二次根式

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1. 二次根式的定义

形如\(\sqrt{a}\)（其中\(a \geq 0\)）的式子，叫做二次根式。两个关键要素：

根号次数：根指数为2（通常省略不写，如\(\sqrt{a}\)而非\(\sqrt[2]{a}\)）；

被开方数非负：被开方数\(a\)必须满足\(a \geq 0\)，否则二次根式无意义（如\(\sqrt{-3}\)在实数范围内不存在）。

常见扩展形式：\(\sqrt{a^2}\)、\(\sqrt{ab}\)、\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)（需满足对应定义域，如\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)中\(a \geq 0\)且\(b > 0\)）。

2. 二次根式的核心性质

非负性：\(\sqrt{a} \geq 0\)（\(a \geq 0\)），即二次根式的结果是一个非负数。

例：若\(\sqrt{x} + \sqrt{y} = 0\)，则\(\sqrt{x} = 0\)且\(\sqrt{y} = 0\)，故\(x = 0\)、\(y = 0\)。

平方还原性质：\((\sqrt{a})^2 = a\)（\(a \geq 0\)），即二次根式的平方等于被开方数（需注意\(a \geq 0\)的限制，若\(a < 0\)，\(\sqrt{a}\)无意义）。

例：\((\sqrt{5})^2 = 5\)，\((2\sqrt{3})^2 = 2^2 \times (\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12\)。

绝对值还原性质：\(\sqrt{a^2} = |a|\)（\(a\)为任意实数），即一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值（需分正负讨论）。

例：\(\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3\)，\(\sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2|\)（若\(x \geq 2\)，结果为\(x - 2\)；若\(x < 2\)，结果为\(2 - x\)）。

乘法性质：\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（\(a \geq 0\)，\(b \geq 0\)），即两个非负二次根式的积等于它们被开方数积的二次根式（逆用可用于化简，如\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)）。

除法性质：\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a \geq 0\)，\(b > 0\)），即两个非负二次根式的商等于它们被开方数商的二次根式（逆用可化简，如\(\sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}\)）。

3. 二次根式的化简与运算规则

（1）最简二次根式的标准

化简后的二次根式需同时满足以下两个条件：

被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（如\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}\)，\(9\)是能开得尽方的因数，需化简）；

被开方数中不含分母（如\(\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，需分母有理化）。

（2）二次根式的运算

加减运算：先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并“同类二次根式”（被开方数相同的最简二次根式，如\(2\sqrt{3}\)与\(5\sqrt{3}\)是同类二次根式）。

例：\(\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)；

乘除运算：直接用乘法、除法性质计算，结果需化为最简二次根式。

例：\(\sqrt{6} \times \sqrt{8} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)，\(\sqrt{24} \div \sqrt{6} = \sqrt{4} = 2\)；

分母有理化：将分母中的根号去掉，核心方法是“分子分母同乘分母的有理化因式”（如\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)的有理化因式是\(\sqrt{2}\)，\(\frac{1}{\sqrt{3} - 1}\)的有理化因式是\(\sqrt{3} + 1\)）。

例：\(\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \sqrt{5} + \sqrt{3}\)。

4. 重二次根式的定义与化简

（1）重二次根式的定义

被开方数中含有二次根式的二次根式，叫做重二次根式，即形如\(\sqrt{m + n\sqrt{k}}\)（其中\(m\)、\(n\)为常数，\(k > 0\)且\(k\)不含能开得尽方的因数）的式子。

例：\(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\)、\(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\)、\(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}\)均为重二次根式。

（2）重二次根式的化简方法

核心思路是“将被开方数化为完全平方式”，即假设\(\sqrt{m + n\sqrt{k}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\)（\(a > b > 0\)），两边平方后对比系数：

平方得：\(m + n\sqrt{k} = a + b + 2\sqrt{ab}\)；

对比系数得方程组：\(\begin{cases} a + b = m \\ 2\sqrt{ab} = n\sqrt{k} \end{cases}\)（即\(\begin{cases} a + b = m \\ ab = \frac{n^2k}{4} \end{cases}\)）；

解方程组求出\(a\)、\(b\)，若\(a\)、\(b\)均为完全平方数或能化为最简二次根式，则化简成功。

例：化简\(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\)：

假设\(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}\)（因被开方数含“\(-\)”，用“\(-\)”避免结果为负），平方得\(5 - 2\sqrt{6} = a + b - 2\sqrt{ab}\)；

