 1)(q^{n+1} - 1)} = \frac{1}{q - 1} \left( \frac{1}{q^n - 1} - \frac{1}{q^{n+1} - 1} \right)\)

推导：右边通分后分子为\((q^{n+1} - 1) - (q^n - 1) = q^n(q - 1)\)，需除以\(q - 1\)使分子为\(q^n\)

例题：求\(S_n = \frac{3}{(3^1 - 1)(3^2 - 1)} + \frac{3^2}{(3^2 - 1)(3^3 - 1)} + \dots + \frac{3^n}{(3^n - 1)(3^{n+1} - 1)}\)

裂项：\(\frac{3^n}{(3^n - 1)(3^{n+1} - 1)} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{3^n - 1} - \frac{1}{3^{n+1} - 1} \right)\)（\(q=3\)，\(q-1=2\)）

求和：\(S_n = \frac{1}{2}\left[ \left(\frac{1}{3^1 - 1} - \frac{1}{3^2 - 1}\right) + \dots + \left(\frac{1}{3^n - 1} - \frac{1}{3^{n+1} - 1}\right) \right] = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3^{n+1} - 1} \right) = \frac{3^{n+1} - 3}{4(3^{n+1} - 1)}\)

七、分子为指数和：\(a_n = \frac{q^n + 1}{(q^n - 1)(q^{n+1} - 1)}\)

特征：分子为“指数+1”，需拆分为“两个分式的和”，再裂项。

公式：\(\frac{q^n + 1}{(q^n - 1)(q^{n+1} - 1)} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{q^n - 1} + \frac{1}{q^{n+1} - 1} \right)\)

推导：通过待定系数法，设分子\(q^n + 1 = A(q^{n+1} - 1) + B(q^n - 1)\)，解得\(A=B=\frac{1}{2}\)

八、对数内为分式：\(a_n = \log_a \left(1 + \frac{1}{n}\right)\)（\(a > 0,a \neq 1\)）

特征：对数的真数是“1+分式”，可化简为“\(\frac{n+1}{n}\)”，再拆分为对数差。

公式：\(\log_a \left(1 + \frac{1}{n}\right) = \log_a (n+1) - \log_a n\)

例题：求\(S_n = \sum_{k=1}^n \lg \left(1 + \frac{1}{k}\right)\)（\(\lg\)为以10为底的对数）

裂项：\(\lg \left(1 + \frac{1}{k}\right) = \lg \frac{k+1}{k} = \lg (k+1) - \lg k\)

求和：\(S_n = (\lg 2 - \lg 1) + (\lg 3 - \lg 2) + \dots + (\lg (n+1) - \lg n) = \lg (n+1) - \lg 1 = \lg (n+1)\)（因\(\lg 1 = 0\)）

九、对数内为乘积：\(a_n = \log_a \frac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)}\)

特征：对数的真数是“四项乘积的分式”，可拆分为“四个对数的差”，再分组抵消。

公式：\(\log_a \frac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)} = [\log_a (n+1) + \log_a (n+2)] - [\log_a n + \log_a (n+3)]\)

例题：求\(S_n = \sum_{k=1}^n \ln \frac{(k+1)(k+2)}{k(k+3)}\)

裂项：\(\ln \frac{(k+1)(k+2)}{k(k+3)} = [\ln (k+1) + \ln (k+2)] - [\ln k + \ln (k+3)]\)

求和（分组）：

前半部分和：\(\sum [\ln (k+1) + \ln (k+2)] = (\ln 2 + \ln 3) + (\ln 3 + \ln 4) + \dots + (\ln (n+1) + \ln (n+2))\)

后半部分和：\(\sum [\ln k + \ln (k+3)] = (\ln 1 + \ln 4) + (\ln 2 + \ln 5) + \dots + (\ln n + \ln (n+3))\)

抵消后剩余：\(\ln 3 + \ln 3 - \ln 1 - \ln (n+3) = 2\ln 3 - \ln (n+3) = \ln \frac{9}{n+3}\)

十、正弦型裂项：\(a_n = \sin \frac{d}{n(n+1)}\)（\(d\)为常数，如\(d=1\)）

特征：利用“正弦差公式\(\sin A - \sin B = 2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}\)”，令\(A = \frac{1}{n}\)，\(B = \frac{1}{n+1}\)，则\(A - B = \frac{1}{n(n+1)}\)。

