幂函数\(y = x^a\)（\(a\)为常数，\(x\)是自变量）的核心是“\(a\)决定一切”，不同\(a\)值对应不同的定义域、图像和性质，我们按“基础概念→分类性质→例题应用”的逻辑逐步拆解。

一、幂函数的核心定义

1. 表达式：严格形式为\(y = x^a\)，其中自变量\(x\)在底数位置，常数\(a\)在指数位置，这是它与指数函数（如\(y = 2^x\)，自变量在指数）的本质区别。

2. 定义域：由指数\(a\)的取值决定，没有统一范围，需根据\(a\)的类型（整数、分数、正数、负数）单独分析，比如\(a=2\)时\(x\)取全体实数，\(a=\frac{1}{2}\)时\(x\geq0\)，\(a=-1\)时\(x\neq0\)。

3. 共性特征：所有幂函数的图像都必过点\((1,1)\)，因为\(1\)的任何次幂都等于\(1\)；但不一定过原点，比如\(a=-1\)时\(x=0\)无意义，图像就不过原点。

二、不同类型幂函数的性质（按\(a\)的取值分类）

我们按\(a\)的“正负”和“整数/分数”划分，这是最贴合解题需求的分类方式，每个类型的性质都从“定义域→值域→单调性→奇偶性→图像特征”展开。

1. 当\(a\)为正整数时（如\(a=1,2,3\)）

定义域：全体实数（\(x\in\mathbb{R}\)）。

值域：若\(a\)为奇数（如\(a=1,3\)），值域为全体实数；若\(a\)为偶数（如\(a=2,4\)），值域为非负数（\(y\geq0\)）。

单调性：若\(a\)为奇数，在\(\mathbb{R}\)上单调递增（如\(y=x^3\)，\(x\)越大\(y\)越大）；若\(a\)为偶数，在\((-\infty,0]\)上单调递减，在\([0,+\infty)\)上单调递增（如\(y=x^2\)，先减后增，顶点在原点）。

奇偶性：若\(a\)为奇数，是奇函数（图像关于原点对称，如\(y=x^3\)）；若\(a\)为偶数，是偶函数（图像关于\(y\)轴对称，如\(y=x^2\)）。

图像特征：必过原点\((0,0)\)和\((1,1)\)；\(a\)越大，在\(x>1\)的部分图像越“陡”（如\(y=x^3\)比\(y=x^2\)在\(x>1\)时上升更快）。

2. 当\(a\)为负整数时（如\(a=-1,-2\)）

定义域：非零实数（\(x\in\mathbb{R}\)且\(x\neq0\)），因为负指数可转化为分式（\(x^{-n}=\frac{1}{x^n}\)），分母不能为0。

值域：若\(a\)为负奇数（如\(a=-1\)），值域为非零实数（\(y\in\mathbb{R}\)且\(y\neq0\)）；若\(a\)为负偶数（如\(a=-2\)），值域为正实数（\(y>0\)）。

单调性：若\(a\)为负奇数（如\(y=x^{-1}=\frac{1}{x}\)），在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上分别单调递减（注意：不能说在全体定义域上递减，因为\(x=-1\)时\(y=-1\)，\(x=1\)时\(y=1\)，\(-1<1\)但\(-1<1\)，不满足递减定义）；若\(a\)为负偶数（如\(y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}\)），在\((-\infty,0)\)上单调递增，在\((0,+\infty)\)上单调递减。

奇偶性：若\(a\)为负奇数，是奇函数（如\(y=\frac{1}{x}\)，图像关于原点对称）；若\(a\)为负偶数，是偶函数（如\(y=\frac{1}{x^2}\)，图像关于\(y\)轴对称）。

图像特征：不过原点，必过\((1,1)\)和\((-1,\pm1)\)（\(a\)负奇数时\((-1,-1)\)，负偶数时\((-1,1)\)）；图像分为两部分，分别在不同象限（\(a\)负奇数时在一、三象限，负偶数时在一、二象限），且与坐标轴无交点（因为\(x\)不能为0，\(y\)也不能为0）。

3. 当\(a\)为正分数时（如\(a=\frac{1}{2},\frac{2}{3}\)，可表示为\(a=\frac{p}{q}\)，\(p,q\)为正整数且互质）

定义域：若\(q\)为奇数（如\(a=\frac{2}{3}\)，\(y=x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^2}\)），定义域为全体实数；若\(q\)为偶数（如\(a=\frac{1}{2}\)，\(y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\)），定义域为非负数（\(x\geq0\)），因为偶数次根号下的数不能为负。