对比系数：\(a + b = 5\)，\(2\sqrt{ab} = 2\sqrt{6}\)（即\(ab = 6\)）；

解方程组得\(a = 3\)、\(b = 2\)（因\(3 + 2 = 5\)，\(3 \times 2 = 6\)）；

故\(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}\)（验证：\((\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 3 + 2 - 2\sqrt{6} = 5 - 2\sqrt{6}\)，正确）。

例题1：求二次根式\(\sqrt{x - 2} + \frac{1}{\sqrt{5 - x}}\)有意义的\(x\)的取值范围

解：

二次根式有意义需满足“被开方数非负”，分式有意义需满足“分母不为0”，因此：

1. 对于\(\sqrt{x - 2}\)：\(x - 2 \geq 0\)，即\(x \geq 2\)；

2. 对于\(\frac{1}{\sqrt{5 - x}}\)：\(\sqrt{5 - x}\)的被开方数\(5 - x > 0\)（分母不能为0，故不取等号），即\(x < 5\)；

3. 综合两个条件：\(2 \leq x < 5\)。

故\(x\)的取值范围是\(2 \leq x < 5\)。

例题2：已知\(\sqrt{a - 3} + \sqrt{3 - a} + b = 2\)，求\(a^b\)的值

解：

由二次根式非负性，被开方数需满足：

1. \(a - 3 \geq 0\)，即\(a \geq 3\)；

2. \(3 - a \geq 0\)，即\(a \leq 3\)；

3. 综合得\(a = 3\)，代入原式：\(\sqrt{0} + \sqrt{0} + b = 2\)，故\(b = 2\)；

4. 计算\(a^b = 3^2 = 9\)。

故\(a^b\)的值为9。

例题3：若\(\sqrt{x^2 - 4x + 4} = 2 - x\)，求\(x\)的取值范围

解：

先化简左边的二次根式：

1. 左边\(\sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x - 2)^2}\)，根据性质\(\sqrt{a^2} = |a|\)，得\(|x - 2|\)；

2. 原式化为\(|x - 2| = 2 - x\)，而\(2 - x = -(x - 2)\)，即\(|x - 2| = -(x - 2)\)；

3. 根据绝对值性质，\(|a| = -a\)等价于\(a \leq 0\)，故\(x - 2 \leq 0\)，即\(x \leq 2\)。

故\(x\)的取值范围是\(x \leq 2\)。

例题4：化简\(\sqrt{18x^3y^2}\)（\(x > 0\)，\(y < 0\)）

解：

注意\(y < 0\)，\(\sqrt{y^2} = |y| = -y\)，化简步骤：

1. 分解被开方数的因数与因式：\(18x^3y^2 = 9 \times 2 \times x^2 \times x \times y^2\)；

2. 提取能开得尽方的部分：\(\sqrt{9x^2y^2 \times 2x} = \sqrt{9x^2y^2} \cdot \sqrt{2x}\)；

3. 计算开方结果：\(3|x||y|\sqrt{2x}\)，因\(x > 0\)，\(|x| = x\)；\(y < 0\)，\(|y| = -y\)，故结果为\(3x(-y)\sqrt{2x} = -3xy\sqrt{2x}\)。

故化简结果为\(-3xy\sqrt{2x}\)。

例题5：化简\(\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}\)（分母有理化）

解：

分母的有理化因式是\(\sqrt{2} - 1\)，分子分母同乘该因式：

1. 分子：\((\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 2 \times \sqrt{2} \times 1 + 1^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}\)；

2. 分母：\((\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1\)；

3. 故化简结果为\(3 - 2\sqrt{2}\)。

也可直接用“分子分母同乘有理化因式”的快捷方法，结果一致。

例题6：化简\(\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1}\)（多重分母有理化）

解：

先分组构造平方差，逐步有理化：

1. 将分母分为\((\sqrt{3} + \sqrt{2}) + 1\)，先对前两项有理化，分子分母同乘\((\sqrt{3} - \sqrt{2})\)：

分母变为\([(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})] + 1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \)

\(= (3 - 2) + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}\)；

2. 此时式子变为\(\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}}\)，再将分母分为\((1 + \sqrt{3}) - \sqrt{2}\)，分子分母同乘\((1 + \sqrt{3}) + \sqrt{2}\)：

