一、分段函数的定义

分段函数的核心是“按区间拆分处理”，定义域和值域通过并集整合，图像需注意分界点连续性，求导时尤其要在分界点处用定义验证左右导数。

分段函数是在定义域的不同区间（或点）上，由不同解析式表示的函数。分段函数是一个函数，不是多个函数。其形式通常为：

\(f(x) = \begin{cases} f_1(x), & x \in D_1 \\f_2(x), & x \in D_2 \\\vdots & \vdots \\f_n(x), & x \in D_n \\\end{cases}\)，其中，\(D_1, D_2, \dots, D_n\) 是定义域的互不相交子集，且它们的并集为整个定义域。

例题1. 判断函数\(f(x)=\begin{cases}x, & x\geq0 \\ -x, & x<0\end{cases}\)是否为分段函数？

解：是。该函数在\([0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上分别用\(y=x\)和\(y=-x\)表示，符合分段函数定义。

例题2. 函数\(f(x)=2x+1\)（\(x\in\mathbb{R}\)）是否为分段函数？

解：是。分段函数允许只有一个解析式（可视为特殊的分段函数）。

例题3. 写出“当\(x\)为有理数时，\(f(x)=1\)；当\(x\)为无理数时，\(f(x)=0\)”的分段函数形式。

解：\(f(x)=\begin{cases}1, & x\in\mathbb{Q} \\ 0, & x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\end{cases}\)

例题4. 函数\(f(x)=\begin{cases}x+1, & x>0 \\ x+1, & x\leq0\end{cases}\)是否为分段函数？

解：是。即使解析式相同，只要定义域分段，仍属于分段函数（可简化为\(f(x)=x+1\)）。

例题5. 下列函数中，不是分段函数的是（ ）

A. \(f(x)=|x|\)  B. \(f(x)=\begin{cases}1, & x=0 \\ 0, & x\neq0\end{cases}\)  C. \(f(x)=x^2\)

解：C。C的定义域为\(\mathbb{R}\)，且只有一个解析式。

二、分段函数的定义域：分段函数的定义域是各分段区间的并集，即所有分段表达式对应定义域的交集为空、并集为整体的区间组合。

求解步骤：

分别求出每个分段表达式的自然定义域（如分式分母不为0、偶次根式被开方数非负等）。

结合分段条件（如 \(x < a\)、\(x \geq b\) 等）确定每个分段的实际定义域。

所有分段定义域的并集即为整个函数的定义域。

例：函数 \(f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & x \geq 0 \\\frac{1}{x-1}, & x < 0 \end{cases}\)

第一段 \(\sqrt{x}\) 的自然定义域为 \(x \geq 0\)，结合分段条件，定义域为 \([0, +\infty)\)；

第二段 \(\frac{1}{x-1}\) 的自然定义域为 \(x \neq 1\)，结合分段条件 \(x < 0\)，定义域为 \((-\infty, 0)\)；

故整体定义域为 \((-\infty, 0) \cup [0, +\infty) = \mathbb{R}\)。

分段函数的定义域是各子区间的并集，即\(D=D_1\cup D_2\cup\dots\cup D_n\)，需保证子区间不重叠且覆盖所有定义点。

例题1. 求\(f(x)=\begin{cases}\sqrt{x}, & x\geq1 \\ x-1, & x<0\end{cases}\)的定义域。

解：子区间为\([1,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)，定义域为\((-\infty,0)\cup[1,+\infty)\)。

例题2. 求\(f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x-2}, & x\neq2 \\ 0, & x=2\end{cases}\)的定义域。

解：子区间为\((-\infty,2)\cup(2,+\infty)\)和\(\{2\}\)，定义域为\(\mathbb{R}\)。

例题3. 已知\(f(x)=\begin{cases}x^2, & x\in[0,2) \\ 3x, & x\in[2,5]\end{cases}\)，求定义域。

解：定义域为\([0,2)\cup[2,5]=[0,5]\)。

例题4. 求\(f(x)=\begin{cases}\log_2x, & x>0 \\ 2^x, & x\leq0\end{cases}\)的定义域。

解：子区间为\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0]\)，定义域为\(\mathbb{R}\)。

例题5. 若\(f(x)=\begin{cases}\sqrt{1-x}, & x\leq a \\ x+1, & x>a\end{cases}\)的定义域为\(\mathbb{R}\)，求\(a\)的取值范围。

解：需\(1-x\geq0\)对\(x\leq a\)恒成立，即\(a\leq1\)。

三、分段函数的值域：分段函数的值域是各分段表达式在对应定义域上的值域的并集。

求解步骤：

分别求出每个分段在其定义域上的值域（可通过单调性、图像、最值等方法）。

合并所有分段的值域，去除重复部分，得到整体值域。

例：函数 \(f(x) = \begin{cases} x^2, & x \in [-1, 1] \\2x-1, & x \in (1, 3] \end{cases}\)

