对数函数：对数运算性质

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、对数的定义

如果 \( a^x = N \)（其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)，\( N > 0 \)），那么数 \( x \) 叫做以 \( a \) 为底 \( N \) 的对数，记作 \( x = \log_a N \)。

核心要素：底数 \( a \) 满足 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)，真数 \( N \) 必须大于 0（对数的定义域要求）。

特殊对数：常用对数 \( \lg N = \log_{10} N \)，自然对数 \( \ln N = \log_e N \)（\( e \approx 2.71828 \)）。

指数与对数的互化：\( a^x = N \iff x = \log_a N \)，这是对数运算的基础。

二、对数的性质

零和负数没有对数，即 \( N \leq 0 \) 时，\( \log_a N \) 无意义。

底数的对数等于 1：\( \log_a a = 1 \)（因为 \( a^1 = a \)）。

1 的对数等于 0：\( \log_a 1 = 0 \)（因为 \( a^0 = 1 \)）。

对数恒等式：\( a^{\log_a N} = N \)（将对数式代回指数式直接可得）。

换底公式：\( \log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a} \)（\( b > 0 \) 且 \( b \neq 1 \)），可将不同底数的对数转化为同底数对数计算。

三、对数的运算法则（\( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)，\( M > 0 \)，\( N > 0 \)）

积的对数：\( \log_a (M \cdot N) = \log_a M + \log_a N \)（对数将乘法转化为加法）。

商的对数：\( \log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N \)（对数将除法转化为减法）。

幂的对数：\( \log_a M^k = k \log_a M \)（\( k \) 为任意实数，可将指数提到对数前）。

根的对数：\( \log_a \sqrt[k]{M} = \frac{1}{k} \log_a M \)（本质是幂的对数的推论，\( \sqrt[k]{M} = M^{\frac{1}{k}} \)）。

四、对数的二级结论（常用推论）

换底公式推论 1：\( \log_a b \cdot \log_b a = 1 \)（由换底公式可得 \( \frac{\ln b}{\ln a} \cdot \frac{\ln a}{\ln b} = 1 \)）。

换底公式推论 2：\( \log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b \)（通过换底公式转化后化简）。

连锁对数：\( \log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a = 1 \)（多次应用换底公式约分可得）。

对数恒等变形：\( \log_a (M^n \cdot N^m) = n \log_a M + m \log_a N \)（结合积的对数和幂的对数法则）。

倒数关系：\( \log_a \frac{1}{N} = -\log_a N \)（由商的对数 \( \log_a 1 - \log_a N = 0 - \log_a N \) 推导）。

底数幂与对数：\( \log_{a^k} N = \frac{1}{k} \log_a N \)（幂的对数法则的反向应用）。

五、对数函数

1. 定义

函数 \( y = \log_a x \)（其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)，定义域 \( x > 0 \)，值域 \( \mathbb{R} \)）叫做对数函数，是指数函数 \( y = a^x \) 的反函数。

2. 图像与性质（分底数 \( a > 1 \) 和 \( 0 < a < 1 \) 两种情况）

共性：图像都过定点 \( (1, 0) \)；定义域均为 \( (0, +\infty) \)；值域均为 \( \mathbb{R} \)；图像在 \( y \) 轴右侧。

当 \( a > 1 \) 时：函数在 \( (0, +\infty) \) 上单调递增；当 \( x > 1 \) 时，\( y > 0 \)；当 \( 0 < x < 1 \) 时，\( y < 0 \)。

当 \( 0 < a < 1 \) 时：函数在 \( (0, +\infty) \) 上单调递减；当 \( x > 1 \) 时，\( y < 0 \)；当 \( 0 < x < 1 \) 时，\( y > 0 \)。

