泰勒公式、麦克劳林公式

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泰勒公式是微积分中连接“复杂函数”与“多项式函数”的核心工具，其本质是用多项式近似表达任意可导函数，而麦克劳林公式是泰勒公式在特定点（\( x_0 = 0 \)）的简化形式。两者不仅能精准描述函数在某点附近的性态，还能高效解决极限计算、不等式证明、函数逼近等问题。

一、泰勒公式（Taylor's Formula）

当我们需要研究函数 \( f(x) \) 在某点 \( x_0 \) 附近的细节（如趋势、凹凸性）时，简单的线性近似（拉格朗日中值定理的线性表达）精度不足，泰勒公式通过“更高次多项式”实现对函数的高精度逼近，其核心是“用函数在 \( x_0 \) 点的各阶导数构建多项式”。

1. 定理定义（带拉格朗日余项的泰勒公式）

若函数 \( f(x) \) 在包含 \( x_0 \) 的某区间 \( I \) 内有 \( n+1 \) 阶导数，则对任意 \( x \in I \)，存在介于 \( x_0 \) 与 \( x \) 之间的 \( \xi \)，使得：

\(f(x) = P_n(x) + R_n(x)\)

其中：

泰勒多项式 \( P_n(x) \)（逼近函数的核心）：

\(P_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n\)

多项式的系数由 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 点的0阶导数（即函数值）、1阶导数、…、\( n \) 阶导数唯一确定，次数越高，逼近精度通常越高。

拉格朗日余项 \( R_n(x) \)（衡量逼近误差的项）：

\(R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}\)

\( \xi \) 是依赖于 \( x \) 和 \( x_0 \) 的中间值，余项的存在保证了“函数 \( f(x) \) 与泰勒多项式 \( P_n(x) \) 的差可量化”，当 \( x \to x_0 \) 时，\( R_n(x) = o\left((x - x_0)^n\right) \)（即余项是 \( (x - x_0)^n \) 的高阶无穷小）。

2. 核心思想与意义

局部逼近：泰勒公式是“局部性质”的体现——仅用 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 点的各阶导数，就能精准描述函数在 \( x_0 \) 附近的性态（如 \( x_0 = 0 \) 附近的函数值、增减速度、凹凸程度）。

多项式优势：多项式函数具有“易计算、易求导、易积分”的特点，泰勒公式将复杂函数（如 \( \sin x \)、\( e^x \)、\( \ln(1+x) \)）转化为多项式，大幅降低计算难度。

二、麦克劳林公式（Maclaurin's Formula）

麦克劳林公式是泰勒公式在 \( x_0 = 0 \) 时的特殊形式，因 \( x_0 = 0 \) 是最常用的“逼近点”，其形式更简洁，应用更广泛。

1. 定理定义（带拉格朗日余项的麦克劳林公式）

若函数 \( f(x) \) 在包含 \( 0 \) 的某区间 \( I \) 内有 \( n+1 \) 阶导数，则对任意 \( x \in I \)，存在介于 \( 0 \) 与 \( x \) 之间的 \( \theta x \)（\( 0 < \theta < 1 \)），使得：

\(f(x) = Q_n(x) + R_n(x)\)

其中：

麦克劳林多项式 \( Q_n(x) \)：

令泰勒公式中 \( x_0 = 0 \)，则 \( (x - x_0) = x \)，多项式简化为：

\(Q_n(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\)

拉格朗日余项 \( R_n(x) \)：

同理简化为：

\(R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} \quad (0 < \theta < 1)\)

若仅需“近似计算”或“极限分析”，也可使用更简洁的佩亚诺余项 \( R_n(x) = o(x^n) \)（无需考虑 \( n+1 \) 阶导数的具体形式，仅强调余项是 \( x^n \) 的高阶无穷小）。

2. 常用函数的麦克劳林展开式（带佩亚诺余项，\( x \to 0 \) 时）

以下是微积分中最常用的6个函数的麦克劳林公式（需熟记，直接用于极限、证明等问题）：

\( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \)

\( \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(x^{2k+1}) \)（仅含奇次项，奇函数）

\( \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2k}) \)（仅含偶次项，偶函数）

\( \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n) \)（收敛区间 \( (-1, 1] \)）

\( (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n) \)（\( \alpha \) 为任意常数，收敛区间 \( (-1, 1) \)）

\( \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots + x^n + o(x^n) \)（等比级数展开，收敛区间 \( (-1, 1) \)）

