基于“旋转”的 5 类辅助线

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在平面几何证明或计算中，当题目出现等腰结构（如等腰三角形、等边三角形、正方形）、线段和差关系、角度特殊值（如30°、45°、60°、90°）、共顶点的相等线段时，通过“旋转”构造辅助线可将分散的条件（边、角）集中，转化为全等或相似三角形，进而突破解题瓶颈。

一、旋转辅助线的核心原理与通用步骤

（一）核心原理

旋转是“全等变换”的一种（不改变图形的形状和大小，仅改变位置），其本质是利用“共顶点的相等线段”作为旋转的“对应边”，将一个三角形绕公共顶点旋转一定角度后，与另一个三角形全等，从而实现“边的转移”“角的转移”或“线段和差的重组”。

旋转的关键要素有三个：

1. 旋转中心：通常是“共顶点的相等线段”的公共端点（如等腰三角形的顶点、正方形的顶点）；

2. 旋转角度：通常等于“相等线段的夹角”（如等腰三角形顶角、正方形的内角90°、等边三角形的内角60°）；

3. 旋转方向：顺时针或逆时针均可，需根据题目条件判断（以能构造全等、集中条件为原则）。

（二）通用步骤

1. 识别特征：观察题目中是否存在“共顶点的相等线段”（如AB=AC、OA=OB、正方形的邻边相等）、特殊角度（如60°、90°）或分散的线段/角；

2. 确定三要素：以“共顶点”为旋转中心，以“相等线段的夹角”为旋转角度，确定旋转方向（使分散的边/角靠拢已知条件）；

3. 构造全等：将目标三角形绕旋转中心旋转后，得到新三角形，利用旋转的性质（旋转后对应边相等、对应角相等）证明新三角形与原图形中的某三角形全等；

4. 利用全等解题：通过全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等），将分散的条件转化为集中的线段和差、角度关系，进而求解。

二、按图形类型分类的旋转辅助线模型

（一）等腰三角形中的旋转辅助线

等腰三角形的核心特征是“两腰相等（AB=AC）、顶角为∠BAC、底角为∠B=∠C”，旋转辅助线通常以顶角顶点A为旋转中心，以顶角∠BAC为旋转角度，将含一腰的三角形（如△ABD）旋转，使另一腰AC与AB重合，构造全等三角形。

1. 模型特征

已知等腰△ABC（AB=AC），点D是平面内任意一点（可在BC上、BC外或BC延长线上），需证明与BD、DC、AD相关的线段和差或角度关系。

2. 操作方法

旋转中心：顶角顶点A；

旋转角度：∠BAC（若顶角为α，则旋转α角）；

旋转对象：将△ADC绕点A顺时针旋转α角（或△ABD绕点A逆时针旋转α角），使AC与AB重合，得到△ABE（此时AE=AD，BE=DC，∠BAE=∠CAD）。

3. 典型示例

例：在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC上一点，求证：BD² + DC² = 2AD²。

辅助线构造：

1. 以A为旋转中心，将△ADC绕A逆时针旋转90°，使AC与AB重合，得到△ABE；

2. 由旋转性质：AE=AD（对应边相等），BE=DC（对应边相等），∠BAE=∠CAD（对应角相等），∠ABE=∠C（对应角相等）；

3. 因∠BAC=90°，∠BAE=∠CAD，故∠DAE=∠DAB + ∠BAE = ∠DAB + ∠CAD = ∠BAC=90°，即△ADE是等腰直角三角形，因此DE²=AD² + AE²=2AD²；

4. 又因△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=∠C=45°，故∠ABE=∠C=45°，则∠DBE=∠ABC + ∠ABE=45°+45°=90°，即△DBE是直角三角形，因此BD² + BE²=DE²；

5. 结合BE=DC、DE²=2AD²，可得BD² + DC²=2AD²，得证。

（二）等边三角形中的旋转辅助线

等边三角形的核心特征是“三边相等（AB=BC=AC）、三角均为60°”，旋转辅助线通常以任意顶点为旋转中心，以60°为旋转角度（因等边三角形的内角为60°），将含一边的三角形旋转，使另一边与原边重合，构造全等三角形（常伴随等边三角形的产生）。

