复数 $a + bi$

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一、复数的概念与性质

1. 基本概念

在实数范围内，方程 $x^2 + 1 = 0$ 无解，因为没有实数的平方为负数。为解决这类问题，引入虚数单位 $i$，规定 $i^2 = -1$，且 $i$ 满足实数的四则运算规则。

由此，复数的定义为：形如 $z = a + bi$ 的数，其中 $a$、$b$ 均为实数。

$a$ 称为复数 $z$ 的实部，记为 $Re(z) = a$；

$b$ 称为复数 $z$ 的虚部，记为 $Im(z) = b$（注意：虚部是实数，不是 $bi$）。

2. 复数的分类

当 $b = 0$ 时，$z = a$，此时复数退化为实数，即实数是复数的特殊情况；

当 $b \neq 0$ 时，$z = a + bi$ 称为虚数；

当 $a = 0$ 且 $b \neq 0$ 时，$z = bi$ 称为纯虚数。

3. 复数的相等与模

相等：两个复数 $z_1 = a_1 + b_1i$ 与 $z_2 = a_2 + b_2i$ 相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等，即 $a_1 = a_2$ 且 $b_1 = b_2$（注意：复数不能比较大小，只能判断是否相等）。

模（绝对值）：复数 $z = a + bi$ 的模是实部与虚部的平方和的算术平方根，记为 $|z|$，即 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$。模的几何意义是复数在复平面上对应点到原点的距离，具有非负性（$|z| \geq 0$，当且仅当 $z = 0$ 时取等号）。

4. 基本性质

$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$（积的模等于模的积）；

$|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$（$z_2 \neq 0$，商的模等于模的商）；

$|z| = |\overline{z}|$（复数的模与其共轭复数的模相等，$\overline{z}$ 为共轭复数，下文将讲解）；

$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$（三角不等式，等号当且仅当 $z_1$ 与 $z_2$ 同向时成立）；

$|z_1 - z_2| \geq ||z_1| - |z_2||$（三角不等式的变形）。

二、共轭复数

1. 定义

对于复数 $z = a + bi$，将其虚部符号改变后得到的复数 $\overline{z} = a - bi$，称为 $z$ 的共轭复数。

几何意义：在复平面上，共轭复数对应的点关于实轴对称。

2. 核心性质

设 $z_1 = a_1 + b_1i$，$z_2 = a_2 + b_2i$，则：

1. $\overline{\overline{z}} = z$（共轭的共轭是原复数）；

2. $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$（和的共轭等于共轭的和）；

3. $\overline{z_1 - z_2} = \overline{z_1} - \overline{z_2}$（差的共轭等于共轭的差）；

4. $\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$（积的共轭等于共轭的积）；

5. $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$（$z_2 \neq 0$，商的共轭等于共轭的商）；

6. $z \cdot \overline{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$（复数与共轭复数的积为模的平方，是实数，常用于分母实数化）；

7. $Re(z) = \frac{z + \overline{z}}{2}$，$Im(z) = \frac{z - \overline{z}}{2i}$（实部和虚部可通过复数与其共轭表示）。

三、复数运算

复数运算遵循“实部与实部运算、虚部与虚部运算”的规则，同时利用 $i^2 = -1$ 化简。

1. 加法规则：实部相加，虚部相加。

若 $z_1 = a_1 + b_1i$，$z_2 = a_2 + b_2i$，则：$z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$。

性质：满足交换律（$z_1 + z_2 = z_2 + z_1$）和结合律（$(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$）。

2. 减法规则：实部相减，虚部相减。$z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$。

3. 乘法规则：按多项式乘法展开，再用 $i^2 = -1$ 化简。

$z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i^2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i$。

性质：满足交换律（$z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1$）、结合律（$(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)$）和分配律（$z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3$）。

4. 除法规则：利用共轭复数将分母实数化，即分子分母同乘分母的共轭复数。

若 $z_2 \neq 0$，则：

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} = \frac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)} = \frac{(a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1 - a_1b_2)i}{a_2^2 + b_2^2}$。

