平面几何总结：构造三角形相似

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构造三角形相似是平面几何中解决线段比例、角度关系、面积问题的核心技巧，核心思路是通过添加辅助线，创造满足相似三角形判定定理（AA、SAS、SSS）的条件，将分散的线段或角集中到可关联的三角形中。

一、利用平行线构造相似（最常用）

通过作平行线，创造相等的同位角或内错角，结合公共角/对顶角，满足AA判定定理，是构造相似三角形最基础的方法。

1. 过顶点作对边的平行线

原理：过三角形的一个顶点作对边的平行线，与另一边（或延长线）相交，形成的小三角形与原三角形有两组角相等（AA），从而相似。

适用场景：需证明线段比例关系，或转化三角形的边/角位置。

例子：在△ABC中，D是AB中点，过D作DE∥BC交AC于E，求证△ADE∽△ABC，且AE=EC。

构造方法：过D作DE∥BC。

证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB（同位角相等），故△ADE∽△ABC（AA）。又AD=\(\frac{1}{2}\)AB，∴\(\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}\)，即AE=EC（三角形中位线定理的推导）。

2. 过线段上的点作平行线

原理：在线段（非顶点）上取一点，作某边的平行线，构造出的小三角形与原三角形相似（AA），同时产生成比例的线段。

适用场景：动点在线段上，需证明线段比例或和差关系。

例子：在△ABC中，BC=6，点D在AB上，AD:DB=1:2，过D作DE∥BC交AC于E，求DE的长度。

构造方法：过D作DE∥BC。

证明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC（AA），\(\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}\)，故DE=2。

3. 作多条平行线构造相似链

原理：作多条平行线，形成多个相似三角形的连锁关系（如△A∽△B，△B∽△C，则△A∽△C），适用于复杂的比例推导。

适用场景：涉及多条线段的比例转化，或梯形、多边形中的相似问题。

二、利用角相等构造相似

通过构造相等的角（如作角平分线、利用公共角/对顶角、旋转造角），满足AA或SAS判定定理，直接构造相似三角形。

1. 作角平分线构造相似（角平分线定理推导）

原理：角平分线上的点与角两边形成的角相等，结合公共角，满足AA判定；或利用角平分线定理的比例关系，构造SAS相似。

适用场景：已知角平分线，需证明线段比例（如角平分线定理：\(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}\)）。

例子：AD是△ABC的角平分线，求证\(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}\)。

构造方法：过C作CE∥AD交BA的延长线于E。

证明：∵CE∥AD，∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE；又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，故∠E=∠ACE，AC=AE。由CE∥AD，得△BAD∽△BEC（AA），\(\frac{AB}{BE}=\frac{BD}{BC}\)，即\(\frac{AB}{AB+AE}=\frac{BD}{BC}\)，代入AE=AC化简得\(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}\)。

2. 构造公共角/对顶角+等角

原理：利用图形中的公共角（如△ABC与△ACD共∠A）或对顶角，再构造一组相等的角，满足AA判定。

例子：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，求证△ACD∽△ABC∽△CBD。

构造方法：无需额外作辅助线，利用公共角和直角。

证明：∵∠ACB=∠ADC=90°，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC（AA）；同理∠B=∠B，∠ACB=∠CDB=90°，∴△ABC∽△CBD（AA），故三个三角形两两相似。

3. 旋转造角构造相似

原理：将三角形绕定点旋转一定角度，使旋转后的角与原角相等，结合边长比例，满足SAS相似（旋转相似）。

适用场景：存在共顶点的等长线段（如正方形、等边三角形的边），需证明线段比例或角度关系。

例子：在正方形ABCD中，E是BC中点，F是CD上一点，CF=\(\frac{1}{4}\)CD，求证△ABE∽△ECF。

构造方法：利用正方形的角和边的比例，无需旋转但本质是角的等量转化。

证明：设正方形边长为4，则BE=2，EC=2，CF=1，AB=4。\(\frac{AB}{EC}=\frac{4}{2}=2\)，\(\frac{BE}{CF}=\frac{2}{1}=2\)，且∠B=∠C=90°，故△ABE∽△ECF（SAS）。

