函数的奇偶性：奇函数、偶函数

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函数奇偶性是函数的重要对称性性质，描述了函数图像自身关于原点或y轴的对称关系，函数奇偶性主要用于简化函数性质分析（如对称性、单调性）、简化积分计算（如对称区间上奇函数积分为0）及快速绘制函数图像（利用关于原点或y轴对称性）。

一、函数奇偶性的定义

函数奇偶性的前提是定义域关于原点对称，若定义域不满足此条件，函数必为非奇非偶函数。

奇函数：设\(f(x)\)的定义域为\(D\)，若任意\(x, -x\in D\)（定义域关于原点对称），且\(f(-x) = -f(x)\)，则称\(f(x)\)为奇函数。

几何意义：奇函数的图像关于原点中心对称（即图像绕原点旋转180°后与原图像重合）。

示例：\(f(x)=x\)，\(f(x)=x^3\)，\(f(x)=\sin x\)。

偶函数：设\(f(x)\)的定义域为\(D\)，若任意\(x, -x\in D\)（定义域关于原点对称），且\(f(-x) = f(x)\)，则称\(f(x)\)为偶函数。

几何意义：偶函数的图像关于y轴轴对称（即图像沿y轴折叠后，左右两部分完全重合）。

示例：\(f(x)=x^2\)，\(f(x)=|x|\)，\(f(x)=\cos x\)。

关键注意点

定义域优先：判断奇偶性的第一步的是检查定义域是否关于原点对称（如\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)，定义域为\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)，不关于原点对称，直接判定为非奇非偶）。

特殊函数：\(f(x)=0\)（定义域关于原点对称）既是奇函数也是偶函数（满足\(f(-x)=0=-f(x)=f(x)\)）；若定义域仅含原点（如\(D=\{0\}\)），且\(f(0)=0\)，也既是奇也是偶函数。

非奇非偶：若定义域对称，但不满足\(f(-x)=\pm f(x)\)（如\(f(x)=x+1\)，\(f(-x)=-x+1\neq x+1\)且\(\neq -(x+1)\)），则为非奇非偶函数。

二、函数奇偶性的判定步骤：严格遵循“定义域→解析式”

第一步：判断定义域是否关于原点对称：

（1）若存在\(x_0\in D\)，使得\(-x_0\notin D\)，则函数为非奇非偶函数，判定结束；

（2）若定义域对称，进入第二步：

第二步：分析\(f(-x)\)与\(f(x)\)的关系：

（1）若\(f(-x) = f(x)\)，则为偶函数；

（2）若\(f(-x) = -f(x)\)，则为奇函数；

（3）若两者均满足（仅\(f(x)=0\)，定义域对称时），则既是奇也是偶函数；

（4）若两者均不满足，则为非奇非偶函数。

三、函数奇偶性的运算性质

所有参与运算的函数定义域必须关于原点对称，且运算后新函数的定义域仍关于原点对称，否则新函数无奇偶性可言。

奇函数：对定义域内任意\(x\)，有\(f(-x) = -f(x)\)（图像关于原点对称）

偶函数：对定义域内任意\(x\)，有\(f(-x) = f(x)\)（图像关于\(y\)轴对称）

（1）奇函数 + 奇函数 = 奇函数

推导：设\(F(x)=f(x)+g(x)\)（\(f\)奇，\(g\)奇），则\(F(-x)=f(-x)+g(-x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)\)

（2）偶函数 + 偶函数 = 偶函数

推导：设\(F(x)=f(x)+g(x)\)（\(f\)偶，\(g\)偶），则\(F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x)\)

（3）奇函数 + 偶函数 = 非奇非偶（默认）

推导：设\(F(x)=f(x)+g(x)\)（\(f\)奇，\(g\)偶），则\(F(-x)=-f(x)+g(x)\)，既不等于\(F(x)\)也不等于\(-F(x)\)（例：\(x + x^2\)）

（4）奇函数 - 奇函数 = 奇函数

推导：设\(F(x)=f(x)-g(x)\)（\(f\)奇，\(g\)奇），则\(F(-x)=-f(x)-(-g(x))=-[f(x)-g(x)]=-F(x)\)

（5）偶函数 - 偶函数 = 偶函数

推导：设\(F(x)=f(x)-g(x)\)（\(f\)偶，\(g\)偶），则\(F(-x)=f(x)-g(x)=F(x)\)

（6）奇函数 - 偶函数 = 非奇非偶（默认）

推导：设\(F(x)=f(x)-g(x)\)（\(f\)奇，\(g\)偶），则\(F(-x)=-f(x)-g(x)\)，既不等于\(F(x)\)也不等于\(-F(x)\)（例：\(x - x^2\)）

（7）奇函数 × 奇函数 = 偶函数

推导：设\(F(x)=f(x)×g(x)\)（\(f\)奇，\(g\)奇），则\(F(-x)=(-f(x))×(-g(x))=f(x)g(x)=F(x)\)

（8）偶函数 × 偶函数 = 偶函数

推导：设\(F(x)=f(x)×g(x)\)（\(f\)偶，\(g\)偶），则\(F(-x)=f(x)×g(x)=F(x)\)

（9）奇函数 × 偶函数 = 奇函数

推导：设\(F(x)=f(x)×g(x)\)（\(f\)奇，\(g\)偶），则\(F(-x)=(-f(x))×g(x)=-f(x)g(x)=-F(x)\)

（10）奇函数 ÷ 奇函数 = 偶函数

推导：设\(F(x)=f(x)/g(x)\)（\(f\)奇，\(g\)奇，\(g(x)≠0\)），则\(F(-x)=(-f(x))/(-g(x))=f(x)/g(x)=F(x)\)

（11）偶函数 ÷ 偶函数 = 偶函数

推导：设\(F(x)=f(x)/g(x)\)（\(f\)偶，\(g\)偶，\(g(x)≠0\)），则\(F(-x)=f(x)/g(x)=F(x)\)

（12）奇函数 ÷ 偶函数 = 奇函数

推导：设\(F(x)=f(x)/g(x)\)（\(f\)奇，\(g\)偶，\(g(x)≠0\)），则\(F(-x)=(-f(x))/g(x)=-f(x)/g(x)=-F(x)\)