四、复数的向量形式

1. 复平面与向量对应

建立复平面（又称高斯平面）：以实轴（x轴）表示复数的实部，虚轴（y轴）表示复数的虚部。此时，每个复数 $z = a + bi$ 可唯一对应复平面上的一个点 $P(a, b)$；同时，这个点也可唯一对应一个从原点 $O(0,0)$ 指向 $P(a,b)$ 的位置向量 $\overrightarrow{OP}$。

因此，复数、复平面上的点、位置向量三者是“一一对应”的关系，即：

$z = a + bi \leftrightarrow P(a, b) \leftrightarrow \overrightarrow{OP} = (a, b)$。

2. 向量形式的运算意义

加法：复数加法对应向量的“平行四边形法则”或“三角形法则”。例如，$z_1 + z_2$ 对应的向量是 $\overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2}$（$P_1$、$P_2$ 分别是 $z_1$、$z_2$ 对应的点）。

减法：复数减法 $z_1 - z_2$ 对应向量 $\overrightarrow{OP_1} - \overrightarrow{OP_2} = \overrightarrow{P_2P_1}$，其模 $|z_1 - z_2|$ 表示复平面上两点 $P_1$ 与 $P_2$ 之间的距离。

数乘：设实数 $k$，则 $k \cdot z = ka + kbi$ 对应向量 $k \cdot \overrightarrow{OP}$，即向量的“数乘变换”（当 $k > 0$ 时，向量方向不变、长度变为 $k$ 倍；当 $k < 0$ 时，向量方向相反、长度变为 $|k|$ 倍）。

五、复数的三角形式

1. 定义

设复数 $z = a + bi$ 对应的向量 $\overrightarrow{OP}$ 与实轴正方向的夹角为 $\theta$（称为 $z$ 的辐角，记为 $Arg(z)$），模为 $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$。由三角函数定义可知：$a = r\cos\theta$，$b = r\sin\theta$。

因此，复数可表示为：$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$，

这就是复数的三角形式，其中 $r \geq 0$，$\theta \in \mathbb{R}$。

2. 辐角的说明

辐角不唯一：若 $\theta$ 是 $z$ 的辐角，则 $\theta + 2k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）也是 $z$ 的辐角。

主辐角：规定在区间 $(-\pi, \pi]$ 内的辐角为“主辐角”，记为 $\arg(z)$（小写 $a$），是唯一的。例如：

$z = 1$ 的主辐角 $\arg(1) = 0$；

$z = i$ 的主辐角 $\arg(i) = \frac{\pi}{2}$；

$z = -1$ 的主辐角 $\arg(-1) = \pi$；

$z = -i$ 的主辐角 $\arg(-i) = -\frac{\pi}{2}$。

3. 三角形式的运算

三角形式的优势是简化乘法、除法和乘方运算：

乘法：若 $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$，$z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$，则：

$z_1 \cdot z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]$（积的模为模的积，积的辐角为辐角的和）。

除法：若 $z_2 \neq 0$，则：

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]$（商的模为模的商，商的辐角为辐角的差）。

乘方（棣莫弗公式）：对任意正整数 $n$，有：

$z^n = [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$。

该公式对负整数和零也成立（当 $n = 0$ 时，$z^0 = 1$；当 $n$ 为负整数时，令 $n = -k$，则 $z^n = \frac{1}{z^k}$）。

开方：复数 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ 的 $n$ 次方根有 $n$ 个，形式为：

$\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)$，其中 $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$。

几何意义：$n$ 个方根在复平面上对应一个正 $n$ 边形的顶点，圆心在原点，半径为 $\sqrt[n]{r}$。

六、复数的欧拉形式

1. 定义

由欧拉公式（复变函数中的核心公式）：$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$（其中 $e$ 是自然对数的底，$\theta$ 是实数，单位为弧度），可将复数的三角形式转化为欧拉形式：$z = r e^{i\theta}$，

其中 $r = |z|$，$\theta = Arg(z)$。

欧拉公式的特殊情况：当 $\theta = \pi$ 时，$e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1$，即 $e^{i\pi} + 1 = 0$（被誉为“数学最美公式”，连接了 $e$、$\pi$、$i$、0、1 五个重要常数）。