值域：若\(p\)为奇数、\(q\)为奇数（如\(a=\frac{1}{3}\)，\(y=\sqrt[3]{x}\)），值域为全体实数；若\(p\)为偶数（无论\(q\)奇偶，如\(a=\frac{2}{3}\)或\(\frac{1}{2}\)），值域为非负数（\(y\geq0\)）。

单调性：若\(q\)为奇数（如\(y=\sqrt[3]{x}\)），在\(\mathbb{R}\)上单调递增；若\(q\)为偶数（如\(y=\sqrt{x}\)），在\([0,+\infty)\)上单调递增。

奇偶性：仅当\(q\)为奇数时可能有奇偶性——若\(p\)为奇数（如\(a=\frac{1}{3}\)），是奇函数；若\(p\)为偶数（如\(a=\frac{2}{3}\)），是偶函数；若\(q\)为偶数（如\(a=\frac{1}{2}\)），定义域\(x\geq0\)不关于原点对称，非奇非偶。

图像特征：\(q\)为偶数时（如\(y=\sqrt{x}\)），图像仅在第一象限，过\((0,0)\)和\((1,1)\)；\(q\)为奇数时（如\(y=\sqrt[3]{x^2}\)），图像过\((0,0)\)、\((1,1)\)和\((-1,1)\)，关于\(y\)轴对称。

4. 当\(a\)为负分数时（如\(a=-\frac{1}{2},-\frac{2}{3}\)，可表示为\(a=-\frac{p}{q}\)，\(p,q\)为正整数且互质）

定义域：本质是\(y=x^{-\frac{p}{q}}=\frac{1}{\sqrt[q]{x^p}}\)，所以需满足“根号下有意义”且“分母不为0”。若\(q\)为奇数（如\(a=-\frac{2}{3}\)），定义域为\(x\neq0\)的全体实数；若\(q\)为偶数（如\(a=-\frac{1}{2}\)），定义域为正实数（\(x>0\)），因为偶数次根号下非负且分母不为0。

值域：若\(q\)为奇数、\(p\)为奇数（如\(a=-\frac{1}{3}\)，\(y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\)），值域为\(y\neq0\)的全体实数；若\(p\)为偶数（无论\(q\)奇偶，如\(a=-\frac{2}{3}\)或\(-\frac{1}{2}\)），值域为正实数（\(y>0\)）。

单调性：若\(q\)为奇数（如\(a=-\frac{1}{3}\)），在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上分别单调递减；若\(q\)为偶数（如\(a=-\frac{1}{2}\)，\(y=\frac{1}{\sqrt{x}}\)），在\((0,+\infty)\)上单调递减。

奇偶性：仅当\(q\)为奇数时可能有奇偶性——若\(p\)为奇数（如\(a=-\frac{1}{3}\)），是奇函数；若\(p\)为偶数（如\(a=-\frac{2}{3}\)），是偶函数；若\(q\)为偶数（如\(a=-\frac{1}{2}\)），定义域\(x>0\)不关于原点对称，非奇非偶。

图像特征：不过原点，必过\((1,1)\)；\(q\)为偶数时（如\(a=-\frac{1}{2}\)），图像仅在第一象限；\(q\)为奇数时（如\(a=-\frac{2}{3}\)），图像在一、二象限（\(p\)偶）或一、三象限（\(p\)奇），与坐标轴无交点。

例题1：判断下列函数是否为幂函数：①\(y=2x^3\)；②\(y=x^2 + x\)；③\(y=x^{-2}\)；④\(y=(x-1)^4\)。

解析：

幂函数需满足“系数为1，底数仅为\(x\)，无常数项或其他项”。①系数为2，不是；②含\(x^2\)和\(x\)两项，不是；③符合\(y=x^a\)（\(a=-2\)），是；④底数为\(x-1\)，不是。

答案：③是幂函数。

例题2：求幂函数\(y=x^{\frac{3}{2}}\)的定义域和值域。

解析：

\(y=x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{x^3}\)，偶数次根号下\(x^3\geq0\)，即\(x\geq0\)，定义域为\([0,+\infty)\)；当\(x\geq0\)时，\(\sqrt{x^3}\geq0\)，值域为\([0,+\infty)\)。

