双曲线方程

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、双曲线的基本概念与标准方程

1. 定义

平面内与两个定点 \(F_1\)、\(F_2\)（称为焦点）的距离之差的绝对值等于常数（记为 \(2a\)，且 \(0 < 2a < |F_1F_2| = 2c\)，\(c > a > 0\)）的点的轨迹叫做双曲线。

核心条件：\(||PF_1| - |PF_2|| = 2a\)（\(P\) 为双曲线上任意一点），其中 \(2c\) 为两焦点间距离，\(b = \sqrt{c^2 - a^2}\)（\(b > 0\)，称为虚半轴长），满足 \(c^2 = a^2 + b^2\)（双曲线的核心关系式，与椭圆的 \(a^2 = b^2 + c^2\) 区分）。

2. 标准方程

双曲线的标准方程分两种形式，取决于焦点在x轴还是y轴上，核心是“焦点在正项对应的轴上”。

（1）焦点在x轴上

方程形式：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > 0\)，\(b > 0\)）

焦点坐标：\(F_1(-c, 0)\)，\(F_2(c, 0)\)（\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)）

顶点坐标：左顶点\((-a, 0)\)、右顶点\((a, 0)\)（实轴顶点，实轴长度为\(2a\)）；虚轴顶点为\((0, -b)\)、\((0, b)\)（虚轴长度为\(2b\)，仅为辅助顶点，不在双曲线上）

（2）焦点在y轴上

方程形式：\(\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1\)（\(a > 0\)，\(b > 0\)）

焦点坐标：\(F_1(0, -c)\)，\(F_2(0, c)\)（\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)）

顶点坐标：下顶点\((0, -a)\)、上顶点\((0, a)\)（实轴顶点，实轴长度为\(2a\)）；虚轴顶点为\((-b, 0)\)、\((b, 0)\)（虚轴长度为\(2b\)，不在双曲线上）

（3）特殊情况：中心在点\((h, k)\)的双曲线（平移后的方程）

若双曲线中心不在原点，而是在点\((h, k)\)，则标准方程需进行平移变换：

焦点在平行于x轴的直线上：\(\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1\)（\(a > 0\)，\(b > 0\)）

焦点在平行于y轴的直线上：\(\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1\)（\(a > 0\)，\(b > 0\)）

二、双曲线的核心性质

1. 基本量关系

实半轴长：\(a\)（双曲线上顶点到中心的距离，实轴长度为\(2a\)）

虚半轴长：\(b\)（虚轴顶点到中心的距离，虚轴长度为\(2b\)，影响双曲线“开口宽窄”）

焦距：\(2c\)（两焦点间距离，\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)，且\(c > a\)）

离心率：\(e = \frac{c}{a}\)（衡量双曲线“开口大小”，\(e > 1\)，\(e\) 越接近1，开口越窄；\(e\) 越大，开口越宽）

准线方程：双曲线有两条准线，平行于虚轴，距离中心\(\frac{a^2}{c}\)

焦点在x轴上：准线为\(x = \pm \frac{a^2}{c}\)

焦点在y轴上：准线为\(y = \pm \frac{a^2}{c}\)

渐近线方程（双曲线特有的性质，刻画双曲线无限延伸时的趋近方向）：

焦点在x轴上：渐近线为\(y = \pm \frac{b}{a}x\)（方程可由标准方程“令右边为0”得到：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0\)）

焦点在y轴上：渐近线为\(y = \pm \frac{a}{b}x\)（同理，由\(\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 0\)得到）

2. 几何性质

1. 对称性：双曲线关于x轴、y轴和原点都对称（中心对称+轴对称），对称中心称为“双曲线中心”（标准方程中为原点）。

2. 范围：

焦点在x轴上：\(|x| \geq a\)，\(y \in \mathbb{R}\)（双曲线分为左、右两支，分别在\(x \leq -a\)和\(x \geq a\)区域）