分母变为\((1 + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 2 = 2 + 2\sqrt{3}\)；

分子变为\((\sqrt{3} - \sqrt{2})(1 + \sqrt{3} + \sqrt{2}) = \sqrt{3}(1 + \sqrt{3} + \sqrt{2}) - \sqrt{2}(1 + \sqrt{3} + \sqrt{2}) \)

\(= \sqrt{3} + 3 + \sqrt{6} - \sqrt{2} - \sqrt{6} - 2 = 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}\)；

3. 此时式子变为\(\frac{1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}}{2(1 + \sqrt{3})}\)，再分子分母同乘\((\sqrt{3} - 1)\)：

分母变为\(2[(1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)] = 2(3 - 1) = 4\)；

分子变为\((1 + \sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} - 1) = (1)(\sqrt{3} - 1) + \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) - \sqrt{2}(\sqrt{3} - 1) \)

\(= \sqrt{3} - 1 + 3 - \sqrt{3} - \sqrt{6} + \sqrt{2} = 2 - \sqrt{6} + \sqrt{2}\)；

4. 最终化简为\(\frac{2 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{3} - 1 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\)（整理后形式，可进一步验证）。

核心思路是“分组构造平方差，逐步消去根号”。

例题7：化简\(\sqrt{4 - \sqrt{12}}\)（含隐含系数的化简）

解：

先将被开方数的根号前系数化为2，便于构造完全平方：

1. 被开方数\(4 - \sqrt{12} = 4 - 2\sqrt{3}\)（因\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)）；

2. 假设\(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}\)（\(a > b > 0\)），平方得\(4 - 2\sqrt{3} = a + b - 2\sqrt{ab}\)；

3. 对比系数：\(a + b = 4\)，\(2\sqrt{ab} = 2\sqrt{3}\)（即\(ab = 3\)）；

4. 解方程组得\(a = 3\)、\(b = 1\)（因\(3 + 1 = 4\)，\(3 \times 1 = 3\)）；

5. 故\(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} - \sqrt{1} = \sqrt{3} - 1\)（验证：\((\sqrt{3} - 1)^2 = 3 + 1 - 2\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3}\)，正确）。

关键是“将根号前的系数化为2”，符合重二次根式化简的标准形式。

例题8：计算\((\sqrt{6} - 2\sqrt{15}) \times \sqrt{3} - 6\sqrt{\frac{1}{2}}\)

解：

按“先乘除后加减”的顺序，逐步计算：

1. 先算乘法：\((\sqrt{6} \times \sqrt{3}) - (2\sqrt{15} \times \sqrt{3}) = \sqrt{18} - 2\sqrt{45}\)；

2. 化简二次根式：\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)，\(2\sqrt{45} = 2 \times 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\)，\(6\sqrt{\frac{1}{2}} = 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\)；

3. 代入原式计算：\(3\sqrt{2} - 6\sqrt{5} - 3\sqrt{2} = -6\sqrt{5}\)（\(3\sqrt{2}\)与\(-3\sqrt{2}\)抵消）。

故计算结果为\(-6\sqrt{5}\)。

例题9：计算\((\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{2})\)（利用平方差公式）

解：

分组构造平方差公式\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)：

1. 令\(a = (\sqrt{5} + \sqrt{2})\)，\(b = \sqrt{3}\)，则原式变为\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)；

2. 计算\(a^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}\)；

3. 计算\(b^2 = (\sqrt{3})^2 = 3\)；

4. 故原式\(= (7 + 2\sqrt{10}) - 3 = 4 + 2\sqrt{10}\)。

核心是“合理分组，利用乘法公式简化运算”，避免直接展开的繁琐。

例题10：计算\(\sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}\)

解：

分两部分计算，第二部分需分母有理化：

1. 第一部分：\(\sqrt{2} \times \sqrt{2} + \sqrt{2} \times \sqrt{3} = 2 + \sqrt{6}\)；

2. 第二部分：分母有理化，同乘\(\sqrt{3} + \sqrt{2}\)：\(\frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = 5 + 2\sqrt{6}\)；

3. 原式\(= (2 + \sqrt{6}) - (5 + 2\sqrt{6}) = 2 + \sqrt{6} - 5 - 2\sqrt{6} = -3 - \sqrt{6}\)。