（13）特殊情况：常数函数的运算

常数函数\(h(x)=C\)（\(C\)为常数）是特殊的偶函数（因\(h(-x)=C=h(x)\)），但需注意：

当\(C=0\)时（即\(h(x)=0\)），它既是奇函数也是偶函数（满足\(h(-x)=0=-h(x)=h(x)\)）；

（13）与常数函数运算：

奇函数 + 常数（\(C≠0\)）：非奇非偶（例：\(f(x)=x + 1\)，\(f(-x)=-x + 1\)，既不满足奇也不满足偶）；

偶函数 × 常数（\(C≠0\)）：仍为偶函数（例：\(f(x)=2x^2\)，\(f(-x)=2x^2=f(x)\)）；

奇函数 × 常数（\(C≠0\)）：仍为奇函数（例：\(f(x)=3x\)，\(f(-x)=-3x=-f(x)\)）。

四、复合函数的奇偶性：内层偶，复合偶；内层奇，看外层

复合函数的奇偶性由外层函数和内层函数的奇偶性共同决定，核心是通过复合函数的定义式\(F[g(-x)]\)与\(F[g(x)]\)、\(-F[g(x)]\)的关系来判断，同时需满足“所有函数的定义域关于原点对称”这一前提（否则复合函数无奇偶性）。

第一步：核心前提：定义域对称，不对称则直接判定“非奇非偶”

复合函数\(y=F[g(x)]\)的定义域是“内层函数\(g(x)\)的定义域”与“外层函数\(F(u)\)的定义域（\(u=g(x)\)的值域需落在其中）”的交集。只有当这个交集关于原点对称时，才具备讨论奇偶性的条件。

第二步：复合函数奇偶性的判定规则：

设复合函数为\(y=F[g(x)]\)，其中\(u=g(x)\)是内层函数，\(y=F(u)\)是外层函数。根据内层函数\(g(x)\)的奇偶性，分两种核心情况讨论：

情况1：内层函数\(g(x)\)是偶函数：对定义域内任意\(x\)，有\(g(-x) = g(x)\)

此时复合函数满足： \(F[g(-x)] = F[g(x)]\)

结论：无论外层函数\(F(u)\)是奇函数、偶函数还是非奇非偶函数，复合函数\(F[g(x)]\)一定是偶函数。

示例：

内层\(g(x)=x^2\)（偶），外层\(F(u)=u^3\)（奇）：复合函数\(F[g(x)]=(x^2)^3=x^6\)，满足\(x^6=(-x)^6\)，是偶函数；

内层\(g(x)=|x|\)（偶），外层\(F(u)=2^u + 1\)（非奇非偶）：复合函数\(F[g(x)]=2^{|x|}+1\)，满足\(2^{|-x|}+1=2^{|x|}+1\)，是偶函数。

情况2：内层函数\(g(x)\)是奇函数：对定义域内任意\(x\)，有\(g(-x) = -g(x)\)

此时复合函数的奇偶性完全由外层函数\(F(u)\)的奇偶性决定，规则如下：

（1）若外层\(F(u)\)是奇函数\(F(-u)=-F(u)\)： \(F[g(-x)] = F[-g(x)] = -F[g(x)]\)，故复合函数\(F[g(x)]\)是奇函数；

（2）若外层\(F(u)\)是偶函数\(F(-u)=F(u)\)： \(F[g(-x)] = F[-g(x)] = F[g(x)]\)，故复合函数\(F[g(x)]\)是偶函数；

（3）若外层\(F(u)\)是非奇非偶函数： \(F[g(-x)] = F[-g(x)]\)，既不等于\(F[g(x)]\)也不等于\(-F[g(x)]\)，故复合函数\(F[g(x)]\)是非奇非偶函数。

示例：

内层\(g(x)=x^3\)（奇），外层\(F(u)=u^5\)（奇）：复合函数\(F[g(x)]=(x^3)^5=x^{15}\)，满足\((-x)^{15}=-x^{15}\)，是奇函数；

内层\(g(x)=\sin x\)（奇），外层\(F(u)=u^2\)（偶）：复合函数\(F[g(x)]=\sin^2 x\)，满足\(\sin^2(-x)=(\sin x)^2\)，是偶函数；

内层\(g(x)=x+1\)（非奇非偶），外层\(F(u)=u^2\)（偶）：复合函数\(F[g(x)]=(x+1)^2\)，\((-x+1)^2≠(x+1)^2\)且\((-x+1)^2≠-(x+1)^2\)，是非奇非偶函数。

情况3：特殊情况：内层/外层为“既奇又偶函数”

唯一的“既奇又偶函数”是\(f(x)=0\)（定义域关于原点对称），若复合函数中涉及它：

若内层\(g(x)=0\)（既奇又偶）：则\(F[g(x)]=F(0)\)（常数），此时复合函数是偶函数（常数函数是特殊偶函数）；

若外层\(F(u)=0\)（既奇又偶）：则\(F[g(x)]=0\)，此时复合函数是既奇又偶函数。

判定步骤与记忆口诀：内层偶，复合偶；内层奇，看外层

1. 判定义域：检查复合函数\(F[g(x)]\)的定义域是否关于原点对称，不对称则直接判定“非奇非偶”；

2. 看内层：若内层\(g(x)\)是偶函数，直接判定复合函数为“偶函数”；

3. 定外层：若内层\(g(x)\)是奇函数，根据外层\(F(u)\)的奇偶性，对应判定复合函数的奇偶性（外奇则复奇，外偶则复偶，外非则复非）。

五、高中阶段常用的奇函数

1. 基本正比例函数：\(f(x) = kx\)（\(k \neq 0\)，\(k\)为常数，定义域为\(\mathbb{R}\)，如\(f(x) = 2x\)、\(f(x) = -3x\)）

2. 反比例函数：\(f(x) = \frac{k}{x}\)（\(k \neq 0\)，\(k\)为常数，定义域为\(\{x|x \neq 0\}\)，如\(f(x) = \frac{5}{x}\)、\(f(x) = -\frac{1}{x}\)）

3. 奇次幂函数：\(f(x) = x^n\)（\(n\)为奇数且\(n \in \mathbb{Z}\)，定义域根据\(n\)调整：当\(n > 0\)时为\(\mathbb{R}\)，如\(f(x) = x^3\)、\(f(x) = x^5\)；当\(n < 0\)时为\(\{x|x \neq 0\}\)，如\(f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}\)、\(f(x) = x^{-3} = \frac{1}{x^3}\)）

4. 三角函数中的奇函数：

正弦函数：\(f(x) = \sin x\)（定义域为\(\mathbb{R}\)）

正切函数：\(f(x) = \tan x\)（定义域为\(\{x|x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\}\)）

