三次函数：$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $

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一、三次函数的定义与形式

形如 $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $（其中 $ a, b, c, d \in \mathbb{R} $ 且 $ a \neq 0 $）的函数，称为三次函数。这里的关键限制是最高次项系数 $ a \neq 0 $——若 $ a = 0 $，函数会退化为二次函数（$ b \neq 0 $）、一次函数（$ b = 0, c \neq 0 $）或常数函数（$ b = c = 0 $），不再是三次函数。

定义域：$ \mathbb{R} $；值域：$ \mathbb{R} $；

当 $ x \to +\infty $ 时，若 $ a > 0 $，$ f(x) \to +\infty $，若 $ a < 0 $，$ f(x) \to -\infty $；

当 $ x \to -\infty $ 时，趋势相反，函数值可覆盖所有实数。

一般式：$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $（最基础形式，直接体现各项系数，用于求导、代入计算等）；

因式分解式：若三次方程 $ f(x) = 0 $ 的三个根为 $ x_1, x_2, x_3 $，则 $ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) $（便于分析零点、对称性，结合韦达定理使用）；

拐点式：通过配方可转化为 $ f(x) = a(x - h)^3 + k(x - h) + m $（其中 $ (h, m) $ 是函数的拐点，即二阶导数为0的点，用于分析函数的对称中心）。

二、三次函数的性质（结合导数分析）

三次函数的性质需通过一阶导数（判断单调性、极值）和二阶导数（判断极值类型、拐点）分析，核心是系数 $ a $ 和判别式 $ \Delta = b^2 - 3ac $（源于一阶导数的二次函数判别式）。

1、三次函数的主导系数 $ a $ 的影响（整体趋势）

当 $ a > 0 $ 时：$ x \to +\infty $，$ f(x) \to +\infty $；$ x \to -\infty $，$ f(x) \to -\infty $，图像整体“从左下走向右上”；

当 $ a < 0 $ 时：$ x \to +\infty $，$ f(x) \to -\infty $；$ x \to -\infty $，$ f(x) \to +\infty $，图像整体“从左上走向右下”。

2、三次函数的单调性与极值

一阶导数 $ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c $ 是二次函数，其根的个数由 $ \Delta = 4(b^2 - 3ac) $ 决定，进而影响三次函数的单调性和极值：

若 $ \Delta > 0 $（即 $ b^2 > 3ac $）：$ f'(x) $ 有两个不相等实根 $ x_1 < x_2 $

函数在 $ (-\infty, x_1) $ 单调递增，在 $ (x_1, x_2) $ 单调递减，在 $ (x_2, +\infty) $ 单调递增；$ x_1 $ 对应极大值点，$ x_2 $ 对应极小值点（可通过二阶导数 $ f''(x) = 6ax + 2b $ 验证：$ f''(x_1) < 0 $ 为极大值，$ f''(x_2) > 0 $ 为极小值）；

若 $ \Delta = 0 $（即 $ b^2 = 3ac $）：$ f'(x) $ 有两个相等实根 $ x_0 = -\frac{b}{3a} $

函数$ f'(x) $ 在 $ \mathbb{R} $ 上非负（$ a > 0 $）或非正（$ a < 0 $），函数在 $ \mathbb{R} $ 上单调递增或递减，仅在 $ x_0 $ 处有“驻点”（导数为0），但无真正极值；

若 $ \Delta < 0 $（即 $ b^2 < 3ac $）：$ f'(x) $ 无实根（仅有两个共轭虚根）

函数 $ f'(x) $ 在 $ \mathbb{R} $ 上恒正（$ a > 0 $）或恒负（$ a < 0 $），函数在 $ \mathbb{R} $ 上单调递增或递减，无任何极值。

3、三次函数的零点（与x轴的交点）

三次方程 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ 必有3个根（实根或共轭虚根，重根算多个），因此三次函数的实零点个数为1或3（虚根成对出现，不会单独存在）：

3个不同实零点：此时函数图像与x轴交于3个不同点，且极大值大于0、极小值小于0（若 $ a > 0 $）；

2个实零点（1个重根）：例如 $ x_1 = x_2 \neq x_3 $，此时函数图像与x轴在 $ x_1 $ 处相切，再与x轴交于 $ x_3 $，且极大值（或极小值）等于0；

1个实零点（1个三重根或1个单根+2个共轭虚根）：若为三重根，图像与x轴在该点三重相切；若为“单根+虚根”，则极大值与极小值同号（如 $ a > 0 $ 时，极大值 < 0 或极小值 > 0），图像仅与x轴交于1点。

4、三次函数的韦达定理（根与系数关系）

若三次方程 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ 的三个根为 $ x_1, x_2, x_3 $，则根与系数满足：

$ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} $

$ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a} $

$ x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a} $

5、三次函数的拐点（对称中心）

三次函数的二阶导数 $ f''(x) = 6ax + 2b $，令 $ f''(x) = 0 $，得拐点横坐标 $ x = -\frac{b}{3a} $，代入原函数得拐点纵坐标 $ y = f\left(-\frac{b}{3a}\right) $。三次函数的图像关于其拐点成中心对称，即对任意 $ h $，有 $ f\left(-\frac{b}{3a} + h\right) + f\left(-\frac{b}{3a} - h\right) = 2f\left(-\frac{b}{3a}\right) $。