注意“减号后面去括号要变号”，避免符号错误。

例题11：计算\(\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}\)（互为倒数的分式相加）

解：

方法一：先分母有理化，再相加；方法二：利用\(a + \frac{1}{a} = \frac{a^2 + 1}{a}\)简化：

1. 令\(a = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}\)，则\(\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}\)，原式\(= a + \frac{1}{a}\)；

2. 先计算\(a\)的分母有理化结果：\(a = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}{1} = 3 + 2 - 2\sqrt{6} = 5 - 2\sqrt{6}\)；

3. 计算\(\frac{1}{a}\)的分母有理化结果：\(\frac{1}{a} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2}{1} = 3 + 2 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6}\)；

4. 相加得：\((5 - 2\sqrt{6}) + (5 + 2\sqrt{6}) = 10\)（\(-2\sqrt{6}\)与\(+2\sqrt{6}\)抵消）。

也可直接计算\(a^2 + 1\)：\((5 - 2\sqrt{6})^2 + 1 = 25 - 20\sqrt{6} + 24 + 1 = 50 - 20\sqrt{6}\)，再除以\(a = 5 - 2\sqrt{6}\)，结果一致，但第一种方法更简便。

例题12：化简\(\sqrt{10 + 2\sqrt{21}}\)

解：

按重二次根式化简的标准步骤：

1. 假设\(\sqrt{10 + 2\sqrt{21}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\)（\(a > b > 0\)），平方得\(10 + 2\sqrt{21} = a + b + 2\sqrt{ab}\)；

2. 对比系数：\(a + b = 10\)，\(2\sqrt{ab} = 2\sqrt{21}\)（即\(ab = 21\)）；

3. 解方程组：找两个数相加为10、相乘为21，得\(a = 7\)、\(b = 3\)（因\(7 + 3 = 10\)，\(7 \times 3 = 21\)）；

4. 故\(\sqrt{10 + 2\sqrt{21}} = \sqrt{7} + \sqrt{3}\)（验证：\((\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 = 7 + 3 + 2\sqrt{21} = 10 + 2\sqrt{21}\)，正确）。

例题13：化简\(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}\)（根号前系数为4，需转化为2倍形式）

解：

先将系数4转化为2×2，使被开方数符合“\(m + 2\sqrt{k}\)”形式：

1. 被开方数\(7 - 4\sqrt{3} = 7 - 2 \times 2\sqrt{3} = 7 - 2\sqrt{12}\)（因\(2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{12}\)）；

2. 假设\(\sqrt{7 - 2\sqrt{12}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}\)（\(a > b > 0\)），平方得\(7 - 2\sqrt{12} = a + b - 2\sqrt{ab}\)；

3. 对比系数：\(a + b = 7\)，\(2\sqrt{ab} = 2\sqrt{12}\)（即\(ab = 12\)）；

4. 解方程组得\(a = 4\)、\(b = 3\)（因\(4 + 3 = 7\)，\(4 \times 3 = 12\)）；

5. 故\(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}\)（验证：\((2 - \sqrt{3})^2 = 4 + 3 - 4\sqrt{3} = 7 - 4\sqrt{3}\)，正确）。

关键是“将根号前的系数转化为2倍”，确保被开方数的根号部分系数为2。

例题14：化简\(\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}\)（含整数与根式的复杂组合）

解：

类似例题13，先转化系数：

1. 被开方数\(9 + 4\sqrt{5} = 9 + 2 \times 2\sqrt{5} = 9 + 2\sqrt{20}\)（因\(2 \times 2\sqrt{5} = 2\sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{20}\)）；

2. 假设\(\sqrt{9 + 2\sqrt{20}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\)，平方得\(9 + 2\sqrt{20} = a + b + 2\sqrt{ab}\)；

3. 对比系数：\(a + b = 9\)，\(ab = 20\)，解得\(a = 5\)、\(b = 4\)（\(5 + 4 = 9\)，\(5 \times 4 = 20\)）；

4. 故\(\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{5} + \sqrt{4} = \sqrt{5} + 2\)（验证：\((2 + \sqrt{5})^2 = 4 + 5 + 4\sqrt{5} = 9 + 4\sqrt{5}\)，正确）。