答案：定义域\([0,+\infty)\)，值域\([0,+\infty)\)。

例题3：求幂函数\(y=x^{-\frac{2}{3}}\)的定义域和值域。

解析：

\(y=x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\)，三次根号下全体实数有意义，且分母不为0，定义域为\(x\neq0\)（即\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)）；\(x^2>0\)，则\(\sqrt[3]{x^2}>0\)，值域为\((0,+\infty)\)。

答案：定义域\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)，值域\((0,+\infty)\)。

例题4：已知幂函数\(f(x)=x^a\)的图像过点\((4,2)\)，求\(a\)的值和\(f(9)\)。

解析：

代入点\((4,2)\)得\(4^a=2\)，即\((2^2)^a=2^1\)，所以\(2a=1\)，\(a=\frac{1}{2}\)；则\(f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\)，\(f(9)=\sqrt{9}=3\)。

答案：\(a=\frac{1}{2}\)，\(f(9)=3\)。

例题5：若幂函数\(y=x^a\)的定义域为\(\mathbb{R}\)，则\(a\)的取值范围是什么？

解析：

定义域为\(\mathbb{R}\)需满足“任何实数\(x\)代入都有意义”。当\(a\)为正整数（如\(1,2\)）、\(a\)为正分数且分母为奇数（如\(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\)）时，定义域为\(\mathbb{R}\)；若\(a\)为负整数或分母为偶数的分数，定义域会排除0或负数，不满足。

答案：\(a\)为正整数，或\(a\)为正分数且分母为奇数（\(a=\frac{p}{q}\)，\(p,q\)正整数互质，\(q\)奇）。

例题6：判断幂函数\(y=x^3\)的单调性和奇偶性。

解析：

单调性：任取\(x_1<x_2\)，\(x_1^3 - x_2^3=(x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2)<0\)（因\(x_1 - x_2<0\)，后面式子恒正），故在\(\mathbb{R}\)上单调递增；奇偶性：定义域\(\mathbb{R}\)关于原点对称，且\(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\)，是奇函数。

答案：在\(\mathbb{R}\)上单调递增，是奇函数。

例题7：判断幂函数\(y=x^{-2}\)在\((0,+\infty)\)上的单调性。

解析：

任取\(0<x_1<x_2\)，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_2^2 - x_1^2}{x_1^2x_2^2}=\frac{(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)}{x_1^2x_2^2}>0\)（因\(x_2 - x_1>0\)，其余项均正），故在\((0,+\infty)\)上单调递减。

答案：在\((0,+\infty)\)上单调递减。

例题8：比较大小：①\(2.1^{\frac{1}{2}}\)与\(1.9^{\frac{1}{2}}\)；②\((-0.8)^3\)与\((-0.7)^3\)。

解析：

①\(y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\)在\([0,+\infty)\)上单调递增，\(2.1>1.9\)，故\(2.1^{\frac{1}{2}}>1.9^{\frac{1}{2}}\)；②\(y=x^3\)在\(\mathbb{R}\)上单调递增，\(-0.8<-0.7\)，故\((-0.8)^3<(-0.7)^3\)。

答案：①\(2.1^{\frac{1}{2}}>1.9^{\frac{1}{2}}\)；②\((-0.8)^3<(-0.7)^3\)。

例题9：比较大小：①\(0.3^{-2}\)与\(0.4^{-2}\)；②\(1.2^{-\frac{1}{3}}\)与\(1.3^{-\frac{1}{3}}\)。

解析：

①\(y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}\)在\((0,+\infty)\)上单调递减，\(0.3<0.4\)，故\(0.3^{-2}>0.4^{-2}\)；②\(y=x^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\)在\((0,+\infty)\)上单调递减，\(1.2<1.3\)，故\(1.2^{-\frac{1}{3}}>1.3^{-\frac{1}{3}}\)。

答案：①\(0.3^{-2}>0.4^{-2}\)；②\(1.2^{-\frac{1}{3}}>1.3^{-\frac{1}{3}}\)。

例题10：已知幂函数\(f(x)=x^a\)是偶函数，且在\((0,+\infty)\)上单调递减，求\(a\)的一个可能值。

解析：

偶函数需满足“\(a\)为偶数或分子为偶的分数（分母奇）”，在\((0,+\infty)\)递减需满足“\(a<0\)”，故\(a\)可为\(-2,-4,-\frac{2}{3}\)等。