1. 模型特征

已知等边△ABC，点D是平面内任意一点（常见于△ABC内或外），需证明与AD、BD、CD相关的线段和差（如AD=BD+CD）或角度关系（如∠ADB=60°）。

2. 操作方法

旋转中心：任意顶点（如A、B或C，常用B或C）；

旋转角度：60°（与等边三角形的内角一致）；

旋转对象：将△ADC绕点C顺时针旋转60°（或△BDC绕点B逆时针旋转60°），使AC与BC重合，得到△BEC（此时CE=CD，BE=AD，∠DCE=60°）。

3. 典型示例

例：在等边△ABC内有一点D，连接AD、BD、CD，求证：若∠ADB=120°，则AD + BD = CD。

辅助线构造：

1. 以B为旋转中心，将△ABD绕B顺时针旋转60°，使AB与BC重合，得到△CBE；

2. 由旋转性质：BE=BD（对应边相等），CE=AD（对应边相等），∠CBE=∠ABD（对应角相等），∠BEC=∠ADB=120°（对应角相等）；

3. 因旋转角度为60°，∠DBE=∠DBC + ∠CBE=∠DBC + ∠ABD=∠ABC=60°，且BE=BD，故△DBE是等边三角形，因此BD=DE，∠BED=60°；

4. 又因∠BEC=120°，∠BED=60°，故∠DEC=∠BEC - ∠BED=60°，即点D、E、C共线（∠DEC=60°，且△DBE是等边三角形，∠BED=60°，故D-E-C在同一直线上）；

5. 因此CD=CE + DE，结合CE=AD、DE=BD，可得CD=AD + BD，得证。

（三）正方形中的旋转辅助线

正方形的核心特征是“四边相等（AB=BC=CD=DA）、四角均为90°”，旋转辅助线通常以正方形的任意顶点为旋转中心，以90°为旋转角度（与正方形的内角一致），将含一边的三角形旋转，使邻边与原边重合，构造全等三角形（常伴随等腰直角三角形的产生）。

1. 模型特征

已知正方形ABCD，点E是平面内任意一点（可在正方形内、外或边上），需证明与AE、BE、CE相关的线段和差（如AE=BE + √2 CE）或角度关系（如∠AEB=45°）。

2. 操作方法

旋转中心：正方形的顶点（如C、B或A，常用C或B）；

旋转角度：90°（与正方形的内角一致，顺时针或逆时针均可）；

旋转对象：将△BCE绕点C顺时针旋转90°（或△ABE绕点B逆时针旋转90°），使BC与CD重合，得到△DCF（此时CF=CE，DF=BE，∠ECF=90°）。

3. 典型示例

例：在正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD上一点，且∠EAF=45°，求证：EF=BE + DF。

辅助线构造：

1. 以A为旋转中心，将△ADF绕A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABG；

2. 由旋转性质：AG=AF（对应边相等），BG=DF（对应边相等），∠BAG=∠DAF（对应角相等），∠ABG=∠D=90°（对应角相等）；

3. 因正方形ABCD中∠ABC=90°，∠ABG=90°，故∠GBE=∠ABC + ∠ABG=180°，即点G、B、E共线（G在EB的延长线上），因此GE=GB + BE=DF + BE；

4. 又因∠EAF=45°，∠DAB=90°，故∠DAF + ∠BAE=90° - 45°=45°，而∠BAG=∠DAF，因此∠GAF=∠BAG + ∠BAE=45°=∠EAF；

5. 在△AGE和△AFE中，AG=AF，∠GAF=∠EAF，AE=AE，故△AGE≌△AFE（SAS），因此EF=GE=BE + DF，得证。

（四）“手拉手”模型中的旋转辅助线

“手拉手”模型是旋转辅助线的典型延伸，核心特征是“两个共顶点的等腰三角形（或等边三角形、正方形）”，即“共顶点、等顶角、等腰边”，旋转辅助线的本质是将其中一个三角形绕公共顶点旋转，使两等腰边重合，构造全等三角形。

1. 模型分类

根据等腰三角形的顶角不同，分为“60°手拉手”（等边三角形）、“90°手拉手”（等腰直角三角形）、“任意角手拉手”（一般等腰三角形），三者操作逻辑一致，仅旋转角度不同。

