函数是特殊的映射，映射的范围更广，可覆盖非数集的对应关系；函数则限定在数集之间的对应。

一、映射的定义

映射是建立在两个非空集合之间的确定性对应关系，核心是“原象集中每个元素都有唯一的象”。

严格定义

设 \( A \)、\( B \) 是两个非空集合，若存在一个对应法则 \( f \)，满足：

1. 对于集合 \( A \) 中的任意一个元素 \( x \)（原象），通过 \( f \) 都能找到集合 \( B \) 中的元素与之对应；

2. 对于集合 \( A \) 中的同一个元素 \( x \)，通过 \( f \) 在集合 \( B \) 中找到的对应元素只有一个（即象的唯一性）。

则称这种对应关系为“从集合 \( A \) 到集合 \( B \) 的映射”，记作 \( f: A \to B \)。其中：

\( A \) 称为原象集（所有输入元素的集合）；

\( B \) 称为象集（所有可能输出元素的集合）；

若 \( x \in A \) 对应 \( y \in B \)，则 \( y \) 称为 \( x \) 在 \( f \) 下的象，记作 \( y = f(x) \)；\( x \) 称为 \( y \) 在 \( f \) 下的原象。

映射的3个核心特征

1. 任意性：原象集 \( A \) 中不能有“无对应”的元素（每个元素都要参与对应）；

2. 唯一性：一个原象只能对应一个象（不能“一对多”）；

3. 灵活性：象集 \( B \) 中可以有元素没有原象（即“象集可闲置”）；多个原象可以对应同一个象（即“多对一”是允许的）；\( A \)、\( B \) 可以是任意非空集合（如数集、点集、图形集、文字集等）。

二、映射的类型

根据原象与象的对应关系（是否“多对一”“象集是否全覆盖”），映射可分为4种基本类型，核心判断依据是“单射性”和“满射性”。

1. 单射（Injective Mapping）：若映射 \( f: A \to B \) 中，不同的原象对应不同的象（即“一对一”，不允许“多对一”），则称 \( f \) 为单射。

关键特征：若 \( x_1 \in A \)、\( x_2 \in A \)，且 \( x_1 \neq x_2 \)，则 \( f(x_1) \neq f(x_2) \)。

示例：设 \( A = \{1,2,3\} \)，\( B = \{4,5,6,7\} \)，对应法则 \( f: x \to x + 3 \)（1→4，2→5，3→6），不同原象对应不同象，是单射。

2. 满射（Surjective Mapping）：若映射 \( f: A \to B \) 中，象集 \( B \) 中的每个元素都有原象（即“象集无闲置”，覆盖整个 \( B \)），则称 \( f \) 为满射。

关键特征：对于任意 \( y \in B \)，都存在至少一个 \( x \in A \)，使得 \( f(x) = y \)。

示例：设 \( A = \{1,2,3,4\} \)，\( B = \{2,4,6\} \)，对应法则 \( f: x \to 2x \)（1→2，2→4，3→6，4→8？不，需调整：若 \( A = \{1,2,3\} \)，\( B = \{2,4,6\} \)，则1→2，2→4，3→6，\( B \) 中每个元素都有原象，是满射）。

3. 双射（Bijective Mapping）：若映射 \( f: A \to B \) 既是单射又是满射，则称 \( f \) 为双射（也叫“一一对应映射”）。

关键特征：既满足“一对一”（不同原象对应不同象），又满足“象集全覆盖”（\( B \) 中每个元素都有原象）。

示例：设 \( A = \{1,2,3\} \)，\( B = \{4,5,6\} \)，对应法则 \( f: x \to x + 3 \)（1→4，2→5，3→6），既是单射（一对一），又是满射（\( B \) 无闲置），是双射。