公式：\(\sin \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{2\cos \frac{2n+1}{2n(n+1)}} \left( \sin \frac{1}{n} - \sin \frac{1}{n+1} \right)\)

推导：

由\(\sin A - \sin B = 2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}\)，得：\(\sin \frac{A-B}{2} = \frac{1}{2\cos \frac{A+B}{2}} (\sin A - \sin B)\)

令\(A = \frac{1}{n}\)，\(B = \frac{1}{n+1}\)，则\(\frac{A-B}{2} = \frac{1}{2n(n+1)}\)，因此：\(\sin \frac{1}{2n(n+1)} = \frac{1}{2\cos \frac{2n+1}{2n(n+1)}} \left( \sin \frac{1}{n} - \sin \frac{1}{n+1} \right)\)

例题：求\(S_n = \sum_{k=1}^n \sin \frac{1}{k(k+1)}\)

裂项：\(\sin \frac{1}{k(k+1)} = 2\sin \frac{1}{2k(k+1)} \cos \frac{1}{2k(k+1)} = \sin \frac{1}{k} - \sin \frac{1}{k+1}\)（利用上述公式，约去余弦项）

求和：\(S_n = \left(\sin 1 - \sin \frac{1}{2}\right) + \left(\sin \frac{1}{2} - \sin \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\sin \frac{1}{n} - \sin \frac{1}{n+1}\right) = \sin 1 - \sin \frac{1}{n+1}\)

十一、正切型裂项：\(a_n = \tan \frac{d}{n(n+1)}\)（\(d\)为常数）

特征：利用“正切差公式\(\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}\)”，变形为\(\tan A - \tan B = \tan (A - B)(1 + \tan A \tan B)\)。

公式：若\(A - B = \frac{1}{n(n+1)}\)，且\(\tan A \tan B = 1\)（特殊角度下成立，如\(A = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{n}\)），则：

\(\tan \frac{1}{n(n+1)} = \tan A - \tan B\)

例题：求\(S_n = \sum_{k=1}^n \tan \frac{1}{k(k+1)}\)

裂项：令\(A = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{k}\)，\(B = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{k+1}\)，则\(A - B = \frac{1}{k(k+1)}\)，且\(\tan A \tan B = 1\)，故\(\tan \frac{1}{k(k+1)} = \tan A - \tan B\)

求和：\(S_n = \left(\tan \left(\frac{\pi}{4} + 1\right) - \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\right)\right) + \dots + \left(\tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{n}\right) - \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{n+1}\right)\right) = \tan \left(\frac{\pi}{4} + 1\right) - \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{n+1}\right)\)

十二、阶乘型裂项：\(a_n = \frac{n}{(n+1)!}\)（\(n!\)为阶乘，即\(n! = 1\times2\times\dots\times n\)）

特征：利用“\(n = (n+1) - 1\)”，将分子拆分为阶乘的差。

公式：\(\frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}\)

推导：\(\frac{n}{(n+1)!} = \frac{(n+1) - 1}{(n+1)!} = \frac{n+1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}\)

例题：求\(S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{(k+1)!}\)

裂项：直接拆分为\(\frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!}\)

求和：\(S_n = \left(1 - \frac{1}{2!}\right) + \left(\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}\right) = 1 - \frac{1}{(n+1)!}\)

十三、组合数型裂项：\(a_n = \binom{n}{k}\)（\(\binom{n}{k}\)为组合数，即\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)）

特征：利用“组合数性质\(\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}\)”，变形为差。

公式：\(\binom{n}{k} = \binom{n+1}{k+1} - \binom{n}{k+1}\)

例题：求\(S_n = \sum_{k=1}^n \binom{k}{2}\)

裂项：\(\binom{k}{2} = \binom{k+1}{3} - \binom{k}{3}\)（\(k \geq 2\)，\(\binom{1}{2} = 0\)）

求和：\(S_n = \left(\binom{3}{3} - \binom{2}{3}\right) + \left(\binom{4}{3} - \binom{3}{3}\right) + \dots + \left(\binom{n+1}{3} - \binom{n}{3}\right) = \binom{n+1}{3}\)（因\(\binom{2}{3} = 0\)）