2. 操作方法（以“90°手拉手”为例）

已知：等腰Rt△AOB（OA=OB，∠AOB=90°）和等腰Rt△COD（OC=OD，∠COD=90°），公共顶点为O；

旋转中心：公共顶点O；

旋转角度：90°（与两等腰三角形的顶角一致）；

旋转对象：将△AOC绕点O顺时针旋转90°，使OA与OB重合，得到△BOD（此时BD=AC，∠OBD=∠OAC，∠AOC=∠BOD）。

3. 典型结论（通用）

全等：旋转后得到的三角形与原三角形全等（如△AOC≌△BOD）；

线段关系：对应边相等（如AC=BD），且对应边的夹角等于旋转角度（如AC与BD的夹角=90°）；

角度关系：对应角相等（如∠OAC=∠OBD），且∠AOB + ∠COD = ∠AOC + ∠BOD（由旋转角推导）。

（五）含“60°/120°”角的三角形中的旋转辅助线

当三角形中存在60°或120°角时，可通过旋转60°构造等边三角形，将120°角转化为60°角，同时将分散的边集中为等边三角形的边，简化问题。

1. 模型特征

已知△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC（或AB≠AC，但有60°角），需证明线段和差（如BC=AB + AC）或求边长。

2. 操作方法

旋转中心：含60°/120°角的顶点（如A）；

旋转角度：60°（若原角为120°，旋转60°后可凑出180°，使三点共线）；

旋转对象：将△ABD绕点A逆时针旋转60°，使AD与AE重合，构造等边△ADE。

3. 典型示例

例：在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=120°，求BC的长。

辅助线构造：

1. 以A为旋转中心，将△ABC绕A逆时针旋转60°，使AB与AB'重合，得到△AB'C'，连接CC'；

2. 由旋转性质：AB'=AB=2，AC'=AC=3，∠BAB'=60°，∠BAC=∠B'AC'=120°；

3. 因∠BAB'=60°，∠BAC=120°，故∠B'AC=∠BAC - ∠BAB'=60°，则∠CAC'=∠B'AC' - ∠B'AC=120° - 60°=60°，且AC=AC'，故△ACC'是等边三角形，因此CC'=AC=3；

4. 又因AB=AB'，∠BAB'=60°，故△ABB'是等边三角形，因此BB'=AB=2，∠AB'B=60°；

5. 此时∠AB'C'=∠ABC，且∠AB'B=60°，若能证明B、B'、C'共线（需结合具体条件），则BC'=BB' + B'C'=AB + AC，进而用余弦定理求BC（因BC=B'C'，旋转对应边相等）。

三、旋转辅助线的关键技巧与易错点

（一）关键技巧

1. “共顶点、等线段”优先旋转：只要题目中出现“公共顶点+两条相等线段”，优先考虑以该顶点为中心旋转，旋转角度等于两线段的夹角；

2. 旋转后必证“三点共线”：若需利用线段和差（如EF=BE+DF），旋转后需证明新构造的点与原线段的端点共线（如G、B、E共线），否则无法直接用和差关系；

3. 结合特殊三角形性质：旋转后常产生等边三角形、等腰直角三角形，需灵活运用其性质（如等边三角形三边相等、等腰直角三角形斜边=√2直角边）；

4. 多角度尝试旋转中心：若以一个顶点旋转无法解决，可尝试以其他顶点为旋转中心（如正方形中，A、B、C、D均可作为旋转中心，需根据条件判断）。

（二）易错点

1. 旋转方向混淆：顺时针与逆时针旋转会导致新点的位置不同，需确保旋转后能与已知条件靠拢（如旋转后新边能与原边构成全等）；

2. 旋转角度错误：旋转角度必须等于“共顶点相等线段的夹角”（如正方形中旋转90°，而非60°），否则无法构造全等；

3. 忽略“对应关系”：旋转后对应边、对应角需准确识别（如△ADC旋转后，AD的对应边是AE，而非AB），避免全等条件找错；

4. 漏证“全等”：旋转仅提供“对应边相等、对应角相等”的潜在关系，需通过SSS、SAS等定理严格证明全等，不可直接默认。

四、总结

基于旋转的辅助线核心是“利用全等变换集中条件”，其适用场景高度依赖“共顶点相等线段”和“特殊角度”，常见模型（等腰、等边、正方形、手拉手）的操作逻辑可归纳为“一找（找旋转中心）、二定（定旋转角度）、三构（构全等三角形）、四用（用全等性质解题）”。掌握这一逻辑后，可将复杂的几何问题转化为直观的全等关系，进而高效突破线段和差、角度计算、边长求解等问题。