极坐标：\((\rho,\theta)\)=(极径,极角)

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极坐标是一种以“距离+角度”描述平面点位置的坐标系，核心是用极径（点到极点的距离）和极角（极轴与连线的夹角）替代直角坐标系的横纵坐标。

一、极坐标的定义

在平面内取一个定点\(O\)，称为极点；从\(O\)出发引一条射线\(Ox\)，称为极轴；

再规定一个长度单位、一个角度单位（通常为弧度）和正方向（逆时针为正），这样就建立了极坐标系。

对于平面内任意一点\(P\)，设\(|OP|=\rho\)（\(\rho\)称为极径，表示点到极点的距离，\(\rho\geq0\)；

特殊情况下\(\rho<0\)时，点的位置在极角终边的反向延长线上，且\(|OP|=|\rho|\)）；

以极轴\(Ox\)为始边、\(OP\)为终边的角\(\theta\)称为极角（\(\theta\in[0,2\pi)\)或\((-\pi,\pi]\)），则点\(P\)的极坐标可表示为\((\rho,\theta)\)。

注意：极坐标与点并非一一对应，一个点可以有无数种极坐标表示。

例如\((\rho,\theta)\)、\((\rho,\theta+2k\pi)\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）、\((-\rho,\theta+\pi)\)均表示同一点。

二、极坐标的性质

1. 极径的非负性（常规约定）：通常规定\(\rho\geq0\)，此时极径唯一表示点到极点的距离；若允许\(\rho<0\)，则需结合极角反向延长线确定位置，本质是对“距离”的拓展（带方向的距离）。

2. 极角的周期性：极角\(\theta\)具有周期性，周期为\(2\pi\)，即\((\rho,\theta)\)与\((\rho,\theta+2k\pi)\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）表示同一点，这是极坐标与直角坐标的核心区别（直角坐标中一个点对应唯一坐标）。

3. 极点的特殊性：极点\(O\)的极坐标为\((0,\theta)\)，其中\(\theta\)可以是任意角（因极径为0时，极角不影响位置）。

4. 对称性：若点\(P(\rho,\theta)\)，则其关于极点的对称点为\((-\rho,\theta)\)或\((\rho,\theta+\pi)\)；关于极轴的对称点为\((\rho,-\theta)\)或\((\rho,2\pi-\theta)\)；关于过极点且垂直于极轴的直线（通常记为\(\theta=\frac{\pi}{2}\)）的对称点为\((\rho,\pi-\theta)\)或\((-\rho,-\theta)\)。

三、极坐标与直角坐标系的转化

极坐标系与直角坐标系的转化需满足“极点与原点重合、极轴与\(x\)轴正半轴重合、长度单位一致”，设平面内任意一点\(P\)的直角坐标为\((x,y)\)，极坐标为\((\rho,\theta)\)，则转化公式如下：

1. 极坐标转直角坐标（\((\rho,\theta)\to(x,y)\)）：

由三角函数定义，\(x=\rho\cos\theta\)，\(y=\rho\sin\theta\)（核心依据：直角三角形中，邻边=斜边×余弦，对边=斜边×正弦）。

2. 直角坐标转极坐标（\((x,y)\to(\rho,\theta)\)）：

极径\(\rho=\sqrt{x^2+y^2}\)（由勾股定理，\(\rho\)是点到原点的距离，故\(\rho\geq0\)）；

极角\(\theta\)由\(\tan\theta=\frac{y}{x}\)（\(x\neq0\)）确定，且需结合点所在象限：

若\(x>0,y>0\)（第一象限），\(\theta=\arctan\frac{y}{x}\)；

若\(x<0,y>0\)（第二象限），\(\theta=\pi+\arctan\frac{y}{x}\)；

若\(x<0,y<0\)（第三象限），\(\theta=\pi+\arctan\frac{y}{x}\)；

若\(x>0,y<0\)（第四象限），\(\theta=2\pi+\arctan\frac{y}{x}\)；

若\(x=0\)，则\(\theta=\frac{\pi}{2}\)（\(y>0\)）或\(\theta=\frac{3\pi}{2}\)（\(y<0\)）。

四、常见函数与圆锥曲线的极坐标系方程

1. 常见简单函数的极坐标方程

过极点的直线：极角为定值\(\theta=\alpha\)（\(\alpha\)为常数），表示过极点且与极轴夹角为\(\alpha\)的直线；若允许\(\rho<0\)，则一条直线对应一个方程（如\(\theta=\frac{\pi}{4}\)表示直线\(y=x\)）；若\(\rho\geq0\)，则需分两段（如\(\theta=\frac{\pi}{4}\)和\(\theta=\frac{5\pi}{4}\)共同表示直线\(y=x\)）。