4. 非单非满射（普通映射）：若映射 \( f: A \to B \) 既不是单射（存在“多对一”），也不是满射（\( B \) 有闲置元素），则为普通映射。

示例：设 \( A = \{1,2,3,4\} \)，\( B = \{5,6,7,8,9\} \)，对应法则 \( f: x \to 5 \)（所有 \( A \) 中元素都对应5），是“多对一”（非单射），且 \( B \) 中6、7、8、9无原象（非满射），属于普通映射。

三、函数的定义

函数是特殊的映射——当映射的原象集 \( A \) 和象集 \( B \) 均为非空数集时，该映射就是函数。

严格定义

设 \( A \)、\( B \) 是两个非空的数集，若存在一个对应法则 \( f \)，满足：

1. 对于集合 \( A \) 中的任意一个数 \( x \)（自变量），通过 \( f \) 都能在集合 \( B \) 中找到唯一的数与之对应；

2. 这个对应关系可表示为 \( y = f(x) \)，其中 \( y \) 称为因变量。

则称 \( f: A \to B \) 为“从集合 \( A \) 到集合 \( B \) 的函数”，记作 \( y = f(x), x \in A \)。其中：

自变量 \( x \) 的取值范围 \( A \) 称为定义域；

所有因变量 \( y \) 的取值构成的集合（即 \( \{ f(x) \mid x \in A \} \)）称为值域，值域是象集 \( B \) 的子集；

对应法则 \( f \) 通常用解析式（如 \( y = 2x + 1 \)）、表格或图像表示。

函数与映射的核心联系

包含关系：函数 ⊂ 映射，所有函数都是映射，但不是所有映射都是函数（只有“数集到数集”的映射才是函数）；

共同特征：都满足“任意性”和“唯一性”（原象集中每个元素对应唯一的象）；

区别点：映射的 \( A \)、\( B \) 可是非数集（如“三角形→面积”），函数的 \( A \)、\( B \) 必须是数集。

例题1：判断是否为映射：判断下列对应关系是否为从 \( A \) 到 \( B \) 的映射：

（1）\( A = \{1,2,3\} \)，\( B = \{2,4,6\} \)，\( f: x \to 2x \)；

（2）\( A = \{1,2,3\} \)，\( B = \{1,3,5,7\} \)，\( f: x \to 2x - 1 \)；

（3）\( A = \{1,2,3\} \)，\( B = \{0,1,2\} \)，\( f: x \to x - 1 \)（\( x=1 \) 对应0，\( x=2 \) 对应1，\( x=3 \) 对应1和2）；

（4）\( A = \{中国的省\} \)，\( B = \{中国的省会城市\} \)，\( f: 省 \to 该省的省会 \)；

（5）\( A = \{1, -1, 2, -2\} \)，\( B = \{1,4\} \)，\( f: x \to x^2 \)。

解析：根据映射“任意性、唯一性”判断：

1. 是映射：\( A \) 中每个元素对应 \( B \) 中唯一元素（1→2，2→4，3→6）；

2. 是映射：\( A \) 中元素对应 \( B \) 中唯一元素（1→1，2→3，3→5），\( B \) 中7无原象不影响；

3. 不是映射：\( x=3 \) 对应 \( B \) 中两个元素（1和2），违反“唯一性”；

4. 是映射：每个省都有唯一的省会，满足“任意性、唯一性”；

5. 是映射：\( A \) 中元素对应 \( B \) 中唯一元素（1→1，-1→1，2→4，-2→4），“多对一”允许。

例题2：判断映射的类型（单射/满射/双射/普通）

判断下列映射的类型（设 \( A \)、\( B \) 均为非空集合）：

（1）\( A = \{1,2,3\} \)，\( B = \{4,5,6\} \)，\( f: x \to x + 3 \)；

（2）\( A = \{1,2,3,4\} \)，\( B = \{2,4,6\} \)，\( f: x \to 2x \)（1→2，2→4，3→6，4→8）；

（3）\( A = \{1,2,3,4\} \)，\( B = \{1,2\} \)，\( f: x \to x \) 的奇偶性（奇数→1，偶数→2）；

（4）\( A = \{x \mid x \in \mathbb{R}\} \)，\( B = \{y \mid y \in \mathbb{R}\} \)，\( f: x \to y = x + 5 \)；