答案：\(a=-2\)（答案不唯一）。

例题11：判断幂函数\(y=x^{\frac{1}{3}}\)的奇偶性，并证明\(f(-x)=-f(x)\)。

解析：

定义域为\(\mathbb{R}\)，关于原点对称；\(f(-x)=(-x)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}=-x^{\frac{1}{3}}=-f(x)\)，故为奇函数。

答案：是奇函数，证明如上。

例题12：已知幂函数\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，且\(f(2)>f(1.5)\)，则\(f(x)\)的指数\(a\)满足什么条件？

解析：

幂函数在\((0,+\infty)\)上单调递增的充要条件是\(a>0\)，而\(f(2)>f(1.5)\)正是递增的体现，故只需\(a>0\)。

答案：\(a>0\)。

例题13：求幂函数\(y=x^{\frac{2}{3}}\)在区间\([-8,8]\)上的最大值和最小值。

解析：

\(y=x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^2}\)，是偶函数，且在\([0,8]\)上单调递增（因\(a=\frac{2}{3}>0\)，分母奇）；在\([0,8]\)上，最大值为\(8^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4\)，最小值为\(0^{\frac{2}{3}}=0\)；因是偶函数，\([-8,0]\)上最大值也为4，最小值为0，故整个区间最大值4，最小值0。

答案：最大值4，最小值0。

例题14：判断幂函数\(y=x^{-\frac{1}{2}}\)是否为奇函数，并说明理由。

解析：

定义域为\(x>0\)，不关于原点对称（若取\(x=1\)，则\(-1\)不在定义域内），不满足奇偶性的前提条件，故非奇非偶。

答案：非奇非偶，理由是定义域不关于原点对称。

例题15：已知\(a>0\)且\(a\neq1\)，比较\(a^{0.5}\)与\(a^{0.3}\)的大小，若将“\(a\)”换成幂函数\(y=x^{0.5}\)与\(y=x^{0.3}\)，比较\(2^{0.5}\)与\(2^{0.3}\)的大小，两者有何区别？

解析：

前者是指数函数\(y=a^x\)，单调性由\(a\)决定（\(a>1\)时递增，\(0<a<1\)时递减），无法直接比较；后者是幂函数，\(y=x^a\)（\(a>0\)）在\((0,+\infty)\)上递增，\(0.5>0.3\)，故\(2^{0.5}>2^{0.3}\)；区别：指数函数自变量在指数，单调性由底数决定；幂函数自变量在底数，单调性由指数决定。

答案：指数函数需分\(a>1\)和\(0<a<1\)，幂函数中\(2^{0.5}>2^{0.3}\)；区别如上。

例题16：幂函数\(y=x^a\)的图像过点\((2,8)\)，且与直线\(y=x\)交于点\(P\)，求点\(P\)的坐标。

解析：

代入\((2,8)\)得\(2^a=8=2^3\)，故\(a=3\)，幂函数为\(y=x^3\)；联立\(y=x^3\)与\(y=x\)，得\(x^3=x\)，即\(x(x^2 - 1)=0\)，解得\(x=0,1,-1\)，对应\(y=0,1,-1\)，故点\(P\)为\((0,0),(1,1),(-1,-1)\)。

答案：\((0,0),(1,1),(-1,-1)\)。

例题17：解不等式\((x-1)^{\frac{1}{2}} < (3-2x)^{\frac{1}{2}}\)。

解析：

幂函数\(y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\)的定义域为\(x\geq0\)，且在\([0,+\infty)\)上单调递增，故不等式等价于：\(\begin{cases}x-1\geq0 \\ 3-2x\geq0 \\ x-1 < 3-2x\end{cases}\)；解第一个不等式得\(x\geq1\)，第二个得\(x\leq\frac{3}{2}\)，第三个得\(x<\frac{4}{3}\)，综上\(1\leq x\leq\frac{3}{2}\)。

答案：\([1,\frac{3}{2}]\)。

例题18：解不等式\((x+2)^{-3} > (1-2x)^{-3}\)。

解析：

幂函数\(y=x^{-3}=\frac{1}{x^3}\)的定义域为\(x\neq0\)，且在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上分别单调递减，故分情况讨论：

① 当\(x+2>0\)且\(1-2x>0\)（即\(-2<x<\frac{1}{2}\)）时，因在\((0,+\infty)\)递减，不等式等价于\(x+2 < 1-2x\)，解得\(x<-\frac{1}{3}\)，结合范围得\(-2<x<-\frac{1}{3}\)；