6、有理根定理

有理根定理是用于快速锁定多项式方程可能存在的有理根的重要工具，能大幅减少求解时的试根范围。

整数系数的多项式方程：$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$（其中 $a_n \neq 0$，$a_0 \neq 0$）

若该方程存在有理根 $\frac{p}{q}$（$p$、$q$ 为互质整数，即最大公约数为1），则必须满足两个条件：

（1）$p$ 是常数项 $a_0$ 的约数（包括正约数和负约数）。

（2）$q$ 是最高次项系数 $a_n$ 的约数（包括正约数和负约数）。

应用步骤：以求解多项式方程 $2x^3 - x^2 - 5x + 3 = 0$ 为例：

（1）确定 $a_n$ 和 $a_0$：最高次项系数 $a_3 = 2$，常数项 $a_0 = 3$。

（2）列出可能的 $p$ 和 $q$：$p$ 的可能值：$\pm1$、$\pm3$（3的所有约数）。$q$ 的可能值：$\pm1$、$\pm2$（2的所有约数）。

（3）生成所有可能的有理根 $\frac{p}{q}$：$\pm1$、$\pm3$、$\pm\frac{1}{2}$、$\pm\frac{3}{2}$。

（4）代入多项式验证：将上述可能的根逐个代入方程，最终发现$x=\frac{3}{2}$满足方程，即为该方程的有理根。

注意事项

有理根定理只提供“可能”的有理根，并非所有列出的 $\frac{p}{q}$ 都是方程的根，必须代入验证。

若多项式的常数项 $a_0 = 0$，则 $x=0$ 一定是根，可先提取公因式 $x$ 简化多项式后再应用定理。

该定理无法判断无理根或复数根，仅针对有理根有效。

7、三次方程的求解：$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

三次方程的求解有多种方法，核心是通过代数变形或定理工具，将三次方程转化为更易处理的形式，最终求出所有根（1个实根+2个共轭复根，或3个实根）。

三次方程的标准形式：$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$（其中 $a \neq 0$，$a$、$b$、$c$、$d$ 为常数）

求解前通常先将其化为首1三次方程（最高次项系数为1），方法是方程两边同时除以 $a$，得到：$x^3 + px^2 + qx + r = 0$（其中 $p = \frac{b}{a}$，$q = \frac{c}{a}$，$r = \frac{d}{a}$）

三次方程的求解方法1：因式分解法（最简便，优先尝试）

当三次方程能分解为一次因式与二次因式的乘积时，可直接求解，核心是先找到一个有理根。

（1）用“有理根定理”找有理根：根据前文提到的有理根定理，列出所有可能的有理根 $\frac{p}{q}$，代入方程验证，找到一个实根 $x = k$。

（2）分解多项式：由根 $x = k$ 可知，$(x - k)$ 是多项式的一个因式，用多项式除法或“配方法”将三次多项式分解为 $(x - k)(x^2 + mx + n) = 0$。

（3）求解二次方程：解二次方程 $x^2 + mx + n = 0$，用求根公式得到另外两个根（实根或复根）。

示例：求解 $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$

用有理根定理找到 $x=1$ 是根，分解得 $(x - 1)(x^2 - x - 2) = 0$；

解 $x^2 - x - 2 = 0$，得 $x=2$ 和 $x=-1$；

最终根为 $x=1$、$x=2$、$x=-1$。

三次方程的求解方法2：卡尔达诺公式（通用公式，适用于所有三次方程）

吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano, 1501年9月24日-1576年9月21日），意大利文艺复兴时期百科全书式的学者，数学家、物理学家、占星家、哲学家和赌徒， 古典概率论创始人。在他的著作《论运动、重量等的数字比例》(Opus novum de proportionibus) 建立了二项定理和二项系数的确定。他一生写了200多部著作，内容涵盖医药、数学、物理、哲学、宗教和音乐。

卡尔达诺公式是求解三次方程的标准代数公式，可直接计算出所有根，步骤如下：

（1）消去二次项：对首一三次方程 $x^3 + px^2 + qx + r = 0$，令 $x = y - \frac{p}{3}$，代入后消去 $y^2$ 项，得到“缺项三次方程”：

$y^3 + ay + b = 0$（其中 $a = q - \frac{p^2}{3}$，$b = r - \frac{pq}{3} + \frac{2p^3}{27}$）。

（2）计算判别式：通过判别式 $\Delta = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^3$ 判断根的类型：

