闵可夫斯基不等式

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

赫尔曼·闵可夫斯基（德语：Hermann Minkowski，1864年6月22日－1909年1月12日），1864年出生于俄国的亚力克索塔斯（Alexotas，今立陶宛的考纳斯），德国数学家，犹太人，四维时空理论的创立者，曾经是著名物理学家爱因斯坦的老师。赫尔曼·闵可夫斯基少年时期就在数学上表现出极高的天赋，被称为神童。当时闵可夫斯基兄弟三人在哥尼斯堡十分有名。

一、闵可夫斯基不等式

闵可夫斯基不等式本质上刻画了“距离”的三角不等式性质（如欧几里得距离），其核心是：两个向量和的范数不大于两个向量范数的和。根据“范数”的不同定义，可分为离散形式和连续形式，高中阶段重点关注离散形式。

1. 闵可夫斯基不等式离散形式

设 \( x_1, x_2, \dots, x_n \) 和 \( y_1, y_2, \dots, y_n \) 是两组非负实数，\( p \geq 1 \) ，有：\(\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n (x_i + y_i)^p} \leq \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n x_i^p} + \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n y_i^p}\)

当且仅当存在非负实数 \( k \)，使得 \( x_i = k y_i \)（对所有 \( i = 1, 2, \dots, n \) 成立）时，等号成立。

2. 闵可夫斯基不等式特殊情况：p=2（欧几里得形式）（三角不等式）

当 \( p=2 \) 时，不等式退化为更直观的“平方和开方”形式，与平面直角坐标系中两点间距离的三角不等式完全一致，是高中阶段最常用的形式：

\(\sqrt{(x_1 + y_1)^2 + (x_2 + y_2)^2 + \dots + (x_n + y_n)^2} \leq \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2} + \sqrt{y_1^2 + y_2^2 + \dots + y_n^2}\)

几何意义：在 \( n \) 维空间中，对于向量 \( \vec{a} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \)、\( \vec{b} = (y_1, y_2, \dots, y_n) \)，向量和的模长 \( |\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}| \)，等号当且仅当 \( \vec{a} \) 与 \( \vec{b} \) 共线（同向）时成立。

3. 闵可夫斯基不等式连续形式

设 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 是区间 \( [a, b] \) 上的非负可积函数，\( p \geq 1 \)，则：

\(\left( \int_a^b [f(x) + g(x)]^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \leq \left( \int_a^b f(x)^p dx \right)^{\frac{1}{p}} + \left( \int_a^b g(x)^p dx \right)^{\frac{1}{p}}\)

高中阶段暂不要求掌握连续形式，但可了解其与离散形式的一致性（积分是求和的极限）。

例题1：基础直接应用（p=2，二维）

题目：已知实数 \( x, y \) 满足 \( x^2 + y^2 = 4 \)，求 \( \sqrt{(x + 3)^2 + (y - 4)^2} + \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 4)^2} \) 的最小值。

解析：

1. 结构识别：式子中两个根号分别是 \( \sqrt{(x + 3)^2 + (y - 4)^2} \)（点 \( (x,y) \) 到 \( A(-3,4) \) 的距离）和 \( \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 4)^2} \)（点 \( (x,y) \) 到 \( B(3,-4) \) 的距离），但直接看“和”的结构，可关联闵可夫斯基不等式。

2. 构造闵可夫斯基形式：

设 \( \vec{a} = (x, y) \)，\( \vec{b_1} = (3, -4) \)，\( \vec{b_2} = (-3, 4) \)，则：

\(\sqrt{(x + 3)^2 + (y - 4)^2} = |\vec{a} + \vec{b_1}|, \quad \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 4)^2} = |\vec{a} + \vec{b_2}|\)

但更直接的是利用“和的模长”：注意到 \( A(-3,4) \) 与 \( B(3,-4) \) 关于原点对称，且点 \( (x,y) \) 在圆 \( x^2 + y^2 = 4 \) 上（圆心 \( O(0,0) \)，半径 2）。

由闵可夫斯基不等式（p=2）：

\(|\vec{OA} + \vec{OP}| + |\vec{OB} + \vec{OP}| \geq |(\vec{OA} + \vec{OP}) + (\vec{OB} + \vec{OP})| \quad?\)

更简单的几何意义：\( |\vec{AP}| + |\vec{BP}| \geq |\vec{AB}| \)（三角不等式），而 \( |\vec{AB}| = \sqrt{(3 + 3)^2 + (-4 - 4)^2} = 10 \)。

当且仅当 \( P(x,y) \) 在 \( \vec{AB} \) 上（即 \( P \) 为 \( AB \) 与圆的交点）时，等号成立。

3. 结论：最小值为 \( 10 \)。

例题2：最值求解（p=2，三维）

题目：求函数 \( f(x, y, z) = \sqrt{x^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2} + \sqrt{(x - 3)^2 + y^2 + (z - 1)^2} \) 的最小值。

解析：

1. 几何意义：式子表示三维空间中，任意点 \( P(x,y,z) \) 到点 \( A(0,1,-2) \) 的距离与到点 \( B(3,0,1) \) 的距离之和。

2. 闵可夫斯基应用：根据 p=2 的闵可夫斯基不等式（三维形式）：

\(|\vec{PA}| + |\vec{PB}| \geq |\vec{AB}|\)

其中 \( \vec{AB} = (3 - 0, 0 - 1, 1 - (-2)) = (3, -1, 3) \)，则 \( |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{19} \)。