② 当\(x+2<0\)且\(1-2x<0\)（即\(x<-2\)且\(x>\frac{1}{2}\)）时，无交集，无解；

③ 当\(x+2>0\)且\(1-2x<0\)（即\(x>\frac{1}{2}\)）时，左边正、右边负，不等式恒成立；

④ 当\(x+2<0\)且\(1-2x>0\)（即\(x<-2\)）时，左边负、右边正，不等式不成立；

综上，解集为\((-2,-\frac{1}{3})\cup(\frac{1}{2},+\infty)\)。

答案：\((-2,-\frac{1}{3})\cup(\frac{1}{2},+\infty)\)。

例题19：已知幂函数\(f(x)=(m^2 - m - 1)x^{m^2 - 2m - 3}\)，当\(x\in(0,+\infty)\)时\(f(x)\)单调递减，求\(m\)的值。

解析：

首先，幂函数的系数必须为1，故\(m^2 - m - 1=1\)，解得\(m^2 - m - 2=0\)，即\(m=2\)或\(m=-1\)；

其次，当\(x\in(0,+\infty)\)时单调递减，需指数\(m^2 - 2m - 3<0\)；

当\(m=2\)时，指数为\(4 - 4 - 3=-3<0\)，满足条件；

当\(m=-1\)时，指数为\(1 + 2 - 3=0\)，此时\(f(x)=x^0=1\)（\(x\neq0\)），是常函数，不单调递减，舍去；

故\(m=2\)。

答案：\(m=2\)。

例题20：已知幂函数\(y=x^a\)和\(y=x^b\)的图像分别过点\((2,\sqrt{2})\)和\((\sqrt{3},3)\)，比较\(a\)和\(b\)的大小。

解析：

对\(y=x^a\)，代入\((2,\sqrt{2})\)得\(2^a=2^{\frac{1}{2}}\)，故\(a=\frac{1}{2}\)；对\(y=x^b\)，代入\((\sqrt{3},3)\)得\((3^{\frac{1}{2}})^b=3^1\)，即\(3^{\frac{b}{2}}=3^1\)，故\(\frac{b}{2}=1\)，\(b=2\)；因此\(a=\frac{1}{2}<b=2\)。

答案：\(a<b\)。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学

• 函数的恒成立、存在性问题
• 不等式的缩放
• 基于函数单调性的不等式缩放
• 基于函数凹凸性的不等式缩放
• 函数同构问题：形式统一，单调性搭桥
• 映射、函数：\( f: A \to B \)
• 函数的定义域：Df
• 函数的值域：Rf
• 函数的解析式：f(x)
• 抽象函数：定义域、值域、解析式
• 分段函数：定义域、值域、单调性
• 复合函数： y = f[g(x)]
• 反函数：严格单调函数
• 隐函数：F(x, y) = 0
• 函数的有界性：\( |f(x)| \leq M \)
• 函数的单调性：增函数、减函数
• 函数的奇偶性：奇函数、偶函数
• 函数的周期性：\( f(x + T) = f(x) \)
• 类周期性：\(f(x+T)=f(x)+g(x)\)
• 函数的对称性：自对称、互对称
• 函数的凹凸性：凹函数、凸函数
• 图象平移、对称、翻折、缩放、旋转
• 函数的极值、函数的最值
• 二次函数：最值、根的分布、恒成立问题
• 三次函数：\( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)
• 幂函数： \(y = x^a\)
• 对勾函数与双刀函数
• 指数方程：\(a^{x}=b\)（\(a > 0\)且\(a\neq1\)）
• 指数函数：\(y = a^{x}(a>0\)，且\(a\neq1)\)
• 双曲函数与反双曲函数
• 对数函数：对数运算性质
• 角度制与弧度制、弧长公式
• 三角函数：定义、性质
• 三角函数：诱导公式、恒等变换、辅助角
• 反三角函数：\(\arcsin x\)
• 三角函数二级结论
• 极坐标：\((\rho,\theta)\)=(极径,极角)
• 参数方程
• 等差数列
• 等比数列
• 数学归纳法
• 求和符号（∑ ）、连乘符号（∏）
• 数列极限、函数极限、两个重要极限
• 函数的连续性：间断点、运算法则
• 函数的导数
• 函数的图形
• 函数的微分
• 罗尔定理、拉格朗日、柯西中值定理
• 无穷小、无穷大、洛必达法则求极限
• 泰勒公式、麦克劳林公式