$\Delta > 0$：1个实根 + 2个共轭复根；

$\Delta = 0$：3个实根（其中至少2个相等）；

$\Delta < 0$：3个不相等的实根（需用三角函数辅助计算）。

（3）代入公式求根：根据判别式结果，代入卡尔达诺公式计算 $y$ 的值，再通过 $x = y - \frac{p}{3}$ 得到原方程的根。

三次方程的求解方法3：三角函数解法（适用于“三个不等实根”场景）

当卡尔达诺公式中判别式 $\Delta < 0$ 时，直接计算会出现虚数开方，用三角函数可更简便地得到实根：

（1）将缺项三次方程 $y^3 + ay + b = 0$（$a < 0$，因 $\Delta < 0$ 需满足）变形为 $y^3 = -ay - b$。

（2）令 $y = 2\sqrt{-\frac{a}{3}} \cos\theta$，代入方程后利用三角恒等式 $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$，求出 $\cos3\theta$ 的值。

（3）计算 $\theta$ 的三个解，进而得到 $y$ 的三个实根，最后转化为原方程的根 $x$。

8、三次函数的最值问题

三次函数在全体实数域内无最大值和最小值（因值域为 $ \mathbb{R} $），但在闭区间上必有最值，求解步骤为：

（1）求一阶导数 $ f'(x) $，找到区间内的所有极值点（即 $ f'(x) = 0 $ 在区间内的实根）；

（2）计算极值点和区间端点的函数值；

（3）比较这些函数值，最大的为最大值，最小的为最小值。

例题1：判断三次函数的单调性已知函数 $ f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3 $，判断其单调性并指出单调区间。

解析：

1. 求一阶导数：$ f'(x) = 6x^2 - 12x = 6x(x - 2) $；

2. 分析 $ f'(x) $ 的符号：

当 $ x < 0 $ 时，$ x < 0 $ 且 $ x - 2 < 0 $，故 $ f'(x) > 0 $，函数单调递增；

当 $ 0 < x < 2 $ 时，$ x > 0 $ 且 $ x - 2 < 0 $，故 $ f'(x) < 0 $，函数单调递减；

当 $ x > 2 $ 时，$ x > 0 $ 且 $ x - 2 > 0 $，故 $ f'(x) > 0 $，函数单调递增；

3. 结论：单调递增区间为 $ (-\infty, 0) $ 和 $ (2, +\infty) $，单调递减区间为 $ (0, 2) $。

例题2：求三次函数的极值求函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $ 的极值。

解析：

1. 求一阶导数：$ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1) $；

2. 找极值点：令 $ f'(x) = 0 $，得 $ x = 1 $ 和 $ x = -1 $；

3. 用二阶导数判断极值类型：$ f''(x) = 6x $；

当 $ x = -1 $ 时，$ f''(-1) = -6 < 0 $，故 $ x = -1 $ 是极大值点，极大值为 $ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 $；

当 $ x = 1 $ 时，$ f''(1) = 6 > 0 $，故 $ x = 1 $ 是极小值点，极小值为 $ f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 $；

4. 结论：极大值为3（$ x = -1 $），极小值为-1（$ x = 1 $）。

例题3：求三次函数的零点求函数 $ f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 $ 的零点。

解析：

1. 用有理根定理找有理根：$ a = 1 $，$ d = -2 $，可能的有理根为 $ \pm1, \pm2 $；

2. 验证根：代入 $ x = 1 $，$ f(1) = 1 - 4 + 5 - 2 = 0 $，故 $ x = 1 $ 是根；

3. 因式分解：将 $ f(x) $ 分解为 $ (x - 1)(x^2 - 3x + 2) $（用多项式除法或配凑法）；

4. 解二次方程：$ x^2 - 3x + 2 = 0 $ 的根为 $ x = 1 $ 和 $ x = 2 $；

5. 结论：函数的零点为 $ x = 1 $（二重根）和 $ x = 2 $。

例题4：利用韦达定理求系数已知三次方程 $ x^3 + px^2 + qx + r = 0 $ 的三个根为 $ 1, -2, 3 $，求 $ p, q, r $ 的值。

解析：

根据韦达定理：

根的和：$ 1 + (-2) + 3 = -\frac{p}{1} $，即 $ 2 = -p $，故 $ p = -2 $；

根的积和：$ 1 \times (-2) + 1 \times 3 + (-2) \times 3 = \frac{q}{1} $，即 $ -2 + 3 - 6 = q $，故 $ q = -5 $；

根的积：$ 1 \times (-2) \times 3 = -\frac{r}{1} $，即 $ -6 = -r $，故 $ r = 6 $；

结论：$ p = -2 $，$ q = -5 $，$ r = 6 $。

例题5：三次函数在闭区间上的最值求函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 $ 在区间 $ [-2, 4] $ 上的最大值和最小值。

解析：

1. 求一阶导数：$ f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1) $；

2. 找区间内的极值点：令 $ f'(x) = 0 $，得 $ x = 3 $ 和 $ x = -1 $，均在 $ [-2, 4] $ 内；

3. 计算关键点函数值：

端点 $ x = -2 $：$ f(-2) = (-8) - 3(4) - 9(-2) + 5 = -8 - 12 + 18 + 5 = 3 $；

极值点 $ x = -1 $：$ f(-1) = (-1) - 3(1) - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10 $；