垂直于极轴的直线：与极轴距离为\(a\)（\(a>0\)）且垂直于极轴的直线，方程为\(\rho\cos\theta=a\)（对应直角坐标\(x=a\)）；若直线在极轴左侧（\(x=-a\)），方程为\(\rho\cos\theta=-a\)。

平行于极轴的直线：与极轴距离为\(b\)（\(b>0\)）且平行于极轴的直线，方程为\(\rho\sin\theta=b\)（对应直角坐标\(y=b\)）；若直线在极轴下方（\(y=-b\)），方程为\(\rho\sin\theta=-b\)。

以极点为圆心的圆：半径为\(r\)（\(r>0\)）的圆，方程为\(\rho=r\)（对应直角坐标\(x^2+y^2=r^2\)）。

以极轴上一点为圆心的圆：圆心在极轴上，且过极点，半径为\(r\)，则圆心极坐标为\((r,0)\)，方程为\(\rho=2r\cos\theta\)（直角坐标：\((x-r)^2+y^2=r^2\)，展开为\(x^2+y^2=2rx\)，代入\(x=\rho\cos\theta\)、\(\rho^2=x^2+y^2\)得\(\rho=2r\cos\theta\)）；

同理，圆心在\((0,r)\)（直角坐标）、过极点的圆，方程为\(\rho=2r\sin\theta\)。

2. 圆锥曲线的极坐标方程（统一形式）

圆锥曲线的统一极坐标方程以“极点在焦点、极轴过另一个焦点（椭圆/双曲线）或垂直于准线（抛物线）”为前提。

设圆锥曲线的离心率为\(e\)，焦点到对应准线的距离为\(p\)（\(p>0\)），则方程为：\(\rho=\frac{ep}{1-e\cos\theta}\)

当\(0<e<1\)时，方程表示椭圆（极点为左焦点，极轴过右焦点）；

当\(e=1\)时，方程表示抛物线（极点为焦点，极轴过顶点且指向开口方向）；

当\(e>1\)时，方程表示双曲线（极点为右焦点，极轴过左焦点，\(\rho>0\)对应右支，\(\rho<0\)对应左支）。

特殊情况：若极轴垂直于准线（如抛物线开口向上），方程可写为\(\rho=\frac{ep}{1-e\sin\theta}\)，本质是极角的基准方向变化，核心形式不变。

例题1：极坐标与直角坐标互化（点的坐标）将点\(P\)的极坐标\((2,\frac{\pi}{3})\)化为直角坐标。

解：

由转化公式，\(x=\rho\cos\theta=2\cos\frac{\pi}{3}=2\times\frac{1}{2}=1\)，\(y=\rho\sin\theta=2\sin\frac{\pi}{3}=2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\)，故直角坐标为\((1,\sqrt{3})\)。

例题2：极坐标与直角坐标互化（点的坐标）将点\(Q\)的直角坐标\((-1,1)\)化为极坐标（\(\rho\geq0\)，\(\theta\in[0,2\pi)\)）。

解：

\(\rho=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}\)，\(\tan\theta=\frac{y}{x}=-1\)，因点在第二象限，故\(\theta=\frac{3\pi}{4}\)，极坐标为\((\sqrt{2},\frac{3\pi}{4})\)。

例题3：极坐标方程化为直角坐标方程：将极坐标方程\(\rho=4\cos\theta\)化为直角坐标方程。

解：

两边同乘\(\rho\)得\(\rho^2=4\rho\cos\theta\)，代入\(\rho^2=x^2+y^2\)、\(x=\rho\cos\theta\)，得\(x^2+y^2=4x\)，整理为\((x-2)^2+y^2=4\)（圆心\((2,0)\)，半径2的圆）。