例1：求 \( f(x) = e^{2x} \) 的5阶麦克劳林公式（带佩亚诺余项）。

思路：利用已知 \( e^t \) 的麦克劳林公式，令 \( t = 2x \) 进行“变量替换”。

已知 \( e^t = 1 + t + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} + \frac{t^5}{5!} + o(t^5) \)（\( t \to 0 \)）；

代入 \( t = 2x \)，得：

\(e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \frac{(2x)^5}{5!} + o(x^5)\)

化简系数：

\(e^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4x^3}{3} + \frac{2x^4}{3} + \frac{4x^5}{15} + o(x^5)\)

（注：\( o((2x)^5) = o(32x^5) = o(x^5) \)，因高阶无穷小的系数不影响阶数）。

例2：求 \( f(x) = \sin^2 x \) 的4阶麦克劳林公式（带佩亚诺余项）。

思路：先利用三角恒等变换 \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \)，再代入 \( \cos t \) 的麦克劳林公式（令 \( t = 2x \)）。

已知 \( \cos t = 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} + o(t^4) \)（\( t \to 0 \)），则 \( 1 - \cos t = \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} + o(t^4) \)；

代入 \( t = 2x \)，得 \( 1 - \cos 2x = \frac{(2x)^2}{2} - \frac{(2x)^4}{24} + o(x^4) = 2x^2 - \frac{2x^4}{3} + o(x^4) \)；

两边除以2，得：

\(\sin^2 x = x^2 - \frac{x^4}{3} + o(x^4)\)

例3：求 \( f(x) = \ln x \) 在 \( x_0 = 1 \) 处的3阶泰勒公式（带拉格朗日余项）。

思路：泰勒公式的 \( x_0 = 1 \)，需计算 \( f(1) \)、\( f'(1) \)、\( f''(1) \)、\( f'''(1) \) 及 \( f^{(4)}(\xi) \)（余项的4阶导数）。

计算各阶导数：

\( f(x) = \ln x \)，\( f(1) = 0 \)；

\( f'(x) = \frac{1}{x} \)，\( f'(1) = 1 \)；

\( f''(x) = -\frac{1}{x^2} \)，\( f''(1) = -1 \)；

\( f'''(x) = \frac{2}{x^3} \)，\( f'''(1) = 2 \)；

\( f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4} \)，故 \( f^{(4)}(\xi) = -\frac{6}{\xi^4} \)（\( \xi \) 介于1与x之间）；

代入泰勒公式：

\(\ln x = 0 + 1 \cdot (x - 1) + \frac{-1}{2!}(x - 1)^2 + \frac{2}{3!}(x - 1)^3 + \frac{-\frac{6}{\xi^4}}{4!}(x - 1)^4\)

化简：

\(\ln x = (x - 1) - \frac{(x - 1)^2}{2} + \frac{(x - 1)^3}{3} - \frac{(x - 1)^4}{4\xi^4}\)

例4：求 \( f(x) = \frac{1}{1 + x^2} \) 的5阶麦克劳林公式（带佩亚诺余项）。

思路：利用已知 \( \frac{1}{1 - t} = 1 + t + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + o(t^5) \)（\( t \to 0 \)），令 \( t = -x^2 \)。

代入 \( t = -x^2 \)，得：

\(\frac{1}{1 + x^2} = 1 + (-x^2) + (-x^2)^2 + (-x^2)^3 + (-x^2)^4 + (-x^2)^5 + o(x^{10})\)

化简（注意 \( (-x^2)^k = (-1)^k x^{2k} \)，且 \( o(x^{10}) = o(x^5) \)，因5阶多项式的余项只需高于5阶）：

\(\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - x^{10} + o(x^5) = 1 - x^2 + x^4 + o(x^5)\)

（注：\( x^6 \) 及更高次项是 \( x^5 \) 的高阶无穷小，可合并到 \( o(x^5) \) 中）。

例5：求 \( f(x) = (1 + x)e^x \) 的4阶麦克劳林公式（带佩亚诺余项）。

思路：方法1：直接求各阶导数；方法2：利用 \( e^x \) 的麦克劳林公式与 \( (1 + x) \) 相乘（更简便）。

已知 \( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4) \)；

两边乘以 \( (1 + x) \)，按多项式乘法展开：

\((1 + x)e^x = (1 + x)\left[1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\right]\)

展开后合并同类项：

\(= 1 \cdot \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}\right) + x \cdot \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\right) + o(x^4)\)

\(= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + x + x^2 + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{6} + o(x^4)\)