极值点 $ x = 3 $：$ f(3) = 27 - 3(9) - 9(3) + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22 $；

端点 $ x = 4 $：$ f(4) = 64 - 3(16) - 9(4) + 5 = 64 - 48 - 36 + 5 = -15 $；

4. 比较值：最大值为10（$ x = -1 $），最小值为-22（$ x = 3 $）；

结论：区间上的最大值是10，最小值是-22。

例题6：判断三次函数的零点个数判断函数 $ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1 $ 的零点个数。

解析：

1. 先找极值（判断极值符号）：

一阶导数 $ f'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x - 1) $，令 $ f'(x) = 0 $，得 $ x = 0 $（极大值点）和 $ x = 1 $（极小值点）；

计算极值：$ f(0) = 0 - 0 + 1 = 1 > 0 $，$ f(1) = 2 - 3 + 1 = 0 $；

2. 分析零点：

极小值为0，说明 $ x = 1 $ 是二重零点；

再找另一个零点：因式分解 $ f(x) = (x - 1)^2(2x + 1) $，得 $ x = -\frac{1}{2} $；

3. 结论：函数有2个不同实零点（$ x = -\frac{1}{2} $ 和 $ x = 1 $（二重根）），即实零点个数为2。

例题7：三次函数的拐点求解求函数 $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 $ 的拐点坐标。

解析：

1. 求二阶导数：$ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 $，$ f''(x) = 6x - 12 $；

2. 找拐点横坐标：令 $ f''(x) = 0 $，得 $ 6x - 12 = 0 $，即 $ x = 2 $；

3. 求拐点纵坐标：代入原函数，$ f(2) = 8 - 6(4) + 9(2) + 2 = 8 - 24 + 18 + 2 = 4 $；

4. 结论：拐点坐标为 $ (2, 4) $。

例题8：利用三次函数的对称性求值已知函数 $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $ 的拐点为 $ (1, 2) $，求 $ f(0) + f(2) $ 的值。

解析：

三次函数关于拐点成中心对称，即对拐点 $ (h, k) $，有 $ f(h + t) + f(h - t) = 2k $；

此处 $ h = 1 $，$ k = 2 $，令 $ t = 1 $，则 $ f(1 + 1) + f(1 - 1) = 2 \times 2 $，即 $ f(2) + f(0) = 4 $；

结论：$ f(0) + f(2) = 4 $。

例题9：三次方程的数值解法（二分法）用二分法求方程 $ x^3 - x - 1 = 0 $ 在区间 $ [1, 2] $ 内的近似根（精确到0.1）。

解析：

1. 验证区间：$ f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0 $，$ f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0 $，故区间内有根；

2. 二分区间：

第一次二分：中点 $ x_1 = 1.5 $，$ f(1.5) = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875 > 0 $，根在 $ [1, 1.5] $；

第二次二分：中点 $ x_2 = 1.25 $，$ f(1.25) = 1.953 - 1.25 - 1 = -0.297 < 0 $，根在 $ [1.25, 1.5] $；

第三次二分：中点 $ x_3 = 1.375 $，$ f(1.375) = 2.597 - 1.375 - 1 = 0.222 > 0 $，根在 $ [1.25, 1.375] $；

第四次二分：中点 $ x_4 = 1.3125 $，$ f(1.3125) = 2.269 - 1.3125 - 1 = -0.0435 < 0 $，根在 $ [1.3125, 1.375] $；

3. 精确到0.1：区间 $ [1.3125, 1.375] $ 内的数均近似为1.3；

结论：方程在 $ [1, 2] $ 内的近似根为1.3。

例题10：三次函数与切线问题求函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 在点 $ (1, -2) $ 处的切线方程。

解析：

1. 求切线斜率：切线斜率即函数在该点的导数，$ f'(x) = 3x^2 - 3 $，故 $ f'(1) = 3(1)^2 - 3 = 0 $；

2. 用点斜式写切线方程：$ y - (-2) = 0 \times (x - 1) $，即 $ y + 2 = 0 $；

3. 结论：切线方程为 $ y = -2 $。

例题11：三次函数的单调性与参数范围已知函数 $ f(x) = x^3 + ax^2 + 3x $ 在 $ \mathbb{R} $ 上单调递增，求实数 $ a $ 的取值范围。