三、利用边长比例构造相似

通过截取或延长线段，使三角形的边长满足SSS或SAS判定定理的比例关系，进而构造相似三角形。

1. 截取线段构造SSS相似

原理：在原三角形的边上截取线段，使新三角形的三边与原三角形的三边成比例，满足SSS相似。

适用场景：已知线段比例，需构造相似三角形证明角相等。

例子：在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，在AB上截取AD=3，在AC上截取AE=5，连接DE，求证△ADE∽△ABC。

构造方法：截取AD=\(\frac{1}{2}\)AB，AE=\(\frac{1}{2}\)AC。

证明：\(\frac{AD}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)，\(\frac{AE}{AC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)，\(\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}\)（可通过平行线推导），故△ADE∽△ABC（SSS）。

2. 延长线段构造SAS相似

原理：延长三角形的边，使延长后的线段与原边成比例，结合夹角相等，满足SAS相似。

适用场景：需将三角形的边延长，转化线段比例关系。

例子：在△ABC中，D是AB延长线上一点，且\(\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{AE}\)（E在AC延长线上），∠A为公共角，求证△ADE∽△ABC。

构造方法：延长AB至D，AC至E，使\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)。

证明：∵\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC（SAS）。

四、利用直角三角形的特殊性质构造相似

直角三角形的垂直、射影性质是构造相似的天然条件，主要结合AA判定定理，无需额外作复杂辅助线。

1. 利用斜边上的高构造相似（射影定理）

原理：直角三角形斜边上的高将原三角形分成两个小直角三角形，这两个小三角形与原三角形两两相似（AA）。

适用场景：直角三角形中，需证明线段的平方/乘积关系（如射影定理：\(AC^2=AD·AB\)）。

例子：如前文△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，由△ACD∽△ABC，得\(\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}\)，即\(AC^2=AD·AB\)。

2. 作直角边的垂线构造相似

原理：过直角三角形的顶点作直角边的垂线，形成新的直角三角形，与原三角形有公共锐角，满足AA相似。

适用场景：直角三角形中，需转化线段的垂直关系为比例关系。

五、利用补形法构造相似

当图形为不规则多边形（如梯形、五边形）时，通过补形（补成三角形、特殊四边形），构造出包含原图形的相似三角形。

1. 梯形补形为三角形

原理：延长梯形的两腰交于一点，形成两个相似的三角形（AA），利用相似比推导梯形的边长比例。

适用场景：梯形中，需证明上下底的比例或腰的分割比例。

例子：在梯形ABCD中，AB∥CD，延长AD、BC交于点E，求证△EDC∽△EAB。

构造方法：延长AD、BC交于E。

证明：∵AB∥CD，∴∠EDC=∠EAB，∠ECD=∠EBA（同位角相等），故△EDC∽△EAB（AA）。

2. 多边形补形为三角形

原理：将不规则多边形的边延长，补成三角形，利用多边形的内角关系构造相等的角，进而证明相似。

适用场景：五边形、六边形等复杂多边形中，需简化线段比例关系。

六、利用圆的性质构造相似

圆的圆周角、弦切角、相交弦等性质可创造相等的角，结合AA判定定理构造相似三角形，适用于圆相关的几何问题。

1. 利用同弧所对的圆周角相等构造相似

原理：同弧或等弧所对的圆周角相等，结合公共角/对顶角，满足AA相似。

例子：圆O中，AB是弦，CD是直径且CD⊥AB于E，求证△AEC∽△DEB。

构造方法：利用圆周角和对顶角。

证明：∵∠AEC=∠DEB=90°，∠ACE=∠DBE（同弧AD所对的圆周角相等），故△AEC∽△DEB（AA）。

2. 利用弦切角定理构造相似

原理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角，结合公共角，满足AA相似。

例子：PT是圆O的切线，T为切点，PAB是割线，求证△PTA∽△PBT。

构造方法：利用弦切角与圆周角的关系。

证明：∵PT是切线，∴∠PTA=∠PBT（弦切角定理）；又∠P=∠P（公共角），故△PTA∽△PBT（AA）。

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