函数的对称性：自对称、互对称

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

1、函数图像关于直线\(x=a\)轴对称的核心条件是：对于函数定义域内的任意x，均满足\(f(a + x) = f(a - x)\)。

几何意义：若点\((a + x, y)\)在函数图像上，则其关于直线\(x=a\)的对称点\((a - x, y)\)也一定在图像上。直线\(x=a\)是函数图像的对称轴，将图像沿该直线折叠后，左右两部分完全重合。

2、函数图像关于点\((a,b)\)成中心对称的核心条件是：对于函数定义域内的任意一点\((x,y)\)，其关于点\((a,b)\)的对称点\((2a - x, 2b - y)\)也在该函数图像上，即满足：\(f(2a - x) = 2b - f(x)\)

几何意义：若点\((a + x, y)\)在函数图像上，则其关于点\((a,b)\)的对称点\((a - x, 2b - y)\)也一定在图像上。点\((a,b)\)是图像的对称中心，将图像绕该点旋转\(180^\circ\)后，旋转后的图像与原图像完全重合。

一、自对称-轴对称：\(f(a + x)=f(b - x)\)，对称轴：\(x=\frac{a + b}{2}\)，括号内和的平均值

证明：在\(y = f(x)\)的图像上，设点\(P(x_{0},f(x_{0}))\)，点\(P\)关于直线\(x=\frac{a + b}{2}\)的对称点为\(Q(x,y)\)。

根据中点坐标公式\(\frac{x_{0}+x}{2}=\frac{a + b}{2}\)，解得\(x = a + b - x_{0}\)。因为\(f(a + x)=f(b - x)\)，令\(x = x_{0}-a\)，则 \(f(x_{0})=f(a + (x_{0}-a))=f(b-(x_{0}-a))=f(a + b - x_{0})\)，即\(y = f(x)\)。所以点\(Q\)也在函数\(y = f(x)\)的图像上，函数图像关于直线\(x=\frac{a + b}{2}\)对称。

同理有：

（1）若函数\(y = f(x)\)满足\(f(x)=f(2a - x)\)，则函数\(y = f(x)\)的图像关于直线\(x = a\)对称。

（2）若函数\(y = f(x)\)满足\(f(a + x)=f(a - x)\)，则函数\(y = f(x)\)的图像关于直线\(x = a\)对称。

（3）若函数\(y = f(x)\)满足\(f(a + mx)=f(b - mx)\)，则函数\(y = f(x)\)的图像关于直线\(x=\frac{a + b}{2}\)对称。

（4）特别地：若函数\(y = f(x)\)满足\(f(x)=f( - x)\)，则函数\(y = f(x)\)的图像关于\(y\)轴对称，\( f(x)\)为偶函数。

二、自对称-中心对称：\(f(a + x)+f(b - x)=2c\)，对称中心\((\frac{a + b}{2},c)\)

证明：设点\(P(x_{0},y_{0})\)在\(y = f(x)\)的图像上，则\(y_{0}=f(x_{0})\)。

设点\(P\)关于点\((\frac{a + b}{2},c)\)的对称点为\(Q(x,y)\)，

根据中点坐标公式可得\(\frac{x_{0}+x}{2}=\frac{a + b}{2}\)，解得\(x = a + b - x_{0}\)；\(\frac{y_{0}+y}{2}=c\)，解得\(y = 2c - y_{0}\)。

因为\(f(a + x)+f(b - x)=2c\)，令\(x = x_{0}-a\)，则\(f(x_{0})+f(a + b - x_{0})=2c\)，即\(y_{0}+f(a + b - x_{0})=2c\)，

所以\(f(a + b - x_{0})=2c - y_{0}=y\)，所以点\(Q\)也在函数\(y = f(x)\)的图像上，函数图像关于点\((\frac{a + b}{2},c)\)对称。

