数学中各类角的范围速记表

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锐角：大于\(0^\circ\)且小于\(90^\circ\)，即\((0^\circ,90^\circ)\)

直角：等于\(90^\circ\)

钝角：大于\(90^\circ\)且小于\(180^\circ\)，即\((90^\circ,180^\circ)\)

平角：等于\(180^\circ\)

周角：等于\(360^\circ\)

n边形：内角和 = \((n-2)180^\circ\)，外角和 = \(360^\circ\)

三角形内角：大于\(0^\circ\)且小于\(180^\circ\)，三角形内角和为\(180^\circ\)

四边形内角：任意四边形的内角和为 360°，单个内角的取值范围需分情况讨论：

（1）凸四边形：凸四边形单个内角的范围是：\(0^\circ < \text{内角} < 180^\circ\)

（2）凹四边形：凹四边形有且仅有一个内角大于 180°，其余三个内角仍满足：\(0^\circ < \text{内角} < 180^\circ\)，而这个大于 180° 的内角，其上限受内角和限制，最大可以无限接近 360°（但不能等于 360°，否则四边形会退化为一条线段），因此这个内角的范围是：\(180^\circ < \text{内角} < 360^\circ\)

（3）特殊四边形（凸四边形）：矩形、正方形的每个内角等于 90°。平行四边形的对角相等，邻角互补，每个内角范围为 \(0^\circ < \text{内角} < 180^\circ\)。梯形的内角同样遵循凸四边形的范围规则（一般梯形为凸四边形）。

任意角：由射线绕端点旋转形成，分正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）、零角，范围是\(\mathbb{R}\)（全体实数）

终边相同的角：与角\(\alpha\)终边相同的角的集合为\(\{\beta \mid \beta = \alpha + k\cdot360^\circ, k\in\mathbb{Z}\}\)

象限角：角的顶点与原点重合，始边与\(x\)轴正半轴重合，终边落在第几象限即为第几象限角，无固定范围，需结合象限判断

直线的倾斜角：直线向上方向与\(x\)轴正方向所成的最小正角，范围是\([0^\circ,180^\circ)\)

两条直线的夹角：两条直线所成的锐角或直角，范围是\([0^\circ,90^\circ]\)

向量（平面向量与空间向量）的夹角：两个非零向量平移至同一起点后所成的角\(\langle\vec{a},\vec{b}\rangle\)，范围是\([0^\circ,180^\circ]\)

异面直线所成角：过空间一点作两条异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角或直角，范围是\((0^\circ,90^\circ]\)

直线与平面所成角：直线与平面中所有直线所成角的最小值，即直线与它在平面内的射影所成的角，范围是\([0^\circ,90^\circ]\)

公式为\(\sin\theta = \frac{|\vec{s}\cdot\vec{n}|}{|\vec{s}|\cdot|\vec{n}|}\)（\(\vec{s}\)为直线方向向量，\(\vec{n}\)为平面法向量）

当直线与平面平行或在平面内时，所成角为\(0^\circ\)，当直线与平面垂直时，所成角为\(90^\circ\)。

二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，用二面角的平面角度量，范围是\([0^\circ,180^\circ]\)，可通过两个平面法向量的夹角计算

弧度制下的角：定义\(1\ \text{rad}\)为弧长等于半径的圆弧所对的圆心角，角度与弧度换算：\(180^\circ = \pi\ \text{rad}\)，任意角的弧度范围为\(\mathbb{R}\)

方向角与方向余弦：空间直线与\(x,y,z\)轴正方向的夹角\(\alpha,\beta,\gamma\)，范围均为\([0,\pi]\)，满足\(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\)

角的类型	范围（角度制）	范围（弧度制）	备注
锐角	\((0^\circ, 90^\circ)\)	\((0, \frac{\pi}{2})\)	无方向，仅指小于直角的正角
直角	\(90^\circ\)	\(\frac{\pi}{2}\)	两直线垂直时形成
钝角	\((90^\circ, 180^\circ)\)	\((\frac{\pi}{2}, \pi)\)	大于直角小于平角
平角	\(180^\circ\)	\(\pi\)	射线旋转半周形成
周角	\(360^\circ\)	\(2\pi\)	射线旋转一周形成
两直线夹角	\((0^\circ, 90^\circ]\)	\((0, \frac{\pi}{2}]\)	取锐角或直角，不含\(0^\circ\)
三角形内角	\((0^\circ, 180^\circ)\)	\((0, \pi)\)	三角形内角和为\(180^\circ\)
任意角	\(\mathbb{R}\)（全体实数）	\(\mathbb{R}\)	含正角、负角、零角
直线倾斜角	\([0^\circ, 180^\circ)\)	\([0, \pi)\)	向上方向与\(x\)轴正方向夹角
两直线夹角	\([0^\circ, 90^\circ]\)	\([0, \frac{\pi}{2}]\)	平行时为\(0^\circ\)，垂直时为\(90^\circ\)
向量夹角	\([0^\circ, 180^\circ]\)	\([0, \pi]\)	共起点，同向为\(0^\circ\)，反向为\(180^\circ\)
异面直线所成角	\((0^\circ, 90^\circ]\)	\((0, \frac{\pi}{2}]\)	平移后取锐角或直角，不含\(0^\circ\)
直线与平面所成角	\([0^\circ, 90^\circ]\)	\([0, \frac{\pi}{2}]\)	平行/在平面内为\(0^\circ\)，垂直为\(90^\circ\)
二面角	\([0^\circ, 180^\circ]\)	\([0, \pi]\)	用平面角衡量，平二面角为\(180^\circ\)
空间向量夹角	-	\([0, \pi]\)	同高中向量夹角，统一用弧度制
直线与平面所成角	-	\([0, \frac{\pi}{2}]\)	公式：\(\sin\theta=\frac{\|\vec{s}\cdot\vec{n}\|}{\|\vec{s}\|\|\vec{n}\|}\)
二面角	-	\([0, \pi]\)	法向量夹角与二面角相等或互补
方向角（与坐标轴）	-	\([0, \pi]\)	满足\(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\)