焦点在y轴上：\(|y| \geq a\)，\(x \in \mathbb{R}\)（双曲线分为上、下两支，分别在\(y \leq -a\)和\(y \geq a\)区域）

3. 焦半径公式（双曲线上任意一点\(P(x_0, y_0)\)到焦点的距离，需注意“点所在的支”）：

焦点在x轴上（左支：\(x_0 \leq -a\)；右支：\(x_0 \geq a\)）：

右支上点到右焦点\(F_2(c, 0)\)：\(|PF_2| = ex_0 - a\)；到左焦点\(F_1(-c, 0)\)：\(|PF_1| = ex_0 + a\)

左支上点到左焦点\(F_1(-c, 0)\)：\(|PF_1| = -ex_0 - a\)；到右焦点\(F_2(c, 0)\)：\(|PF_2| = -ex_0 + a\)

焦点在y轴上（下支：\(y_0 \leq -a\)；上支：\(y_0 \geq a\)）：

上支上点到上焦点\(F_2(0, c)\)：\(|PF_2| = ey_0 - a\)；到下焦点\(F_1(0, -c)\)：\(|PF_1| = ey_0 + a\)

下支上点到下焦点\(F_1(0, -c)\)：\(|PF_1| = -ey_0 - a\)；到上焦点\(F_2(0, c)\)：\(|PF_2| = -ey_0 + a\)

（推导依据：双曲线定义\(||PF_1| - |PF_2|| = 2a\)，结合准线性质“双曲线上点到焦点距离与到对应准线距离之比为离心率\(e\)”）

4. 通径：过焦点且垂直于实轴的弦，长度为\(\frac{2b^2}{a}\)（推导：将\(x = \pm c\)代入标准方程求y值，弦长为\(2|y|\)，与椭圆通径公式形式相同，但几何意义不同）。

三、双曲线的二级结论（高频考点与解题技巧）

二级结论是双曲线性质的延伸，需结合定义和几何意义理解，避免死记硬背。

1. 焦点三角形相关结论

以双曲线上任意一点\(P\)和两焦点\(F_1\)、\(F_2\)构成的三角形\(\triangle PF_1F_2\)称为“焦点三角形”，设其顶角为\(\angle F_1PF_2 = \theta\)，则：

周长：\(|PF_1| + |PF_2| + |F_1F_2| = 2|PF_{\text{长}}| + 2c\)（或\(2|PF_{\text{短}}| + 4a + 2c\)，需结合点所在支判断）

面积：\(S_{\triangle PF_1F_2} = \frac{b^2}{\tan\frac{\theta}{2}}\)（推导：用余弦定理\(|F_1F_2|^2 = |PF_1|^2 + |PF_2|^2 - 2|PF_1||PF_2|\cos\theta\)，结合\(||PF_1| - |PF_2|| = 2a\)，化简得\(|PF_1||PF_2| = \frac{2b^2}{1 - \cos\theta}\)，再用面积公式\(S = \frac{1}{2}|PF_1||PF_2|\sin\theta\)）

顶角最小值：当\(P\)在顶点时，\(\theta\)最小（因顶点到两焦点距离之差固定，且距离之和最小，由余弦定理知顶角最小）

2. 渐近线的延伸结论

共渐近线的双曲线系：与双曲线\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)有相同渐近线的双曲线，方程可表示为\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \lambda\)（\(\lambda \neq 0\)，\(\lambda > 0\)时焦点在x轴上，\(\lambda < 0\)时焦点在y轴上，此时方程可整理为\(\frac{y^2}{-b^2\lambda} - \frac{x^2}{-a^2\lambda} = 1\)）。

渐近线与离心率的关系：若双曲线渐近线斜率为\(\pm k\)，则：

焦点在x轴上：\(k = \frac{b}{a}\)，故\(k^2 = \frac{b^2}{a^2} = \frac{c^2 - a^2}{a^2} = e^2 - 1\)，即\(e = \sqrt{1 + k^2}\)；