例题15：化简\(\sqrt{\sqrt{18} + \sqrt{12}}\)（双重根号嵌套，先化简内层根号）

解：

先化简内层的二次根式，再处理外层的重二次根式：

1. 内层根号化简：\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)，\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)，故原式变为\(\sqrt{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}\)；

2. 此时被开方数是“根式+根式”，需先平方外层根号，假设\(\sqrt{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\)（\(a > b > 0\)），平方得：

\(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} = a + b + 2\sqrt{ab}\)；

3. 对比两边形式，左边是“\(m\sqrt{k} + n\sqrt{l}\)”，右边是“整数 + 2\sqrt{ab}\)”，需使右边也出现“两个根式”，因此调整假设：令\(a = \sqrt{m}\)，\(b = \sqrt{n}\)（即外层根号内的式子本身是重二次根式），但更简便的方法是先将内层根号统一形式：

注意到\(3\sqrt{2} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{18}\)，\(2\sqrt{3} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{12}\)，但效果不佳；

另一种方法：计算\((\sqrt{\frac{3\sqrt{2}}{2}} + \sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{2}})^2 = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{2} + 2\sqrt{\frac{3\sqrt{2} \times 2\sqrt{3}}{4}} = \frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{2} + \sqrt{6\sqrt{6}}\)，过于复杂，说明该式无法化简为“两个最简二次根式的和”，需确认是否题目有误；

若题目改为\(\sqrt{\sqrt{18} - \sqrt{12}}\)，同样无法直接化简，因此这类“内层根号无法合并为完全平方式”的重二次根式，可能无需进一步化简，或需用其他方法（如小数近似值）表示，但初中阶段通常需化简的重二次根式均能化为“\(\sqrt{a} \pm \sqrt{b}\)”形式，需注意题目是否存在笔误。

例题16：化简\(\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} + \sqrt{17 + 12\sqrt{2}}\)（两个重二次根式相加）

解：

先分别化简两个重二次根式，再相加：

1. 化简\(\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}\)：

转化为\(\sqrt{17 - 2\sqrt{72}}\)（因\(12\sqrt{2} = 2 \times 6\sqrt{2} = 2\sqrt{36 \times 2} = 2\sqrt{72}\)）；

假设\(\sqrt{17 - 2\sqrt{72}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}\)，则\(a + b = 17\)，\(ab = 72\)，解得\(a = 9\)、\(b = 8\)（\(9 + 8 = 17\)，\(9 \times 8 = 72\)）；

故\(\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = \sqrt{9} - \sqrt{8} = 3 - 2\sqrt{2}\)；

2. 化简\(\sqrt{17 + 12\sqrt{2}}\)：

转化为\(\sqrt{17 + 2\sqrt{72}}\)，假设\(\sqrt{17 + 2\sqrt{72}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\)，则\(a + b = 17\)，\(ab = 72\)，解得\(a = 9\)、\(b = 8\)；

故\(\sqrt{17 + 12\sqrt{2}} = \sqrt{9} + \sqrt{8} = 3 + 2\sqrt{2}\)；

3. 相加得：\((3 - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2}) = 6\)（\(-2\sqrt{2}\)与\(+2\sqrt{2}\)抵消）。

也可直接令\(x = \sqrt{17 - 12\sqrt{2}} + \sqrt{17 + 12\sqrt{2}}\)，两边平方得\(x^2 = (17 - 12\sqrt{2}) + (17 + 12\sqrt{2}) + 2\sqrt{(17)^2 - (12\sqrt{2})^2} = 34 + 2\sqrt{289 - 288} = 34 + 2 = 36\)，故\(x = 6\)（因\(x > 0\)，舍去负根），该方法更简便。

例题17：已知\(x = \sqrt{3} + 1\)，求代数式\(x^2 - 2x + 3\)的值

解：

方法一：直接代入计算；方法二：先化简代数式，再代入（更简便）：

1. 化简代数式：\(x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x - 1)^2 + 2\)；

2. 代入\(x = \sqrt{3} + 1\)：\(x - 1 = \sqrt{3}\)，故\((x - 1)^2 + 2 = (\sqrt{3})^2 + 2 = 3 + 2 = 5\)。

避免直接计算\((\sqrt{3} + 1)^2\)的繁琐，通过配方简化代数式是关键。

例题18：已知\(x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\)，求证\(x^2 + x - 1 = 0\)

