一、函数连续性的核心定义

（一）某点连续的定义

设函数\( y = f(x) \)在点\( x_0 \)的某邻域内有定义，若同时满足以下三个条件，则称\( f(x) \)在\( x_0 \)处连续：

1. 函数在该点有定义，即\( f(x_0) \)存在；

2. 函数在该点的极限存在，即\( \lim_{x \to x_0} f(x) \)存在；

3. 极限值等于函数值，即\( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \)。

从极限的“\( \varepsilon - \delta \)”语言角度，可等价描述为：对任意\( \varepsilon > 0 \)，存在\( \delta > 0 \)，当\( |x - x_0| < \delta \)时，有\( |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon \)。

（二）单侧连续的定义

1. 左连续：若\( \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) \)，则称\( f(x) \)在\( x_0 \)处左连续；

2. 右连续：若\( \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0) \)，则称\( f(x) \)在\( x_0 \)处右连续。

重要结论：函数\( f(x) \)在\( x_0 \)处连续的充要条件是\( f(x) \)在\( x_0 \)处既左连续又右连续。

（三）区间上的连续性

1. 开区间连续：若\( f(x) \)在开区间\( (a, b) \)内每一点都连续，则称\( f(x) \)在\( (a, b) \)内连续；

2. 闭区间连续：若\( f(x) \)在\( (a, b) \)内连续，且在左端点\( x = a \)处右连续、在右端点\( x = b \)处左连续，则称\( f(x) \)在闭区间\( [a, b] \)上连续。

二、连续函数的重要性质

（一）局部性质

1. 局部有界性：若\( f(x) \)在\( x_0 \)处连续，则存在\( x_0 \)的某邻域\( U(x_0) \)，使得\( f(x) \)在\( U(x_0) \)内有界；

2. 局部保号性：若\( f(x) \)在\( x_0 \)处连续且\( f(x_0) \neq 0 \)，则存在\( x_0 \)的某邻域\( U(x_0) \)，使得在\( U(x_0) \)内\( f(x) \)与\( f(x_0) \)同号；

3. 局部保不等式性：若\( f(x) \)、\( g(x) \)在\( x_0 \)处连续，且\( f(x_0) < g(x_0) \)，则存在\( x_0 \)的某邻域\( U(x_0) \)，使得在\( U(x_0) \)内\( f(x) < g(x) \)。

（二）闭区间上连续函数的整体性质（核心定理）

1. 有界性定理：若\( f(x) \)在\( [a, b] \)上连续，则\( f(x) \)在\( [a, b] \)上有界；

2. 最大值最小值定理：若\( f(x) \)在\( [a, b] \)上连续，则\( f(x) \)在\( [a, b] \)上必存在最大值\( M \)和最小值\( m \)，即存在\( \xi_1, \xi_2 \in [a, b] \)，使得\( f(\xi_1) = M \)，\( f(\xi_2) = m \)；

3. 介值定理：若\( f(x) \)在\( [a, b] \)上连续，且\( f(a) \neq f(b) \)，则对介于\( f(a) \)和\( f(b) \)之间的任意实数\( C \)，至少存在一点\( \xi \in (a, b) \)，使得\( f(\xi) = C \)；

4. 零点存在定理（介值定理推论）：若\( f(x) \)在\( [a, b] \)上连续，且\( f(a) \cdot f(b) < 0 \)，则至少存在一点\( \xi \in (a, b) \)，使得\( f(\xi) = 0 \)（即函数在该区间内必有零点）。

（三）复合函数与反函数的连续性

1. 复合函数连续性：设\( u = \varphi(x) \)在\( x_0 \)处连续，\( u_0 = \varphi(x_0) \)，且\( y = f(u) \)在\( u_0 \)处连续，则复合函数\( y = f[\varphi(x)] \)在\( x_0 \)处连续，且\( \lim_{x \to x_0} f[\varphi(x)] = f[\lim_{x \to x_0} \varphi(x)] = f(\varphi(x_0)) \)；

2. 反函数连续性：若\( y = f(x) \)在\( [a, b] \)上严格单调且连续，则其反函数\( x = f^{-1}(y) \)在对应区间\( [f(a), f(b)] \)（或\( [f(b), f(a)] \)）上也严格单调且连续。

（四）初等函数的连续性

所有初等函数在其定义区间内都是连续的（定义区间是指包含在定义域内的区间，区别于孤立的定义域点）。这一性质可快速判断多数函数的连续性，且便于计算初等函数的极限（直接代入定义区间内的点即可）。

三、间断点的定义与分类

（一）间断点的定义

若函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处不满足连续性的三个条件之一（无定义、极限不存在、极限值≠函数值），则称\( x_0 \)为\( f(x) \)的间断点。