例题4：极坐标方程化为直角坐标方程：将极坐标方程\(\rho\sin\theta=2\)化为直角坐标方程。

解：

由\(y=\rho\sin\theta\)，直接得\(y=2\)（平行于\(x\)轴的直线）。

例题5：直角坐标方程化为极坐标方程：将直角坐标方程\(x^2+y^2=9\)化为极坐标方程。

解：

由\(\rho^2=x^2+y^2\)，得\(\rho^2=9\)，因\(\rho\geq0\)，故\(\rho=3\)（以极点为圆心，半径3的圆）。

例题6：直角坐标方程化为极坐标方程：将直角坐标方程\(y=x+1\)化为极坐标方程。

解：

代入\(x=\rho\cos\theta\)、\(y=\rho\sin\theta\)，得\(\rho\sin\theta=\rho\cos\theta+1\)，整理为\(\rho(\sin\theta-\cos\theta)=1\)（或\(\rho=\frac{1}{\sin\theta-\cos\theta}\)）。

例题7：判断极坐标方程表示的曲线：判断极坐标方程\(\rho=\frac{2}{1-\cos\theta}\)表示的曲线类型，并求其直角坐标方程。

解：

对比圆锥曲线统一方程\(\rho=\frac{ep}{1-e\cos\theta}\)，得\(e=1\)，故为抛物线；

转化为直角坐标：\(\rho(1-\cos\theta)=2\)，即\(\rho-\rho\cos\theta=2\)，代入\(\rho=\sqrt{x^2+y^2}\)、\(x=\rho\cos\theta\)，得\(\sqrt{x^2+y^2}-x=2\)，移项平方得\(x^2+y^2=(x+2)^2\)，整理为\(y^2=4x+4\)（抛物线）。

例题8：判断极坐标方程表示的曲线：判断极坐标方程\(\rho=\frac{3}{2-\cos\theta}\)表示的曲线类型，并求离心率和长轴长（椭圆）。

解：

先将方程化为统一形式：\(\rho=\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{1}{2}\cos\theta}\)，对比得\(e=\frac{1}{2}<1\)，故为椭圆；

\(ep=\frac{3}{2}\)，得\(p=3\)；椭圆中\(e=\frac{c}{a}\)，\(\frac{b^2}{c}=p\)（\(a\)为长半轴，\(b\)为短半轴，\(c\)为焦距），由\(e=\frac{1}{2}\)得\(c=\frac{a}{2}\)，\(b^2=a^2-c^2=\frac{3a^2}{4}\)，又\(\frac{b^2}{c}=3\)，代入得\(\frac{\frac{3a^2}{4}}{\frac{a}{2}}=3\)，解得\(a=2\)，故长轴长\(2a=4\)，离心率\(e=\frac{1}{2}\)。

例题9：极坐标下求两点间距离：已知两点\(A(3,\frac{\pi}{6})\)、\(B(4,\frac{2\pi}{3})\)，求\(|AB|\)。

解：

方法1：先化为直角坐标，\(A(3\cos\frac{\pi}{6},3\sin\frac{\pi}{6})=(\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})\)，\(B(4\cos\frac{2\pi}{3},4\sin\frac{2\pi}{3})=(-2,2\sqrt{3})\)，由距离公式\(|AB|=\sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2}+2)^2+(\frac{3}{2}-2\sqrt{3})^2}\)，展开计算得\(|AB|=5\)；

方法2：用极坐标距离公式，两点\((\rho_1,\theta_1)\)、\((\rho_2,\theta_2)\)的距离为\(\sqrt{\rho_1^2+\rho_2^2-2\rho_1\rho_2\cos(\theta_2-\theta_1)}\)，代入得\(\sqrt{3^2+4^2-2\times3\times4\times\cos(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6})}=\sqrt{9+16-24\cos\frac{\pi}{2}}=\sqrt{25}=5\)。

例题10：极坐标下求直线与圆的位置关系：已知极坐标方程：直线\(l\)：\(\rho\sin(\theta-\frac{\pi}{4})=2\)，圆\(C\)：\(\rho=4\cos\theta\)，判断直线\(l\)与圆\(C\)的位置关系。

解：

先化为直角坐标，直线\(l\)：\(\rho(\sin\theta\cos\frac{\pi}{4}-\cos\theta\sin\frac{\pi}{4})=2\)，即\(\frac{\sqrt{2}}{2}(\rho\sin\theta-\rho\cos\theta)=2\)，得\(y-x=2\sqrt{2}\)，即\(x-y+2\sqrt{2}=0\)；

圆\(C\)：\(\rho=4\cos\theta\)化为\((x-2)^2+y^2=4\)，圆心\((2,0)\)，半径\(r=2\)；

计算圆心到直线的距离\(d=\frac{|2-0+2\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{2+2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+2\)，因\(d>r\)，故直线与圆相离。