2. 运算优势

欧拉形式的运算完全遵循指数运算规则，比三角形式更简洁：

乘法：$z_1 \cdot z_2 = r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$；

除法：$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$（$z_2 \neq 0$）；

乘方：$z^n = (r e^{i\theta})^n = r^n e^{i n\theta}$（棣莫弗公式的欧拉形式，更直观）；

开方：$z^{\frac{1}{n}} = (r e^{i\theta})^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{r} e^{i\frac{\theta + 2k\pi}{n}}$（$k = 0, 1, \dots, n-1$）。

七、复数的指数形式

复数的“指数形式”与“欧拉形式”本质相同，均基于欧拉公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$，表达式均为 $z = r e^{i\theta}$。

部分教材会将“指数形式”进一步扩展：若复数的辐角用其他参数表示（如 $\phi = \theta + 2k\pi$），形式仍为 $z = r e^{i\phi}$，核心是“模 + 指数（含辐角）”的结构，与欧拉形式无本质区别，可视为同一概念的不同表述。

八、复变函数

1. 基本概念

复变函数是定义域和值域均为复数集（或其子集）的函数，记为 $w = f(z)$，其中自变量 $z = x + yi$（$x, y \in \mathbb{R}$），因变量 $w = u + vi$（$u, v \in \mathbb{R}$）。

复变函数可分解为两个实变函数的组合：若 $z = x + yi$，则 $w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$，其中 $u(x, y)$ 称为“实部函数”，$v(x, y)$ 称为“虚部函数”。例如：

函数 $w = z^2$：$z = x + yi$ 时，$w = (x + yi)^2 = (x^2 - y^2) + 2xyi$，故 $u(x, y) = x^2 - y^2$，$v(x, y) = 2xy$。

2. 常见复变函数

多项式函数：$f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0$（$a_n \neq 0$，$a_k \in \mathbb{C}$，$n$ 为非负整数）；

有理函数：$f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}$（$P(z)$、$Q(z)$ 为多项式函数，且 $Q(z) \neq 0$）；

指数函数：$f(z) = e^z = e^{x + yi} = e^x (\cos y + i\sin y)$（由欧拉公式扩展，周期为 $2\pi i$）；

三角函数：$\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$，$\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$（由指数函数定义，不再局限于实数范围的有界性）；

对数函数：$f(z) = \ln z = \ln |z| + i Arg(z)$（多值函数，因辐角不唯一，主值为 $\ln |z| + i\arg(z)$）。

3. 可导性与解析性

复变函数的“可导”和“解析”是核心性质，比实变函数更严格：

可导性：若极限 $\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$ 存在（$\Delta z = \Delta x + i\Delta y$ 沿任意路径趋近于0），则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导，记为 $f'(z_0)$。

解析性：若 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某一邻域内处处可导，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析；若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处解析，则称 $f(z)$ 是 $D$ 内的解析函数（全纯函数）。

4. 柯西-黎曼方程（C-R方程）

C-R方程是判断复变函数可导/解析的充要条件：

若 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ 在区域 $D$ 内可导，则在 $D$ 内处处满足：

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$，$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$。

反之，若 $u(x, y)$、$v(x, y)$ 在 $D$ 内具有连续的一阶偏导数，且满足C-R方程，则 $f(z)$ 在 $D$ 内解析。

例题1：判断复数类型并求实部、虚部。已知复数 $z = (3 - 2i) + (1 + 4i)$，判断 $z$ 的类型，并求 $Re(z)$ 和 $Im(z)$。

解：先化简 $z = (3 + 1) + (-2 + 4)i = 4 + 2i$。

因 $Im(z) = 2 \neq 0$，故 $z$ 是虚数；$Re(z) = 4$，$Im(z) = 2$。

例题2：求复数的模。求复数 $z = -3 + 4i$ 的模 $|z|$。

解：由模的定义，$|z| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$。

例题3：共轭复数的运算。已知 $z = 2 - 3i$，求 $\overline{z}$ 及 $z \cdot \overline{z}$。

解：$\overline{z} = 2 + 3i$；$z \cdot \overline{z} = (2 - 3i)(2 + 3i) = 2^2 - (3i)^2 = 4 - (-9) = 13$（或直接用 $|z|^2 = 2^2 + (-3)^2 = 13$）。