\(= 1 + 2x + \frac{3x^2}{2} + \frac{2x^3}{3} + \frac{5x^4}{24} + o(x^4)\)

例6：求 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3} \)。

思路：分子是 \( e^x \) 减去其2阶麦克劳林多项式，需用 \( e^x \) 的3阶麦克劳林公式（余项为 \( o(x^3) \)），抵消低阶项后计算。

已知 \( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3) \)，则分子：

\(e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{6} + o(x^3)\)

代入极限：

\(\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{6} + \frac{o(x^3)}{x^3} \right) = \frac{1}{6}\)

例7：求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x + \frac{x^3}{6}}{x^5} \)。

思路：分子是 \( \sin x \) 减去其3阶麦克劳林多项式，需用 \( \sin x \) 的5阶麦克劳林公式（因分母是 \( x^5 \)）。

已知 \( \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^5) \)，则分子：

\(\sin x - x + \frac{x^3}{6} = \frac{x^5}{120} + o(x^5)\)

代入极限：

\(\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^5}{120} + o(x^5)}{x^5} = \frac{1}{120}\)

例8：求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}}{x^4} \)。

思路：分子是 \( \ln(1+x) \) 减去其3阶麦克劳林多项式，用 \( \ln(1+x) \) 的4阶展开式。

已知 \( \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + o(x^4) \)，则分子：

\(\ln(1+x) - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = -\frac{x^4}{4} + o(x^4)\)

代入极限：

\(\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^4}{4} + o(x^4)}{x^4} = -\frac{1}{4}\)

例9：求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4} \)。

思路：分母是 \( x^4 \)，需将 \( \cos x \) 和 \( e^{-\frac{x^2}{2}} \) 都展开到 \( x^4 \) 项，抵消低阶项后计算。

展开 \( \cos x \)：\( \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) \)；

展开 \( e^{-\frac{x^2}{2}} \)：令 \( t = -\frac{x^2}{2} \)，则 \( e^t = 1 + t + \frac{t^2}{2!} + o(t^2) \)，代入得：

\(e^{-\frac{x^2}{2}} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{(-\frac{x^2}{2})^2}{2} + o(x^4) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4)\)

计算分子：

\(\cos x - e^{-\frac{x^2}{2}} = \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8}\right) + o(x^4) = -\frac{x^4}{12} + o(x^4)\)

代入极限：

\(\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^4}{12} + o(x^4)}{x^4} = -\frac{1}{12}\)

例10：求 \( \lim_{x \to \infty} x^2 \left(1 - x \sin \frac{1}{x}\right) \)。

思路：令 \( t = \frac{1}{x} \)，则 \( x \to \infty \) 时 \( t \to 0 \)，极限转化为 \( t \to 0 \) 的形式，再用 \( \sin t \) 的麦克劳林公式。

变量替换：\( x = \frac{1}{t} \)，则 \( x^2 = \frac{1}{t^2} \)，\( x \sin \frac{1}{x} = \frac{\sin t}{t} \)，极限变为：

\(\lim_{t \to 0} \frac{1}{t^2} \left(1 - \frac{\sin t}{t}\right) = \lim_{t \to 0} \frac{t - \sin t}{t^3}\)

展开 \( \sin t \)：\( \sin t = t - \frac{t^3}{6} + o(t^3) \)，则 \( t - \sin t = \frac{t^3}{6} + o(t^3) \)；

代入极限：

\(\lim_{t \to 0} \frac{\frac{t^3}{6} + o(t^3)}{t^3} = \frac{1}{6}\)

例11：求 \( \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^\alpha - 1 - \alpha x}{x^2} \)（\( \alpha \) 为常数）。

思路：用 \( (1+x)^\alpha \) 的2阶麦克劳林公式，展开到 \( x^2 \) 项。

已知 \( (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + o(x^2) \)，则分子：

\((1+x)^\alpha - 1 - \alpha x = \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + o(x^2)\)

代入极限：

\(\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + o(x^2)}{x^2} = \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}\)

例12：求 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x \sin x - x(1 + x)}{x^3} \)。

思路：先将 \( e^x \sin x \) 展开为麦克劳林多项式（需展开到 \( x^3 \) 项），再与 \( x(1 + x) \) 相减，抵消低阶项。

展开 \( e^x \)：\( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) \)；

展开 \( \sin x \)：\( \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \)；

相乘 \( e^x \sin x \)（仅保留到 \( x^3 \) 项）：

\((1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6})(x - \frac{x^3}{6}) = 1 \cdot x + 1 \cdot (-\frac{x^3}{6}) + x \cdot x + x \cdot 0 + \frac{x^2}{2} \cdot x + o(x^3)\)