（二）间断点的分类

1. 第一类间断点：左极限\( \lim_{x \to x_0^-} f(x) \)和右极限\( \lim_{x \to x_0^+} f(x) \)都存在；

可去间断点：左极限=右极限，但不等于函数值（或函数在该点无定义）；

跳跃间断点：左极限≠右极限。

2. 第二类间断点：左极限或右极限至少有一个不存在；

无穷间断点：左极限或右极限为\( \infty \)；

振荡间断点：极限不存在且不为\( \infty \)，函数值在某一范围内振荡。

四、连续函数的四则运算连续性

若函数\( f(x) \)和\( g(x) \)在点\( x_0 \)处连续，则它们的和、差、积、商（分母不为0）在\( x_0 \)处也连续，具体法则如下：

1. \( f(x) \pm g(x) \)在\( x_0 \)处连续；

2. \( f(x) \cdot g(x) \)在\( x_0 \)处连续；

3. 若\( g(x_0) \neq 0 \)，则\( \frac{f(x)}{g(x)} \)在\( x_0 \)处连续。

推论：

常数与连续函数的乘积仍为连续函数；

有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数；

连续函数的正整数次幂仍为连续函数。

五、例题解析

（一）连续性的判定（例题1-5）

例题1

判断函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)在\( x = 2 \)处的连续性。

解析：

1. \( f(2) = 2 \times 2^2 - 3 \times 2 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 \)，函数在\( x=2 \)处有定义；

2. \( \lim_{x \to 2} (2x^2 - 3x + 1) = 2 \times 4 - 3 \times 2 + 1 = 3 \)，极限存在；

3. 极限值=函数值，故\( f(x) \)在\( x=2 \)处连续。

例题2

判断函数\( f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 1 \\ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} \)在\( x = 1 \)处的连续性。

解析：

1. \( f(1) = 1^2 = 1 \)，函数在\( x=1 \)处有定义；

2. 左极限\( \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1 \)，右极限\( \lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 1 \)，左极限=右极限，极限存在且为1；

3. 极限值=函数值，故\( f(x) \)在\( x=1 \)处连续。

例题3

判断函数\( f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} \)在\( x = 0 \)处的连续性。

解析：

1. \( f(0) = 0 \)，函数在\( x=0 \)处有定义；

2. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，极限存在且为1；

3. 极限值（1）≠函数值（0），故\( f(x) \)在\( x=0 \)处不连续。

例题4

判断函数\( f(x) = \sqrt{4 - x^2} \)在区间\( [-2, 2] \)上的连续性。

解析：

\( f(x) = \sqrt{4 - x^2} \)是初等函数，其定义域为\( 4 - x^2 \geq 0 \)，即\( [-2, 2] \)，定义域本身为闭区间，故\( f(x) \)在\( [-2, 2] \)上连续（初等函数在定义区间内连续）。

例题5

判断函数\( f(x) = \ln(1 + x) \)在\( x = 0 \)处的连续性，并验证左、右连续性。

解析：

1. \( f(0) = \ln(1 + 0) = 0 \)，函数在\( x=0 \)处有定义；

2. 左极限\( \lim_{x \to 0^-} \ln(1 + x) = \ln 1 = 0 = f(0) \)，左连续；

3. 右极限\( \lim_{x \to 0^+} \ln(1 + x) = \ln 1 = 0 = f(0) \)，右连续；

4. 既左连续又右连续，故\( f(x) \)在\( x=0 \)处连续。

（二）间断点的分类（例题6-10）

例题6

求函数\( f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} \)的间断点并分类。

解析：

1. 定义域为\( x \neq 3 \)，故间断点为\( x=3 \)；

2. \( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6 \)，左极限=右极限，但函数在\( x=3 \)处无定义；

3. 故\( x=3 \)是可去间断点（第一类）。

例题7

求函数\( f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ x - 1, & x > 0 \end{cases} \)的间断点并分类。

解析：

1. 间断点候选为\( x=0 \)，\( f(0) = 0 \)；

2. 左极限\( \lim_{x \to 0^-} (x + 1) = 1 \)，右极限\( \lim_{x \to 0^+} (x - 1) = -1 \)，左极限≠右极限；

3. 故\( x=0 \)是跳跃间断点（第一类）。

例题8

求函数\( f(x) = \frac{1}{x - 1} \)的间断点并分类。

解析：

1. 定义域为\( x \neq 1 \)，间断点为\( x=1 \)；

2. \( \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x - 1} = +\infty \)，\( \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x - 1} = -\infty \)，极限为\( \infty \)；

3. 故\( x=1 \)是无穷间断点（第二类）。

例题9

求函数\( f(x) = \sin \frac{1}{x} \)的间断点并分类。

解析：

1. 定义域为\( x \neq 0 \)，间断点为\( x=0 \)；

2. 当\( x \to 0 \)时，\( \frac{1}{x} \to \infty \)，\( \sin \frac{1}{x} \)在\( [-1, 1] \)内无限振荡，极限不存在且不为\( \infty \)；