（5）\( A = \{x \mid x \in \mathbb{R}\} \)，\( B = \{y \mid y \geq 0\} \)，\( f: x \to y = x^2 \)。

解析：

1. 双射：\( A \) 中不同元素对应 \( B \) 中不同元素（单射），\( B \) 中每个元素都有原象（满射）；

2. 单射：\( A \) 中不同元素对应 \( B \) 中不同元素（1→2，2→4，3→6，4→8），但 \( B \) 中无8（非满射），故为单射；

3. 满射：\( B \) 中1（对应1、3）和2（对应2、4）都有原象（满射），但“多对一”（非单射），故为满射；

4. 双射：\( \mathbb{R} \) 中不同 \( x \) 对应不同 \( y = x + 5 \)（单射），且 \( \mathbb{R} \) 中每个 \( y \) 都有原象 \( x = y - 5 \)（满射）；

5. 普通映射：\( x=1 \) 和 \( x=-1 \) 都对应 \( y=1 \)（非单射），\( B \) 中无负数（但 \( B \) 定义为 \( y \geq 0 \)，看似满射？不，\( y=1 \) 有原象，但“多对一”导致非单射，且无“非满射”问题？实际：\( y = x^2 \) 的值域是 \( y \geq 0 \)，与 \( B \) 一致（满射），但“多对一”（非单射），故为满射，非单射。

例题3：求映射的象与原象

已知映射 \( f: A \to B \)，\( A = B = \mathbb{R} \)，对应法则 \( f: x \to y = 2x^2 - 4x + 1 \)。

（1）求 \( x = 3 \) 和 \( x = -1 \) 在 \( f \) 下的象；

（2）求 \( y = 3 \) 和 \( y = -1 \) 在 \( f \) 下的原象。

解析：

1. 求象：将 \( x \) 代入对应法则：

\( x=3 \) 时，\( y = 2×3^2 - 4×3 + 1 = 18 - 12 + 1 = 7 \)，象为7；

\( x=-1 \) 时，\( y = 2×(-1)^2 - 4×(-1) + 1 = 2 + 4 + 1 = 7 \)，象为7；

2. 求原象：解方程 \( 2x^2 - 4x + 1 = y \)：

当 \( y=3 \) 时，\( 2x^2 - 4x + 1 = 3 \) → \( 2x^2 - 4x - 2 = 0 \) → \( x^2 - 2x - 1 = 0 \)，解得 \( x = 1 \pm \sqrt{2} \)，原象为 \( 1 + \sqrt{2} \) 和 \( 1 - \sqrt{2} \)；

当 \( y=-1 \) 时，\( 2x^2 - 4x + 1 = -1 \) → \( 2x^2 - 4x + 2 = 0 \) → \( x^2 - 2x + 1 = 0 \)，解得 \( x = 1 \)，原象为1。

例题4：计算映射的个数

已知集合 \( A \) 有 \( m \) 个元素，集合 \( B \) 有 \( n \) 个元素，求从 \( A \) 到 \( B \) 的映射共有多少个？并计算以下具体情况：

（1）\( A = \{a, b\} \)，\( B = \{1, 2\} \)；

（2）\( A = \{x, y, z\} \)，\( B = \{3, 4, 5\} \)。

解析：映射的个数取决于“每个原象的对应选择数”——\( A \) 中每个元素都有 \( n \) 种对应方式（对应 \( B \) 中任意元素），故总映射个数为 \( n^m \)。

1. \( A \) 有2个元素，\( B \) 有2个元素，总映射个数 = \( 2^2 = 4 \) 个（分别是：\( a→1,b→1 \)；\( a→1,b→2 \)；\( a→2,b→1 \)；\( a→2,b→2 \)）；