焦点在y轴上：\(k = \frac{a}{b}\)，故\(k^2 = \frac{a^2}{b^2} = \frac{a^2}{c^2 - a^2} = \frac{1}{e^2 - 1}\)，即\(e = \sqrt{1 + \frac{1}{k^2}}\)。

双曲线的焦点到渐近线的距离：等于虚半轴长\(b\)（推导：焦点\((c, 0)\)到渐近线\(bx \pm ay = 0\)的距离\(d = \frac{|bc \pm 0|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{bc}{c} = b\)，为定值）。

3. 直线与双曲线的位置关系

设直线\(l: y = kx + m\)（斜率存在），双曲线\(C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)，联立方程消去\(y\)得：

\((b^2 - a^2k^2)x^2 - 2a^2kmx - a^2(m^2 + b^2) = 0\)，设方程判别式为\(\Delta\)，则：

当\(b^2 - a^2k^2 = 0\)（即\(k = \pm \frac{b}{a}\)）：方程退化为一次方程，有且仅有一个解，此时直线与双曲线相切于无穷远（称为“渐近线”，无实际交点）；

当\(b^2 - a^2k^2 \neq 0\)：

\(\Delta > 0\)：直线与双曲线有两个不同交点（可能在同一支，也可能在两支）；

\(\Delta = 0\)：直线与双曲线有且仅有一个交点（相切，有唯一实交点）；

\(\Delta < 0\)：直线与双曲线无交点。

特别地：过双曲线外一点作双曲线的切线，最多有两条；过双曲线上一点作切线，有且仅有一条。

4. 切线方程相关结论

双曲线上一点\(P(x_0, y_0)\)处的切线方程：

焦点在x轴上：\(\frac{x_0x}{a^2} - \frac{y_0y}{b^2} = 1\)；

焦点在y轴上：\(\frac{y_0y}{a^2} - \frac{x_0x}{b^2} = 1\)（与椭圆切线方程形式类似，仅“+”“-”区别）。

斜率为\(k\)的双曲线切线方程：

焦点在x轴上：\(y = kx \pm \sqrt{a^2k^2 - b^2}\)（需满足\(a^2k^2 > b^2\)，否则无实切线）；

焦点在y轴上：\(y = kx \pm \sqrt{b^2 - a^2k^2}\)（需满足\(b^2 > a^2k^2\)，否则无实切线）。

5. 其他常用结论

双曲线的“共轭双曲线”：将原双曲线方程中的\(x^2\)与\(y^2\)项符号互换得到的双曲线，如\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)的共轭双曲线为\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\)，两者具有：① 相同的渐近线；② 离心率\(e_1\)与\(e_2\)满足\(\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1\)；③ 实轴与虚轴互换。

双曲线的“焦点弦”（过焦点的弦）：若焦点弦的两个端点为\(A(x_1, y_1)\)、\(B(x_2, y_2)\)，则：

焦点在x轴上（右焦点）：\(x_1x_2 = \frac{a^2(b^2 + m^2)}{b^2 - a^2k^2}\)，\(y_1y_2 = \frac{-b^2(m^2 + a^2k^2)}{b^2 - a^2k^2}\)（具体值可通过联立方程推导，简化结论：当焦点弦垂直于实轴时，即为通径，长度\(\frac{2b^2}{a}\)）。

例题1：双曲线标准方程的判断与基本量计算。判断双曲线\(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)的焦点位置，求\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(e\)及渐近线方程。

解：

1. 方程形式为\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)，正项对应x轴，故焦点在x轴上；

2. 对比标准方程，得\(a^2 = 9\)（\(a = 3\)），\(b^2 = 16\)（\(b = 4\)）；

3. 由\(c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25\)，得\(c = 5\)；

4. 离心率\(e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}\)；

5. 渐近线方程为\(y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{4}{3}x\)。

例题2：焦点在y轴上的双曲线方程求解。已知双曲线焦点在y轴上，实轴长为6，虚轴长为8，求双曲线标准方程。

解：

1. 焦点在y轴上，标准方程为\(\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1\)；

2. 实轴长\(2a = 6\)，得\(a = 3\)（\(a^2 = 9\)）；

3. 虚轴长\(2b = 8\)，得\(b = 4\)（\(b^2 = 16\)）；

4. 代入得双曲线方程：\(\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1\)。

例题3：双曲线的范围与点的位置判断。判断点\(P(5, 6)\)是否在双曲线\(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{25} = 1\)上。