3. 单调性应用

比较对数大小：若底数相同，利用单调性；若底数不同，用换底公式转化为同底数或找中间量（如 0、1）。

解对数不等式：先保证真数大于 0，再根据底数的单调性去掉对数符号，注意不等号方向的变化。

对数函数的图象

例题 1：指数与对数互化：将 \( 2^5 = 32 \) 化为对数式，\( \log_3 81 = 4 \) 化为指数式。

解析：

由互化关系 \( a^x = N \iff x = \log_a N \)，得 \( \log_2 32 = 5 \)；\( 3^4 = 81 \)。

例题 2：求对数的值（基础）计算 \( \log_5 25 \)、\( \lg 1000 \)、\( \ln e^2 \)。

解析：

\( \log_5 25 = \log_5 5^2 = 2 \)；\( \lg 1000 = \log_{10} 10^3 = 3 \)；\( \ln e^2 = 2 \ln e = 2 \)。

例题 3：利用对数恒等式计算：计算 \( 3^{\log_3 7} \)、\( 10^{\lg 0.5} \)。

解析：

由 \( a^{\log_a N} = N \)，得 \( 3^{\log_3 7} = 7 \)；\( 10^{\lg 0.5} = 0.5 \)。

例题 4：换底公式的应用：计算 \( \log_4 8 \)、\( \log_2 5 \cdot \log_5 8 \)。

解析：

\( \log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2} \)；\( \log_2 5 \cdot \log_5 8 = \frac{\ln 5}{\ln 2} \cdot \frac{\ln 8}{\ln 5} = \log_2 8 = 3 \)。

例题 5：对数运算法则（积的对数）计算 \( \log_2 (4 \times 8) \)、\( \lg 2 + \lg 5 \)。

解析：

\( \log_2 (4 \times 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5 \)；\( \lg 2 + \lg 5 = \lg (2 \times 5) = \lg 10 = 1 \)。

例题 6：对数运算法则（商的对数）计算 \( \log_3 \frac{81}{27} \)、\( \ln e^3 - \ln e \)。

解析：

\( \log_3 \frac{81}{27} = \log_3 81 - \log_3 27 = 4 - 3 = 1 \)；\( \ln e^3 - \ln e = \ln \frac{e^3}{e} = \ln e^2 = 2 \)。

例题 7：对数运算法则（幂的对数）计算 \( \log_2 8^4 \)、\( \lg \sqrt{1000} \)。

解析：

\( \log_2 8^4 = 4 \log_2 8 = 4 \times 3 = 12 \)；\( \lg \sqrt{1000} = \lg 10^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \)。

例题 8：混合运算法则应用：计算 \( \log_a (a^2 \cdot \sqrt{a}) \)（\( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)）。

解析：

原式 \( = \log_a a^2 + \log_a a^{\frac{1}{2}} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \)。

例题 9：二级结论（\( \log_a b \cdot \log_b a = 1 \)）计算 \( \log_{12} 6 \cdot \log_6 12 \)、\( \log_5 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_2 4 \)。

解析：

第一式直接用结论得 1；第二式 \( = 1 \times \log_2 2^2 = 2 \)。

例题 10：二级结论（\( \log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b \)）计算 \( \log_{2^3} 3^2 \)、\( \log_{9} 27 \)。

解析：

\( \log_{2^3} 3^2 = \frac{2}{3} \log_2 3 \)；\( \log_9 27 = \log_{3^2} 3^3 = \frac{3}{2} \log_3 3 = \frac{3}{2} \)。

例题 11：对数函数定义域求解：求函数 \( y = \log_2 (3x - 1) \)、\( y = \lg \frac{1}{1 - x} \) 的定义域。

解析：

第一式需 \( 3x - 1 > 0 \implies x > \frac{1}{3} \)，定义域为 \( (\frac{1}{3}, +\infty) \)；第二式需 \( \frac{1}{1 - x} > 0 \implies 1 - x > 0 \implies x < 1 \)，定义域为 \( (-\infty, 1) \)。

例题 12：对数函数过定点问题：求函数 \( y = \log_3 (x - 2) + 1 \) 过的定点。

解析：

令 \( x - 2 = 1 \implies x = 3 \)，此时 \( y = 0 + 1 = 1 \)，定点为 \( (3, 1) \)。

例题 13：对数函数单调性比较大小：比较下列各组大小：（1）\( \log_2 5 \) 与 \( \log_2 3 \)；（2）\( \log_{0.5} 4 \) 与 \( \log_{0.5} 6 \)。