2. \( A \) 有3个元素，\( B \) 有3个元素，总映射个数 = \( 3^3 = 27 \) 个。

例题5：映射的应用（实际场景）

某班级有5名学生（\( A = \{张三, 李四, 王五, 赵六, 钱七\} \)），期末考试数学成绩（\( B = \{85, 92, 78, 95, 88\} \)），对应法则 \( f: 学生 \to 该生的数学成绩 \)。判断：

（1）该对应是否为映射？

（2）若李四和赵六的成绩都是92，是否影响映射的定义？

（3）若 \( B \) 中增加“100”，该对应是否仍为映射？

解析：

1. 是映射：每个学生都有唯一的数学成绩，满足“任意性、唯一性”；

2. 不影响：“多对一”（李四和赵六对应92）是映射允许的，只要每个学生对应唯一成绩即可；

3. 仍为映射：\( B \) 中“100”无原象（无学生得100），但映射允许象集有闲置元素，故仍为映射。

例题6：判断是否为函数

判断下列对应关系是否为函数（定义域为 \( A \)，值域为 \( B \) 的子集）：

（1）\( A = \mathbb{R} \)，\( B = \mathbb{R} \)，\( y = 3x - 2 \)；

（2）\( A = \mathbb{R} \)，\( B = \mathbb{R} \)，\( y = \sqrt{x} \)；

（3）\( A = \mathbb{R} \)，\( B = \mathbb{R} \)，\( y = \pm \sqrt{x^2} \)；

（4）\( A = \{x \mid x \neq 0\} \)，\( B = \mathbb{R} \)，\( y = \frac{1}{x} \)；

（5）\( A = \{1,2,3,4\} \)，\( B = \{2,4,6,8\} \)，\( y = 2x \)。

解析：函数需满足“\( A \)、\( B \) 是数集”且“任意性、唯一性”：

1. 是函数：\( A \) 中每个实数 \( x \) 对应 \( B \) 中唯一 \( 3x - 2 \)；

2. 不是函数：\( A \) 中负数（如 \( x=-1 \)）无法计算 \( \sqrt{x} \)，违反“任意性”（定义域应为 \( x \geq 0 \)）；

3. 不是函数：\( x=1 \) 对应 \( y=1 \) 和 \( y=-1 \)，违反“唯一性”；

4. 是函数：\( A \) 中每个非零实数 \( x \) 对应唯一 \( \frac{1}{x} \)；

5. 是函数：\( A \) 中每个元素对应 \( B \) 中唯一元素（1→2，2→4，3→6，4→8）。

例题7：求函数的定义域

函数的定义域是“使解析式有意义的自变量 \( x \) 的集合”，常见限制：分式分母≠0、偶次根式被开方数≥0、对数真数>0。求下列函数的定义域：

（1）\( f(x) = \frac{2}{x + 5} \)；

（2）\( f(x) = \sqrt{4x - 8} \)；

（3）\( f(x) = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 6} \)；

（4）\( f(x) = \log_2(x - 1) \)；

（5）\( f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x + 9}} \)。

解析：

1. 分母 \( x + 5 \neq 0 \) → \( x \neq -5 \)，定义域为 \( \{x \mid x \in \mathbb{R}, x \neq -5\} \)；

2. 被开方数 \( 4x - 8 \geq 0 \) → \( x \geq 2 \)，定义域为 \( \{x \mid x \geq 2\} \)；

3. 需同时满足：\( x - 2 \geq 0 \)（根式）且 \( x - 6 \neq 0 \)（分式）→ \( x \geq 2 \) 且 \( x \neq 6 \)，定义域为 \( \{x \mid x \geq 2, x \neq 6\} \)；

4. 对数真数 \( x - 1 > 0 \) → \( x > 1 \)，定义域为 \( \{x \mid x > 1\} \)；

5. 需同时满足：\( 3x + 9 > 0 \)（根号内非负且分母≠0）→ \( x > -3 \)，定义域为 \( \{x \mid x > -3\} \)。