余切函数：\(f(x) = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)（定义域为\(\{x|x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\)）

正割函数的变形（非基本正割函数）：如\(f(x) = \sec x \cdot \sin x = \frac{1}{\cos x} \cdot \sin x = \tan x\)（本质为正切函数，单独列出是因涉及正割函数组合）

5. 反三角函数中的奇函数：

反正弦函数：\(f(x) = \arcsin x\)（定义域为\([-1, 1]\)）

反正切函数：\(f(x) = \arctan x\)（定义域为\(\mathbb{R}\)）

反余切函数的变形（非基本反余切函数）：如\(f(x) = \frac{\pi}{2} - \text{arccot } x\)（因基本\(\text{arccot } x\)非奇非偶，此变形后为奇函数，定义域为\(\mathbb{R}\)）

6. 指数函数组合的奇函数：

\(f(x) = a^x - a^{-x}\)（\(a > 0\)且\(a \neq 1\)，定义域为\(\mathbb{R}\)，如\(f(x) = 2^x - 2^{-x}\)、\(f(x) = 3^x - \frac{1}{3^x}\)）

\(f(x) = \frac{a^x - 1}{a^x + 1}\)（\(a > 0\)且\(a \neq 1\)，定义域为\(\mathbb{R}\)，如\(f(x) = \frac{2^x - 1}{2^x + 1}\)）

7. 对数函数组合的奇函数：

\(f(x) = \log_a \frac{1 - x}{1 + x}\)（\(a > 0\)且\(a \neq 1\)，定义域为\((-1, 1)\)，如\(f(x) = \ln \frac{1 - x}{1 + x}\)、\(f(x) = \log_2 \frac{1 - x}{1 + x}\)）

\(f(x) = \log_a (x + \sqrt{x^2 + 1})\)（\(a > 0\)且\(a \neq 1\)，定义域为\(\mathbb{R}\)，如\(f(x) = \ln (x + \sqrt{x^2 + 1})\)）

8. 绝对值相关的奇函数：

\(f(x) = x \cdot |x|\)（定义域为\(\mathbb{R}\)，如\(f(x) = x|x|\)，展开为\(f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \geq 0) \\ -x^2 & (x < 0) \end{cases}\)）

\(f(x) = \frac{x}{|x|}\)（定义域为\(\{x|x \neq 0\}\)，即\(f(x) = \begin{cases} 1 & (x > 0) \\ -1 & (x < 0) \end{cases}\)，也叫符号函数\(\text{sgn } x\)）

9. 多项式组合的奇函数：由“奇函数±奇函数=奇函数”“奇函数×偶函数=奇函数”“奇函数÷偶函数=奇函数”推导的组合函数，如：

\(f(x) = x^3 + \sin x\)（奇+奇=奇）

\(f(x) = x^5 - \frac{1}{x}\)（奇-奇=奇）

\(f(x) = x^2 \cdot \tan x\)（偶×奇=奇）

\(f(x) = \frac{x^3}{\cos x}\)（奇÷偶=奇，定义域为\(\{x|x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\}\)）

10. 特殊常值奇函数：仅\(f(x) = 0\)（定义域关于原点对称，既是奇函数也是偶函数，如\(f(x) = 0\)（\(x \in \mathbb{R}\)）、\(f(x) = 0\)（\(x \in [-1, 1]\)））

六、高中阶段常用的偶函数

1. 常数函数：\(f(x) = C\)（\(C\)为任意常数，定义域关于原点对称，如\(f(x) = 5\)、\(f(x) = 0\)，其中\(f(x) = 0\)同时也是奇函数）

2. 幂函数（指数为偶数或零）：\(f(x) = x^n\)（\(n\)为非负偶数，如\(f(x) = x^2\)、\(f(x) = x^4\)；或\(n = 0\)，即\(f(x) = 1\)，定义域\(\{x|x \neq 0\}\)）

3. 余弦函数：\(f(x) = \cos x\)（定义域为\(\mathbb{R}\)）

4. 绝对值函数：\(f(x) = |x|\)（定义域为\(\mathbb{R}\)）、\(f(x) = |ax + b|\)（需保证定义域关于原点对称，如\(f(x) = |x - 1| + |x + 1|\)）

5. 偶次根式函数（被开方数为偶函数）：\(f(x) = \sqrt{g(x)}\)（\(g(x)\)为偶函数且\(g(x) \geq 0\)，如\(f(x) = \sqrt{x^2}\)、\(f(x) = \sqrt{x^4 + 2}\)）

6. 指数型偶函数：\(f(x) = a^{|x|}\)（\(a > 0\)且\(a \neq 1\)，如\(f(x) = 2^{|x|}\)）、\(f(x) = \frac{a^x + a^{-x}}{2}\)（如\(f(x) = \frac{2^x + 2^{-x}}{2}\)）

7. 反余弦函数（限定定义域后）：\(f(x) = \arccos x\)（定义域为\([-1, 1]\)，图像关于\(y\)轴对称）

8. 常见组合函数：\(f(x) = x^2 + \cos x\)（偶+偶=偶）、\(f(x) = x^3 \cdot x\)（奇×奇=偶，即\(f(x) = x^4\)）、\(f(x) = \frac{x^2}{\cos x}\)（偶÷偶=偶，定义域需排除\(\cos x = 0\)的点且关于原点对称）、\(f(x) = \sin^2 x\)（\(\sin x\)为奇，奇×奇=偶）

七、理解“\(f(x+h)\)是偶函数”

理解“\(f(x+h)\)是偶函数”的关键，是抓住“将\(x+h\)视为整体变量”的核心逻辑，避免和“\(f(x)\)是偶函数”的对称位置混淆。以下从定义、正确推导、对称特征到常见误区，帮你彻底理清：

一、核心定义：先明确“谁是偶函数”