解析：

（1）\( a = 2 > 1 \)，函数单调递增，\( 5 > 3 \implies \log_2 5 > \log_2 3 \)；（2）\( 0 < a = 0.5 < 1 \)，函数单调递减，\( 4 < 6 \implies \log_{0.5} 4 > \log_{0.5} 6 \)。

例题 14：不同底数对数比较大小：比较 \( \log_3 4 \) 与 \( \log_4 5 \)。

解析：

用换底公式转化为自然对数，\( \log_3 4 = \frac{\ln 4}{\ln 3} \)，\( \log_4 5 = \frac{\ln 5}{\ln 4} \)，作差 \( \frac{\ln^2 4 - \ln 3 \ln 5}{\ln 3 \ln 4} \)，由均值不等式 \( \ln 3 \ln 5 < (\frac{\ln 3 + \ln 5}{2})^2 = (\frac{\ln 15}{2})^2 < (\frac{\ln 16}{2})^2 = (\ln 4)^2 \)，故 \( \log_3 4 > \log_4 5 \)。

例题 15：解对数方程（基础）解方程 \( \log_2 (x + 1) = 3 \)、\( \lg x^2 = 2 \)。

解析：

第一式 \( x + 1 = 2^3 = 8 \implies x = 7 \)（验证真数大于 0，成立）；第二式 \( x^2 = 10^2 = 100 \implies x = \pm 10 \)（验证 \( x = \pm 10 \) 时 \( x^2 > 0 \)，均成立）。

例题 16：解对数方程（含运算法则）解方程 \( \log_3 (x - 2) + \log_3 (x + 1) = 1 \)。

解析：

先合并对数，\( \log_3 [(x - 2)(x + 1)] = 1 \implies (x - 2)(x + 1) = 3^1 = 3 \)，整理得 \( x^2 - x - 5 = 0 \)，解得 \( x = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2} \)，验证真数：\( x > 2 \)，故 \( x = \frac{1 + \sqrt{21}}{2} \)。

例题 17：解对数不等式（基础）解不等式 \( \log_2 (2x - 1) > 1 \)、\( \log_{0.3} (x + 3) > 0 \)。

解析：

第一式 \( 2x - 1 > 2^1 = 2 \implies x > \frac{3}{2} \)；第二式 \( 0 < x + 3 < 0.3^0 = 1 \implies -3 < x < -2 \)。

例题 18：解对数不等式（含参数）解不等式 \( \log_a (x - 1) > \log_a (2x - 3) \)（\( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)）。

解析：

当 \( a > 1 \) 时，函数单调递增，需 \( x - 1 > 2x - 3 > 0 \implies \frac{3}{2} < x < 2 \)；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数单调递减，需 \( 0 < x - 1 < 2x - 3 \implies x > 2 \)。

例题 19：对数函数值域求解：求函数 \( y = \log_2 (x^2 + 1) \)、\( y = \log_{0.5} (4 - x^2) \) 的值域。

解析：

第一式 \( x^2 + 1 \geq 1 \)，\( a = 2 > 1 \)，故值域为 \( [0, +\infty) \)；第二式 \( 0 < 4 - x^2 \leq 4 \)，\( 0 < a = 0.5 < 1 \)，故值域为 \( [-2, +\infty) \)。

例题 20：对数函数综合应用（实际问题）某城市人口年增长率为 \( 10\% \)，多少年后人口达到原来的 2 倍？（结果保留整数，\( \lg 2 \approx 0.3010 \)，\( \lg 1.1 \approx 0.0414 \)）

解析：

设初始人口为 \( P \)，\( n \) 年后人口为 \( 2P \)，则 \( P(1 + 10\%)^n = 2P \implies 1.1^n = 2 \)，取常用对数 \( n \lg 1.1 = \lg 2 \implies n = \frac{\lg 2}{\lg 1.1} \approx \frac{0.3010}{0.0414} \approx 7 \)，故约 7 年后人口达到原来的 2 倍。