解：

1. 双曲线焦点在x轴上，范围为\(|x| \geq 4\)（\(a = 4\)），点\(P\)的\(x = 5 \geq 4\)，满足范围；

2. 将\(P(5, 6)\)代入双曲线方程左边：\(\frac{5^2}{16} - \frac{6^2}{25} = \frac{25}{16} - \frac{36}{25} = \frac{625 - 576}{400} = \frac{49}{400} \neq 1\)；

故点\(P\)不在双曲线上。

例题4：双曲线的渐近线方程推导（含平移）求双曲线\(\frac{(x - 2)^2}{4} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 1\)的渐近线方程。

解：

1. 双曲线中心为\((2, -1)\)，焦点在平行于x轴的直线上，标准形式为\(\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1\)（\(h = 2\)，\(k = -1\)）；

2. 先求“中心在原点”的同形双曲线\(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1\)的渐近线：\(y = \pm \frac{3}{2}x\)；

3. 平移规律：中心从\((0,0)\)移到\((2, -1)\)，需将x替换为\(x - 2\)，y替换为\(y + 1\)，故渐近线方程为\(y + 1 = \pm \frac{3}{2}(x - 2)\)；

整理得：\(y = \frac{3}{2}x - 4\) 和 \(y = -\frac{3}{2}x + 2\)。

例题5：焦半径公式的应用（右支上的点）已知双曲线\(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)，点\(P(5, y_0)\)在右支上，求\(|PF_2|\)（\(F_2\)为右焦点）。

解：

1. 双曲线基本量：\(a = 4\)，\(c = \sqrt{16 + 9} = 5\)，离心率\(e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4}\)；

2. 右支上点的焦半径公式：\(|PF_2| = ex_0 - a\)（\(x_0 = 5\)为点\(P\)的横坐标）；

3. 代入计算：\(|PF_2| = \frac{5}{4} \times 5 - 4 = \frac{25}{4} - 4 = \frac{25 - 16}{4} = \frac{9}{4}\)。

例题6：焦点三角形的面积计算。已知双曲线\(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1\)，点\(P\)在双曲线上，\(\angle F_1PF_2 = 60^\circ\)（\(F_1, F_2\)为焦点），求\(\triangle PF_1F_2\)的面积。

解：

1. 双曲线基本量：\(b^2 = 5\)（面积公式需\(b^2\)），顶角\(\theta = 60^\circ\)；

2. 焦点三角形面积公式：\(S = \frac{b^2}{\tan\frac{\theta}{2}}\)；

3. 代入计算：\(\tan\frac{60^\circ}{2} = \tan30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\)，故\(S = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 5\sqrt{3}\)。

例题7：双曲线的离心率求解（已知渐近线）已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)的渐近线为\(y = \pm 2x\)，求离心率\(e\)。

解：

1. 焦点在x轴上，渐近线斜率\(\frac{b}{a} = 2\)，故\(b = 2a\)；

2. 由\(c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + (2a)^2 = 5a^2\)，得\(c = \sqrt{5}a\)；

3. 离心率\(e = \frac{c}{a} = \sqrt{5}\)。

例题8：直线与双曲线的位置关系判断。判断直线\(y = x + 1\)与双曲线\(\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{3} = 1\)的交点个数。

解：

1. 联立方程：将\(y = x + 1\)代入双曲线方程，得\(\frac{x^2}{2} - \frac{(x + 1)^2}{3} = 1\)；

2. 去分母整理：\(3x^2 - 2(x^2 + 2x + 1) = 6\) → \(3x^2 - 2x^2 - 4x - 2 - 6 = 0\) → \(x^2 - 4x - 8 = 0\)；