同理有：

（1）函数\(f(x)\)满足\(f(a + x)+f(a - x)=k\)，则函数\(f(x)\)的图像关于点\((a,\frac{k}{2})\)对称。

（2）若函数\(f(x)\)满足\(f(x)+f(2a - x)=k\)，则函数\(f(x)\)的图像关于点\((a,\frac{k}{2})\)对称。

（3）特别地：若函数\( f(x)\)满足\(f(x)+f(-x)=0\)，则函数\(f(x)\)的图像关于原点\((0,0)\)对称，\(f(x)\)为奇函数。

三、互对称：两个函数图像之间的对称性

1. 两个函数图像关于直线\(x=a\)对称：\(g(x) = f(2a - x)\)

对称原理：直线\(x=a\)是垂直于x轴的“竖直线”，对称点的纵坐标不变，横坐标关于\(x=a\)对称（即两点到\(x=a\)的水平距离相等）。

比如\(a=2\)时，点\((1,3)\)关于\(x=2\)的对称点是\((3,3)\)，横坐标\(1\)和\(3\)的中点是\(2\)，符合“中点在对称轴上”的规律。

坐标关系推导：两点\(P(x_0,y_0)\)与\(P'(x,y)\)的中点横坐标为\(a\)，纵坐标相同，因此：\(\frac{x_0 + x}{2} = a \implies x_0 = 2a - x, \quad y_0 = y\)

对称函数推导：因\(P(x_0,y_0)\)在\(f(x)\)上，满足\(y_0 = f(x_0)\)，将\(x_0=2a-x\)、\(y_0=y\)代入得：\(y = f(2a - x)\)，即\(g(x) = f(2a - x)\)。

示例验证：若\(f(x)=x^2\)（开口向上的抛物线，顶点在\((0,0)\)），求其关于\(x=3\)的对称函数\(g(x)\)。

代入公式得\(g(x)=f(2\times3 - x)=f(6 - x)=(6 - x)^2=x^2 - 12x + 36\)，其顶点为\((6,0)\)，与\(f(x)\)的顶点\((0,0)\)关于\(x=3\)对称，符合预期。

2. 两个函数图像关于直线\(y=a\)对称：\(g(x) = 2a - f(x)\)

对称原理：直线\(y=a\)是平行于x轴的“水平线”，对称点的横坐标不变，纵坐标关于\(y=a\)对称（即两点到\(y=a\)的垂直距离相等）。

比如\(a=1\)时，点\((2,4)\)关于\(y=1\)的对称点是\((2,-2)\)，纵坐标\(4\)和\(-2\)的中点是\(1\)，符合“中点在对称轴上”的规律。

坐标关系推导：两点\(P(x_0,y_0)\)与\(P'(x,y)\)的中点纵坐标为\(a\)，横坐标相同，因此：\(\frac{y_0 + y}{2} = a \implies y_0 = 2a - y, \quad x_0 = x\)

对称函数推导：将\(x_0=x\)、\(y_0=2a - y\)代入\(y_0=f(x_0)\)得：\(2a - y = f(x) \implies y = 2a - f(x)\)，即\(g(x) = 2a - f(x)\)。

示例验证：若\(f(x)=2^x\)（指数函数，过点\((0,1)\)），求其关于\(y=3\)的对称函数\(g(x)\)。

代入公式得\(g(x)=2\times3 - 2^x=6 - 2^x\)，取\(f(x)\)上一点\((1,2)\)，其对称点为\((1,4)\)，代入\(g(x)\)得\(6 - 2^1=4\)，验证成立。

3. 两个函数图像关于直线\(y=x\)对称（反函数）\(g(x)=f^{-1}(x)\)

对称原理：直线\(y=x\)是一、三象限的角平分线，对称点的横、纵坐标互换（比如点\((2,5)\)的对称点是\((5,2)\)），这也是“反函数”的几何意义。

注意：只有单调且一一对应的函数才有反函数（避免一个\(x\)对应多个\(y\)）。

坐标关系推导：两点\(P(x_0,y_0)\)与\(P'(x,y)\)的横、纵坐标直接互换，因此：\(x_0 = y, \quad y_0 = x\)