例题11：极坐标下求圆的圆心和半径：求极坐标方程\(\rho=2\sin\theta+2\cos\theta\)表示的圆的圆心和半径（直角坐标）。

解：

两边同乘\(\rho\)得\(\rho^2=2\rho\sin\theta+2\rho\cos\theta\)，化为直角坐标：\(x^2+y^2=2y+2x\)，整理为\((x-1)^2+(y-1)^2=2\)，故圆心\((1,1)\)，半径\(\sqrt{2}\)。

例题12：极坐标下求抛物线的焦点和准线：已知抛物线的极坐标方程为\(\rho=\frac{3}{1+\sin\theta}\)，求其直角坐标下的焦点和准线方程。

解：

对比统一形式\(\rho=\frac{ep}{1+e\sin\theta}\)，得\(e=1\)（抛物线），\(ep=3\)故\(p=3\)；

极坐标方程中\(\sin\theta\)对应“极轴垂直于准线”，抛物线开口向上，焦点在极点（直角坐标\((0,0)\)）；

准线到焦点的距离为\(p=3\)，且在开口反方向（下方），故准线方程为\(y=-3\)。

例题13：极坐标下求椭圆的焦点距离：已知椭圆的极坐标方程为\(\rho=\frac{5}{3-2\cos\theta}\)，求椭圆两焦点间的距离。

解：

化为统一形式\(\rho=\frac{\frac{5}{3}}{1-\frac{2}{3}\cos\theta}\)，得\(e=\frac{2}{3}\)，\(ep=\frac{5}{3}\)故\(p=\frac{5}{2}\)；

椭圆中\(e=\frac{c}{a}\)，\(\frac{b^2}{c}=p\)，\(b^2=a^2-c^2\)，由\(e=\frac{2}{3}\)得\(c=\frac{2a}{3}\)，\(b^2=a^2-\frac{4a^2}{9}=\frac{5a^2}{9}\)；

代入\(\frac{b^2}{c}=p\)：\(\frac{\frac{5a^2}{9}}{\frac{2a}{3}}=\frac{5}{2}\)，解得\(a=3\)，故\(c=2\)；

椭圆两焦点间的距离为\(2c=4\)。

例题14：极坐标下求双曲线的渐近线方程：已知双曲线的极坐标方程为\(\rho=\frac{4}{1-2\cos\theta}\)，求其直角坐标下的渐近线方程。

解：

化为统一形式\(\rho=\frac{4}{1-2\cos\theta}\)，得\(e=2>1\)（双曲线），\(ep=4\)故\(p=2\)；

双曲线中\(e=\frac{c}{a}\)，\(\frac{b^2}{c}=p\)，\(b^2=c^2-a^2\)，由\(e=2\)得\(c=2a\)，\(b^2=4a^2-a^2=3a^2\)；

代入\(\frac{b^2}{c}=p\)：\(\frac{3a^2}{2a}=2\)，解得\(a=\frac{4}{3}\)，\(c=\frac{8}{3}\)，\(b^2=3\times(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{3}\)；

双曲线的直角坐标方程：由极坐标方程\(\rho(1-2\cos\theta)=4\)，得\(\rho-2\rho\cos\theta=4\)，即\(\sqrt{x^2+y^2}-2x=4\)，平方整理得\(3x^2-y^2-16x-16=0\)，配方为\(3(x-\frac{8}{3})^2-y^2=\frac{16}{3}\)，即\(\frac{(x-\frac{8}{3})^2}{\frac{16}{9}}-\frac{y^2}{\frac{16}{3}}=1\)；

渐近线方程为\(\frac{x-\frac{8}{3}}{\frac{4}{3}}\pm\frac{y}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}=0\)，整理得\(\sqrt{3}x-y-\frac{8\sqrt{3}}{3}=0\)和\(\sqrt{3}x+y-\frac{8\sqrt{3}}{3}=0\)（或简化为\(\sqrt{3}x-y=0\)和\(\sqrt{3}x+y=0\)，因双曲线平移不改变渐近线斜率）。

例题15：极坐标下求三角形面积：已知三点\(O\)（极点）、\(A(2,\frac{\pi}{4})\)、\(B(3,\frac{3\pi}{4})\)，求\(\triangle OAB\)的面积。