3. 计算判别式\(\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times (-8) = 16 + 32 = 48 > 0\)；

故直线与双曲线有两个不同交点。

例题9：双曲线的切线方程（已知点在双曲线上）求双曲线\(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\)上点\(P(3\sqrt{2}, 2)\)处的切线方程。

解：

1. 点\(P\)在双曲线上，焦点在x轴上，切线方程公式为\(\frac{x_0x}{a^2} - \frac{y_0y}{b^2} = 1\)；

2. 基本量：\(a^2 = 9\)，\(b^2 = 4\)，点\(P\)坐标\(x_0 = 3\sqrt{2}\)，\(y_0 = 2\)；

3. 代入公式：\(\frac{3\sqrt{2} \cdot x}{9} - \frac{2 \cdot y}{4} = 1\)，化简得\(\frac{\sqrt{2}x}{3} - \frac{y}{2} = 1\)；

整理为标准形式：\(2\sqrt{2}x - 3y - 6 = 0\)。

例题10：斜率已知的双曲线切线方程。求双曲线\(\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{9} = 1\)的斜率为\(\frac{1}{2}\)的切线方程。

解：

1. 双曲线焦点在y轴上，斜率为\(k\)的切线方程公式为\(y = kx \pm \sqrt{b^2 - a^2k^2}\)（需先明确\(a, b\)：焦点在y轴上，\(a^2 = 4\)，\(b^2 = 9\)）；

2. 代入\(k = \frac{1}{2}\)，计算根号内的值：\(b^2 - a^2k^2 = 9 - 4 \times (\frac{1}{2})^2 = 9 - 1 = 8\)；

3. 故切线方程为\(y = \frac{1}{2}x \pm \sqrt{8}\)，即\(y = \frac{1}{2}x \pm 2\sqrt{2}\)；

整理为标准形式：\(x - 2y \pm 4\sqrt{2} = 0\)。

例题11：双曲线的准线方程与点到准线的距离。已知双曲线\(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)，求右准线方程及点\(P(8, 3\sqrt{3})\)到右准线的距离。

解：

1. 双曲线焦点在x轴上，准线方程为\(x = \pm \frac{a^2}{c}\)；

2. 基本量：\(a^2 = 16\)，\(c = \sqrt{16 + 9} = 5\)，故右准线方程为\(x = \frac{16}{5} = 3.2\)；

3. 点\(P(8, 3\sqrt{3})\)到右准线\(x = \frac{16}{5}\)的距离：\(d = |8 - \frac{16}{5}| = |\frac{40 - 16}{5}| = \frac{24}{5}\)。

例题12：双曲线的通径长度计算。求双曲线\(\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{16} = 1\)的通径长度。

解：

1. 通径是过焦点且垂直于实轴的弦，长度公式为\(\frac{2b^2}{a}\)；

2. 双曲线焦点在y轴上，\(a^2 = 25\)（\(a = 5\)），\(b^2 = 16\)（\(b = 4\)）；

3. 代入公式：通径长度\( = \frac{2 \times 16}{5} = \frac{32}{5}\)。

例题13：共渐近线的双曲线系方程。求与双曲线\(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1\)有相同渐近线，且过点\(P(2, 3)\)的双曲线方程。

解：

1. 共渐近线的双曲线系方程为\(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = \lambda\)（\(\lambda \neq 0\)）；

2. 点\(P(2, 3)\)在双曲线上，代入方程得\(\frac{2^2}{4} - \frac{3^2}{9} = \lambda\) → \(\frac{4}{4} - \frac{9}{9} = \lambda\) → \(1 - 1 = \lambda\) → \(\lambda = 0\)（舍去，因\(\lambda \neq 0\)，说明点\(P\)在渐近线上）；