第一段 \(x^2\) 在 \([-1, 1]\) 上的值域为 \([0, 1]\)（当 \(x=0\) 取最小值0，\(x=\pm1\) 取最大值1）；

第二段 \(2x-1\) 在 \((1, 3]\) 上单调递增，值域为 \((1, 5]\)（\(x=1\) 时趋近1，\(x=3\) 时取5）；

故整体值域为 \([0, 1] \cup (1, 5] = [0, 5]\)。

分段函数的值域是各子函数在对应区间上值域的并集，即\(R=R_1\cup R_2\cup\dots\cup R_n\)。

例题1. 求\(f(x)=\begin{cases}x+1, & x\in[-1,0) \\ x^2, & x\in[0,2]\end{cases}\)的值域。

解：

\(x\in[-1,0)\)时，\(f(x)\in[0,1)\)；

\(x\in[0,2]\)时，\(f(x)\in[0,4]\)；

值域为\([0,4]\)。

例题2. 求\(f(x)=\begin{cases}-x, & x>0 \\ x^2, & x\leq0\end{cases}\)的值域。

解：

\(x>0\)时，\(f(x)\in(-\infty,0)\)；

\(x\leq0\)时，\(f(x)\in[0,+\infty)\)；

值域为\(\mathbb{R}\)。

例题3. 求\(f(x)=\begin{cases}2^x, & x\in(-1,1) \\ x+1, & x\in[1,3]\end{cases}\)的值域。

解：

\(x\in(-1,1)\)时，\(f(x)\in(\frac{1}{2},2)\)；

\(x\in[1,3]\)时，\(f(x)\in[2,4]\)；

值域为\((\frac{1}{2},4]\)。

例题4. 求\(f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x}, & x\in[1,2] \\ x, & x\in(2,3]\end{cases}\)的值域。

解：

\(x\in[1,2]\)时，\(f(x)\in[\frac{1}{2},1]\)；

\(x\in(2,3]\)时，\(f(x)\in(2,3]\)；

值域为\([\frac{1}{2},1]\cup(2,3]\)。

例题5. 已知\(f(x)=\begin{cases}x^2-2x, & x\in[0,3] \\ |x+1|, & x\in(-2,0)\end{cases}\)，求值域。

解：

\(x\in[0,3]\)时，\(f(x)=(x-1)^2-1\in[-1,3]\)；

\(x\in(-2,0)\)时，\(f(x)\in(1,3)\)；

值域为\([-1,3]\)。

四、分段函数的图像

分段函数的图像是各子函数在对应区间上图像的拼接，需注意：区间端点用实心点（包含）或空心点（不包含）标注；

分段点处可能连续或断开。

绘制步骤：确定各分段的定义域区间，用数轴标记分界点（注意开区间/闭区间对应空心点/实心点）。

分别绘制每个分段在对应区间内的图像（按基本函数图像性质绘制，如一次函数、二次函数、指数函数等）。

检查分界点处的函数值是否连续（若分段点处左右表达式均有定义，需验证 \(f(x_0^-) = f(x_0^+) = f(x_0)\)）。

例：绘制 \(f(x) = \begin{cases} -x, & x < 0 \\x^2, & x \geq 0 \end{cases}\) 的图像：

当 \(x < 0\) 时，图像为斜率为 \(-1\) 的射线（过原点，向左下方延伸，\(x=0\) 处为空心点）；

当 \(x \geq 0\) 时，图像为开口向上的抛物线 \(y=x^2\)（\(x=0\) 处为实心点，与左段在 \(x=0\) 处连续）。

例题1. 绘制\(f(x)=\begin{cases}x, & x\geq0 \\ -x, & x<0\end{cases}\)的图像。

解：

\(x\geq0\)时，是过原点的射线（斜率1），端点\((0,0)\)为实心；

\(x<0\)时，是过原点的射线（斜率-1），端点\((0,0)\)为实心；

整体为“V”形，关于y轴对称。

例题2. 绘制\(f(x)=\begin{cases}1, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x<0\end{cases}\)的图像。