3. 等号条件：当且仅当 \( P \) 在 \( \vec{AB} \) 线段上时，等号成立。

4. 结论：最小值为 \( \sqrt{19} \)。

例题3：不等式证明（p=2，n维）

题目：已知 \( a_1, a_2, \dots, a_n \) 和 \( b_1, b_2, \dots, b_n \) 均为非负实数，求证：

\(\sqrt{(a_1 + b_1)^2 + (a_2 + b_2)^2 + \dots + (a_n + b_n)^2} \leq \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2} + \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2}\)

解析：

1. 直接应用闵可夫斯基：这是闵可夫斯基不等式在 \( p=2 \) 时的标准形式，可直接证明，也可通过平方展开结合柯西不等式验证。

2. 平方展开验证：

两边平方得：

\(\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^2 \leq \sum_{i=1}^n a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2\sqrt{\left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right)}\)

左边展开：\( \sum a_i^2 + 2\sum a_i b_i + \sum b_i^2 \)，整理后需证：

\(\sum a_i b_i \leq \sqrt{\left( \sum a_i^2 \right)\left( \sum b_i^2 \right)}\)

这正是柯西不等式（柯西-施瓦茨不等式），显然成立。

3. 等号条件：当且仅当 \( \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} \)（即 \( a_i = k b_i \)）时，等号成立。

例题4：结合约束条件的最值（p=2，二维）

题目：已知正数 \( x, y \) 满足 \( 2x + y = 1 \)，求 \( \sqrt{x^2 + y^2} + \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2} \) 的最小值。

解析：

1. 结构分析：\( \sqrt{x^2 + y^2} \) 是点 \( P(x,y) \) 到原点 \( O(0,0) \) 的距离，\( \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2} \) 是点 \( P(x,y) \) 到点 \( Q(1,1) \) 的距离，且 \( P \) 在直线 \( 2x + y = 1 \) 上（第一象限部分）。

2. 闵可夫斯基与几何结合：根据三角不等式（闵可夫斯基 p=2），\( |\vec{OP}| + |\vec{PQ}| \geq |\vec{OQ}| \)，但 \( |\vec{OQ}| = \sqrt{2} \)，需验证 \( P \) 是否在 \( OQ \) 与直线 \( 2x + y = 1 \) 的交点上。

联立 \( OQ \) 方程 \( y = x \) 与 \( 2x + y = 1 \)，得 \( x = y = \frac{1}{3} \)（正数，符合条件）。

3. 计算验证：将 \( x = y = \frac{1}{3} \) 代入原式：

\(\sqrt{\left( \frac{1}{3} \right)^2 + \left( \frac{1}{3} \right)^2} + \sqrt{\left( \frac{1}{3} - 1 \right)^2 + \left( \frac{1}{3} - 1 \right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}\)

4. 结论：最小值为 \( \sqrt{2} \)。

例题5：p>1的拓展应用（非p=2）

题目：已知 \( x, y > 0 \)，且 \( x^3 + y^3 = 2 \)，求证：\( x + y \leq 2 \)。

解析：

1. 构造闵可夫斯基形式：目标是用 \( x^3 + y^3 = 2 \) 证 \( x + y \leq 2 \)，注意到 \( x = \sqrt[3]{x^3 \cdot 1^2} \)，\( y = \sqrt[3]{y^3 \cdot 1^2} \)，可利用 \( p=3 \) 的闵可夫斯基不等式（二维）：

对于 \( p=3 \)，有：

\(\sqrt[3]{(x_1 + x_2)^3 + (y_1 + y_2)^3} \leq \sqrt[3]{x_1^3 + y_1^3} + \sqrt[3]{x_2^3 + y_2^3}\)

2. 赋值构造：设 \( x_1 = x, y_1 = 0 \)；\( x_2 = 0, y_2 = y \)，则：

\(\sqrt[3]{(x + 0)^3 + (0 + y)^3} \leq \sqrt[3]{x^3 + 0^3} + \sqrt[3]{0^3 + y^3}\)

即 \( \sqrt[3]{x^3 + y^3} \leq x + y \)，两边立方得 \( x^3 + y^3 \leq (x + y)^3 \)（此为幂平均不等式的特殊情况，也可由闵可夫斯基推导）。

3. 代入条件：已知 \( x^3 + y^3 = 2 \)，则 \( 2 \leq (x + y)^3 \)，即 \( x + y \geq \sqrt[3]{2} \)？不对，需调整赋值：

正确构造：设 \( \vec{a} = (x, y) \)，\( \vec{b} = (y, x) \)，但更简单的是用 \( p=3 \) 的闵可夫斯基逆用：

要证 \( x + y \leq 2 \)，即证 \( (x + y)^3 \leq 8 \)。展开左边：\( x^3 + y^3 + 3xy(x + y) = 2 + 3xy(x + y) \leq 8 \)，即 \( xy(x + y) \leq 2 \)。

但用闵可夫斯基更直接：取 \( p=3 \)，令两组数为 \( (x^3, 0) \) 和 \( (0, y^3) \)，则：

\(x + y = \sqrt[3]{x^3} + \sqrt[3]{y^3} = \sqrt[3]{x^3 + 0^3} + \sqrt[3]{0^3 + y^3} \geq \sqrt[3]{(x + 0)^3 + (0 + y)^3} = \sqrt[3]{x^3 + y^3} = \sqrt[3]{2}\)

若要证 \( x + y \leq 2 \)，可结合均值不等式：\( x^3 + 1^3 + 1^3 \geq 3x \)，\( y^3 + 1^3 + 1^3 \geq 3y \)，相加得 \( (x^3 + y^3) + 4 \geq 3(x + y) \)，即 \( 2 + 4 \geq 3(x + y) \)，故 \( x + y \leq 2 \)（此处虽用均值，但闵可夫斯基可辅助理解“和的范数与范数的和”关系）。

4. 结论：\( x + y \leq 2 \)，当且仅当 \( x = y = 1 \) 时等号成立。