对称函数推导：将\(x_0=y\)、\(y_0=x\)代入\(y_0=f(x_0)\)得：\(x = f(y)\)

解出\(y\)的表达式，即为\(f(x)\)的反函数，记为\(y=f^{-1}(x)\)，即\(g(x)=f^{-1}(x)\)。

示例验证：若\(f(x)=2x + 1\)（一次函数，单调递增，有反函数），求其关于\(y=x\)的对称函数\(g(x)\)。

第一步：由\(y=2x + 1\)解出\(x\)：\(x=\frac{y - 1}{2}\)；

第二步：互换\(x\)和\(y\)：\(y=\frac{x - 1}{2}\)，即\(g(x)=\frac{x - 1}{2}\)。

取\(f(x)\)上一点\((0,1)\)，对称点为\((1,0)\)，代入\(g(x)\)得\(\frac{1 - 1}{2}=0\)，验证成立。

4. 两个函数图像关于直线\(y=-x\)对称：\(g(x)=-f^{-1}(-x)\)

对称原理：直线\(y=-x\)是二、四象限的角平分线，对称点的横、纵坐标互换且均取相反数（比如点\((3,4)\)的对称点是\((-4,-3)\)）。

注意：同样需要原函数存在反函数。

坐标关系推导：两点\(P(x_0,y_0)\)与\(P'(x,y)\)满足“互换+取反”，因此：\(x_0 = -y, \quad y_0 = -x\)

对称函数推导：将\(x_0=-y\)、\(y_0=-x\)代入\(y_0=f(x_0)\)得：\(-x = f(-y)\)

先解出\(-y=f^{-1}(-x)\)，再整理得\(y=-f^{-1}(-x)\)，即\(g(x)=-f^{-1}(-x)\)。

示例验证：若\(f(x)=x - 2\)（一次函数，反函数为\(f^{-1}(x)=x + 2\)），求其关于\(y=-x\)的对称函数\(g(x)\)。

直接用坐标法：取\(f(x)\)上一点\((3,1)\)，其关于\(y=-x\)的对称点是\((-1,-3)\)；

代入公式推导：由\(-x = f(-y)\)得\(-x = (-y) - 2\)，整理得\(y = x - 2\)，代入\((-1,-3)\)得\(-1 - 2=-3\)，验证成立（此处因\(f(x)\)斜率为1，对称后表达式不变，属特殊情况）。

5. 两个函数图像关于直线\(Ax + By + C = 0\)对称（通用情况）

对称原理：任意直线的对称需满足两个核心条件：

1. 两点\(P(x_0,y_0)\)与\(P'(x,y)\)的连线，与对称轴\(Ax + By + C = 0\)垂直（斜率乘积为-1，若直线垂直x轴/平行x轴需单独处理）；

2. 两点的中点\(\left(\frac{x_0+x}{2},\frac{y_0+y}{2}\right)\)在对称轴上（满足直线方程）。

坐标关系推导：联立上述两个条件，可解出\(x_0\)和\(y_0\)关于\(x\)、\(y\)的表达式：

\(\begin{cases}A\cdot\frac{x_0 + x}{2}+B\cdot\frac{y_0 + y}{2}+C = 0\\\frac{y - y_0}{x - x_0}=\frac{B}{A}\end{cases}\)，解得：\(\begin{cases}x_0 = x - 2A \cdot \frac{Ax + By + C}{A^2 + B^2}\\y_0 = y - 2B \cdot \frac{Ax + By + C}{A^2 + B^2}\end{cases}\)

对称函数推导：将上述\(x_0\)和\(y_0\)直接代入\(y_0 = f(x_0)\)，得到关于\(x\)和\(y\)的等式 \(\frac{A^2y - ABx - 2BC}{A^2 + B^2}=f(\frac{B^2x - ABy - 2AC}{A^2 + B^2})\)，整理后即为\(g(x)\)的表达式（因公式复杂，需结合具体直线简化）。