当说“\(f(x+h)\)是偶函数”时，不是\(f(x)\)是偶函数，而是把\(f(x+h)\)看作一个新函数\(g(x)\)，即：

令\(g(x) = f(x+h)\)，则\(g(x)\)满足偶函数的定义——对定义域内任意\(x\)，都有\(g(-x) = g(x)\)。

二、正确推导：得到关键等式

基于\(g(x) = f(x+h)\)是偶函数，按以下步骤推导：

1. 对新函数用偶函数定义：因\(g(x)\)是偶函数，故\(g(-x) = g(x)\)；

2. 代入\(g(x)\)的表达式：

左边\(g(-x) = f(-x + h)\)（把\(g(x)\)中的\(x\)换成\(-x\)），

右边\(g(x) = f(x + h)\)，

因此等式为：\(\boxed{f(h - x) = f(h + x)}\)（整理\(-x + h\)为\(h - x\)，更直观体现对称）。

三、对称特征：对应\(f(x)\)的对称轴

等式\(f(h - x) = f(h + x)\)的几何意义是：

对函数\(f(x)\)，与直线\(x = h\)距离相等的两个点（横坐标为\(h - x\)和\(h + x\)），函数值相等，即\(f(x)\)的图像关于直线\(x = h\) 轴对称。

示例验证：

令\(h = 2\)，设\(f(x) = (x - 2)^2\)，则\(f(x + 2) = (x + 2 - 2)^2 = x^2\)（\(x^2\)是偶函数，符合“\(f(x+h)\)是偶函数”）。

对任意\(x = 1\)：\(f(h - x) = f(2 - 1) = f(1) = 1\)，\(f(h + x) = f(2 + 1) = f(3) = 1\)，满足\(f(1) = f(3)\)，图像沿\(x = 2\)对折完全重合。

四、最易踩的误区：别错写成\(f(-x - h) = f(x + h)\)

很多人会直接对\(x+h\)取负，误推导为：\(f[-(x + h)] = f(x + h)\)，即\(f(-x - h) = f(x + h)\)。

但这个等式对应的是\(f(x)\)关于直线\(x = -h\)对称，本质是“\(f(x - (-h))\)是偶函数”（即把\(h\)换成\(-h\)），和“\(f(x + h)\)是偶函数”完全不同，必须注意区分。

总结：\(f(x+h)\)是偶函数的核心要点

1. 新函数\(g(x) = f(x+h)\)满足\(g(-x) = g(x)\)；

2. 推导得关键等式：\(\boxed{f(h - x) = f(h + x)}\)；

3. 几何意义：\(f(x)\)的图像关于直线\(x = h\) 轴对称。

八、理解“\(f(x+h)\)是奇函数”

理解“\(f(x+h)\)是奇函数”，核心是抓住“将\(x+h\)看作整体变量”，从奇函数定义推导其对称性质与关键等式，同时避开常见的符号误区。以下是详细拆解：

一、核心定义：先明确“谁是奇函数”

“\(f(x+h)\)是奇函数”，本质是令\(g(x) = f(x+h)\)，则\(g(x)\)是奇函数。

奇函数的核心定义是：对定义域内任意\(x\)，满足\(g(-x) = -g(x)\)，且定义域关于“使\(g(x)\)对称的点”对称（后续推导会明确）。

二、关键等式推导：避免符号陷阱

推导需严格遵循“先对\(g(x)\)用奇函数定义，再代回\(f\)的表达式”，步骤如下：

1. 对\(g(x)\)用奇函数定义：因\(g(x)\)是奇函数，故\(g(-x) = -g(x)\)；

2. 代回\(g(x) = f(x+h)\)：

左边\(g(-x) = f(-x + h)\)（将\(x\)替换为\(-x\)，注意是“\(-x + h\)”，而非“\(-(x+h)\)”）；

右边\(-g(x) = -f(x + h)\)；

3. 整理得最终等式：\(\boxed{f(h - x) = -f(h + x)}\)

常见误区提醒：不要误写成\(f(-x - h) = -f(x + h)\)！

这个错误等式对应的是“\(f(x+h)\)关于\(x=-h\)中心对称”，而非“\(f(x+h)\)是奇函数”。正确推导的关键是：仅对\(g(x)\)的自变量\(x\)取负，而非对“\(x+h\)”整体取负。

三、对称性质：对应“点对称”

从等式\(f(h - x) = -f(h + x)\)可推出：\(f(x)\)的图像关于点\((h, 0)\)中心对称。

逻辑解释：

取两个点\(x_1 = h - x\)和\(x_2 = h + x\)，它们的中点横坐标为\(\frac{(h - x) + (h + x)}{2} = h\)，纵坐标均为0，即两点关于\((h, 0)\)对称；

等式\(f(x_1) = -f(x_2)\)表示“对称点的函数值互为相反数”，这正是中心对称的核心特征（图像绕\((h, 0)\)旋转180°后完全重合）。

四、特殊性质：若\(h\)在定义域内

若\(x=0\)在\(g(x)\)的定义域内（即\(h\)在\(f(x)\)的定义域内），令推导等式中的\(x=0\)：

左边\(f(h - 0) = f(h)\)，右边\(-f(h + 0) = -f(h)\)，故：\(f(h) = -f(h) \implies \boxed{f(h) = 0}\)

这类似“奇函数\(f(x)\)过原点（\(f(0)=0\)）”的性质，这里\(f(x)\)过点\((h, 0)\)。

五、示例验证

取\(f(x) = (x - 2)^3\)，令\(h=2\)，则\(f(x+h) = f(x+2) = (x+2 - 2)^3 = x^3\)（\(x^3\)是典型奇函数）。

验证等式\(f(h - x) = -f(h + x)\)：

左边\(f(2 - x) = (2 - x - 2)^3 = (-x)^3 = -x^3\)；

右边\(-f(2 + x) = -[(2 + x - 2)^3] = -x^3\)，满足\(f(2 - x) = -f(2 + x)\)；

验证特殊性质：\(f(h) = f(2) = (2 - 2)^3 = 0\)，符合\(f(h)=0\)。

总结：\(f(x+h)\)是奇函数的核心要点

1. 定义转化：令\(g(x)=f(x+h)\)，则\(g(-x)=-g(x)\)；

2. 关键等式：\(f(h - x) = -f(h + x)\)；

3. 对称特征：图像关于点\((h, 0)\)中心对称；

4. 特殊性质：若\(h\)在定义域内，则\(f(h)=0\)。

例题1：基础判定（一次函数）判断函数\(f(x)=2x - 3\)的奇偶性。

解析：

1. 第一步：求定义域。\(f(x)\)为一次函数，定义域\(D=\mathbb{R}\)，关于原点对称。

2. 第二步：计算\(f(-x)\)。\(f(-x)=2(-x)-3=-2x-3\)。

3. 对比关系：\(f(-x)=-2x-3\)，既不等于\(f(x)=2x-3\)，也不等于\(-f(x)=-2x+3\)。

4. 结论：\(f(x)\)为非奇非偶函数。

例题2：基础判定（二次函数）判断函数\(f(x)=x^2 + 2\)的奇偶性。

解析：

1. 定义域：\(D=\mathbb{R}\)，关于原点对称。

2. 计算\(f(-x)\)：\(f(-x)=(-x)^2 + 2=x^2 + 2\)。

3. 对比关系：\(f(-x)=x^2 + 2=f(x)\)。

4. 结论：\(f(x)\)为偶函数。

例题3：基础判定（反比例函数）判断函数\(f(x)=\frac{3}{x}\)的奇偶性。

解析：

1. 定义域：\(D=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)，关于原点对称（对任意\(x\in D\)，\(-x\in D\)）。

