反函数：严格单调函数

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一、反函数的核心概念

反函数是函数概念的延伸，描述了两个函数之间的“逆向对应”关系。若函数\( y = f(x) \)（定义域为\( D \)，值域为\( R \)）中，对于每一个\( y \in R \)，都有唯一的\( x \in D \)使得\( f(x) = y \)，则可定义以\( y \)为自变量、\( x \)为因变量的新函数，记为\( x = f^{-1}(y) \)，习惯上改写为\( y = f^{-1}(x) \)（此时定义域为原函数的值域\( R \)，值域为原函数的定义域\( D \)）。

简言之：反函数的本质是“交换原函数的自变量与因变量，且保证对应关系唯一”。

二、反函数的关键性质

1. 存在性条件：函数存在反函数的充要条件是该函数为单调函数（严格增或严格减），或更本质的——函数是一一对应的（既单射又满射）。例如：\( y = x^2 \)（定义域\( R \)）不存在反函数（一个\( y > 0 \)对应两个\( x \)），但\( y = x^2 \)（定义域\( x \geq 0 \)）是严格增函数，存在反函数。

2. 图像关系：函数\( y = f(x) \)与它的反函数\( y = f^{-1}(x) \)的图像关于直线\( y = x \)对称。

3. 运算关系：

原函数与反函数“互为逆运算”：\( f(f^{-1}(x)) = x \)（\( x \)在\( f^{-1}(x) \)的定义域内），\( f^{-1}(f(x)) = x \)（\( x \)在\( f(x) \)的定义域内）。

单调性一致：若\( y = f(x) \)在定义域内严格增（减），则\( y = f^{-1}(x) \)在其定义域内也严格增（减）。

三、求反函数的步骤

求反函数的核心是“交换\( x \)与\( y \)，再解出\( y \)”，具体步骤如下：

1. 确定原函数定义域：确保原函数是一一对应（若不是，需限定定义域使其满足）；

2. 交换自变量与因变量：将原函数\( y = f(x) \)中的\( x \)改为\( y \)，\( y \)改为\( x \)，得到\( x = f(y) \)；

3. 解关于\( y \)的方程：从\( x = f(y) \)中解出\( y \)，得到\( y = f^{-1}(x) \)；

4. 确定反函数定义域：反函数的定义域是原函数的值域（需明确写出，避免遗漏）。

例题1：一次函数的反函数（基础型）求函数\( y = 2x + 3 \)（\( x \in R \)）的反函数。

解析：

1. 原函数定义域\( R \)，是严格增函数，存在反函数；

2. 交换\( x \)与\( y \)：\( x = 2y + 3 \)；

3. 解\( y \)：\( 2y = x - 3 \implies y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} \)；

4. 反函数定义域：原函数值域为\( R \)，故反函数定义域为\( R \)。

答案：\( y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} \)（\( x \in R \)）。

例题2：一次函数（含定义域限定）求函数\( y = -x + 5 \)（\( x \geq 2 \)）的反函数。

解析：

1. 原函数在\( x \geq 2 \)上严格减，存在反函数；

2. 交换\( x \)与\( y \)：\( x = -y + 5 \)；

3. 解\( y \)：\( y = 5 - x \)；

4. 反函数定义域：原函数值域为\( y \leq 3 \)（当\( x=2 \)时\( y=3 \)，\( x \)增大\( y \)减小），故反函数定义域为\( x \leq 3 \)。

答案：\( y = 5 - x \)（\( x \leq 3 \)）。

例题3：反比例函数（基本型）求函数\( y = \frac{3}{x} \)（\( x \neq 0 \)）的反函数。

解析：

1. 原函数在\( (-\infty,0) \)和\( (0,+\infty) \)上均严格减，是一一对应，存在反函数；

2. 交换\( x \)与\( y \)：\( x = \frac{3}{y} \)；

3. 解\( y \)：\( y = \frac{3}{x} \)；

4. 反函数定义域：原函数值域为\( y \neq 0 \)，故反函数定义域为\( x \neq 0 \)。

答案：\( y = \frac{3}{x} \)（\( x \neq 0 \)）（自反函数）。

例题4：反比例函数（平移型）求函数\( y = \frac{2}{x - 1} + 4 \)（\( x \neq 1 \)）的反函数。

解析：

1. 原函数可看作\( y = \frac{2}{t} + 4 \)（\( t = x - 1 \neq 0 \)），在\( (-\infty,1) \)和\( (1,+\infty) \)上严格减，存在反函数；