例题4：复数加法的向量意义。已知 $z_1 = 1 + 2i$，$z_2 = 3 - i$，求 $z_1 + z_2$ 对应的向量，并说明几何意义。

解：$z_1 + z_2 = (1 + 3) + (2 - 1)i = 4 + i$，对应向量 $(4, 1)$。

几何意义：该向量是 $z_1$ 对应向量 $(1, 2)$ 与 $z_2$ 对应向量 $(3, -1)$ 按平行四边形法则相加的结果。

例题5：复数除法（分母实数化）计算 $\frac{2 + i}{1 - 2i}$。

解：分子分母同乘分母的共轭复数 $1 + 2i$：

$\frac{(2 + i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot 2i + i \cdot 1 + i \cdot 2i}{1^2 - (2i)^2} = \frac{2 + 4i + i + 2i^2}{1 - (-4)} = \frac{2 + 5i - 2}{5} = \frac{5i}{5} = i$。

例题6：复数相等的应用。已知 $(x + y) + (x - y)i = 3 + i$（$x, y \in \mathbb{R}$），求 $x$ 和 $y$ 的值。

解：由复数相等的定义，实部相等且虚部相等：

$\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$。

例题7：三角形式的转化。将复数 $z = -1 + \sqrt{3}i$ 化为三角形式。

解：第一步求模：$r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$；

第二步求主辐角：$z$ 对应点 $(-1, \sqrt{3})$ 在第二象限，$\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$，故 $\arg(z) = \frac{2\pi}{3}$；

因此，三角形式为 $z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$。

例题8：三角形式的乘法。已知 $z_1 = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$，$z_2 = 3(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$，求 $z_1 \cdot z_2$。

解：由三角形式乘法规则：

$z_1 \cdot z_2 = 2 \times 3 \left[\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right)\right] = 6\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 6(0 + i \times 1) = 6i$。

例题9：棣莫弗公式的应用（乘方）计算 $z = (1 + i)^8$。

解：先将 $z$ 化为三角形式：$|1 + i| = \sqrt{2}$，$\arg(1 + i) = \frac{\pi}{4}$，故 $1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$；

由棣莫弗公式：$(1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8 \left(\cos\frac{8\pi}{4} + i\sin\frac{8\pi}{4}\right) = 16(\cos2\pi + i\sin2\pi) = 16(1 + 0) = 16$。

例题10：复数的开方（求平方根）求复数 $z = -4$ 的平方根。

解：将 $z$ 化为三角形式：$z = 4(\cos\pi + i\sin\pi)$；

平方根有2个（$n = 2$），形式为：

$\sqrt{4}\left(\cos\frac{\pi + 2k\pi}{2} + i\sin\frac{\pi + 2k\pi}{2}\right)$（$k = 0, 1$）；

当 $k = 0$ 时：$2\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 2i$；

当 $k = 1$ 时：$2\left(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}\right) = -2i$；

故 $z = -4$ 的平方根为 $\pm 2i$。

例题11：欧拉形式的运算。已知 $z_1 = 2e^{i\frac{\pi}{4}}$，$z_2 = 5e^{i\frac{\pi}{6}}$，求 $\frac{z_1}{z_2}$。

解：由欧拉形式除法规则：

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{5}e^{i\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right)} = \frac{2}{5}e^{i\frac{\pi}{12}}$；

若化为代数形式：$\frac{2}{5}\left(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\right) = \frac{2}{5}\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{10} + i\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{10}$。

例题12：复平面上两点间距离。求复平面上复数 $z_1 = 2 - 3i$ 与 $z_2 = -1 + 5i$ 对应点之间的距离。

解：两点间距离为 $|z_1 - z_2|$，计算得：

$z_1 - z_2 = (2 - (-1)) + (-3 - 5)i = 3 - 8i$，故距离 $|3 - 8i| = \sqrt{3^2 + (-8)^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}$。

例题13：三角不等式的验证。已知 $z_1 = 1 + i$，$z_2 = 1 - i$，验证 $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$。

解：左边：$z_1 + z_2 = 2$，$|z_1 + z_2| = 2$；

右边：$|z_1| = \sqrt{2}$，$|z_2| = \sqrt{2}$，故 $|z_1| + |z_2| = 2\sqrt{2} \approx 2.828$；