2. 计算\(f(-x)\)：\(f(-x)=\frac{3}{-x}=-\frac{3}{x}\)。

3. 对比关系：\(f(-x)=-\frac{3}{x}=-f(x)\)。

4. 结论：\(f(x)\)为奇函数。

例题4：定义域不对称的判定：判断函数\(f(x)=\sqrt{x - 2}\)的奇偶性。

解析：

1. 第一步：求定义域。由\(x - 2\geq0\)得\(D=[2,+\infty)\)。

2. 检查对称性：取\(x=2\in D\)，则\(-x=-2\notin D\)，定义域不关于原点对称。

3. 结论：无需计算\(f(-x)\)，直接判定\(f(x)\)为非奇非偶函数。

例题5：含绝对值的函数判定：判断函数\(f(x)=|x + 1| - |x - 1|\)的奇偶性。

解析：

1. 定义域：\(D=\mathbb{R}\)，关于原点对称。

2. 计算\(f(-x)\)：\(f(-x)=|-x + 1| - |-x - 1|=|-(x - 1)| - |-(x + 1)|=|x - 1| - |x + 1|\)（绝对值性质：\(|a|=|-a|\)）。

3. 对比关系：\(f(-x)=|x - 1| - |x + 1|= - (|x + 1| - |x - 1|)= -f(x)\)。

4. 结论：\(f(x)\)为奇函数。

例题6：分式与多项式结合的判定：判断函数\(f(x)=\frac{x^2 + 1}{x}\)的奇偶性。

解析：

1. 定义域：\(D=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)，关于原点对称。

2. 计算\(f(-x)\)：\(f(-x)=\frac{(-x)^2 + 1}{-x}=\frac{x^2 + 1}{-x}= - \frac{x^2 + 1}{x}\)。

3. 对比关系：\(f(-x)= - \frac{x^2 + 1}{x}=-f(x)\)。

4. 结论：\(f(x)\)为奇函数（也可利用运算性质：分子\(x^2 + 1\)是偶函数，分母\(x\)是奇函数，偶÷奇=奇）。

例题7：指数函数组合的判定：判断函数\(f(x)=\frac{2^x - 1}{2^x + 1}\)的奇偶性。

解析：

1. 定义域：\(2^x + 1>0\)恒成立（\(2^x>0\)），故\(D=\mathbb{R}\)，关于原点对称。

2. 计算\(f(-x)\)：\(f(-x)=\frac{2^{-x} - 1}{2^{-x} + 1}\)，分子分母同乘\(2^x\)化简：

\(f(-x)=\frac{(2^{-x} - 1)\cdot 2^x}{(2^{-x} + 1)\cdot 2^x}=\frac{1 - 2^x}{1 + 2^x}= - \frac{2^x - 1}{2^x + 1}\)。

3. 对比关系：\(f(-x)= - \frac{2^x - 1}{2^x + 1}=-f(x)\)。

4. 结论：\(f(x)\)为奇函数。

例题8：对数函数组合的判定：判断函数\(f(x)=\log_a(x + \sqrt{x^2 + 1})\)（\(a>0,a\neq1\)）的奇偶性。

解析：

1. 定义域：\(x + \sqrt{x^2 + 1}>0\)恒成立（\(\sqrt{x^2 + 1}>|x|\geq -x\)，故\(x + \sqrt{x^2 + 1}>0\)），\(D=\mathbb{R}\)，对称。

2. 计算\(f(-x)\)：\(f(-x)=\log_a(-x + \sqrt{(-x)^2 + 1})=\log_a(-x + \sqrt{x^2 + 1})\)，对真数有理化：

\(-x + \sqrt{x^2 + 1}=\frac{(\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x}=\frac{(x^2 + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x}=\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}\)。

3. 化简\(f(-x)\)：\(f(-x)=\log_a\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}\right)= - \log_a(x + \sqrt{x^2 + 1})=-f(x)\)（对数性质：\(\log_a\frac{1}{b}=-\log_ab\)）。

4. 结论：\(f(x)\)为奇函数（常见“奇函数模型”，需记忆）。

例题9：分段函数的奇偶性判定：判断函数\(f(x)=\begin{cases}x^2 + x, & x < 0 \\ -x^2 + x, & x \geq 0\end{cases}\)的奇偶性。

解析：

1. 定义域：\(D=\mathbb{R}\)，关于原点对称。

2. 分情况计算\(f(-x)\)：

当\(x > 0\)时，\(-x < 0\)，代入左段解析式：\(f(-x)=(-x)^2 + (-x)=x^2 - x\)；此时原函数\(f(x)=-x^2 + x\)，故\(f(-x)=x^2 - x= - (-x^2 + x)=-f(x)\)。

当\(x = 0\)时，\(f(-0)=f(0)=-0^2 + 0=0\)，满足\(f(-0)=-f(0)=0\)。

当\(x < 0\)时，\(-x > 0\)，代入右段解析式：\(f(-x)=-(-x)^2 + (-x)=-x^2 - x\)；此时原函数\(f(x)=x^2 + x\)，故\(f(-x)=-x^2 - x= - (x^2 + x)=-f(x)\)。

3. 综上：对任意\(x\in\mathbb{R}\)，\(f(-x)=-f(x)\)。

4. 结论：\(f(x)\)为奇函数。

例题10：利用奇偶性求解析式（已知一半求另一半）已知\(f(x)\)是定义在\(\mathbb{R}\)上的偶函数，当\(x\geq0\)时，\(f(x)=x^2 - 2x\)，求\(x < 0\)时\(f(x)\)的解析式。