2. 交换\( x \)与\( y \)：\( x = \frac{2}{y - 1} + 4 \)；

3. 解\( y \)：

移项得\( x - 4 = \frac{2}{y - 1} \implies y - 1 = \frac{2}{x - 4} \implies y = \frac{2}{x - 4} + 1 \)；

4. 反函数定义域：原函数值域为\( y \neq 4 \)，故反函数定义域为\( x \neq 4 \)。

答案：\( y = \frac{2}{x - 4} + 1 \)（\( x \neq 4 \)）。

例题5：二次函数（限定定义域使其单调）求函数\( y = x^2 - 2x + 3 \)（\( x \geq 1 \)）的反函数。

解析：

1. 原函数配方：\( y = (x - 1)^2 + 2 \)，在\( x \geq 1 \)上严格增，存在反函数；

2. 交换\( x \)与\( y \)：\( x = (y - 1)^2 + 2 \)；

3. 解\( y \)：

移项得\( (y - 1)^2 = x - 2 \)，因\( y \geq 2 \)（原函数\( x \geq 1 \)时\( y \geq 2 \)），故\( y - 1 = \sqrt{x - 2} \implies y = 1 + \sqrt{x - 2} \)；

4. 反函数定义域：原函数值域为\( y \geq 2 \)，故反函数定义域为\( x \geq 2 \)。

答案：\( y = 1 + \sqrt{x - 2} \)（\( x \geq 2 \)）。

例题6：二次函数（限定定义域为减区间）求函数\( y = -x^2 + 4x - 1 \)（\( x \leq 2 \)）的反函数。

解析：

1. 配方：\( y = -(x - 2)^2 + 3 \)，在\( x \leq 2 \)上严格增（注意：二次项系数负，对称轴左增右减），存在反函数；

2. 交换\( x \)与\( y \)：\( x = -(y - 2)^2 + 3 \)；

3. 解\( y \)：

移项得\( (y - 2)^2 = 3 - x \)，因\( y \leq 2 \)（原函数\( x \leq 2 \)时\( y \leq 3 \)且\( y \)随\( x \)减小而减小），故\( y - 2 = -\sqrt{3 - x} \implies y = 2 - \sqrt{3 - x} \)；

4. 反函数定义域：原函数值域为\( y \leq 3 \)，故反函数定义域为\( x \leq 3 \)。

答案：\( y = 2 - \sqrt{3 - x} \)（\( x \leq 3 \)）。

例题7：幂函数（根号型）求函数\( y = \sqrt{2x - 5} \)（\( x \geq \frac{5}{2} \)）的反函数。

解析：

1. 原函数在\( x \geq \frac{5}{2} \)上严格增，值域\( y \geq 0 \)，存在反函数；

2. 交换\( x \)与\( y \)：\( x = \sqrt{2y - 5} \)；

3. 解\( y \)：

两边平方（因\( x \geq 0 \)）得\( x^2 = 2y - 5 \implies 2y = x^2 + 5 \implies y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2} \)；

4. 反函数定义域：原函数值域\( y \geq 0 \)，故反函数定义域为\( x \geq 0 \)。

答案：\( y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2} \)（\( x \geq 0 \)）。

例题8：幂函数（三次根号型）求函数\( y = \sqrt[3]{x + 4} - 1 \)（\( x \in R \)）的反函数。

解析：

1. 三次根号函数是严格增函数，原函数定义域\( R \)，值域\( R \)，存在反函数；

2. 交换\( x \)与\( y \)：\( x = \sqrt[3]{y + 4} - 1 \)；

3. 解\( y \)：

移项得\( x + 1 = \sqrt[3]{y + 4} \)，两边立方得\( (x + 1)^3 = y + 4 \implies y = (x + 1)^3 - 4 \)；