3. 调整思路：若\(\lambda < 0\)，方程可写为\(\frac{y^2}{-9\lambda} - \frac{x^2}{-4\lambda} = 1\)，代入\(P(2, 3)\)：\(\frac{9}{-9\lambda} - \frac{4}{-4\lambda} = \frac{1}{-\lambda} + \frac{1}{\lambda} = 0\)，仍无解，故不存在过点\(P\)且与原双曲线共渐近线的双曲线（因点\(P\)在渐近线上）。

例题14：双曲线的共轭双曲线性质。已知双曲线\(C_1: \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)，其共轭双曲线为\(C_2\)，求\(C_2\)的离心率\(e_2\)，并验证\(\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1\)（\(e_1\)为\(C_1\)的离心率）。

解：

1. \(C_1\)的共轭双曲线\(C_2\)：\(\frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{9} = 1\)（交换\(x^2\)与\(y^2\)项符号）；

2. 求\(e_1\)：\(C_1\)中\(a_1 = 3\)，\(c_1 = 5\)，\(e_1 = \frac{5}{3}\)；

3. 求\(e_2\)：\(C_2\)中\(a_2 = 4\)，\(c_2 = 5\)（\(c_2 = \sqrt{16 + 9} = 5\)），\(e_2 = \frac{5}{4}\)；

4. 验证：\(\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1\)，成立。

例题15：双曲线的焦点到渐近线的距离。验证双曲线\(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{12} = 1\)的右焦点到渐近线的距离等于\(b\)。

解：

1. 双曲线基本量：\(a^2 = 25\)，\(b^2 = 12\)（\(b = 2\sqrt{3}\)），\(c = \sqrt{25 + 12} = \sqrt{37}\)，右焦点\(F_2(\sqrt{37}, 0)\)；

2. 渐近线方程：\(y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{5}x\)，取其中一条\(2\sqrt{3}x - 5y = 0\)；

3. 点到直线的距离：\(d = \frac{|2\sqrt{3} \cdot \sqrt{37} - 5 \cdot 0|}{\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-5)^2}} = \frac{2\sqrt{111}}{\sqrt{12 + 25}} = \frac{2\sqrt{111}}{\sqrt{37}} = 2\sqrt{3} = b\)，验证成立。

例题16：双曲线的中心平移与基本量。已知双曲线中心在\((-1, 2)\)，焦点在平行于y轴的直线上，实轴长为4，离心率\(e = \frac{3}{2}\)，求双曲线方程。

解：

1. 中心平移后，方程形式为\(\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1\)（\(h = -1\)，\(k = 2\)）；

2. 实轴长\(2a = 4\)，得\(a = 2\)（\(a^2 = 4\)）；

3. 离心率\(e = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}\)，得\(c = 3\)；

4. 由\(c^2 = a^2 + b^2\)，得\(b^2 = c^2 - a^2 = 9 - 4 = 5\)；

代入中心坐标，得双曲线方程：\(\frac{(y - 2)^2}{4} - \frac{(x + 1)^2}{5} = 1\)。

例题17：双曲线的离心率范围（已知焦点三角形顶角）已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)，焦点三角形的顶角最大值为\(60^\circ\)，求离心率\(e\)的范围。

解：

1. 双曲线焦点三角形的顶角最小值在顶点处，最大值无上限？实际应为“当点\(P\)趋近于顶点时，顶角趋近于最小值；当点\(P\)趋近于无穷远时，顶角趋近于0”，题目应为“顶角最小值为\(60^\circ\)”（修正后）；

2. 顶角最小值在顶点\(A(a, 0)\)处，此时\(\triangle AF_1F_2\)中，\(|AF_1| = a + c\)，\(|AF_2| = c - a\)，\(|F_1F_2| = 2c\)；

3. 由余弦定理：\(\cos\theta = \frac{|AF_1|^2 + |AF_2|^2 - |F_1F_2|^2}{2|AF_1||AF_2|}\)，代入\(\theta = 60^\circ\)（最小值），\(\cos60^\circ = 0.5\)；