解析：

1. 设\(x < 0\)，则\(-x > 0\)（将“负区间”转化为已知的“正区间”）。

2. 代入已知正区间解析式：因\(-x > 0\)，故\(f(-x)=(-x)^2 - 2(-x)=x^2 + 2x\)。

3. 利用偶函数性质：\(f(x)=f(-x)\)（偶函数满足\(f(x)=f(-x)\)，与\(x\)正负无关）。

4. 得解析式：当\(x < 0\)时，\(f(x)=x^2 + 2x\)。

5. 结论：\(f(x)=\begin{cases}x^2 - 2x, & x\geq0 \\ x^2 + 2x, & x < 0\end{cases}\)（也可整理为\(f(x)=x^2 - 2|x|\)）。

例题11：利用奇偶性求解析式（奇函数）已知\(f(x)\)是定义在\(\mathbb{R}\)上的奇函数，当\(x > 0\)时，\(f(x)=x + \frac{1}{x}\)，求\(f(x)\)的完整解析式。

解析：

1. 第一步：求\(x < 0\)时的解析式。设\(x < 0\)，则\(-x > 0\)，代入已知正区间：\(f(-x)=(-x) + \frac{1}{-x}=-x - \frac{1}{x}\)。

由奇函数性质\(f(-x)=-f(x)\)，得\(f(x)=-f(-x)= - \left(-x - \frac{1}{x}\right)=x + \frac{1}{x}\)。

2. 第二步：求\(x = 0\)时的函数值。奇函数在原点有定义时，\(f(0)=0\)（因\(f(-0)=-f(0)\Rightarrow f(0)=-f(0)\Rightarrow 2f(0)=0\Rightarrow f(0)=0\)）。

3. 整合解析式：\(f(x)=\begin{cases}x + \frac{1}{x}, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ x + \frac{1}{x}, & x < 0\end{cases}\)（可简化为\(f(x)=x + \frac{1}{x}\)，\(x\neq0\)，且\(f(0)=0\)）。

4. 结论：\(f(x)=\begin{cases}x + \frac{1}{x}, & x\neq0 \\ 0, & x=0\end{cases}\)。

例题12：利用奇偶性求特定点函数值：已知\(f(x)\)是偶函数，且\(f(3)=5\)，求\(f(-3)\)的值；若\(g(x)\)是奇函数，且\(g(-2)=4\)，求\(g(2)\)的值。

解析：

1. 偶函数性质：\(f(-x)=f(x)\)，故\(f(-3)=f(3)=5\)。

2. 奇函数性质：\(f(-x)=-f(x)\)，故\(g(2)=-g(-2)=-4\)。

3. 结论：\(f(-3)=5\)，\(g(2)=-4\)。

例题13：利用奇偶性简化方程求解：已知\(f(x)\)是奇函数，且对任意\(x\in\mathbb{R}\)，有\(f(x + 2)=f(x)\)（周期性），若\(f(1)=2\)，求\(f(-3)\)的值。

解析：

1. 利用周期性化简：\(f(-3)=f(-3 + 2\times2)=f(1)\)（周期为2，加2次周期得\(f(1)\)）。

2. 利用奇函数性质：\(f(-3)=-f(3)\)，而\(f(3)=f(3 - 2\times1)=f(1)=2\)，故\(f(-3)=-f(3)=-2\)。

3. 验证：两种方法一致，\(f(-3)=-2\)。

4. 结论：\(f(-3)=-2\)。

例题14：奇偶性与单调性的综合应用（解不等式）已知\(f(x)\)是定义在\([-2,2]\)上的偶函数，且在\([0,2]\)上单调递增，解不等式\(f(x - 1) < f(1)\)。

解析：

1. 偶函数性质：\(f(x)=f(|x|)\)，故不等式可转化为\(f(|x - 1|) < f(1)\)（避免讨论\(x - 1\)的正负）。

2. 结合单调性：\(f(x)\)在\([0,2]\)上单调递增，故“\(f(A) < f(B)\)”（\(A,B\in[0,2]\)）等价于“\(A < B\)”。

3. 列不等式组（需保证定义域和自变量在\([0,2]\)内）：\(\begin{cases}-2 \leq x - 1 \leq 2 \\ |x - 1| < 1\end{cases}\)

4. 解不等式组：

第一个不等式：\(-2 \leq x - 1 \leq 2\Rightarrow -1 \leq x \leq 3\)；

第二个不等式：\(|x - 1| < 1\Rightarrow -1 < x - 1 < 1\Rightarrow 0 < x < 2\)；

交集为\(0 < x < 2\)。

5. 结论：不等式的解集为\((0,2)\)。

例题15：奇偶性与单调性的综合应用（比较大小）已知\(f(x)\)是定义在\(\mathbb{R}\)上的奇函数，且在\([0,+\infty)\)上单调递减，比较\(f(-2)\)、\(f(1)\)、\(f(3)\)的大小。

解析：

1. 利用奇函数性质转化负区间值：\(f(-2)=-f(2)\)。

2. 分析单调性：\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)上单调递减，故对\(0 < 1 < 2 < 3\)，有\(f(1) > f(2) > f(3)\)。

3. 转化并比较：\(f(-2)=-f(2)\)，因\(f(2) < f(1)\)，故\(-f(2) > -f(1)\)（但需结合具体符号）；

实际取值：设\(f(1)=a\)，\(f(2)=b\)，\(f(3)=c\)，且\(a > b > c\)（递减），则\(f(-2)=-b\)；

因\(f(x)\)是奇函数且在\([0,+\infty)\)递减，故\(f(0)=0\)，且\(x > 0\)时\(f(x) < f(0)=0\)（递减），即\(a,b,c < 0\)；

因此\(-b > 0\)，而\(a,c < 0\)，故\(f(-2)=-b > f(1)=a > f(3)=c\)。

4. 结论：\(f(-2) > f(1) > f(3)\)。

例题16：奇偶函数的运算性质应用（判断组合函数奇偶性）已知\(f(x)\)是奇函数，\(g(x)\)是偶函数，判断下列函数的奇偶性：

（1）\(h(x)=f(x) + g(x)\)；（2）\(k(x)=f(x)\cdot g(x)\)；（3）\(m(x)=f(g(x))\)。

解析：

1. （1）\(h(x)=f(x) + g(x)\)：\(h(-x)=f(-x) + g(-x)=-f(x) + g(x)\)，既不等于\(h(x)=f(x)+g(x)\)，也不等于\(-h(x)=-f(x)-g(x)\)，故非奇非偶。