4. 反函数定义域：\( R \)。

答案：\( y = (x + 1)^3 - 4 \)（\( x \in R \)）。

例题9：指数函数（基本型）求函数\( y = 2^x \)（\( x \in R \)）的反函数。

解析：

1. 指数函数\( y = 2^x \)是严格增函数，定义域\( R \)，值域\( (0, +\infty) \)，存在反函数；

2. 交换\( x \)与\( y \)：\( x = 2^y \)；

3. 解\( y \)：利用对数定义，得\( y = \log_2 x \)；

4. 反函数定义域：原函数值域\( (0, +\infty) \)，故反函数定义域为\( (0, +\infty) \)。

答案：\( y = \log_2 x \)（\( x > 0 \)）。

例题10：指数函数（平移型）求函数\( y = 3^{x - 2} + 1 \)（\( x \in R \)）的反函数。

解析：

1. 原函数是\( y = 3^t + 1 \)（\( t = x - 2 \in R \)），严格增，值域\( (1, +\infty) \)，存在反函数；

2. 交换\( x \)与\( y \)：\( x = 3^{y - 2} + 1 \)；

3. 解\( y \)：

移项得\( x - 1 = 3^{y - 2} \)，取对数得\( y - 2 = \log_3 (x - 1) \implies y = \log_3 (x - 1) + 2 \)；

4. 反函数定义域：原函数值域\( (1, +\infty) \)，故反函数定义域为\( x > 1 \)。

答案：\( y = \log_3 (x - 1) + 2 \)（\( x > 1 \)）。

例题11：对数函数（基本型）求函数\( y = \log_5 x \)（\( x > 0 \)）的反函数。

解析：

1. 对数函数\( y = \log_5 x \)是严格增函数，值域\( R \)，存在反函数；

2. 交换\( x \)与\( y \)：\( x = \log_5 y \)；

3. 解\( y \)：利用指数定义，得\( y = 5^x \)；

4. 反函数定义域：原函数值域\( R \)，故反函数定义域为\( R \)。

答案：\( y = 5^x \)（\( x \in R \)）。

例题12：对数函数（平移+定义域限定）求函数\( y = \log_2 (x + 3) \)（\( x > -1 \)）的反函数。

解析：

1. 原函数在\( x > -1 \)上严格增，值域：当\( x > -1 \)时\( x + 3 > 2 \)，故\( y > \log_2 2 = 1 \)，存在反函数；

2. 交换\( x \)与\( y \)：\( x = \log_2 (y + 3) \)；

3. 解\( y \)：\( y + 3 = 2^x \implies y = 2^x - 3 \)；

4. 反函数定义域：原函数值域\( y > 1 \)，故反函数定义域为\( x > 1 \)。

答案：\( y = 2^x - 3 \)（\( x > 1 \)）。

例题13：分式函数（一次分式）求函数\( y = \frac{x + 2}{x - 1} \)（\( x \neq 1 \)）的反函数。

解析：

1. 原函数可变形为\( y = 1 + \frac{3}{x - 1} \)，在\( (-\infty,1) \)和\( (1,+\infty) \)上严格减，值域\( y \neq 1 \)，存在反函数；

2. 交换\( x \)与\( y \)：\( x = \frac{y + 2}{y - 1} \)；

3. 解\( y \)：两边乘\( y - 1 \)得，

\( x(y - 1) = y + 2 \implies xy - x = y + 2 \implies xy - y = x + 2 \implies y(x - 1) = x + 2 \implies y = \frac{x + 2}{x - 1} \)；

4. 反函数定义域：\( x \neq 1 \)。

答案：\( y = \frac{x + 2}{x - 1} \)（\( x \neq 1 \)）（自反函数）。

例题14：分式函数（分子分母均含一次项）求函数\( y = \frac{2x - 5}{3x + 1} \)（\( x \neq -\frac{1}{3} \)）的反函数。

解析：

1. 原函数是一次分式，一一对应，值域\( y \neq \frac{2}{3} \)（分子分母一次项系数比），存在反函数；

2. 交换\( x \)与\( y \)：\( x = \frac{2y - 5}{3y + 1} \)；

3. 解\( y \)：

交叉乘得\( x(3y + 1) = 2y - 5 \implies 3xy + x = 2y - 5 \implies 3xy - 2y \)

\(= -x - 5 \implies y(3x - 2) = -x - 5 \implies y = \frac{-x - 5}{3x - 2} = \frac{x + 5}{2 - 3x} \)；

4. 反函数定义域：\( x \neq \frac{2}{3} \)。

答案：\( y = \frac{x + 5}{2 - 3x} \)（\( x \neq \frac{2}{3} \)）。

例题15：含绝对值的函数（限定定义域使其单调）求函数\( y = |x + 2| \)（\( x \geq -2 \)）的反函数。

解析：

1. 当\( x \geq -2 \)时，\( |x + 2| = x + 2 \)，原函数为\( y = x + 2 \)，严格增，值域\( y \geq 0 \)，存在反函数；