解：

直接代入\(x\)的值，计算代数式的值：

1. 计算\(x^2\)：\(x^2 = \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)^2 = \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{4} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\)；

2. 计算\(x^2 + x\)：\(\frac{3 - \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1\)；

3. 故\(x^2 + x - 1 = 1 - 1 = 0\)，得证。

也可利用\(x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\)的性质（黄金分割比），直接推导\(2x = \sqrt{5} - 1\)，两边平方得\(4x^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}\)，再结合\(2x + 1 = \sqrt{5}\)，平方得\(4x^2 + 4x + 1 = 5\)，整理得\(4x^2 + 4x - 4 = 0\)，两边除以4得\(x^2 + x - 1 = 0\)，更快捷。

例题19：已知\(\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{5} + \sqrt{3}\)，\(\sqrt{xy} = \sqrt{15} - 1\)，求\(x + y\)的值

解：

利用完全平方公式\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，变形得\(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\)：

1. 令\(a = \sqrt{x}\)，\(b = \sqrt{y}\)，则\(x = a^2\)，\(y = b^2\)，\(x + y = a^2 + b^2\)；

2. 已知\(a + b = \sqrt{5} + \sqrt{3}\)，\(ab = \sqrt{15} - 1\)；

3. 计算\((a + b)^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}\)；

4. 计算\(2ab = 2(\sqrt{15} - 1) = 2\sqrt{15} - 2\)；

5. 故\(x + y = (a + b)^2 - 2ab = (8 + 2\sqrt{15}) - (2\sqrt{15} - 2) = 8 + 2\sqrt{15} - 2\sqrt{15} + 2 = 10\)。

无需分别求\(x\)、\(y\)的值，利用完全平方公式变形可直接求解，简化运算。

例题20：已知\(a = \sqrt{2} - 1\)，求\(\frac{a^4 + a^3 + 2a^2 + a + 1}{a^2 + 1}\)的值

解：

先化简分子，利用\(a = \sqrt{2} - 1\)的性质（如\(a + 1 = \sqrt{2}\)，\(a^2 = 3 - 2\sqrt{2}\)）：

1. 先计算\(a^2 + 1\)：\(a^2 + 1 = (\sqrt{2} - 1)^2 + 1 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 + 1 = 4 - 2\sqrt{2}\)（或后续约分用）；

2. 化简分子\(a^4 + a^3 + 2a^2 + a + 1\)：

分组得\(a^4 + a^3 + a^2 + a^2 + a + 1 = a^2(a^2 + a + 1) + (a^2 + a + 1) = (a^2 + 1)(a^2 + a + 1)\)；

3. 故原式\(= \frac{(a^2 + 1)(a^2 + a + 1)}{a^2 + 1} = a^2 + a + 1\)（\(a^2 + 1 \neq 0\)，可约分）；

4. 计算\(a^2 + a + 1\)：\(a^2 = 3 - 2\sqrt{2}\)，\(a = \sqrt{2} - 1\)，故\(3 - 2\sqrt{2} + \sqrt{2} - 1 + 1 = 3 - \sqrt{2}\)。

也可直接代入\(a = \sqrt{2} - 1\)计算分子：

\(a^4 = (3 - 2\sqrt{2})^2 = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 17 - 12\sqrt{2}\)，\(a^3 = a^2 \cdot a = (3 - 2\sqrt{2})(\sqrt{2} - 1) = 3\sqrt{2} - 3 - 4 + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2} - 7\)，\(2a^2 = 6 - 4\sqrt{2}\)，\(a = \sqrt{2} - 1\)，分子相加得\(17 - 12\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 7 + 6 - 4\sqrt{2} + \sqrt{2} - 1 + 1 = 16 - 10\sqrt{2}\)；

分母\(a^2 + 1 = 4 - 2\sqrt{2}\)，原式\(= \frac{16 - 10\sqrt{2}}{4 - 2\sqrt{2}} = \frac{2(8 - 5\sqrt{2})}{2(2 - \sqrt{2})} = \frac{8 - 5\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{(8 - 5\sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{16 + 8\sqrt{2} - 10\sqrt{2} - 10}{4 - 2} = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{2} = 3 - \sqrt{2}\)，结果一致，但分组约分更简便。