4. 计算得：\(0.5 = \frac{(a + c)^2 + (c - a)^2 - 4c^2}{2(a + c)(c - a)}\) → 化简得\(c^2 = 2a^2\)，故\(e = \sqrt{2}\)；

5. 若顶角最小值≥\(60^\circ\)，则\(e \leq \sqrt{2}\)，又\(e > 1\)，故\(e \in (1, \sqrt{2}]\)。

例题18：直线与双曲线相切的条件（求参数）已知直线\(y = kx + 2\)与双曲线\(\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1\)相切，求\(k\)的值。

解：

1. 联立方程：\(\frac{x^2}{3} - \frac{(kx + 2)^2}{2} = 1\)，去分母整理：\(2x^2 - 3(k^2x^2 + 4kx + 4) = 6\) → \((2 - 3k^2)x^2 - 12kx - 18 = 0\)；

2. 直线与双曲线相切，需满足：① 二次项系数≠0（\(2 - 3k^2 \neq 0\)）；② 判别式\(\Delta = 0\)；

3. 计算\(\Delta = (-12k)^2 - 4(2 - 3k^2)(-18) = 144k^2 + 72(2 - 3k^2) = 144k^2 + 144 - 216k^2 = 144 - 72k^2\)；

4. 令\(\Delta = 0\)：\(144 - 72k^2 = 0\) → \(k^2 = 2\) → \(k = \pm \sqrt{2}\)（均满足\(2 - 3k^2 \neq 0\)）。

例题19：双曲线的焦点弦长度计算（垂直实轴）已知双曲线\(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1\)，过右焦点\(F_2\)作垂直于x轴的直线，交双曲线于\(A\)、\(B\)两点，求\(|AB|\)。

解：

1. 双曲线基本量：\(c = \sqrt{4 + 5} = 3\)，右焦点\(F_2(3, 0)\)；

2. 过\(F_2\)且垂直于x轴的直线方程为\(x = 3\)，代入双曲线方程：\(\frac{9}{4} - \frac{y^2}{5} = 1\) → \(\frac{y^2}{5} = \frac{5}{4}\) → \(y^2 = \frac{25}{4}\) → \(y = \pm \frac{5}{2}\)；

3. 两点坐标：\(A(3, \frac{5}{2})\)，\(B(3, -\frac{5}{2})\)，弦长\(|AB| = |\frac{5}{2} - (-\frac{5}{2})| = 5\)（也可直接用通径公式\(\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 5}{2} = 5\)）。

例题20：双曲线的参数方程与最值问题。已知双曲线\(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)，点\(P\)在双曲线上，求\(x + y\)的最小值。

解：

1. 双曲线的参数方程（焦点在x轴上）：\(x = \frac{a}{\cos\theta}\)，\(y = b\tan\theta\)（\(\theta\)为参数，\(\theta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)）；

2. 代入\(a = 4\)，\(b = 3\)，得\(x = \frac{4}{\cos\theta}\)，\(y = 3\tan\theta\)，故\(x + y = \frac{4}{\cos\theta} + 3\tan\theta\)；

3. 化简：\(\frac{4}{\cos\theta} + 3\tan\theta = \frac{4 + 3\sin\theta}{\cos\theta}\)，设\(f(\theta) = \frac{4 + 3\sin\theta}{\cos\theta}\)，求其最小值；

4. 求导或用几何意义（斜率法）：设\(k = \frac{4 + 3\sin\theta}{\cos\theta}\)，则\(k\cos\theta - 3\sin\theta = 4\)，由辅助角公式\(\sqrt{k^2 + 9}\sin(\varphi - \theta) = 4\)（\(\varphi\)为辅助角），故\(\sqrt{k^2 + 9} \geq 4\) → \(k^2 \geq 7\) → \(k \geq \sqrt{7}\)或\(k \leq -\sqrt{7}\)；

故\(x + y\)的最小值为\(-\sqrt{7}\)。