2. 交换\( x \)与\( y \)：\( x = y + 2 \)；

3. 解\( y \)：\( y = x - 2 \)；

4. 反函数定义域：\( x \geq 0 \)。

答案：\( y = x - 2 \)（\( x \geq 0 \)）。

例题16：含绝对值的函数（分段单调）求函数\( y = |2x - 1| + 3 \)（\( x \leq \frac{1}{2} \)）的反函数。

解析：

1. 当\( x \leq \frac{1}{2} \)时，\( |2x - 1| = 1 - 2x \)，原函数为\( y = -2x + 4 \)，严格减，值域\( y \geq 3 \)（当\( x = \frac{1}{2} \)时\( y = 3 \)），存在反函数；

2. 交换\( x \)与\( y \)：\( x = -2y + 4 \)；

3. 解\( y \)：\( 2y = 4 - x \implies y = \frac{4 - x}{2} = 2 - \frac{1}{2}x \)；

4. 反函数定义域：\( x \geq 3 \)。

答案：\( y = 2 - \frac{1}{2}x \)（\( x \geq 3 \)）。

例题17：利用反函数性质求点坐标：已知点\( (2, 5) \)在函数\( y = f(x) \)的图像上，求其反函数\( y = f^{-1}(x) \)图像上的对应点。

解析：

由反函数图像与原函数图像关于\( y = x \)对称，原函数上的点\( (a, b) \)对应反函数上的点\( (b, a) \)。

答案：\( (5, 2) \)。

例题18：利用反函数运算关系求值：已知\( f(x) = 3x - 1 \)，求\( f^{-1}(5) \)的值。

解析：

方法1：先求反函数\( f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{3} \)，代入\( x = 5 \)得\( \frac{5 + 1}{3} = 2 \)；

方法2：利用\( f(f^{-1}(5)) = 5 \)，设\( f^{-1}(5) = t \)，则\( f(t) = 5 \implies 3t - 1 = 5 \implies t = 2 \)。

答案：\( 2 \)。

例题19：判断函数是否存在反函数：判断函数\( y = x^2 - 4x + 6 \)（\( x \in R \)）是否存在反函数，若不存在，限定定义域使其存在并求反函数。

解析：

1. 原函数配方：\( y = (x - 2)^2 + 2 \)，在\( R \)上不是单调函数（对称轴\( x=2 \)，左减右增），一个\( y > 2 \)对应两个\( x \)，故不存在反函数；

2. 限定定义域：取\( x \geq 2 \)（严格增区间）或\( x \leq 2 \)（严格减区间），此处取\( x \geq 2 \)；

3. 求反函数：交换\( x \)与\( y \)得\( x = (y - 2)^2 + 2 \)，解\( y = 2 + \sqrt{x - 2} \)（因\( y \geq 2 \)），定义域\( x \geq 2 \)。

答案：原函数在\( R \)上不存在反函数；限定\( x \geq 2 \)时，反函数为\( y = 2 + \sqrt{x - 2} \)（\( x \geq 2 \)）。

例题20：复合函数的反函数（简单型）求函数\( y = \sqrt{3^{2x} + 1} \)（\( x \in R \)）的反函数。

解析：

1. 原函数：\( 3^{2x} = 9^x > 0 \)，故\( y = \sqrt{9^x + 1} > 1 \)，且\( 9^x \)严格增，\( y \)严格增，存在反函数；

2. 交换\( x \)与\( y \)：\( x = \sqrt{9^y + 1} \)；

3. 解\( y \)：

两边平方得\( x^2 = 9^y + 1 \implies 9^y = x^2 - 1 \)，取对数得\( y = \log_9 (x^2 - 1) = \frac{1}{2}\log_3 (x^2 - 1) \)（因\( 9 = 3^2 \)）；

4. 反函数定义域：原函数值域\( y > 1 \)，故\( x^2 - 1 > 0 \)且\( x > 1 \)（因\( x = \sqrt{\cdot} \geq 0 \)），即\( x > 1 \)。

答案：\( y = \frac{1}{2}\log_3 (x^2 - 1) \)（\( x > 1 \)）。

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