平面几何总结：求加权线段和的最值问题

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求解加权线段和的最值问题（即求\(k_1·PA + k_2·PB + \dots + k_n·PN\)的最值，\(k_i\)为非负常数且不全为1），核心思路是通过几何变换（相似、旋转、缩放）将加权线段转化为等权线段，或利用代数方法将其表示为函数求极值，同时结合几何定义（如胡不归、阿氏圆模型）解决特定加权比例的问题。

一、利用胡不归模型（解决\(PA + k·PB\)，\(0<k<1\)型）

这是最经典的加权线段和模型，适用于动点在定直线上，\(k\)为正弦/余弦值的场景，核心是通过构造直角三角形将加权线段转化为垂线段。

1. 原理

已知定点\(A\)，动点\(P\)在定直线\(l\)上，求\(PA + k·PB\)（\(0<k<1\)）的最小值。构造一个角\(\alpha\)，使\(\sin\alpha = k\)（或\(\cos\alpha = k\)），过\(B\)作与直线\(l\)成\(\alpha\)角的直线\(m\)，过\(P\)作\(PQ \perp m\)于\(Q\)，则\(k·PB = PQ\)，此时\(PA + k·PB = PA + PQ\)，根据垂线段最短，当\(A\)、\(P\)、\(Q\)共线且\(AQ \perp m\)时，取最小值（即\(A\)到直线\(m\)的垂线段长度）。

2. 适用场景

动点在定直线上，加权系数\(k\)为小于1的正数，且可转化为三角函数的有界性形式。

3. 例子

点\(A(2,0)\)，动点\(P\)在直线\(y = x\)上，求\(PA + \frac{\sqrt{2}}{2}·PB\)（\(B(0,2)\)）的最小值。

构造\(\alpha = 45°\)，\(\sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，过\(B\)作直线\(m \perp y = x\)（即\(y = -x + 2\)），过\(P\)作\(PQ \perp m\)于\(Q\)，则\(\frac{\sqrt{2}}{2}·PB = PQ\)，\(PA + PQ\)的最小值为\(A\)到直线\(m\)的垂线段长度：\(\frac{|2 + 0 - 2|}{\sqrt{2}} = 0\)（实际为\(A\)在\(m\)上，最小值为\(AB\)在\(m\)上的投影）。

二、利用阿氏圆模型（解决\(PA + k·PB\)，\(k≠1\)且动点在圆上型）

当动点轨迹为圆，且加权系数\(k\)为常数时，利用阿波罗尼斯圆的定义，将加权线段转化为等权线段，再结合“两点之间线段最短”求最值。

1. 原理

阿波罗尼斯圆定义：平面内到两个定点\(A\)、\(B\)的距离之比为常数\(k\)（\(k≠1\)）的点的轨迹是圆，记为阿氏圆。

若动点\(P\)在阿氏圆上，且\(\frac{PC}{PB} = k\)（\(C\)为定点），则\(k·PB = PC\)，此时\(PA + k·PB = PA + PC\)，最小值为\(AC\)（当\(A\)、\(P\)、\(C\)共线时取等）。

2. 适用场景

动点在定圆上，加权系数\(k\)为正数且不等于1，可找到对应的阿氏圆定点转化等权线段。

3. 例子

圆\(O\)：\(x^2 + y^2 = 4\)，定点\(A(6,0)\)，\(B(3,0)\)，动点\(P\)在圆上，求\(PA + \frac{1}{2}·PB\)的最小值。

由阿氏圆定义，找定点\(C(x,0)\)使\(\frac{PC}{PB} = \frac{1}{2}\)，即\(2PC = PB\)，代入距离公式得\(4[(x - x_P)^2 + y_P^2] = (3 - x_P)^2 + y_P^2\)，结合\(x_P^2 + y_P^2 = 4\)，解得\(C(1,0)\)。则\(\frac{1}{2}·PB = PC\)，\(PA + PC\)的最小值为\(AC = 6 - 1 = 5\)。

三、利用旋转相似变换（解决\(PA + k·PB\)，\(k\)为任意正数型）

当加权系数\(k\)无法用胡不归、阿氏圆直接转化时，通过旋转+相似将加权线段\(k·PB\)转化为新线段\(PC\)，使\(PA + PC\)为等权线段和，再利用几何性质求最值。