3. 故\( x=0 \)是振荡间断点（第二类）。

例题10

求函数\( f(x) = \tan x \)的间断点并分类。

解析：

1. 定义域为\( x \neq k\pi + \frac{\pi}{2} \)（\( k \in \mathbb{Z} \)），间断点为\( x = k\pi + \frac{\pi}{2} \)；

2. 当\( x \to k\pi + \frac{\pi}{2} \)时，\( \tan x \to \pm \infty \)；

3. 故所有\( x = k\pi + \frac{\pi}{2} \)（\( k \in \mathbb{Z} \)）都是无穷间断点（第二类）。

（三）连续函数四则运算的应用（例题11-15）

例题11

已知\( f(x) = \cos x \)和\( g(x) = x^3 \)均在\( \mathbb{R} \)上连续，证明\( f(x) \cdot g(x) = x^3 \cos x \)在\( \mathbb{R} \)上连续。

解析：

由连续函数的乘法运算法则：若\( f(x) \)、\( g(x) \)在某点（或区间）连续，则其乘积在该点（或区间）连续。因\( f(x) \)和\( g(x) \)在\( \mathbb{R} \)上处处连续，故\( x^3 \cos x \)在\( \mathbb{R} \)上连续。

例题12

已知\( f(x) = x + 2 \)（\( \mathbb{R} \)上连续）和\( g(x) = \sqrt{x} \)（\( [0, +\infty) \)上连续），求\( \frac{f(x)}{g(x)} \)的连续区间。

解析：

1. 首先确定定义域：\( g(x) = \sqrt{x} \neq 0 \)且\( x \geq 0 \)，即\( x > 0 \)；

2. 由除法运算法则，当\( g(x) \neq 0 \)时，\( \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x + 2}{\sqrt{x}} \)在定义域内连续；

3. 故连续区间为\( (0, +\infty) \)。

例题13

求极限\( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + \sin x}{e^x + 1} \)。

解析：

1. 分子\( x^2 + \sin x \)是连续函数的和，在\( x=1 \)处连续；

2. 分母\( e^x + 1 \)是连续函数的和，在\( x=1 \)处连续且\( e^1 + 1 = e + 1 \neq 0 \)；

3. 由除法运算法则，原式\( = \frac{1^2 + \sin 1}{e + 1} = \frac{1 + \sin 1}{e + 1} \)。

例题14

求极限\( \lim_{x \to 0} (x^2 \cos x + \sqrt{1 + x}) \)。

解析：

1. \( x^2 \cos x \)是连续函数的乘积，在\( x=0 \)处连续；

2. \( \sqrt{1 + x} \)是初等函数，在\( x=0 \)处连续；

3. 由加法运算法则，原式\( = 0^2 \times \cos 0 + \sqrt{1 + 0} = 0 + 1 = 1 \)。

例题15

已知函数\( f(x) = \begin{cases} ax + 1, & x < 1 \\ x^2 - a, & x \geq 1 \end{cases} \)在\( \mathbb{R} \)上连续，求常数\( a \)的值。

解析：

1. 当\( x < 1 \)和\( x > 1 \)时，\( f(x) \)为初等函数，连续；

2. 只需保证\( x=1 \)处连续：\( f(1) = 1^2 - a = 1 - a \)；

3. 左极限\( \lim_{x \to 1^-} (ax + 1) = a + 1 \)，右极限\( \lim_{x \to 1^+} (x^2 - a) = 1 - a \)；

4. 由连续性定义，左极限=右极限=函数值，即\( a + 1 = 1 - a \)，解得\( a = 0 \)。

（四）连续函数性质的应用（例题16-20）

例题16

证明方程\( x^3 - 3x + 1 = 0 \)在区间\( (0, 1) \)内至少有一个实根。

解析：

1. 设\( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)，其为初等函数，在\( [0, 1] \)上连续；

2. 计算端点值：\( f(0) = 0 - 0 + 1 = 1 > 0 \)，\( f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0 \)；

3. 由零点存在定理，因\( f(0) \cdot f(1) < 0 \)，故至少存在\( \xi \in (0, 1) \)，使得\( f(\xi) = 0 \)，即方程在\( (0, 1) \)内至少有一个实根。

例题17

设\( f(x) \)在\( [a, b] \)上连续，且\( f(a) = f(b) \)，证明存在\( \xi \in [a, \frac{a + b}{2}] \)，使得\( f(\xi) = f(\xi + \frac{b - a}{2}) \)。

解析：

1. 构造函数\( F(x) = f(x) - f(x + \frac{b - a}{2}) \)，其定义域为\( [a, \frac{a + b}{2}] \)；