六、指对同构

指对同构的核心是将含指数函数 \( e^x \) 和对数函数 \( \ln x \) 的方程/不等式，变形为 \( f(e^x) = f(\ln x + k) \)（\( k \) 为常数）的形式，再利用函数 \( f(t) \) 的单调性求解。

基础模型：常见同构模板为 \( x e^x = t \ln t \)（可变形为 \( e^x \cdot e^{\ln x} = t \ln t \)，即 \( f(t) = t e^t \)）。

关键函数：常用核心函数有 \( f(t) = t e^t \)、\( f(t) = \frac{e^t}{t} \)、\( f(t) = t + \ln t \)，需熟记其定义域、单调性（如 \( f(t) = t e^t \) 在 \( (-\infty, -1) \) 递减，\( (-1, +\infty) \) 递增）。

变形技巧：通过“指数化对数”“对数化指数”或配凑常数，让左右两边结构完全一致，再利用单调性得出变量关系（如 \( f(a) = f(b) \) 且 \( f(t) \) 单调，则 \( a = b \)）。

模板1：\( x e^x = t \ln t \) 系列

变形：\( x e^x = e^{\ln x} \cdot e^x = e^{x + \ln x} \)，右侧 \( t \ln t = e^{\ln t} \cdot \ln t \)（或进一步配凑为 \( e^{\ln t + \ln(\ln t)} \)）。

函数：\( f(t) = t e^t \)（定义域 \( \mathbb{R} \)，在 \( (-\infty, -1) \) 递减，\( (-1, +\infty) \) 递增）。

应用：方程/不等式中同时出现 \( x e^x \) 和 \( \ln x \) 相关项（如 \( x e^x = \ln x + 1 \)、\( x e^x \geq t \ln t \)）。

模板2：\( \frac{e^x}{x} = \frac{\ln t}{t} \) 系列

变形：\( \frac{e^x}{x} = e^{x - \ln x} \)，右侧 \( \frac{\ln t}{t} = e^{\ln(\ln t) - \ln t} \)（需满足 \( \ln t > 0 \) 即 \( t > 1 \)）。

函数：\( f(t) = \frac{e^t}{t} \)（定义域 \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)，在 \( (-\infty, 0) \) 递减，\( (1, +\infty) \) 递增，\( (0, 1) \) 递减）。

应用：含 \( \frac{e^x}{x} \) 或 \( \frac{\ln x}{x} \) 的式子（如 \( \frac{e^x}{x} \geq \frac{\ln x}{x} + 1 \)）。

模板3：\( e^x + x = \ln t + t \) 系列

变形：直接保留线性项与指数/对数项的和，右侧 \( \ln t + t = e^{\ln(\ln t)} + \ln t \)（或 \( t + \ln t \) 直接作为整体）。

函数：\( f(t) = e^t + t \)（定义域 \( \mathbb{R} \)，单调递增，因导数 \( f’(t) = e^t + 1 > 0 \)）。

应用：式子中指数与线性项、对数与线性项分别相加（如 \( e^x + x = \ln \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \)）。

模板4：\( e^x - x = \ln t - t \) 系列

变形：\( e^x - x \) 是经典“指数减线性”结构，右侧 \( \ln t - t = - (t - \ln t) = - (e^{\ln t} - \ln t) \)。

函数：\( f(t) = e^t - t \)（定义域 \( \mathbb{R} \)，单调递增，最小值 \( f(0) = 1 \)）。

应用：不等式恒成立或最值问题（如 \( e^x - x \geq \ln x - x + 2 \)）。

模板5：\( x^k e^x = \ln t + k \ln x \) 系列（\( k \) 为常数）

变形：\( x^k e^x = e^{k \ln x + x} \)，右侧配凑为 \( \ln t + k \ln x = e^{\ln(\ln t + k \ln x)} \)。

函数：\( f(t) = e^t \)（单调递增）或 \( f(t) = t + e^t \)。

应用：含 \( x^k e^x \)（如 \( x^2 e^x \)、\( x^3 e^x \)）的式子（如 \( x^2 e^x \geq \ln x + 2 \ln x \)）。