显然 $2 \leq 2\sqrt{2}$，等号成立（因 $z_1$ 与 $z_2$ 实部相同、虚部相反，相加时虚部抵消，满足同向条件）。

例题14：复变函数的实部与虚部分解。已知复变函数 $w = f(z) = z^3$，将其分解为实部函数 $u(x, y)$ 和虚部函数 $v(x, y)$（$z = x + yi$）。

解：$z^3 = (x + yi)^3 = x^3 + 3x^2(yi) + 3x(yi)^2 + (yi)^3 = x^3 + 3x^2yi - 3xy^2 - y^3i = (x^3 - 3xy^2) + (3x^2y - y^3)i$；

故 $u(x, y) = x^3 - 3xy^2$，$v(x, y) = 3x^2y - y^3$。

例题15：柯西-黎曼方程的验证。判断复变函数 $f(z) = z^2 = (x^2 - y^2) + 2xyi$ 是否满足C-R方程。

解：实部 $u = x^2 - y^2$，虚部 $v = 2xy$；

计算偏导数：$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$，$\frac{\partial v}{\partial y} = 2x$（满足 $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$）；

$\frac{\partial u}{\partial y} = -2y$，$\frac{\partial v}{\partial x} = 2y$（满足 $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$）；

因此，$f(z) = z^2$ 满足C-R方程，且偏导数连续，故在复平面内解析。

例题16：复数方程的求解。解方程 $z^2 + 2z + 5 = 0$（$z$ 为复数）。

解：用求根公式（与实系数二次方程一致）：

$z = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \times 1 \times 5}}{2 \times 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$。

例题17：共轭复数的性质应用。已知 $z$ 为复数，且 $|z| = 1$，求证 $z \cdot \overline{z} = 1$，并求 $|1 + z|$ 的最大值。

证明：由共轭性质，$z \cdot \overline{z} = |z|^2 = 1^2 = 1$，得证；

求 $|1 + z|$ 的最大值：设 $z = \cos\theta + i\sin\theta$（因 $|z| = 1$），则 $1 + z = (1 + \cos\theta) + i\sin\theta$；

$|1 + z| = \sqrt{(1 + \cos\theta)^2 + \sin^2\theta} = \sqrt{1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta} = \sqrt{2 + 2\cos\theta}$；

当 $\cos\theta = 1$（即 $\theta = 0$，$z = 1$）时，$|1 + z|$ 最大值为 $\sqrt{2 + 2 \times 1} = 2$。

例题18：欧拉公式的应用（化简复数）用欧拉公式化简 $z = e^{i\frac{\pi}{3}} + e^{i\frac{2\pi}{3}}$。

解：由欧拉公式，$e^{i\frac{\pi}{3}} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$；

$e^{i\frac{2\pi}{3}} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$；

相加得 $z = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) + i\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \sqrt{3}i$。

例题19：复数的三角形式与代数形式互化。将三角形式 $z = 5\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$ 化为代数形式。

解：$\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$；

故 $z = 5\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{5\sqrt{2}}{2}$。

例题20：复变函数的可导性判断。判断复变函数 $f(z) = x + yi$（即 $f(z) = \overline{z}$）是否可导。

解：分解为实部和虚部：$u(x, y) = x$，$v(x, y) = y$；

计算偏导数：$\frac{\partial u}{\partial x} = 1$，$\frac{\partial v}{\partial y} = 1$（满足第一个C-R方程）；

$\frac{\partial u}{\partial y} = 0$，$\frac{\partial v}{\partial x} = 0$（满足第二个C-R方程？看似满足，但需验证极限是否存在）；

实际验证极限：$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} = \lim_{\Delta x + i\Delta y \to 0} \frac{(\Delta x - i\Delta y)}{\Delta x + i\Delta y}$；

若沿实轴趋近（$\Delta y = 0$），极限为 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$；

若沿虚轴趋近（$\Delta x = 0$），极限为 $\lim_{\Delta y \to 0} \frac{-i\Delta y}{i\Delta y} = -1$；

两个路径极限不同，故 $f(z) = \overline{z}$ 在任意点都不可导。