示例验证：求\(f(x)=x^2\)关于直线\(x - y + 1 = 0\)（即\(A=1,B=-1,C=1\)）的对称函数\(g(x)\)。

第一步：代入坐标公式，计算\(x_0\)和\(y_0\)：\(\begin{cases}x_0 = x - 2\times1 \cdot \frac{1\cdot x + (-1)\cdot y + 1}{1^2 + (-1)^2} = y - 1\\y_0 = y - 2\times(-1) \cdot \frac{1\cdot x + (-1)\cdot y + 1}{1^2 + (-1)^2} = x + 1\end{cases}\)

第二步：代入\(y_0 = f(x_0)\)得\(x + 1 = (y - 1)^2\)，整理得\(y = 1 \pm \sqrt{x + 1}\)（因原函数非一一对应，对称后为二次曲线，需分两支）。

取\(f(x)\)上一点\((0,0)\)，其关于直线\(x - y + 1 = 0\)的对称点为\((-1,1)\)，代入\(y=1 + \sqrt{x + 1}\)得\(1 + \sqrt{-1 + 1}=1\)，验证成立。

6. 两个函数图像关于原点\((0,0)\)对称：\(g(x) = -f(-x)\)

对称原理：原点是中心对称点，对称点的横、纵坐标均取相反数（比如点\((2,3)\)的对称点是\((-2,-3)\)），也称为“奇函数”的几何意义（若\(f(x)\)是奇函数，则\(f(x)=-f(-x)\)，即自身关于原点对称）。

坐标关系推导：两点\(P(x_0,y_0)\)与\(P'(x,y)\)的中点是原点\((0,0)\)，因此：\(\frac{x_0 + x}{2} = 0 \implies x_0 = -x, \quad \frac{y_0 + y}{2} = 0 \implies y_0 = -y\)

对称函数推导：将\(x_0=-x\)、\(y_0=-y\)代入\(y_0=f(x_0)\)得：\(-y = f(-x) \implies y = -f(-x)\)，即\(g(x) = -f(-x)\)。

示例验证：若\(f(x)=x^3\)（奇函数，自身关于原点对称），求其关于\((0,0)\)的对称函数\(g(x)\)。

代入公式得\(g(x)=-f(-x)=-(-x)^3=-(-x^3)=x^3\)，与\(f(x)\)相同，符合奇函数性质；

取非奇函数\(f(x)=x^2 + 1\)，其对称函数\(g(x)=-f(-x)=-((-x)^2 + 1)=-x^2 - 1\)，取\(f(x)\)上一点\((1,2)\)，对称点为\((-1,-2)\)，代入\(g(x)\)得\(-(-1)^2 -1=-2\)，验证成立。

7. 两个函数图像关于点\((a,b)\)对称：\(g(x) = 2b - f(2a - x)\)

对称原理：任意点\((a,b)\)是中心对称点，对称点的横、纵坐标分别满足“中点为\((a,b)\)”（比如点\((1,2)\)关于\((3,4)\)的对称点是\((5,6)\)，因\(\frac{1+5}{2}=3\)，\(\frac{2+6}{2}=4\)）。

坐标关系推导：两点\(P(x_0,y_0)\)与\(P'(x,y)\)的中点是\((a,b)\)，因此：\(\frac{x_0 + x}{2} = a \implies x_0 = 2a - x, \quad \frac{y_0 + y}{2} = b \implies y_0 = 2b - y\)

对称函数推导：将\(x_0=2a - x\)、\(y_0=2b - y\)代入\(y_0=f(x_0)\)得：\(2b - y = f(2a - x) \implies y = 2b - f(2a - x)\)，即\(g(x) = 2b - f(2a - x)\)。