解析：

1. 函数单调递增的条件：$ f'(x) \geq 0 $ 在 $ \mathbb{R} $ 上恒成立（且不恒为0）；

2. 求一阶导数：$ f'(x) = 3x^2 + 2ax + 3 $；

3. 分析二次函数恒非负：$ f'(x) $ 是开口向上的二次函数，要使其恒非负，需判别式 $ \Delta \leq 0 $；

计算判别式：$ \Delta = (2a)^2 - 4 \times 3 \times 3 = 4a^2 - 36 $；

解不等式：$ 4a^2 - 36 \leq 0 $，即 $ a^2 \leq 9 $，得 $ -3 \leq a \leq 3 $；

4. 验证：当 $ a = \pm3 $ 时，$ f'(x) = 3(x \pm 1)^2 \geq 0 $，仅在个别点导数为0，函数仍单调递增；

结论：$ a $ 的取值范围是 $ [-3, 3] $。

例题12：三次函数的极值与参数值已知函数 $ f(x) = x^3 - 3mx^2 + 3x + 1 $ 有两个极值点，求实数 $ m $ 的值。

解析：

1. 极值点存在的条件：$ f'(x) = 0 $ 有两个不相等实根，即判别式 $ \Delta > 0 $；

2. 求一阶导数：$ f'(x) = 3x^2 - 6mx + 3 = 3(x^2 - 2mx + 1) $；

3. 计算判别式：$ \Delta = (-6m)^2 - 4 \times 3 \times 3 = 36m^2 - 36 = 36(m^2 - 1) $；

4. 令 $ \Delta > 0 $：$ 36(m^2 - 1) > 0 $，即 $ m^2 > 1 $，得 $ m > 1 $ 或 $ m < -1 $；

结论：$ m $ 的取值范围是 $ (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) $。

例题13：三次函数的零点与参数范围已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + (a + 2)x - a $ 有三个不同的零点，求实数 $ a $ 的取值范围。

解析：

1. 因式分解找零点：$ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + ax - a = x(x^2 - 3x + 2) + a(x - 1) = (x - 1)(x^2 - 2x - a) $；

2. 分析零点：函数的零点由 $ x - 1 = 0 $ 和 $ x^2 - 2x - a = 0 $ 决定，要使总零点数为3，需 $ x^2 - 2x - a = 0 $ 有两个不等于1的实根；

3. 条件：

二次方程有两个不同实根：判别式 $ \Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-a) = 4 + 4a > 0 $，得 $ a > -1 $；

根不等于1：代入 $ x = 1 $，$ 1 - 2 - a \neq 0 $，得 $ a \neq -1 $；

4. 结论：$ a $ 的取值范围是 $ (-1, +\infty) $。

例题14：三次函数的应用（物理运动）一个物体的位移 $ s $（单位：m）与时间 $ t $（单位：s）的关系为 $ s(t) = t^3 - 3t^2 + 2t + 1 $，求物体在 $ t = 2 $ s 时的速度和加速度。

解析：

1. 速度是位移的一阶导数：$ v(t) = s'(t) = 3t^2 - 6t + 2 $，代入 $ t = 2 $，$ v(2) = 3(4) - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2 $ m/s；

2. 加速度是速度的一阶导数（位移的二阶导数）：$ a(t) = v'(t) = 6t - 6 $，代入 $ t = 2 $，$ a(2) = 12 - 6 = 6 $ m/s²；

结论：$ t = 2 $ s 时，速度为2 m/s，加速度为6 m/s²。

例题15：三次函数的应用（经济利润）某产品的利润 $ L $（单位：万元）与产量 $ x $（单位：吨）的关系为 $ L(x) = -x^3 + 12x^2 - 36x + 40 $，求最大利润及对应的产量。

解析：

1. 求一阶导数（边际利润）：$ L'(x) = -3x^2 + 24x - 36 = -3(x^2 - 8x + 12) = -3(x - 2)(x - 6) $；

2. 找极值点：令 $ L'(x) = 0 $，得 $ x = 2 $ 和 $ x = 6 $；

3. 用二阶导数判断极值类型：$ L''(x) = -6x + 24 $；

$ x = 2 $ 时，$ L''(2) = -12 + 24 = 12 > 0 $，为极小值点；

$ x = 6 $ 时，$ L''(6) = -36 + 24 = -12 < 0 $，为极大值点；

4. 计算最大利润：$ L(6) = -216 + 12(36) - 36(6) + 40 = -216 + 432 - 216 + 40 = 40 $ 万元；

结论：当产量为6吨时，最大利润为40万元。

例题16：三次函数与不等式解不等式 $ x^3 - 4x^2 + 3x < 0 $。

解析：

1. 因式分解：$ x^3 - 4x^2 + 3x = x(x^2 - 4x + 3) = x(x - 1)(x - 3) $；

2. 找零点：$ x = 0, 1, 3 $，将实数轴分为4个区间：$ (-\infty, 0) $、$ (0, 1) $、$ (1, 3) $、$ (3, +\infty) $；

3. 分析每个区间内表达式的符号（令 $ f(x) = x(x - 1)(x - 3) $）：

$ x < 0 $：$ x < 0 $，$ x - 1 < 0 $，$ x - 3 < 0 $，三负相乘为负，$ f(x) < 0 $；

$ 0 < x < 1 $：$ x > 0 $，$ x - 1 < 0 $，$ x - 3 < 0 $，两负一正相乘为正，$ f(x) > 0 $；

$ 1 < x < 3 $：$ x > 0 $，$ x - 1 > 0 $，$ x - 3 < 0 $，两正一负相乘为负，$ f(x) < 0 $；

$ x > 3 $：三正相乘为正，$ f(x) > 0 $；

4. 结论：不等式的解集为 $ (-\infty, 0) \cup (1, 3) $。

例题17：三次函数的图像识别已知四个三次函数的图像，对应的函数分别为：① $ f(x) = x^3 - 3x $；② $ f(x) = -x^3 + 3x $；③ $ f(x) = x^3 $；④ $ f(x) = -x^3 + 2 $。请匹配函数与图像的对应关系（提示：从 $ a $ 的符号和极值个数判断）。