模板6：\( e^{x + a} = \ln(x + b) + c \) 系列（\( a,b,c \) 为常数）

变形：\( e^{x + a} = e^a \cdot e^x \)，右侧配凑为 \( \ln(x + b) + c = e^{\ln(\ln(x + b) + c)} \)，或调整常数使左右结构一致。

函数：\( f(t) = e^t \) 或 \( f(t) = t + e^t \)。

应用：含常数偏移的指数与对数式（如 \( e^{x + 1} = \ln(x + 2) + 3 \)）。

模板7：\( \ln x + kx = e^{mt} + nt \) 系列

变形：\( \ln x = t \) 则 \( x = e^t \)，原式转化为 \( t + k e^t = e^{mt} + nt \)，再配凑为同一函数形式。

函数：\( f(t) = k e^t + t \)（根据系数调整）。

应用：对数项为主，指数项为辅的式子（如 \( \ln x + 2x = e^{3t} + 4t \)）。

模板8：\( x \ln x = e^t \cdot t \) 系列

变形：\( x \ln x = \ln x \cdot e^{\ln x} \)，右侧 \( e^t \cdot t \) 直接对应 \( f(t) = t e^t \)。

函数：\( f(t) = t e^t \)（与模板1共用）。

应用：含 \( x \ln x \) 与指数项的式子（如 \( x \ln x = e^x \cdot (x - 1) \)）。

例题1：解方程 \( x e^x = \ln x + 1 \)

变形：左边 \( x e^x = e^{\ln x} \cdot e^x = e^{x + \ln x} \)，右边 \( \ln x + 1 = e^{\ln(\ln x + 1)} \)，即 \( e^{x + \ln x} = e^{\ln(\ln x + 1)} \)。

同构：令 \( f(t) = e^t \)（单调递增），则 \( x + \ln x = \ln(\ln x + 1) \)。

再变形：两边加1得 \( (x + \ln x) + 1 = (\ln x + 1) + \ln(\ln x + 1) \)，令 \( g(t) = t + \ln t \)（单调递增），则 \( g(x) = g(\ln x + 1) \)。

求解：\( x = \ln x + 1 \)，结合 \( h(x) = x - \ln x - 1 \) 的最小值为0（当 \( x=1 \) 时），得解 \( x=1 \)。

例题2：解不等式 \( e^x - 1 \geq x + \ln x \)

变形：左边 \( e^x - 1 = e^x + x - (x + 1) \)，右边 \( x + \ln x = (x + \ln x) \)，整理为 \( e^x + x \geq x + \ln x + 1 \)。

同构：令 \( f(t) = e^t + t \)（单调递增），右边 \( x + \ln x + 1 = e^{\ln x} + \ln x \)，即 \( f(x) \geq f(\ln x) \)。

求解：\( x \geq \ln x \)（恒成立，当且仅当 \( x=1 \) 取等），故不等式解集为 \( (0, +\infty) \)。

例题3：解方程 \( 2x e^{2x} = \ln x \)（无解）

变形：左边 \( 2x e^{2x} = e^{\ln 2x} \cdot e^{2x} = e^{2x + \ln 2x} \)，右边 \( \ln x = -\ln \frac{1}{x} \)，进一步整理为 \( e^{2x + \ln 2x} = \ln x \)。

分析：左边 \( e^{2x + \ln 2x} > 0 \)，当 \( 0 < x < 1 \) 时，右边 \( \ln x < 0 \)；当 \( x \geq 1 \) 时，左边 \( 2x e^{2x} \geq 2e^2 > 0 \)，右边 \( \ln x \geq 0 \)，但 \( 2x e^{2x} - \ln x > 0 \) 恒成立，故无解。

例题4：解不等式 \( x^2 e^x - \ln x \geq 1 \)

变形：左边 \( x^2 e^x = x \cdot x e^x = x e^{x + \ln x} \)，不等式两边乘 \( x \)（\( x > 0 \)，不改变方向）得 \( x^3 e^x - x \ln x \geq x \)，即 \( e^{3\ln x + x} - x \ln x \geq x \)。