示例验证：若\(f(x)=2x\)（过原点的直线），求其关于点\((1,3)\)的对称函数\(g(x)\)。

代入公式得\(g(x)=2\times3 - f(2\times1 - x)=6 - f(2 - x)=6 - 2(2 - x)=6 - 4 + 2x=2x + 2\)；

取\(f(x)\)上一点\((0,0)\)，其关于\((1,3)\)的对称点为\((2,6)\)，代入\(g(x)\)得\(2\times2 + 2=6\)，验证成立；

再取\(f(x)\)上一点\((2,4)\)，对称点为\((0,2)\)，代入\(g(x)\)得\(2\times0 + 2=2\)，验证成立。

8. 两个函数图像对称的核心结论与记忆技巧

对称类型	对称函数\(g(x)\)	记忆口诀（坐标变换）
关于\(x=a\)轴对称	\(g(x)=f(2a - x)\)	纵不变，横“2a减”
关于\(y=a\)轴对称	\(g(x)=2a - f(x)\)	横不变，纵“2a减”
关于\(y=x\)轴对称	\(g(x)=f^{-1}(x)\)（反函数）	横纵互换，解反函数
关于\(y=-x\)轴对称	\(g(x)=-f^{-1}(-x)\)	横纵互换再取反，解反函数
关于\(Ax+By+C=0\)轴对称	代入通用坐标公式	垂直+中点，联立求解
关于\((0,0)\)中心对称	\(g(x)=-f(-x)\)	横纵都取反
关于\((a,b)\)中心对称	\(g(x)=2b - f(2a - x)\)	横“2a减”，纵“2b减原纵”

例题1：已知函数 \( f(x) \) 满足 \( f(3 + x) = f(3 - x) \)，且 \( f(1) = 5 \)，求 \( f(5) \) 的值。

解析：

由 \( f(3 + x) = f(3 - x) \) 知，\( f(x) \) 对称轴为 \( x = 3 \)。根据对称性，\( f(3 + 2) = f(3 - 2) \)，即 \( f(5) = f(1) = 5 \)。

例题2：判断函数 \( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) 的对称轴，并求 \( f(2) + f(4) \) 的值。

解析：

二次函数对称轴 \( x = -\frac{b}{2a} = 3 \)。由对称性 \( f(3 + 1) = f(3 - 1) \)，即 \( f(4) = f(2) \)，又 \( f(2) = 4 - 12 + 5 = -3 \)，故 \( f(2) + f(4) = -6 \)。

例题3：已知函数 \( f(x) \) 是奇函数，且图像关于点 \( (2, 0) \) 对称，证明 \( f(x) \) 是周期函数，并求周期。

解析：

奇函数满足 \( f(-x) = -f(x) \)，关于 \( (2, 0) \) 对称满足 \( f(2 + x) + f(2 - x) = 0 \)，即 \( f(4 + x) = -f(2 - x) = f(x) \)，故周期 \( T = 4 \)。

例题4：若函数 \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) 的对称中心为 \( (1, 2) \)，求 \( b \) 的值及 \( f(0) + f(2) \) 的值。

解析：

三次函数对称中心横坐标 \( -\frac{b}{3a} = 1 \implies b = -3a \)。由中心对称定义，\( f(1 + x) + f(1 - x) = 4 \)，令 \( x = 1 \)，得 \( f(2) + f(0) = 4 \)。

例题5：已知函数 \( f(x) \) 有对称轴 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \)，且 \( f(0) = 1 \)，求 \( f(8) \) 的值。

解析：

由二级结论，两条对称轴对应周期 \( T = 2|3 - 1| = 4 \)，故 \( f(8) = f(0 + 2 \times 4) = f(0) = 1 \)。

例题6：设函数 \( f(x) \) 对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 满足 \( f(2 - x) = f(2 + x) \)，\( f(7 - x) = f(7 + x) \)，且 \( f(0) = 0 \)，求在区间 \( [0, 100] \) 内 \( f(x) = 0 \) 的最少解的个数。

