初等数论：$b\mid a$整除的概念与整除的性质

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、整除的定义

设$a$、$b$是两个整数，其中$b\neq0$。

如果存在一个整数$q$，使得$a = bq$，那么就说$b$整除$a$，或者说$a$能被$b$整除。

记作$b\mid a$，其中$b$是除数，$a$是被除数。

例如，因为$10 = 2\times5$，所以$2\mid10$。

如果不存在这样的整数$q$，使得$a = bq$成立，那么就说$b$不能整除$a$，记作$b\nmid a$。

比如，$3\nmid7$，因为不存在整数$q$使得$7 = 3q$。

二、整除的性质

1. 传递性：若$a\mid b$且$b\mid c$，则$a\mid c$

证明：因为$a\mid b$，根据整除的定义，存在整数$m$使得$b = am$；又因为$b\mid c$，存在整数$n$使得$c = bn$。将$b = am$代入$c = bn$中，可得$c=(am)n = a(mn)$。由于$mn$是整数，所以$a\mid c$。

示例：已知$2\mid 6$（因为$6 = 2\times3$），$6\mid 18$（因为$18 = 6\times3$），所以$2\mid 18$（因为$18 = 2\times9$）。

2. 线性组合：若$a\mid b$且$a\mid c$，则对任意整数$m$、$n$，有$a\mid(mb+nc)$

证明：因为$a\mid b$，所以存在整数$p$使得$b = ap$；又因为$a\mid c$，存在整数$q$使得$c = aq$。那么$mb + nc=m(ap)+n(aq)=a(mp + nq)$。由于$mp + nq$是整数，所以$a\mid(mb + nc)$。

示例：若$3\mid 9$（因为$9 = 3\times3$）且$3\mid 12$（因为$12 = 3\times4$），对于$m = 2$，$n = -1$，则$mb+nc = 2\times9+(-1)\times12 = 18 - 12 = 6$，且$3\mid 6$（因为$6 = 3\times2$）。

3. 自反性：对于任意非零整数$a$，$a\mid a$

证明：因为$a = a\times1$，其中$1$是整数，所以根据整除的定义，$a\mid a$。

示例：对于整数$5$，$5 = 5\times1$，所以$5\mid 5$。

4. 反对称性：若$a\mid b$且$b\mid a$，则$a=\pm b$

证明：因为$a\mid b$，存在整数$m$使得$b = am$；又因为$b\mid a$，存在整数$n$使得$a = bn$。将$b = am$代入$a = bn$中，得到$a=(am)n$，即$a = amn$，因为$a\neq0$，所以$mn = 1$。由于$m$和$n$是整数，所以$m = n = 1$或者$m = n=- 1$，即$a = b$或者$a=-b$。

示例：若$4\mid - 4$（因为$-4 = 4\times(-1)$）且$-4\mid 4$（因为$4=-4\times(-1)$），则$4 = \pm(-4)$。

5. 乘积性质：若$a\mid b$，则$ac\mid bc$（$c\neq0$）

证明：因为$a\mid b$，存在整数$m$使得$b = am$，那么$bc=(am)c=a(mc)$，而$mc$是整数，所以$ac\mid bc$。

示例：若$2\mid 6$（因为$6 = 2\times3$），对于$c = 5$，则$2\times5\mid 6\times5$，即$10\mid 30$（因为$30 = 10\times3$）。

6. 互质与整除：若$a\mid bc$，且$a$与$b$互质（即$(a,b)=1$），则$a\mid c$

证明：因为$a$与$b$互质，根据裴蜀定理，存在整数$x$、$y$使得$ax + by = 1$。两边同时乘以$c$，得到$acx + bcy = c$。已知$a\mid bc$，设$bc = ma$（$m$为整数），则$acx + may = c$，即$a(cx + my)=c$。因为$cx + my$是整数，所以$a\mid c$。

示例：已知$3\mid 4\times9$，$3$与$4$互质，所以$3\mid 9$。

7. 整除与余数：$a\mid b$等价于$b$除以$a$的余数为$0$

证明：根据带余除法，设$b = aq + r$，其中$0\leq r < a$。若$a\mid b$，则存在整数$q$使得$b = aq$，此时$r = 0$；反之，若$r = 0$，则$b = aq$，即$a\mid b$。