解：

三角形面积公式（极坐标）：\(S=\frac{1}{2}\rho_1\rho_2\sin|\theta_2-\theta_1|\)，代入\(\rho_1=2\)，\(\rho_2=3\)，\(\theta_1=\frac{\pi}{4}\)，\(\theta_2=\frac{3\pi}{4}\)，得\(S=\frac{1}{2}\times2\times3\times\sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}\times6\times\sin\frac{\pi}{2}=3\)。

例题16：极坐标下求直线的参数方程：将极坐标方程\(\theta=\frac{\pi}{3}\)（\(\rho\in\mathbb{R}\)）化为直角坐标下的参数方程（以\(\rho\)为参数）。

解：

极坐标方程\(\theta=\frac{\pi}{3}\)对应直角坐标直线\(y=\sqrt{3}x\)；

以\(\rho\)为参数，由\(x=\rho\cos\frac{\pi}{3}=\frac{\rho}{2}\)，\(y=\rho\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}\rho}{2}\)，故参数方程为\(\begin{cases}x=\frac{1}{2}\rho\\y=\frac{\sqrt{3}}{2}\rho\end{cases}\)（\(\rho\)为参数）。

例题17：极坐标下判断点是否在曲线上：判断点\(M(2,\frac{\pi}{2})\)是否在曲线\(\rho=2\sin\theta\)上。

解：

将\(\theta=\frac{\pi}{2}\)代入曲线方程，得\(\rho=2\sin\frac{\pi}{2}=2\)，与点\(M\)的极径相等，故点\(M\)在曲线上。

例题18：极坐标下求曲线的交点：求极坐标方程\(\rho=2\)与\(\rho=4\cos\theta\)的交点坐标。

解：

联立方程\(\begin{cases}\rho=2\\\rho=4\cos\theta\end{cases}\)，得\(2=4\cos\theta\)，故\(\cos\theta=\frac{1}{2}\)，\(\theta=\frac{\pi}{3}\)或\(\theta=\frac{5\pi}{3}\)；

交点极坐标为\((2,\frac{\pi}{3})\)和\((2,\frac{5\pi}{3})\)（注意：极点是否为交点？代入\(\rho=2\)得极点不在此圆上，故仅两个交点）。

例题19：极坐标下求抛物线的顶点：已知抛物线的极坐标方程为\(\rho=\frac{2}{1-\cos\theta}\)，求其顶点的极坐标。

解：

抛物线顶点是距离焦点（极点）最近的点，极径\(\rho\)最小；

由方程\(\rho=\frac{2}{1-\cos\theta}\)，当\(\cos\theta\)最大时（\(\cos\theta=1\)，\(\theta=0\)），\(\rho\)趋近于无穷大；当\(\cos\theta\)最小或变化时，\(\theta=\pi\)时\(\cos\theta=-1\)，\(\rho=\frac{2}{1-(-1)}=1\)，此时为顶点（因抛物线开口向右，顶点在极轴上，距离焦点1），故顶点极坐标为\((1,\pi)\)。

例题20：极坐标下求椭圆的短轴端点坐标：已知椭圆的极坐标方程为\(\rho=\frac{6}{2-\cos\theta}\)，求其短轴端点的极坐标（\(\rho\geq0\)，\(\theta\in[0,2\pi)\)）。

解：

化为统一形式\(\rho=\frac{3}{1-\frac{1}{2}\cos\theta}\)，得\(e=\frac{1}{2}\)，\(ep=3\)故\(p=6\)；

由椭圆性质，\(e=\frac{c}{a}\)，\(\frac{b^2}{c}=p\)，\(b^2=a^2-c^2\)，解得\(a=4\)，\(c=2\)，\(b^2=12\)，\(b=2\sqrt{3}\)；

椭圆的直角坐标方程：由\(\rho(2-\cos\theta)=6\)得\(2\rho-\rho\cos\theta=6\)，即\(2\sqrt{x^2+y^2}-x=6\)，平方整理得\(3x^2+4y^2-12x-36=0\)，配方为\(\frac{(x-2)^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\)；

短轴端点的直角坐标为\((2,2\sqrt{3})\)和\((2,-2\sqrt{3})\)；

化为极坐标：\(\rho=\sqrt{(2)^2+(2\sqrt{3})^2}=4\)，\(\theta=\frac{\pi}{3}\)（上端点）和\(\theta=\frac{5\pi}{3}\)（下端点），故短轴端点极坐标为\((4,\frac{\pi}{3})\)和\((4,\frac{5\pi}{3})\)。

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