例题8：求函数的值域

值域是“函数值的集合”，常用方法：观察法、配方法、单调性法、换元法。求下列函数的值域：

（1）\( f(x) = 5x - 1 \)（\( x \in [0, 2] \)）；

（2）\( f(x) = x^2 - 6x + 5 \)（\( x \in \mathbb{R} \)）；

（3）\( f(x) = \frac{1}{x + 2} \)（\( x \in (-2, +\infty) \)）；

（4）\( f(x) = \sqrt{x + 3} - 2 \)（\( x \geq -3 \)）；

（5）\( f(x) = -x^2 + 4x - 1 \)（\( x \in [1, 3] \)）。

解析：

1. 单调性法：\( f(x) \) 在 [0,2] 上单调递增，\( x=0 \) 时 \( f(0)=-1 \)，\( x=2 \) 时 \( f(2)=9 \)，值域为 \( [-1, 9] \)；

2. 配方法：\( f(x) = (x - 3)^2 - 4 \)，\( (x - 3)^2 \geq 0 \) → \( f(x) \geq -4 \)，值域为 \( [-4, +\infty) \)；

3. 单调性法：\( f(x) = \frac{1}{x + 2} \) 在 (-2, +∞) 上单调递减，\( x \to -2^+ \) 时 \( f(x) \to +\infty \)，\( x \to +\infty \) 时 \( f(x) \to 0^+ \)，值域为 \( (0, +\infty) \)；

4. 观察法：\( \sqrt{x + 3} \geq 0 \) → \( \sqrt{x + 3} - 2 \geq -2 \)，值域为 \( [-2, +\infty) \)；

5. 配方法+单调性：\( f(x) = -(x - 2)^2 + 3 \)，\( x \in [1,3] \) 时，顶点 \( x=2 \) 对应 \( f(2)=3 \)，端点 \( x=1 \) 和 \( x=3 \) 对应 \( f(1)=f(3)=2 \)，值域为 \( [2, 3] \)。

例题9：函数的求值与解析式

（1）已知 \( f(x) = 2x^2 + 3x - 4 \)，求 \( f(1) \)、\( f(-2) \)、\( f(a + 1) \)；

（2）已知 \( f(x + 1) = x^2 - 2x \)，求 \( f(x) \) 的解析式；

（3）已知 \( f(x) = ax + b \)（一次函数），且 \( f(f(x)) = 4x + 3 \)，求 \( a \)、\( b \) 的值。

解析：

1. 代入求值：

\( f(1) = 2×1^2 + 3×1 - 4 = 2 + 3 - 4 = 1 \)；

\( f(-2) = 2×(-2)^2 + 3×(-2) - 4 = 8 - 6 - 4 = -2 \)；

\( f(a + 1) = 2(a + 1)^2 + 3(a + 1) - 4 = 2(a^2 + 2a + 1) + 3a + 3 - 4 = 2a^2 + 7a + 1 \)；

2. 换元法求解析式：设 \( t = x + 1 \)，则 \( x = t - 1 \)，代入得 \( f(t) = (t - 1)^2 - 2(t - 1) = t^2 - 4t + 3 \)，故 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)；

3. 复合函数求值：\( f(f(x)) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b \)，与 \( 4x + 3 \) 对比系数：

\( a^2 = 4 \) → \( a = 2 \) 或 \( a = -2 \)；

当 \( a = 2 \) 时，\( 2b + b = 3 \) → \( b = 1 \)；

当 \( a = -2 \) 时，\( -2b + b = 3 \) → \( b = -3 \)；

故 \( \begin{cases} a=2, b=1 \\ a=-2, b=-3 \end{cases} \)。

例题10：判断两个函数是否为同一函数

两个函数是“同一函数”的充要条件：定义域相同 + 对应法则相同（值域由前两者决定，无需单独判断）。判断下列各组函数是否为同一函数：

（1）\( f(x) = x \) 与 \( g(x) = (\sqrt{x})^2 \)；

（2）\( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) 与 \( g(x) = x + 2 \)；