2. （2）\(k(x)=f(x)\cdot g(x)\)：\(k(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=-f(x)\cdot g(x)=-k(x)\)，故奇函数（奇×偶=奇）。

3. （3）\(m(x)=f(g(x))\)：\(m(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=m(x)\)（因\(g(x)\)是偶函数，\(g(-x)=g(x)\)），故偶函数（偶→奇：偶，复合性质）。

4. 结论：（1）非奇非偶；（2）奇函数；（3）偶函数。

例题17：抽象函数的奇偶性判定（赋值法）已知定义在\(\mathbb{R}\)上的函数\(f(x)\)满足：对任意\(x,y\in\mathbb{R}\)，有\(f(x + y) + f(x - y)=2f(x)f(y)\)，且\(f(0)\neq0\)，证明\(f(x)\)是偶函数。

解析：

1. 赋值求\(f(0)\)：令\(x=0\)，\(y=0\)，代入等式得\(f(0+0) + f(0-0)=2f(0)f(0)\Rightarrow 2f(0)=2f^2(0)\)，因\(f(0)\neq0\)，故\(f(0)=1\)。

2. 赋值证\(f(-x)=f(x)\)：令\(x=0\)，\(y=x\)，代入等式得\(f(0 + x) + f(0 - x)=2f(0)f(x)\Rightarrow f(x) + f(-x)=2\times1\times f(x)\Rightarrow f(x) + f(-x)=2f(x)\)。

3. 化简得：\(f(-x)=f(x)\)，故\(f(x)\)是偶函数。

4. 结论：\(f(x)\)为偶函数。

例题18：抽象函数的奇偶性应用（解不等式）已知\(f(x)\)是定义在\(\mathbb{R}\)上的奇函数，且在\((-\infty,0)\)上单调递增，若\(f(-1)=0\)，解不等式\(f(x) < 0\)。

解析：

1. 分析整体单调性：\(f(x)\)是奇函数，且在\((-\infty,0)\)上递增，故在\((0,+\infty)\)上也递增（奇函数在对称区间单调性一致）；且\(f(0)=0\)（奇函数在原点有定义）。

2. 利用奇函数性质求关键点：\(f(-1)=0\Rightarrow f(1)=-f(-1)=0\)。

3. 分区间讨论\(f(x) < 0\)：

当\(x < 0\)时，\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上递增，且\(f(-1)=0\)，故\(f(x) < 0=f(-1)\)等价于\(x < -1\)（递增函数：函数值小→自变量小）。

当\(x = 0\)时，\(f(0)=0\)，不满足\(f(x) < 0\)。

当\(x > 0\)时，\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上递增，且\(f(1)=0\)，故\(f(x) < 0=f(1)\)等价于\(0 < x < 1\)（递增函数：函数值小→自变量小）。

4. 整合解集：\(x < -1\)或\(0 < x < 1\)。

5. 结论：不等式的解集为\((-\infty,-1)\cup(0,1)\)。

例题19：奇偶性与导数的综合应用：已知\(f(x)\)是可导的偶函数，证明\(f'(x)\)是奇函数。

解析：

1. 偶函数定义：\(f(-x)=f(x)\)（对任意\(x\)成立，可两边求导）。

2. 两边对\(x\)求导（链式法则）：左边导数为\(f'(-x)\cdot (-1)\)（对\(-x\)求导得\(-1\)），右边导数为\(f'(x)\)。

3. 得等式：\(-f'(-x)=f'(x)\Rightarrow f'(-x)=-f'(x)\)。

4. 结论：由奇函数定义，\(f'(x)\)是奇函数。

例题20：奇偶性与定积分的综合应用：计算定积分\(\int_{-1}^1 (x^3 + x\cos x + x^2)dx\)。

解析：

1. 拆分积分：\(\int_{-1}^1 (x^3 + x\cos x + x^2)dx = \int_{-1}^1 x^3dx + \int_{-1}^1 x\cos xdx + \int_{-1}^1 x^2dx\)。

2. 利用奇偶函数积分性质：

\(f(x)=x^3\)是奇函数，对称区间积分\(\int_{-1}^1 x^3dx = 0\)。

\(f(x)=x\cos x\)：\(f(-x)=(-x)\cos(-x)=-x\cos x=-f(x)\)（\(\cos x\)是偶函数），故为奇函数，积分\(\int_{-1}^1 x\cos xdx = 0\)。

\(f(x)=x^2\)是偶函数，对称区间积分\(\int_{-1}^1 x^2dx = 2\int_{0}^1 x^2dx\)。

3. 计算剩余积分：\(2\int_{0}^1 x^2dx = 2\times\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 2\times\frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)。

4. 总结果：\(0 + 0 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\)。

5. 结论：定积分的值为\(\frac{2}{3}\)。

九、函数的广义奇偶性

函数的广义奇偶性是传统奇偶性的核心拓展，核心是将“对称中心/对称轴”从原点（\(x=0\)）推广到任意点或直线，保留“对称位置函数值满足特定关系”的本质。

（一）广义奇偶性的定义

设函数\(f(x)\)的定义域为\(D\)，若存在常数\(a, b \in \mathbb{R}\)，使得对任意\(x \in D\)，都有\(2a - x \in D\)（定义域关于直线\(x=a\)对称，保证对称点存在），且函数值满足特定等式，则称\(f(x)\)具有广义奇偶性，具体分类如下：

1. 广义奇函数（中心对称型）

定义：若对任意\(x \in D\)，满足\(f(2a - x) = -f(x) + 2b\)，则\(f(x)\)关于点\((a, b)\)成广义奇函数（中心对称）。

特例：当\(b=0\)时，\(f(2a - x) = -f(x)\)，即“关于点\((a, 0)\)中心对称”（最常用的广义奇函数形式）；

特例：当\(a=0\)且\(b=0\)时，\(f(-x) = -f(x)\)，即传统奇函数。

2. 广义偶函数（轴对称型）

定义：若对任意\(x \in D\)，满足\(f(2a - x) = f(x)\)，则\(f(x)\)关于直线\(x=a\)成广义偶函数（轴对称）。

特例：当\(a=0\)时，\(f(-x) = f(x)\)，即传统偶函数。

3. 备注

定义域对称是前提：若\(2a - x \notin D\)，则无广义奇偶性；

对称关系的本质：广义偶函数是“函数值相等”，广义奇函数是“函数值关于\(b\)对称”（即\(\frac{f(2a - x) + f(x)}{2} = b\)）。

（二）广义奇偶性的性质

1. 图像平移性质（将广义奇偶性转化为传统奇偶性）

若\(f(x)\)关于点\((a, b)\)是广义奇函数，则令\(g(x) = f(x + a) - b\)，则\(g(x)\)是传统奇函数（\(g(-x) = -g(x)\)）；