解析：

① $ f(x) = x^3 - 3x $：$ a = 1 > 0 $，$ \Delta = 0^2 - 3 \times 1 \times (-3) = 9 > 0 $，有2个极值，图像“先增后减再增”，且极大值 > 0、极小值 < 0（与x轴交3点）；

② $ f(x) = -x^3 + 3x $：$ a = -1 < 0 $，$ \Delta = 0^2 - 3 \times (-1) \times 3 = 9 > 0 $，有2个极值，图像“先减后增再减”，且极大值 > 0、极小值 < 0（与x轴交3点）；

③ $ f(x) = x^3 $：$ a = 1 > 0 $，$ \Delta = 0^2 - 3 \times 1 \times 0 = 0 $，无极值，图像单调递增，过原点（与x轴切于原点）；

④ $ f(x) = -x^3 + 2 $：$ a = -1 < 0 $，$ \Delta = 0^2 - 3 \times (-1) \times 0 = 0 $，无极值，图像单调递减，过点 $ (0, 2) $（与x轴交1点）；

结论：根据“$ a $ 的符号（趋势）”和“极值个数（拐点）”即可匹配。

例题18：三次函数的奇偶性判断判断函数 $ f(x) = 2x^3 - 5x $ 和 $ g(x) = x^3 + 2x^2 + 1 $ 的奇偶性。

解析：

奇偶性判断依据：若 $ f(-x) = -f(x) $ 为奇函数，若 $ f(-x) = f(x) $ 为偶函数，否则非奇非偶；

对 $ f(x) = 2x^3 - 5x $：$ f(-x) = 2(-x)^3 - 5(-x) = -2x^3 + 5x = -(2x^3 - 5x) = -f(x) $，故为奇函数；

对 $ g(x) = x^3 + 2x^2 + 1 $：$ g(-x) = (-x)^3 + 2(-x)^2 + 1 = -x^3 + 2x^2 + 1 $，既不等于 $ g(x) $，也不等于 $ -g(x) $，故非奇非偶；

结论：$ f(x) $ 是奇函数，$ g(x) $ 是非奇非偶函数。

例题19：三次函数的平移变换将函数 $ f(x) = x^3 $ 的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求变换后的函数解析式。

解析：

函数平移规律：“左加右减（x），上加下减（y）”；

向右平移2个单位：将 $ x $ 替换为 $ x - 2 $，得 $ f_1(x) = (x - 2)^3 $；

向上平移3个单位：在函数值后加3，得 $ f_2(x) = (x - 2)^3 + 3 $；

展开验证：$ (x - 2)^3 + 3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 + 3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 5 $；

结论：变换后的函数解析式为 $ f(x) = (x - 2)^3 + 3 $（或展开式 $ x^3 - 6x^2 + 12x - 5 $）。

例题20：三次函数与二次函数的交点问题求函数 $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 1 $ 与 $ g(x) = x^2 - 2x $ 的交点坐标。

解析：

1. 交点满足 $ f(x) = g(x) $，即 $ x^3 - 2x^2 + 1 = x^2 - 2x $；

2. 整理方程：$ x^3 - 3x^2 + 2x + 1 = 0 $；

3. 找有理根：尝试 $ x = 1 $，$ 1 - 3 + 2 + 1 = 1 \neq 0 $；$ x = -1 $，$ -1 - 3 - 2 + 1 = -5 \neq 0 $；无有理根，需用数值法求近似根；

4. 用二分法求近似根：

$ f(1) = 1 - 3 + 2 + 1 = 1 > 0 $，$ f(2) = 8 - 12 + 4 + 1 = 1 > 0 $，$ f(3) = 27 - 27 + 6 + 1 = 7 > 0 $；

$ f(0) = 0 - 0 + 0 + 1 = 1 > 0 $，$ f(-0.5) = -0.125 - 0.75 - 1 + 1 = -0.875 < 0 $，根在 $ [-0.5, 0] $；

进一步计算得近似根 $ x \approx -0.236 $，代入 $ g(x) $ 得 $ y \approx (-0.236)^2 - 2(-0.236) \approx 0.056 + 0.472 = 0.528 $；

继续分析其他区间：$ f(1.3) = 2.197 - 5.07 + 2.6 + 1 = 0.727 > 0 $，$ f(1.5) = 3.375 - 6.75 + 3 + 1 = 0.625 > 0 $，$ f(1.7) = 4.913 - 8.67 + 3.4 + 1 = 0.643 > 0 $，$ f(2.3) = 12.167 - 12.69 + 4.6 + 1 = 5.077 > 0 $，发现仅1个实根；