（3）\( f(x) = |x| \) 与 \( g(x) = \sqrt{x^2} \)；

（4）\( f(x) = 2x + 3 \) 与 \( g(t) = 2t + 3 \)；

（5）\( f(x) = x^2 \) 与 \( g(x) = x^2, x \in [0, +\infty) \)。

解析：

1. 不是同一函数：\( f(x) \) 定义域为 \( \mathbb{R} \)，\( g(x) \) 定义域为 \( x \geq 0 \)，定义域不同；

2. 不是同一函数：\( f(x) \) 定义域为 \( x \neq 2 \)，\( g(x) \) 定义域为 \( \mathbb{R} \)，定义域不同；

3. 是同一函数：定义域均为 \( \mathbb{R} \)，对应法则均为“取绝对值”（\( \sqrt{x^2} = |x| \)）；

4. 是同一函数：定义域均为 \( \mathbb{R} \)，对应法则均为“自变量×2 + 3”，与自变量符号（\( x \) 或 \( t \)）无关；

5. 不是同一函数：\( f(x) \) 定义域为 \( \mathbb{R} \)，\( g(x) \) 定义域为 \( [0, +\infty) \)，定义域不同。

四、核心总结

1. 映射：非空集合间的“任意→唯一”对应，分单射、满射、双射、普通映射4类，关键看“是否一对一”和“象集是否全覆盖”；

2. 函数：数集间的映射，核心三要素是定义域、对应法则、值域，前两者决定值域；

3. 解题关键：判断映射/函数看“任意性、唯一性”；求定义域看“解析式限制”；判断同一函数看“定义域+对应法则”。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学

• 不等式的基本性质
• 均值不等式
• 一元二次不等式：含参、恒成立、根分布
• 一元高次不等式（奇穿偶回）
• 分式不等式
• 糖水不等式
• 根式不等式（无理不等式）
• 绝对值不等式、绝对值三角不等式
• 三角函数不等式
• Aczel 不等式（柯东不等式）
• 柯西不等式
• 赫尔德不等式
• 卡尔松不等式
• 权方和不等式
• 排序不等式
• 闵可夫斯基不等式
• 琴生不等式
• 切线不等式（切线放缩）
• 对数均值不等式
• 伯努利不等式：\( (1 + x)^n \geq 1 + nx \)
• 函数的恒成立、存在性问题
• 不等式的缩放
• 基于函数单调性的不等式缩放
• 基于函数凹凸性的不等式缩放
• 函数同构问题：形式统一，单调性搭桥
• 映射、函数：\( f: A \to B \)
• 函数的定义域：Df
• 函数的值域：Rf
• 函数的解析式：f(x)
• 抽象函数：定义域、值域、解析式
• 分段函数：定义域、值域、单调性
• 复合函数： y = f[g(x)]
• 反函数：严格单调函数
• 隐函数：F(x, y) = 0
• 函数的有界性：\( |f(x)| \leq M \)
• 函数的单调性：增函数、减函数
• 函数的奇偶性：奇函数、偶函数
• 函数的周期性：\( f(x + T) = f(x) \)
• 类周期性：\(f(x+T)=f(x)+g(x)\)
• 函数的对称性：自对称、互对称
• 函数的凹凸性：凹函数、凸函数
• 图象平移、对称、翻折、缩放、旋转
• 函数的极值、函数的最值
• 二次函数：最值、根的分布、恒成立问题
• 三次函数：\( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)
• 幂函数： \(y = x^a\)
• 对勾函数与双刀函数
• 指数方程：\(a^{x}=b\)（\(a > 0\)且\(a\neq1\)）
• 指数函数：\(y = a^{x}(a>0\)，且\(a\neq1)\)
• 双曲函数与反双曲函数