推导：\(g(-x) = f(-x + a) - b = [-f(2a - (-x + a)) + 2b] - b = [-f(a + x) + 2b] - b = -[f(x + a) - b] = -g(x)\)。

若\(f(x)\)关于直线\(x=a\)是广义偶函数，则令\(g(x) = f(x + a)\)，则\(g(x)\)是传统偶函数（\(g(-x) = g(x)\)）；

推导：\(g(-x) = f(-x + a) = f(2a - (-x + a)) = f(x + a) = g(x)\)。

2. 特殊点函数值性质

广义奇函数（关于\((a, b)\)）：若\(a \in D\)，则\(f(a) = b\)；

推导：令\(x=a\)，则\(f(2a - a) = -f(a) + 2b \implies f(a) = -f(a) + 2b \implies 2f(a) = 2b \implies f(a) = b\)。

广义偶函数（关于\(x=a\)）：无强制特殊点值，但\(f(a + h) = f(a - h)\)（\(h\)为任意常数，保证\(a \pm h \in D\)）。

3. 运算性质（同类型广义奇偶性的运算封闭性）

设\(f(x)\)、\(g(x)\)的定义域均关于\(x=a\)对称，且：

若\(f(x)\)、\(g(x)\)均关于\(x=a\)是广义偶函数，则\(f(x) \pm g(x)\)、\(f(x) \cdot g(x)\)、\(\frac{f(x)}{g(x)}\)（\(g(x) \neq 0\)）也关于\(x=a\)是广义偶函数；

推导：\((f \pm g)(2a - x) = f(2a - x) \pm g(2a - x) = f(x) \pm g(x) = (f \pm g)(x)\)。

若\(f(x)\)、\(g(x)\)均关于\((a, 0)\)是广义奇函数，则\(f(x) \pm g(x)\)关于\((a, 0)\)是广义奇函数，\(f(x) \cdot g(x)\)、\(\frac{f(x)}{g(x)}\)（\(g(x) \neq 0\)）关于\(x=a\)是广义偶函数；

推导：\((f \cdot g)(2a - x) = f(2a - x) \cdot g(2a - x) = [-f(x)] \cdot [-g(x)] = f(x) \cdot g(x) = (f \cdot g)(x)\)。

若\(f(x)\)关于\(x=a\)是广义偶函数，\(g(x)\)关于\((a, 0)\)是广义奇函数，则\(f(x) \cdot g(x)\)、\(\frac{f(x)}{g(x)}\)（\(g(x) \neq 0\)）关于\((a, 0)\)是广义奇函数；

推导：\((f \cdot g)(2a - x) = f(2a - x) \cdot g(2a - x) = f(x) \cdot [-g(x)] = -f(x) \cdot g(x) = -(f \cdot g)(x)\)。

4. 导数的广义奇偶性

若\(f(x)\)关于直线\(x=a\)是广义偶函数，则\(f'(x)\)关于点\((a, 0)\)是广义奇函数；

推导：\(f(2a - x) = f(x)\)，两边求导得\(-f'(2a - x) = f'(x) \implies f'(2a - x) = -f'(x)\)。

若\(f(x)\)关于点\((a, b)\)是广义奇函数，则\(f'(x)\)关于直线\(x=a\)是广义偶函数；

推导：\(f(2a - x) = -f(x) + 2b\)，两边求导得\(-f'(2a - x) = -f'(x) \implies f'(2a - x) = f'(x)\)。

（三）广义奇偶性的常用结论（高考/竞赛高频）

结论1：双广义偶函数→周期函数

若\(f(x)\)关于直线\(x=a\)和\(x=b\)（\(a \neq b\)）均为广义偶函数，则\(f(x)\)是周期函数，周期\(T = 2|a - b|\)；

推导：\(f(x + 2(a - b)) = f(a + (x + a - 2b)) = f(a - (x + a - 2b)) = f(2b - x) = f(x)\)。

结论2：双广义奇函数→周期函数

若\(f(x)\)关于点\((a, 0)\)和\((b, 0)\)（\(a \neq b\)）均为广义奇函数，则\(f(x)\)是周期函数，周期\(T = 2|a - b|\)；

推导：\(f(x + 2(a - b)) = -f(2a - (x + 2(a - b))) = -f(2b - x) = f(x)\)。

结论3：广义偶函数+广义奇函数→周期函数

若\(f(x)\)关于直线\(x=a\)是广义偶函数，且关于点\((b, 0)\)（\(a \neq b\)）是广义奇函数，则\(f(x)\)是周期函数，周期\(T = 4|a - b|\)；

推导：\(f(x + 4(a - b)) = f(a + (x + 4(a - b) - a)) = f(a - (x + 3(a - b))) = f(4b - 3a - x)\)，进一步递推得\(f(4b - 3a - x) = -f(2b - (4b - 3a - x)) = -f(x + 3a - 2b)\)，继续化简最终得\(f(x + 4(a - b)) = f(x)\)。

结论4：广义奇偶性与函数解析式的关系

若\(f(x)\)关于\(x=a\)是广义偶函数，则\(f(x) = f(2a - x)\)，可通过“对称区间解析式互推”（如已知\(x \geq a\)的解析式，求\(x < a\)的解析式）；

若\(f(x)\)关于\((a, b)\)是广义奇函数，则\(f(x) = 2b - f(2a - x)\)，同理可互推对称区间的解析式。

结论5：多项式函数的广义奇偶性判定

二次函数\(f(x) = Ax^2 + Bx + C\)（\(A \neq 0\)）：必为广义偶函数，对称轴为\(x = -\frac{B}{2A}\)（配方得\(f(x) = A(x + \frac{B}{2A})^2 + \frac{4AC - B^2}{4A}\)，满足\(f(2(-\frac{B}{2A}) - x) = f(x)\)）；

三次函数\(f(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D\)（\(A \neq 0\)）：必为广义奇函数，对称中心为\((-\frac{B}{3A}, f(-\frac{B}{3A}))\)（通过导数\(f'(x) = 3Ax^2 + 2Bx + C\)的对称轴为\(x = -\frac{B}{3A}\)，三次函数的对称中心横坐标与导数对称轴一致）。