示例：$5\mid 15$，因为$15 = 5\times3 + 0$，余数为$0$。

三、整除与其他数学概念的联系

因数和倍数：如果$b\mid a$，那么$b$是$a$的因数，$a$是$b$的倍数。

例如，在$6 = 2\times3$中，$2$和$3$是$6$的因数，$6$是$2$和$3$的倍数。

最大公因数和最小公倍数：整除概念是求最大公因数和最小公倍数的基础。

例如，求$12$和$18$的最大公因数，可以通过列举它们的因数，

$12$的因数有$1$、$2$、$3$、$4$、$6$、$12$，

$18$的因数有$1$、$2$、$3$、$6$、$9$、$18$，

它们的公因数有$1$、$2$、$3$、$6$，最大公因数是$6$，这个过程就用到了整除的概念来确定因数。

同余关系：整除和同余有着密切的联系。

如果$a$和$b$除以$m$的余数相同，那么$a - b$能被$m$整除，即$m\mid(a - b)$。

例如，$7$和$13$除以$3$的余数都是$1$，那么$13 - 7 = 6$能被$3$整除，即$3\mid6$。

1. 能被2整除的数

规律：个位数字是0、2、4、6、8的数能被2整除。

技巧：直接观察个位数字即可。

例子：12、34、568等都能被2整除。

原理：任何整数都可以表示为$10a + b$（$a$为十位及以上的数字组成的数，$b$为个位数字），$10a$能被2整除，当$b$是0、2、4、6、8时，整个数也能被2整除。

2. 能被3整除的数

规律：各位数字之和能被3整除的数能被3整除。

技巧：将数字各位相加，判断和是否能被3整除。

例子：123，$1 + 2 + 3 = 6$，6能被3整除，所以123能被3整除。

原理：设一个数$n=a_{k}10^{k}+a_{k - 1}10^{k - 1}+\cdots+a_{1}10 + a_{0}$，因为$10\equiv1(\bmod3)$，所以$10^{m}\equiv1(\bmod3)$（$m$为正整数），那么$n\equiv a_{k}+a_{k - 1}+\cdots+a_{1}+a_{0}(\bmod3)$。

3. 能被4整除的数

规律：末两位数字能被4整除的数能被4整除。

技巧：重点看末两位数字。

例子：124，末两位24能被4整除，所以124能被4整除。

原理：一个数可以写成$100a + b$（$a$为百位及以上的数字组成的数，$b$为末两位数），$100$能被4整除，只要$b$能被4整除，整个数就能被4整除。

4. 能被5整除的数

规律：个位数字是0或5的数能被5整除。

技巧：只需看个位数字。

例子：10、25、105等都能被5整除。

原理：整数可表示为$10a + b$，当$b = 0$或$5$时，$10a + b$能被5整除。

5. 能被6整除的数

规律：能同时被2和3整除的数能被6整除。

技巧：先判断是否能被2整除，再判断是否能被3整除。

例子：12，个位是2能被2整除，$1 + 2 = 3$能被3整除，所以12能被6整除。

原理：因为$6 = 2×3$，所以要同时满足被2和3整除的条件。

6. 能被7整除的数

规律：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

技巧：按照“截尾、倍减、验差”的步骤，如判断161，$16 - 1×2 = 14$，14能被7整除，所以161能被7整除。

原理：设这个数为$10a + b$，经过变换后得到$a - 2b$，通过数学推导可知这种变换与原数和7的整除关系等价。

7. 能被8整除的数

规律：末三位数字能被8整除的数能被8整除。

技巧：关注末三位数字。

例子：1120，末三位120能被8整除，所以1120能被8整除。

原理：一个数可写成$1000a + b$（$a$为千位及以上的数字组成的数，$b$为末三位数），$1000$能被8整除，只要$b$能被8整除，整个数就能被8整除。

8. 能被9整除的数

规律：各位数字之和能被9整除的数能被9整除。

技巧：将各位数字相加判断和是否能被9整除。

例子：279，$2 + 7 + 9 = 18$，18能被9整除，所以279能被9整除。

原理：设数$n=a_{k}10^{k}+a_{k - 1}10^{k - 1}+\cdots+a_{1}10 + a_{0}$，因为$10\equiv1(\bmod9)$，所以$10^{m}\equiv1(\bmod9)$（$m$为正整数），那么$n\equiv a_{k}+a_{k - 1}+\cdots+a_{1}+a_{0}(\bmod9)$。