解：

\(x>0\)时，是水平射线\(y=1\)（\(x>0\)），端点\((0,1)\)为空心；

\(x=0\)时，是点\((0,0)\)；

\(x<0\)时，是水平射线\(y=-1\)（\(x<0\)），端点\((0,-1)\)为空心。

例题3. 绘制\(f(x)=\begin{cases}x^2, & x\leq1 \\ 2-x, & x>1\end{cases}\)的图像。

解：

\(x\leq1\)时，是抛物线\(y=x^2\)的左半部分（含\((1,1)\)）；

\(x>1\)时，是射线\(y=2-x\)（\(x>1\)），端点\((1,1)\)为空心；

图像在\((1,1)\)处连续。

例题4. 绘制\(f(x)=\begin{cases}2x+1, & x\in[-1,0) \\ 1, & x\in[0,2]\end{cases}\)的图像。

解：

\(x\in[-1,0)\)时，是线段（端点\((-1,-1)\)实心，\((0,1)\)空心）；

\(x\in[0,2]\)时，是水平线段\(y=1\)（端点\((0,1)\)和\((2,1)\)均实心）。

例题5. 绘制\(f(x)=\begin{cases}\log_2x, & x\geq1 \\ x, & x<1\end{cases}\)的图像。

解：

\(x\geq1\)时，是对数函数图像（含\((1,0)\)）；

\(x<1\)时，是直线\(y=x\)的左半部分（不含\((1,1)\)）；

图像在\(x=1\)处断开（不连续）。

五、常见的分段函数

1. 绝对值函数：\(f(x)=|x|=\begin{cases}x, & x\geq0 \\ -x, & x<0\end{cases}\)

2. 符号函数：\(\text{sgn}(x)=\begin{cases}1, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x<0\end{cases}\)

3. 取整函数：\(f(x)=[x]\)（不超过\(x\)的最大整数），如\([2.3]=2,[-1.5]=-2\)

4. 分段一次函数：\(f(x)=\begin{cases}x+1, & x<1 \\ 2x-1, & x\geq1\end{cases}\)

5. 分段二次函数：\(f(x)=\begin{cases}x^2, & x\leq0 \\ -x^2+2, & x>0\end{cases}\)

例题1. 已知\(f(x)=|x-2|\)，求\(f(1)\)和\(f(3)\)。

解：\(f(x)=\begin{cases}2-x, & x<2 \\ x-2, & x\geq2\end{cases}\)，故\(f(1)=1\)，\(f(3)=1\)。

例题2. 已知\(\text{sgn}(x)=\begin{cases}1, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x<0\end{cases}\)，求\(\text{sgn}(-5)+\text{sgn}(0)\)。

解：\(\text{sgn}(-5)=-1\)，\(\text{sgn}(0)=0\)，和为\(-1\)。

例题3. 已知\([x]\)为取整函数，求\([3.7]+[-2.1]\)。

解：\([3.7]=3\)，\([-2.1]=-3\)，和为\(0\)。

例题4. 分段一次函数\(f(x)=\begin{cases}3x-1, & x<2 \\ x+3, & x\geq2\end{cases}\)，求\(f(2)-f(1)\)。

解：\(f(2)=5\)，\(f(1)=2\)，差为\(3\)。

例题5. 分段二次函数\(f(x)=\begin{cases}x^2-1, & x\leq1 \\ 2x, & x>1\end{cases}\)，求\(f(f(0))\)。

解：\(f(0)=-1\)，\(f(-1)=0\)，故结果为\(0\)。

六、分段函数的求导方法

1. 内部区间求导：在每个分段的开区间内，直接对表达式求导（按基本求导公式，如多项式、指数、对数函数等）。

2. 分界点处的导数（关键难点）：需用导数定义判断左右导数是否存在且相等，即：

左导数：\(f'_-(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\)

右导数：\(f'_+(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\)

