初等数论：高次幂之和与费马大定理\(x^{n}+y^{n}=z^{n}\)

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

1. 费马大定理

费马大定理表述为：当整数\(n>2\)时，关于\(x\)、\(y\)、\(z\)的方程\(x^{n}+y^{n}=z^{n}\)没有正整数解。

例如，当\(n = 3\)时，方程\(x^{3}+y^{3}=z^{3}\)不存在正整数\(x\)、\(y\)、\(z\)使等式成立。

这与勾股定理（\(n = 2\)时，\(x^{2}+y^{2}=z^{2}\)有无数组正整数解，即勾股数组）形成对比。

2. 历史背景与研究历程

这个定理最初由法国数学家费马在17世纪提出。费马在阅读古希腊数学家丢番图的《算术》一书时，在书页边缘写下了这个猜想，并声称自己有一个美妙的证明，但由于书页空白处太小而没有写下来。

此后，众多数学家开始尝试证明这一猜想。在早期，数学家们通过对一些特殊情况进行研究，比如\(n = 3\)、\(n = 4\)等的情况来寻找突破。例如，欧拉证明了\(n = 3\)时费马大定理成立，他采用了一些复杂的数论方法和代数技巧，包括对整数的分解和同余等知识的运用。

3. 与高次幂之和的关系

低次幂情况对比：当\(n = 2\)时，如前面所说，勾股定理表明存在大量的正整数解，这些解可以构成勾股数组。而当\(n>2\)时，费马大定理断言不存在正整数解，这显示出二次幂和高次幂（\(n>2\)）在正整数解情况上的巨大差异。

高次幂的推广研究：从数学研究的角度，费马大定理的研究推动了对高次幂之和的更广泛研究。数学家们思考是否存在其他类似的方程或者条件下，高次幂之和能够有整数解或者在特定的数域中有解。例如，在代数数论中，对于形如\(x^{n}+y^{n}=z^{n}\)的方程在复数域或者其他代数数域中的解的性质进行研究，发现了许多关于数域扩张、理想等代数结构的重要性质。

4. 证明方法与数学分支的关联

最终费马大定理的证明涉及到众多现代数学分支。英国数学家安德鲁·怀尔斯在1994年完成了费马大定理的证明。他的证明过程运用了椭圆曲线理论、模形式理论等非常高深的数学知识。

椭圆曲线和模形式之间的联系（谷山 - 志村猜想）在证明中起到了关键作用。大致思路是通过建立椭圆曲线与模形式之间的对应关系，将费马大定理的问题转化为关于椭圆曲线和模形式的性质研究，从而得出结论。这一证明不仅解决了一个历史悠久的数学难题，也极大地推动了数论、代数几何等多个数学分支的发展。

怀尔斯证明费马大定理的过程中用到的数学知识

椭圆曲线理论

椭圆曲线的定义与性质：椭圆曲线是由形如\(y^{2}=x^{3}+ax+b\)（其中\(a\)、\(b\)为常数且满足判别式\(\Delta=-16(4a^{3}+27b^{2})\neq0\)）的方程所定义的曲线。怀尔斯需要深入理解椭圆曲线的各种性质，如它的对称性、在不同数域上的点的分布等，以此为基础构建与费马大定理的联系。

椭圆曲线的群结构：椭圆曲线上的点可以构成一个阿贝尔群，其加法运算具有特定的几何和代数规则。通过研究这个群结构，怀尔斯能够运用群论的相关知识和方法，如子群、商群、同态等概念，来分析椭圆曲线的性质和行为，为证明提供了重要的工具和思路。

模形式理论

模形式的定义与性质：模形式是定义在上半平面上的一种复解析函数，满足一定的变换性质和增长条件，如在\(SL_{2}(Z)\)群作用下的变换规律等。怀尔斯需要熟悉模形式的这些性质，以便建立与椭圆曲线之间的对应关系.

模形式的空间与维数：不同类型和级别的模形式构成了不同的向量空间，这些空间具有特定的维数和基。了解模形式空间的结构和维数计算方法，有助于怀尔斯在证明中确定相关模形式的存在性和唯一性，从而进一步建立椭圆曲线与模形式之间的精确对应。

伽罗瓦理论

伽罗瓦群与域扩张：伽罗瓦理论主要研究域扩张及其对应的伽罗瓦群之间的关系。怀尔斯运用伽罗瓦群的概念和性质，来分析椭圆曲线和模形式所涉及的数域扩张，通过研究伽罗瓦群的结构和作用，揭示了椭圆曲线与模形式之间更深层次的联系，为证明提供了有力的理论支持.

伽罗瓦表示：伽罗瓦表示是将伽罗瓦群与矩阵群或其他代数结构建立联系的一种方式。怀尔斯在证明中利用了伽罗瓦表示的性质和理论，将椭圆曲线和模形式的相关问题转化为伽罗瓦表示的问题，从而借助伽罗瓦表示的研究成果来推进证明。

Hecke代数等现代代数几何构造

Hecke代数的性质与作用：Hecke代数是一类在数论和代数几何中具有重要地位的代数结构，它与模形式和椭圆曲线有着密切的联系。怀尔斯通过研究Hecke代数的性质，如它的生成元、关系、表示等，以及Hecke代数与椭圆曲线和模形式之间的相互作用，利用Hecke代数的相关定理和结论来证明模性提升定理等关键结果，从而为费马大定理的证明奠定基础.

代数几何中的标准构造：证明还涉及到一些现代代数几何中的标准构造，如概型（schemes）等概念和相关理论。这些构造和理论为怀尔斯提供了更一般、更抽象的框架来处理椭圆曲线和模形式等数学对象，使得他能够在更广泛的数学背景下进行研究和推导，为证明中的各种构造和论证提供了坚实的理论基础.

其他相关知识

同调代数：同调代数的一些基本概念和方法，如链复形、同调群等，在处理椭圆曲线和模形式的一些复杂结构和关系时可能会起到辅助作用，帮助怀尔斯更好地理解和分析所涉及的数学对象之间的相互关系。

复分析：由于模形式是复解析函数，复分析中的一些理论和方法，如解析延拓、留数定理等，对于研究模形式的性质和行为具有重要意义，也为怀尔斯在证明中对模形式的分析和处理提供了有力的工具。