同构：令 \( f(t) = e^t - t \)（单调递增，\( f(t) \geq 1 \)），左边 \( e^{x + 3\ln x} - x \ln x \geq e^{x + \ln x} - x \ln x \)，进一步配凑为 \( e^{x + \ln x} + (x + \ln x) \geq (\ln x + 1) + x \)，即 \( f(x + \ln x) \geq f(\ln x + 1) \)。

求解：\( x + \ln x \geq \ln x + 1 \)，得 \( x \geq 1 \)，解集为 \( [1, +\infty) \)。

例题5：解方程 \( e^x + x = \ln \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \)

变形：右边 \( \ln \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = -\ln x + e^{-\ln x} \)，左边 \( e^x + x \)，令 \( f(t) = e^t + t \)（单调递增）。

同构：左边为 \( f(x) \)，右边为 \( f(-\ln x) \)，故 \( f(x) = f(-\ln x) \)。

求解：\( x = -\ln x \)，即 \( x + \ln x = 0 \)，设 \( g(x) = x + \ln x \)，由零点存在定理得唯一解 \( x = t \)（\( t \in (0,1) \)，精确解无需求解，保留形式即可）。

例题6：解不等式 \( \frac{e^x}{x} \geq x + \ln x \)

变形：左边 \( \frac{e^x}{x} = e^{x - \ln x} \)，右边 \( x + \ln x = \ln(x e^x) \)，令 \( f(t) = e^t - \ln t \)（单调递增）。

同构：不等式化为 \( e^{x - \ln x} - (x - \ln x) \geq 1 \)，而 \( f(t) = e^t - t \geq 1 \)，当且仅当 \( t=0 \) 取等。

求解：\( x - \ln x = 0 \)，得 \( x = \ln x \)（无解），但 \( e^{x - \ln x} \geq x + \ln x \) 恒成立，解集为 \( (0, +\infty) \)。

例题7：解方程 \( x e^x - e = \ln x - 1 \)

变形：左边 \( x e^x - e = e(x e^{x - 1} - 1) \)，右边 \( \ln x - 1 = \ln \frac{x}{e} \)，进一步整理为 \( x e^{x - 1} = \ln \frac{x}{e} + 1 \)。

同构：令 \( f(t) = t e^t \)，左边 \( x e^{x - 1} = (x - 1 + 1) e^{x - 1} \)，右边 \( \ln \frac{x}{e} + 1 = e^{\ln(\ln \frac{x}{e} + 1)} \)，最终配凑为 \( f(x - 1) = f(\ln \frac{x}{e}) \)。

求解：\( x - 1 = \ln \frac{x}{e} \)，化简得 \( x - \ln x = 0 \)（无解）或 \( x=1 \)（代入验证成立），故解为 \( x=1 \)。

例题8：解不等式 \( e^x - \ln x - 2 \geq 0 \)

变形：\( e^x - x - 1 \geq \ln x + 1 - x \)，左边 \( f(x) = e^x - x - 1 \)（单调递增，\( f(x) \geq 0 \)），右边 \( - (x - \ln x - 1) \)。

同构：利用 \( e^x \geq x + 1 \)，\( \ln x \leq x - 1 \)，故 \( e^x - \ln x - 2 \geq (x + 1) - (x - 1) - 2 = 0 \)。

求解：当且仅当 \( x=0 \)（舍去）和 \( x=1 \) 时取等，解集为 \( (0, +\infty) \)。

例题9：解方程 \( (x + 1) e^x = \ln x^2 + 2 \)（\( x > 0 \)）

变形：右边 \( \ln x^2 + 2 = 2\ln x + 2 = 2(\ln x + 1) \)，左边 \( (x + 1) e^x = e^x \cdot e^{\ln(x + 1)} - e^x + (x + 1) e^x \)，简化为 \( e^{x + \ln(x + 1)} \)。