5. 结论：两函数的近似交点坐标为 $ (-0.236, 0.528) $（精确到0.001），另有两个共轭虚根对应的交点（非实交点，不考虑）。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学

$三次函数：$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$

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三次函数：\( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)

一、三次函数的定义与形式

二、三次函数的性质（结合导数分析）

1、三次函数的主导系数 \( a \) 的影响（整体趋势）

2、三次函数的单调性与极值

3、三次函数的零点（与x轴的交点）

4、三次函数的韦达定理（根与系数关系）

\( x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} \)

\( x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a} \)

\( x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a} \)

5、三次函数的拐点（对称中心）

6、有理根定理

应用步骤：以求解多项式方程 \(2x^3 - x^2 - 5x + 3 = 0\) 为例：

注意事项

7、三次方程的求解：\(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)

三次方程的求解方法1：因式分解法（最简便，优先尝试）

示例：求解 \(x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0\)

三次方程的求解方法2：卡尔达诺公式（通用公式，适用于所有三次方程）

三次方程的求解方法3：三角函数解法（适用于“三个不等实根”场景）

8、三次函数的最值问题

例题1：判断三次函数的单调性已知函数 \( f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3 \)，判断其单调性并指出单调区间。

例题2：求三次函数的极值求函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) 的极值。

例题3：求三次函数的零点求函数 \( f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 \) 的零点。

例题4：利用韦达定理求系数已知三次方程 \( x^3 + px^2 + qx + r = 0 \) 的三个根为 \( 1, -2, 3 \)，求 \( p, q, r \) 的值。

例题5：三次函数在闭区间上的最值求函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 \) 在区间 \( [-2, 4] \) 上的最大值和最小值。

例题6：判断三次函数的零点个数判断函数 \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1 \) 的零点个数。

例题7：三次函数的拐点求解求函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 \) 的拐点坐标。

例题8：利用三次函数的对称性求值已知函数 \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) 的拐点为 \( (1, 2) \)，求 \( f(0) + f(2) \) 的值。

例题9：三次方程的数值解法（二分法）用二分法求方程 \( x^3 - x - 1 = 0 \) 在区间 \( [1, 2] \) 内的近似根（精确到0.1）。

例题10：三次函数与切线问题求函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在点 \( (1, -2) \) 处的切线方程。

例题11：三次函数的单调性与参数范围已知函数 \( f(x) = x^3 + ax^2 + 3x \) 在 \( \mathbb{R} \) 上单调递增，求实数 \( a \) 的取值范围。

例题12：三次函数的极值与参数值已知函数 \( f(x) = x^3 - 3mx^2 + 3x + 1 \) 有两个极值点，求实数 \( m \) 的值。

例题13：三次函数的零点与参数范围已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + (a + 2)x - a \) 有三个不同的零点，求实数 \( a \) 的取值范围。

例题14：三次函数的应用（物理运动）一个物体的位移 \( s \)（单位：m）与时间 \( t \)（单位：s）的关系为 \( s(t) = t^3 - 3t^2 + 2t + 1 \)，求物体在 \( t = 2 \) s 时的速度和加速度。

例题15：三次函数的应用（经济利润）某产品的利润 \( L \)（单位：万元）与产量 \( x \)（单位：吨）的关系为 \( L(x) = -x^3 + 12x^2 - 36x + 40 \)，求最大利润及对应的产量。

例题16：三次函数与不等式解不等式 \( x^3 - 4x^2 + 3x < 0 \)。

例题18：三次函数的奇偶性判断判断函数 \( f(x) = 2x^3 - 5x \) 和 \( g(x) = x^3 + 2x^2 + 1 \) 的奇偶性。

例题19：三次函数的平移变换将函数 \( f(x) = x^3 \) 的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求变换后的函数解析式。

例题20：三次函数与二次函数的交点问题求函数 \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 1 \) 与 \( g(x) = x^2 - 2x \) 的交点坐标。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学

三次函数：\( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)

一、三次函数的定义与形式

二、三次函数的性质（结合导数分析）

1、三次函数的主导系数 \( a \) 的影响（整体趋势）

2、三次函数的单调性与极值

3、三次函数的零点（与x轴的交点）

4、三次函数的韦达定理（根与系数关系）

\( x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} \)

\( x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a} \)

\( x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a} \)

5、三次函数的拐点（对称中心）

6、有理根定理

应用步骤：以求解多项式方程 \(2x^3 - x^2 - 5x + 3 = 0\) 为例：

注意事项

7、三次方程的求解：\(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)

三次方程的求解 方法1：因式分解法（最简便，优先尝试）

示例：求解 \(x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0\)

三次方程的求解 方法2：卡尔达诺公式（通用公式，适用于所有三次方程）

三次方程的求解 方法3：三角函数解法（适用于“三个不等实根”场景）

8、三次函数的最值问题

例题1：判断三次函数的单调性 已知函数 \( f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3 \)，判断其单调性并指出单调区间。