若 \(f'_-(x_0) = f'_+(x_0)\)，则分界点处可导，导数为该值；否则不可导。

3. 注意事项：

若分段点处函数不连续，则一定不可导（连续是可导的必要条件）。

若分段点两侧表达式不同，必须用定义求导，不能直接代公式（除非表达式在分界点处可合并）。

例题1. 求\(f(x)=\begin{cases}x^2, & x\leq1 \\ 2x-1, & x>1\end{cases}\)的导数。

解：

\(x<1\)时，\(f'(x)=2x\)；

\(x>1\)时，\(f'(x)=2\)；

分段点\(x=1\)：连续，左导数\(=2\)，右导数\(=2\)，故\(f'(1)=2\)；

综上，\(f'(x)=\begin{cases}2x, & x\leq1 \\ 2, & x>1\end{cases}\)。

例题2. 求\(f(x)=\begin{cases}x^3, & x<0 \\ x^2, & x\geq0\end{cases}\)在\(x=0\)处的导数。

解：

连续（左极限=右极限=0=f(0)）；

左导数\(=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{x^3-0}{x}=0\)；

右导数\(=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{x^2-0}{x}=0\)；

故\(f'(0)=0\)。

例题3. 求\(f(x)=\begin{cases}x+1, & x<1 \\ 3-x, & x\geq1\end{cases}\)在\(x=1\)处的导数。

解：

连续（左极限=2，右极限=2=f(1)=2）；

左导数\(=1\)，右导数\(=-1\)，不相等；

故在\(x=1\)处不可导。

例题4. 求\(f(x)=\begin{cases}\sin x, & x<0 \\ x, & x\geq0\end{cases}\)的导数。

解：

\(x<0\)时，\(f'(x)=\cos x\)；

\(x>0\)时，\(f'(x)=1\)；

\(x=0\)：连续，左导数\(=1\)，右导数\(=1\)，故\(f'(0)=1\)；

综上，\(f'(x)=\begin{cases}\cos x, & x<0 \\ 1, & x\geq0\end{cases}\)。

例题5. 判断\(f(x)=\begin{cases}1, & x\neq0 \\ 0, & x=0\end{cases}\)在\(x=0\)处是否可导。

解：在\(x=0\)处不连续（左极限=右极限=1≠f(0)=0），故不可导。

七、分段函数的单调性

分段函数的单调性需分区间判断：

1. 各子区间内按常规函数单调性判断；

2. 分段点处需验证“左区间最大值≤右区间最小值”（增函数）或“左区间最小值≥右区间最大值”（减函数）。

例题1. 判断\(f(x)=\begin{cases}x, & x\geq0 \\ -x-1, & x<0\end{cases}\)的单调性。

解：

\(x\geq0\)时，\(f(x)=x\)单调递增；

\(x<0\)时，\(f(x)=-x-1\)单调递减；

整体不单调（左减右增）。

例题2. 判断\(f(x)=\begin{cases}2x+1, & x<1 \\ 3x, & x\geq1\end{cases}\)是否为增函数。

解：

\(x<1\)时，导数=2>0，递增；

\(x\geq1\)时，导数=3>0，递增；

分段点：\(f(1^-)=3\)，\(f(1)=3\)，满足\(3\leq3\)；

故整体为增函数。

例题3. 判断\(f(x)=\begin{cases}-x+1, & x\leq0 \\ -x^2+1, & x>0\end{cases}\)的单调性。

解：

\(x\leq0\)时，导数=-1<0，递减；

\(x>0\)时，导数=-2x<0，递减；

分段点：\(f(0^-)=1\)，\(f(0)=1\)，满足\(1\geq1\)；

故整体为减函数。

例题4. 已知\(f(x)=\begin{cases}ax+1, & x\leq1 \\ x^2, & x>1\end{cases}\)是增函数，求\(a\)的取值范围。

解：

\(x\leq1\)时，\(a>0\)；

分段点：\(f(1)\leq f(1^+)\)，即\(a+1\leq1\)，得\(a\leq0\)；

综上，\(a=0\)。

例题5. 判断\(f(x)=\begin{cases}x^2-2x, & x\leq1 \\ x-1, & x>1\end{cases}\)的单调性。

解：

\(x\leq1\)时，\(f(x)=(x-1)^2-1\)，在\((-\infty,1]\)上递减；

\(x>1\)时，\(f(x)=x-1\)递增；

整体不单调（左减右增）。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学

• 糖水不等式
• 根式不等式（无理不等式）
• 绝对值不等式、绝对值三角不等式
• 三角函数不等式
• Aczel 不等式（柯东不等式）
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• 对数均值不等式
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• 函数的恒成立、存在性问题
• 不等式的缩放
• 基于函数单调性的不等式缩放
• 基于函数凹凸性的不等式缩放
• 函数同构问题：形式统一，单调性搭桥
• 映射、函数：\( f: A \to B \)
• 函数的定义域：Df
• 函数的值域：Rf
• 函数的解析式：f(x)
• 抽象函数：定义域、值域、解析式
• 分段函数：定义域、值域、单调性
• 复合函数： y = f[g(x)]
• 反函数：严格单调函数
• 隐函数：F(x, y) = 0
• 函数的有界性：\( |f(x)| \leq M \)
• 函数的单调性：增函数、减函数
• 函数的奇偶性：奇函数、偶函数
• 函数的周期性：\( f(x + T) = f(x) \)
• 类周期性：\(f(x+T)=f(x)+g(x)\)
• 函数的对称性：自对称、互对称
• 函数的凹凸性：凹函数、凸函数
• 图象平移、对称、翻折、缩放、旋转
• 函数的极值、函数的最值
• 二次函数：最值、根的分布、恒成立问题
• 三次函数：\( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)
• 幂函数： \(y = x^a\)
• 对勾函数与双刀函数
• 指数方程：\(a^{x}=b\)（\(a > 0\)且\(a\neq1\)）
• 指数函数：\(y = a^{x}(a>0\)，且\(a\neq1)\)
• 双曲函数与反双曲函数
• 对数函数：对数运算性质
• 角度制与弧度制、弧长公式
• 三角函数：定义、性质
• 三角函数：诱导公式、恒等变换、辅助角
• 反三角函数：\(\arcsin x\)