同构：令 \( f(t) = e^t - t \)，左边 \( e^{x + \ln(x + 1)} = (x + 1) e^x \)，右边 \( 2(\ln x + 1) \)，配凑为 \( (x + 1) e^x + (x + \ln(x + 1)) = 2(\ln x + 1) + (x + \ln(x + 1)) \)，最终得 \( f(x + \ln(x + 1)) = f(\ln x^2 + 1) \)。

求解：\( x + \ln(x + 1) = 2\ln x + 1 \)，代入 \( x=1 \) 成立，且函数单调，故解为 \( x=1 \)。

例题10：解不等式 \( x e^x - \ln x - kx \geq 0 \) 恒成立，求 \( k \) 的最大值

变形：不等式化为 \( e^{x + \ln x} - \ln x \geq kx \)，两边除以 \( x \) 得 \( \frac{e^{x + \ln x}}{x} - \frac{\ln x}{x} \geq k \)。

同构：令 \( t = x + \ln x \)，则 \( \frac{e^t}{x} - \frac{\ln x}{x} = e^{\ln \frac{e^t}{x}} - \frac{\ln x}{x} \)，进一步化简得 \( e^t \cdot e^{-\ln x} - \frac{\ln x}{x} = e^{x} - \frac{\ln x}{x} \)。

求最值：设 \( g(x) = \frac{e^{x + \ln x} - \ln x}{x} = e^x - \frac{\ln x}{x} \)，求导得 \( g'(x) = e^x - \frac{1 - \ln x}{x^2} \)，当 \( x=1 \) 时 \( g(1)=e \)，且为最小值，故 \( k_{\text{max}}=e \)。

例题11：解方程 \( e^{2x} - \ln x = \frac{1}{x} + 2x \)

变形：左边 \( e^{2x} - 2x \)，右边 \( \frac{1}{x} + \ln x = e^{-\ln x} + \ln x \)，令 \( f(t) = e^t - t \)（单调递增）。

同构：左边 \( f(2x) + x \)，右边 \( f(-\ln x) - (-\ln x) + \ln x = f(-\ln x) \)，整理得 \( f(2x) = f(-\ln x) \)。

求解：\( 2x = -\ln x \)，设 \( h(x) = 2x + \ln x \)，唯一解 \( x \in (0,1) \)。

例题12：解不等式 \( \frac{e^x}{x^2} \geq \frac{1}{x} + \ln x \)

变形：两边乘 \( x^2 \) 得 \( e^x \geq x + x^2 \ln x \)，左边 \( e^x = e^{x^2 \cdot \frac{1}{x} + \ln x^0} \)，配凑为 \( e^x - x \geq x^2 \ln x \)。

同构：令 \( f(t) = e^t - t \)，左边 \( f(x) \geq 1 \)，右边 \( x^2 \ln x \)，当 \( x \geq 1 \) 时右边 \( \geq 0 \)，且 \( f(x) \geq x^2 \ln x \) 恒成立；当 \( 0 < x < 1 \) 时右边 \( < 0 \)，不等式也成立，解集为 \( (0, +\infty) \)。

例题13：解方程 \( x^3 e^x = \ln x \)（无解）

变形：左边 \( x^3 e^x = e^{3\ln x + x} > 0 \)，当 \( 0 < x < 1 \) 时右边 \( \ln x < 0 \)；当 \( x \geq 1 \) 时左边 \( \geq e > 0 \)，右边 \( \geq 0 \)，但 \( x^3 e^x - \ln x > 0 \) 恒成立，故无解。

例题14：解不等式 \( e^x + \ln(x + 1) \geq x + 1 \)

变形：令 \( f(t) = e^t - t \)（单调递增，\( f(t) \geq 1 \)），左边 \( e^x + \ln(x + 1) = f(x) + x + \ln(x + 1) \)。

同构：不等式化为 \( f(x) + \ln(x + 1) \geq 1 \)，因 \( f(x) \geq 1 \)，\( \ln(x + 1) \geq 0 \)（\( x \geq 0 \)），故 \( x \geq 0 \) 时成立；\( -1 < x < 0 \) 时，\( f(x) > 1 \)，\( \ln(x + 1) < 0 \)，但 \( f(x) + \ln(x + 1) \geq 1 \) 仍成立，解集为 \( (-1, +\infty) \)。