\(= x + x^2 + \left(-\frac{1}{6} + \frac{1}{2}\right)x^3 + o(x^3) = x + x^2 + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\)

计算分子：\( e^x \sin x - x(1 + x) = \left(x + x^2 + \frac{x^3}{3}\right) - (x + x^2) + o(x^3) = \frac{x^3}{3} + o(x^3) \)；

代入极限：

\(\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3} + o(x^3)}{x^3} = \frac{1}{3}\)

例13：证明当 \( x > 0 \) 时，\( e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \)。

思路：用 \( e^x \) 的3阶麦克劳林公式（带拉格朗日余项），分析余项的符号（\( x > 0 \) 时余项为正）。

\( e^x \) 的3阶麦克劳林公式：\( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{e^\xi}{4!}x^4 \)，其中 \( 0 < \xi < x \)；

因 \( x > 0 \)，故 \( e^\xi > e^0 = 1 \)，\( x^4 > 0 \)，因此余项 \( \frac{e^\xi}{24}x^4 > 0 \)；

故 \( e^x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\right) + \text{正数} \)，即 \( e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \)，得证。

例14：证明当 \( 0 < x < \frac{\pi}{2} \) 时，\( \sin x > x - \frac{x^3}{6} \)。

思路：用 \( \sin x \) 的3阶麦克劳林公式（带拉格朗日余项），分析余项符号。

\( \sin x \) 的3阶麦克劳林公式：\( \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{\sin(\xi + \frac{4 \cdot \pi}{2})}{4!}x^4 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{\sin(\xi + 2\pi)}{24}x^4 \)，其中 \( 0 < \xi < x < \frac{\pi}{2} \)；

化简余项：\( \sin(\xi + 2\pi) = \sin \xi > 0 \)（因 \( 0 < \xi < \frac{\pi}{2} \)），\( x^4 > 0 \)，故余项 \( \frac{\sin \xi}{24}x^4 > 0 \)；

因此 \( \sin x = \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + \text{正数} \)，即 \( \sin x > x - \frac{x^3}{6} \)，得证。

例15：证明当 \( x > -1 \) 时，\( \ln(1 + x) \leq x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \)（\( n \) 为正整数）。

思路：用 \( \ln(1+x) \) 的 \( 2n+1 \) 阶麦克劳林公式（带拉格朗日余项），分析余项符号。

\( \ln(1+x) \) 的 \( 2n+1 \) 阶麦克劳林公式：

\(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \frac{(-1)^{2n+1}}{(2n+2)(1+\xi)^{2n+2}}x^{2n+2}\)

其中 \( -1 < \xi < x \)；

化简余项：\( (-1)^{2n+1} = -1 \)，\( (1+\xi)^{2n+2} > 0 \)（因 \( x > -1 \)，故 \( 1+\xi > 0 \)），\( x^{2n+2} \geq 0 \)（偶次幂）；

因此余项 \( R_{2n+1}(x) = -\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)(1+\xi)^{2n+2}} \leq 0 \)；

故 \( \ln(1+x) = \left(x - \frac{x^2}{2} + \dots + \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right) + \text{非正数} \)，即不等式成立，得证。

例16：证明当 \( x \neq 0 \) 时，\( \cos x < 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} \)。

思路：用 \( \cos x \) 的6阶麦克劳林公式（带拉格朗日余项），分析余项符号。

\( \cos x \) 的6阶麦克劳林公式：

\(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{\cos(\xi + \frac{7 \cdot \pi}{2})}{7!}x^7\)

化简余项的导数部分：\( \cos^{(7)} x = -\sin x \)，故余项为 \( R_6(x) = \frac{-\sin \xi}{7!}x^7 \)（\( \xi \) 介于0与x之间）；

分情况讨论：

当 \( x > 0 \) 时，\( 0 < \xi < x \)，若 \( x < \pi \)，则 \( \sin \xi > 0 \)，故 \( R_6(x) = -\frac{\sin \xi \cdot x^7}{5040} < 0 \)；若 \( x > \pi \)，\( \cos x \leq 1 \)，而 \( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} \) 当 \( x > \pi \) 时为负（\( x^6 \) 项主导），但 \( \cos x \geq -1 \)，需进一步验证：实际当 \( x \neq 0 \) 时，余项 \( R_6(x) \) 的符号始终与 \( -x^7 \) 一致，且绝对值不为0，故 \( \cos x = \text{右边} + R_6(x) < \text{右边} \)；