1. 原理

以定点\(B\)为旋转中心，将△\(PBA\)绕\(B\)旋转\(\theta\)角，并按比例\(k\)缩放，得到△\(P'BC\)，则\(P'C = k·PA\)（或\(P'C = k·PB\)），此时\(k·PA + PB = P'C + PB\)，最小值为\(BC\)（当\(B\)、\(P\)、\(C\)共线时取等）。

2. 适用场景

加权系数\(k\)为任意正数，且动点与定点构成的三角形可通过旋转相似构造新的等权线段。

3. 例子

已知点\(A(0,3)\)，\(B(4,0)\)，动点\(P\)在圆\(x^2 + y^2 = 1\)上，求\(\sqrt{2}·PA + PB\)的最小值。

以\(O\)为旋转中心，将\(OA\)旋转45°并缩放\(\sqrt{2}\)倍得\(OC(3,3)\)，则\(\sqrt{2}·PA = PC\)，\(PC + PB\)的最小值为\(BC = \sqrt{(4 - 3)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{10}\)。

四、利用代数方法（通用型，适用于所有加权线段和）

将加权线段和表示为变量的函数，通过二次函数最值、导数、三角函数有界性等求极值，适用于解析几何中动点在曲线（直线、抛物线、椭圆等）上的场景。

1. 二次函数最值法

原理：若加权线段和的平方（或直接）可表示为二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a≠0\)），利用二次函数顶点式\(x = -\frac{b}{2a}\)求最值。

例子：动点\(P(x,0)\)在x轴上，求\(2·PA + 3·PB\)（\(A(0,1)\)，\(B(2,0)\)）的最小值。

表达式为\(2\sqrt{x^2 + 1} + 3\sqrt{(x - 2)^2}\)，令\(f(x) = 2\sqrt{x^2 + 1} + 3|x - 2|\)，分\(x≥2\)和\(x<2\)讨论，转化为分段函数，再求二次函数最值。

2. 三角函数最值法

原理：用参数方程表示动点坐标（如圆用极坐标、椭圆用参数方程），将加权线段和转化为三角函数表达式，利用\(|\sin\theta|≤1\)、\(|\cos\theta|≤1\)求最值。

例子：椭圆\(\frac{x^2}{9} + y^2 = 1\)上动点\(P(3\cos\theta, \sin\theta)\)，求\(PA + 2·PB\)（\(A(1,0)\)，\(B(0,1)\)）的最值。

代入得\(PA = \sqrt{(3\cos\theta - 1)^2 + \sin^2\theta}\)，\(PB = \sqrt{9\cos^2\theta + (\sin\theta - 1)^2}\)，化简为三角函数形式后求最值。

3. 导数法

原理：若加权线段和为连续可导的函数\(f(x)\)，求导\(f’(x)\)找极值点，结合定义域判断最值。

适用场景：加权线段和为高次函数、分式函数等复杂函数时。

例子：动点\(P(x, \ln x)\)在曲线\(y = \ln x\)（\(x>0\)）上，求\(3·PA + 2·PB\)（\(A(1,0)\)，\(B(2,1)\)）的最小值。

设\(f(x) = 3\sqrt{(x - 1)^2 + (\ln x)^2} + 2\sqrt{(x - 2)^2 + (\ln x - 1)^2}\)，求导\(f’(x)\)，令\(f’(x)=0\)找极值点，进而求最值。

五、利用不等式放缩（辅助求最值）

借助均值不等式、柯西不等式对加权线段和的表达式进行放缩，快速确定最值的范围或直接求得最值，常与代数方法结合使用。

1. 柯西不等式

原理：\((a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) ≥ (a_1b_1 + a_2b_2)^2\)，可将加权线段和的平方转化为乘积形式放缩。

例子：求\(\sqrt{x^2 + 4} + 2\sqrt{(1 - x)^2 + 1}\)的最小值，令\(a_1=x,a_2=2,b_1=1-x,b_2=1\)，则\((\sqrt{x^2 + 4} + 2\sqrt{(1 - x)^2 + 1})^2 ≥ (x + 2(1 - x))^2 + (2 + 2×1)^2\)，进而求得最小值。

2. 均值不等式

原理：对于正实数\(a_1,a_2,...,a_n\)，\(\frac{k_1a_1 + k_2a_2 +... + k_na_n}{k_1 + k_2 +... + k_n} ≥ \sqrt[k_1 + k_2 +... + k_n]{a_1^{k_1}a_2^{k_2}...a_n^{k_n}}\)，当且仅当\(a_1=a_2=...=a_n\)时取等号。

适用场景：加权线段和的各项均为正，且乘积为定值时。