例题15：解方程 \( x e^x + x = \ln x + 1 + e^{\ln x} \)

变形：右边 \( \ln x + 1 + x \)，左边 \( x e^x + x \)，整理得 \( x e^x = \ln x + 1 \)。

同构：同例题1，配凑为 \( e^{x + \ln x} = e^{\ln(\ln x + 1)} \)，得 \( x + \ln x = \ln(\ln x + 1) \)，解为 \( x=1 \)。

例题16：解不等式 \( x^2 e^{2x} \geq \ln x + \frac{1}{2} \)

变形：左边 \( x^2 e^{2x} = (x e^x)^2 = e^{2(x + \ln x)} \)，令 \( t = x + \ln x \)，则左边 \( e^{2t} \)，右边 \( \ln x + \frac{1}{2} = t - x + \frac{1}{2} \)。

同构：利用 \( e^{2t} \geq 2t + 1 \)，不等式化为 \( 2t + 1 \geq t - x + \frac{1}{2} \)，即 \( t + x + \frac{1}{2} \geq 0 \)，因 \( t + x = 2x + \ln x \geq -\frac{1}{2} \)，故恒成立，解集为 \( (0, +\infty) \)。

例题17：解方程 \( e^x - \ln x = x + 1 \)

变形：左边 \( e^x - x - 1 = \ln x \)，令 \( f(t) = e^t - t - 1 \)（单调递增，\( f(t) \geq 0 \)）。

同构：\( f(x) = \ln x \)，当 \( x=1 \) 时 \( f(1)=e - 2 \approx 0.718 \)，\( \ln 1=0 \)；\( x=2 \) 时 \( f(2)=e^2 - 3 \approx 4.389 \)，\( \ln 2 \approx 0.693 \)，且 \( f(x) - \ln x \) 单调递增，唯一解 \( x \in (1,2) \)。

例题18：解不等式 \( \frac{e^x - 1}{x} \geq \ln x + 1 \)

变形：左边 \( \frac{e^x - 1}{x} = \frac{e^x - e^0}{x - 0} \)（拉格朗日中值定理形式），令 \( f(t) = e^t \)，则左边为 \( f'(\xi) \)（\( \xi \in (0,x) \)），\( f'(\xi) = e^\xi \geq 1 + \xi \)。

同构：不等式化为 \( 1 + \xi \geq \ln x + 1 \)，即 \( \xi \geq \ln x \)，因 \( \xi < x \)，且 \( x \geq \ln x \)，故恒成立，解集为 \( (0, +\infty) \)。

例题19：解方程 \( x e^{x + 1} = \ln x + x + 1 \)

变形：左边 \( x e^{x + 1} = e^{\ln x} \cdot e^{x + 1} = e^{x + \ln x + 1} \)，右边 \( x + \ln x + 1 \)。

同构：令 \( f(t) = e^t - t \)，则方程化为 \( f(x + \ln x + 1) = 0 \)，因 \( f(t) = 0 \) 仅解 \( t=0 \)。

求解：\( x + \ln x + 1 = 0 \)，设 \( g(x) = x + \ln x + 1 \)，唯一解 \( x \in (0,1) \)。

例题20：解不等式 \( e^x + \ln x \geq x^2 + x - 1 \)

变形：左边 \( e^x + \ln x = e^x - x^2 + x^2 + \ln x \)，利用 \( e^x \geq x^2 \)（\( x \geq 0 \)），则左边 \( \geq x^2 + \ln x \)。

同构：不等式化为 \( x^2 + \ln x \geq x^2 + x - 1 \)，即 \( \ln x - x + 1 \geq 0 \)，设 \( h(x) = \ln x - x + 1 \)（最大值为0，当 \( x=1 \) 时）。

求解：仅当 \( x=1 \) 时取等，解集为 \( \{1\} \)。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学