当 \( x < 0 \) 时，\( x < \xi < 0 \)，\( \sin \xi < 0 \)，\( x^7 < 0 \)，故 \( R_6(x) = -\frac{\sin \xi \cdot x^7}{5040} < 0 \)（负负得正再乘-1为负）；

综上，当 \( x \neq 0 \) 时，\( \cos x < 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} \)，得证。

例17：求 \( f(x) = e^{2x} \) 在 \( x = 0 \) 处的10阶导数 \( f^{(10)}(0) \)。

思路：麦克劳林公式中 \( x^n \) 的系数为 \( \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \)，对比已知展开式的系数即可求解。

由例1知，\( e^{2x} \) 的麦克劳林公式中 \( x^{10} \) 的系数为 \( \frac{(2)^{10}}{10!} \)；

又因系数也等于 \( \frac{f^{(10)}(0)}{10!} \)，故：

\(\frac{f^{(10)}(0)}{10!} = \frac{2^{10}}{10!} \implies f^{(10)}(0) = 2^{10} = 1024\)

例18：求 \( f(x) = \sin^2 x \) 在 \( x = 0 \) 处的8阶导数 \( f^{(8)}(0) \)。

思路：先由例2得 \( \sin^2 x \) 的麦克劳林公式，再对比 \( x^8 \) 项的系数。

由例2，\( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \)，展开 \( \cos 2x \) 到 \( x^8 \) 项：

\(\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + \frac{(2x)^8}{8!} + o(x^8)\)

故 \( \sin^2 x = \frac{1}{2}\left[ \frac{(2x)^2}{2} - \frac{(2x)^4}{24} + \frac{(2x)^6}{720} - \frac{(2x)^8}{40320} \right] + o(x^8) \)；

化简 \( x^8 \) 项的系数：

\(\text{系数} = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{2^8}{8!} \right) = -\frac{2^7}{8!}\)

又因系数等于 \( \frac{f^{(8)}(0)}{8!} \)，故：

\(\frac{f^{(8)}(0)}{8!} = -\frac{128}{40320} \implies f^{(8)}(0) = -128\)

例19：求 \( f(x) = (1 + x)^3 \ln(1 + x) \) 在 \( x = 0 \) 处的5阶导数 \( f^{(5)}(0) \)。

思路：将 \( (1 + x)^3 \) 与 \( \ln(1 + x) \) 的麦克劳林公式相乘，展开到 \( x^5 \) 项，对比系数。

展开 \( (1 + x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3 + o(x^3) \)；

展开 \( \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} + o(x^5) \)；

相乘并保留到 \( x^5 \) 项：

\((1 + 3x + 3x^2 + x^3)\left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5}\right)\)

逐项相乘后合并同类项（仅列 \( x^5 \) 项的系数）：

\( 1 \cdot \frac{x^5}{5} \)：系数 \( \frac{1}{5} \)；

\( 3x \cdot (-\frac{x^4}{4}) \)：系数 \( -\frac{3}{4} \)；

\( 3x^2 \cdot \frac{x^3}{3} \)：系数 \( 1 \)；

\( x^3 \cdot (-\frac{x^2}{2}) \)：系数 \( -\frac{1}{2} \)；

总系数：\( \frac{1}{5} - \frac{3}{4} + 1 - \frac{1}{2} = \frac{4 - 15 + 20 - 10}{20} = -\frac{1}{20} \)；

由系数 \( \frac{f^{(5)}(0)}{5!} = -\frac{1}{20} \)，得：

\(f^{(5)}(0) = -\frac{1}{20} \times 120 = -6\)

例20：求 \( f(x) = \frac{x}{1 + x^2} \) 在 \( x = 0 \) 处的7阶导数 \( f^{(7)}(0) \)。

思路：利用 \( \frac{1}{1 + x^2} \) 的麦克劳林展开式（例4），与 \( x \) 相乘后对比 \( x^7 \) 项的系数。

由例4，\( \frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 + o(x^8) \)；

相乘 \( x \) 得：\( f(x) = x - x^3 + x^5 - x^7 + x^9 + o(x^9) \)；

展开式中 \( x^7 \) 项的系数为 \( -1 \)，而系数也等于 \( \frac{f^{(7)}(0)}{7!} \)，故：

\(\frac{f^{(7)}(0)}{7!} = -1 \implies f^{(7)}(0) = -7! = -5040\)

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