例题2：求三次函数的极值 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) 的极值。

例题3：求三次函数的零点 求函数 \( f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 \) 的零点。

例题4：利用韦达定理求系数 已知三次方程 \( x^3 + px^2 + qx + r = 0 \) 的三个根为 \( 1, -2, 3 \)，求 \( p, q, r \) 的值。

例题5：三次函数在闭区间上的最值 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 \) 在区间 \( [-2, 4] \) 上的最大值和最小值。

例题6：判断三次函数的零点个数 判断函数 \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1 \) 的零点个数。

例题7：三次函数的拐点求解 求函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 \) 的拐点坐标。

例题8：利用三次函数的对称性求值 已知函数 \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) 的拐点为 \( (1, 2) \)，求 \( f(0) + f(2) \) 的值。

例题9：三次方程的数值解法（二分法）用二分法求方程 \( x^3 - x - 1 = 0 \) 在区间 \( [1, 2] \) 内的近似根（精确到0.1）。

例题10：三次函数与切线问题 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在点 \( (1, -2) \) 处的切线方程。

例题11：三次函数的单调性与参数范围 已知函数 \( f(x) = x^3 + ax^2 + 3x \) 在 \( \mathbb{R} \) 上单调递增，求实数 \( a \) 的取值范围。

例题12：三次函数的极值与参数值 已知函数 \( f(x) = x^3 - 3mx^2 + 3x + 1 \) 有两个极值点，求实数 \( m \) 的值。

例题13：三次函数的零点与参数范围 已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + (a + 2)x - a \) 有三个不同的零点，求实数 \( a \) 的取值范围。

例题14：三次函数的应用（物理运动）一个物体的位移 \( s \)（单位：m）与时间 \( t \)（单位：s）的关系为 \( s(t) = t^3 - 3t^2 + 2t + 1 \)，求物体在 \( t = 2 \) s 时的速度和加速度。

例题15：三次函数的应用（经济利润）某产品的利润 \( L \)（单位：万元）与产量 \( x \)（单位：吨）的关系为 \( L(x) = -x^3 + 12x^2 - 36x + 40 \)，求最大利润及对应的产量。

例题16：三次函数与不等式 解不等式 \( x^3 - 4x^2 + 3x < 0 \)。

例题18：三次函数的奇偶性判断 判断函数 \( f(x) = 2x^3 - 5x \) 和 \( g(x) = x^3 + 2x^2 + 1 \) 的奇偶性。

例题19：三次函数的平移变换 将函数 \( f(x) = x^3 \) 的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求变换后的函数解析式。

例题20：三次函数与二次函数的交点问题 求函数 \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 1 \) 与 \( g(x) = x^2 - 2x \) 的交点坐标。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学

三次方程的求解方法1：因式分解法（最简便，优先尝试）

三次方程的求解方法2：卡尔达诺公式（通用公式，适用于所有三次方程）

三次方程的求解方法3：三角函数解法（适用于“三个不等实根”场景）

例题1：判断三次函数的单调性已知函数 \( f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3 \)，判断其单调性并指出单调区间。

例题2：求三次函数的极值求函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) 的极值。

例题3：求三次函数的零点求函数 \( f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 \) 的零点。

例题4：利用韦达定理求系数已知三次方程 \( x^3 + px^2 + qx + r = 0 \) 的三个根为 \( 1, -2, 3 \)，求 \( p, q, r \) 的值。

例题5：三次函数在闭区间上的最值求函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 \) 在区间 \( [-2, 4] \) 上的最大值和最小值。

例题6：判断三次函数的零点个数判断函数 \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1 \) 的零点个数。

例题7：三次函数的拐点求解求函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 \) 的拐点坐标。

例题8：利用三次函数的对称性求值已知函数 \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) 的拐点为 \( (1, 2) \)，求 \( f(0) + f(2) \) 的值。

例题10：三次函数与切线问题求函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在点 \( (1, -2) \) 处的切线方程。

例题11：三次函数的单调性与参数范围已知函数 \( f(x) = x^3 + ax^2 + 3x \) 在 \( \mathbb{R} \) 上单调递增，求实数 \( a \) 的取值范围。

例题12：三次函数的极值与参数值已知函数 \( f(x) = x^3 - 3mx^2 + 3x + 1 \) 有两个极值点，求实数 \( m \) 的值。

例题13：三次函数的零点与参数范围已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + (a + 2)x - a \) 有三个不同的零点，求实数 \( a \) 的取值范围。

例题16：三次函数与不等式解不等式 \( x^3 - 4x^2 + 3x < 0 \)。

例题18：三次函数的奇偶性判断判断函数 \( f(x) = 2x^3 - 5x \) 和 \( g(x) = x^3 + 2x^2 + 1 \) 的奇偶性。

例题19：三次函数的平移变换将函数 \( f(x) = x^3 \) 的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求变换后的函数解析式。

例题20：三次函数与二次函数的交点问题求函数 \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 1 \) 与 \( g(x) = x^2 - 2x \) 的交点坐标。