2. 因\( f(x) \)连续，由复合函数和减法连续性，\( F(x) \)在\( [a, \frac{a + b}{2}] \)上连续；

3. 计算\( F(a) = f(a) - f(\frac{a + b}{2}) \)，\( F(\frac{a + b}{2}) = f(\frac{a + b}{2}) - f(b) = f(\frac{a + b}{2}) - f(a) = -F(a) \)；

4. 若\( F(a) = 0 \)，则\( \xi = a \)满足条件；若\( F(a) \neq 0 \)，则\( F(a) \cdot F(\frac{a + b}{2}) < 0 \)，由零点存在定理，存在\( \xi \in (a, \frac{a + b}{2}) \)，使得\( F(\xi) = 0 \)，即\( f(\xi) = f(\xi + \frac{b - a}{2}) \)。

例题18

求函数\( f(x) = x^2 - 2x + 3 \)在\( [0, 3] \)上的最大值和最小值。

解析：

1. \( f(x) \)是二次函数，在\( [0, 3] \)上连续；

2. 求导得\( f'(x) = 2x - 2 \)，令\( f'(x) = 0 \)，解得驻点\( x = 1 \)；

3. 计算区间端点和驻点的函数值：\( f(0) = 3 \)，\( f(1) = 2 \)，\( f(3) = 6 \)；

4. 由最大值最小值定理，最大值为6（在\( x=3 \)处），最小值为2（在\( x=1 \)处）。

例题19

设\( f(x) \)在\( [1, 2] \)上连续，且\( 1 \leq f(x) \leq 2 \)，证明存在\( \xi \in [1, 2] \)，使得\( f(\xi) = \xi \)。

解析：

1. 构造函数\( F(x) = f(x) - x \)，其在\( [1, 2] \)上连续；

2. 计算端点值：\( F(1) = f(1) - 1 \geq 0 \)，\( F(2) = f(2) - 2 \leq 0 \)；

3. 若\( F(1) = 0 \)或\( F(2) = 0 \)，则\( \xi = 1 \)或\( \xi = 2 \)满足条件；若\( F(1) > 0 \)且\( F(2) < 0 \)，由零点存在定理，存在\( \xi \in (1, 2) \)，使得\( F(\xi) = 0 \)，即\( f(\xi) = \xi \)。

例题20

求极限\( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x + \cos x}{\tan x} \)。

解析：

1. 分子\( \sin x + \cos x \)在\( x = \frac{\pi}{2} \)处连续，值为\( \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1 \)；

2. 分母\( \tan x \)在\( x = \frac{\pi}{2} \)处无定义，但需先判断极限是否存在：\( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \tan x = +\infty \)，\( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \tan x = -\infty \)；

3. 故原式极限为0（分子为常数1，分母趋于\( \infty \)）。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学

• 类周期性：\(f(x+T)=f(x)+g(x)\)
• 函数的对称性：自对称、互对称
• 函数的凹凸性：凹函数、凸函数
• 图象平移、对称、翻折、缩放、旋转
• 函数的极值、函数的最值
• 二次函数：最值、根的分布、恒成立问题
• 三次函数：\( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)
• 幂函数： \(y = x^a\)
• 对勾函数与双刀函数
• 指数方程：\(a^{x}=b\)（\(a > 0\)且\(a\neq1\)）
• 指数函数：\(y = a^{x}(a>0\)，且\(a\neq1)\)
• 双曲函数与反双曲函数
• 对数函数：对数运算性质
• 角度制与弧度制、弧长公式
• 三角函数：定义、性质
• 三角函数：诱导公式、恒等变换、辅助角
• 反三角函数：\(\arcsin x\)
• 三角函数二级结论
• 极坐标：\((\rho,\theta)\)=(极径,极角)
• 参数方程
• 等差数列
• 等比数列
• 数学归纳法
• 求和符号（∑ ）、连乘符号（∏）
• 数列极限、函数极限、两个重要极限
• 函数的连续性：间断点、运算法则
• 函数的导数
• 函数的图形
• 函数的微分
• 罗尔定理、拉格朗日、柯西中值定理
• 无穷小、无穷大、洛必达法则求极限
• 泰勒公式、麦克劳林公式
• 弧微分、曲率、渐屈线、渐伸线、摆线
• 方程的近似解：二分法、切线法、割线法
• 平面向量
• 复数 \(a + bi\)
• 多面体：棱柱、棱锥、棱台
• 旋转体：圆柱、圆锥、圆台
• 球、半球、球冠、球缺、球带
• 立体几何八大定理（平行与垂直）
• 三垂线定理、二面角
• 基于“立体几何”的辅助线
• 空间向量
• 统计
• 概率
• 有向线段、两点距离、定比分点
• 直线方程
• 圆的方程
• 椭圆方程
• 双曲线方程