解析：

对称轴 \( x = 2 \) 和 \( x = 7 \)，周期 \( T = 10 \)。由 \( f(0) = 0 \)，得 \( f(4) = f(0) = 0 \)（\( x=2 \) 对称），\( f(10) = f(0) = 0 \)（周期），\( f(7) = f(7) = f(3) = f(1) = 0 \)（\( x=7 \) 对称），\( f(5) = f(-1) = f(9) = 0 \)（周期+对称）。每个周期内有5个零点，\( [0,100] \) 共11个周期（含0和100），最少11个解。

例题7：已知函数 \( f(x) = \frac{x + 1}{x - 1} \)，判断其是否为中心对称函数，若是，求对称中心。

解析：

化简 \( f(x) = 1 + \frac{2}{x - 1} \)，由反比例函数 \( \frac{2}{x} \) 关于原点对称，平移后关于 \( (1, 1) \) 对称。验证：\( f(1 + x) + f(1 - x) = (1 + \frac{2}{x}) + (1 + \frac{2}{-x}) = 2 \)，故对称中心 \( (1, 1) \)。

例题8：若函数 \( f(x) \) 关于直线 \( x = 1 \) 对称，且在 \( [1, +\infty) \) 上单调递增，比较 \( f(-1) \)、\( f(2) \)、\( f(3) \) 的大小。

解析：

由对称性 \( f(-1) = f(3) \)，又 \( [1, +\infty) \) 递增，故 \( f(2) < f(3) = f(-1) \)，即 \( f(2) < f(-1) = f(3) \)。

例题9：求函数 \( f(x) = 2x + 1 \) 关于直线 \( x = 3 \) 对称的函数 \( g(x) \) 的解析式。

解析：

由互对称关系，\( g(x) = f(6 - x) = 2(6 - x) + 1 = 13 - 2x \)。

例题10：求函数 \( f(x) = x^2 - 1 \) 关于点 \( (1, 2) \) 对称的函数 \( g(x) \) 的解析式。

解析：

由中心互对称关系，\( g(x) = 4 - f(2 - x) = 4 - [(2 - x)^2 - 1] = -x^2 + 4x + 1 \)。

例题11：已知函数 \( y = f(x) \) 的反函数为 \( y = \log_2(x + 1) \)，求 \( f(x) \) 的解析式。

解析：

反函数与原函数关于 \( y = x \) 对称，由 \( y = \log_2(x + 1) \) 得 \( x = 2^y - 1 \)，故 \( f(x) = 2^x - 1 \)。

例题12：判断函数 \( f(x) = 3^x \) 与 \( g(x) = \log_3 x \) 的对称性，并证明 \( f(g(2)) = 2 \)。

解析：

二者关于 \( y = x \) 对称（反函数关系）。\( g(2) = \log_3 2 \)，故 \( f(g(2)) = 3^{\log_3 2} = 2 \)。

例题13：已知函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \) 与 \( g(x) = 2x^2 - 4x + 1 \) 关于 \( y \) 轴对称，求 \( a + b + c \) 的值。

解析：

关于 \( y \) 对称则 \( g(x) = f(-x) \)，故 \( f(x) = 2x^2 + 4x + 1 \)，\( a + b + c = f(1) = 7 \)。

例题14：若函数 \( f(x) \) 与 \( g(x) = x^3 - 1 \) 关于原点对称，求 \( f(x) \) 在 \( x = 2 \) 处的函数值。

解析：

关于原点对称则 \( f(x) = -g(-x) = -[(-x)^3 - 1] = x^3 + 1 \)，\( f(2) = 9 \)。

例题15：已知函数 \( f(x) \) 的图像关于直线 \( y = x \) 对称，且 \( f(2) = 5 \)，求 \( f^{-1}(5) + f(5) \) 的值（假设 \( f(5) \) 存在）。

解析：

反函数性质 \( f^{-1}(5) = 2 \)，若 \( f(5) = k \)，则 \( f^{-1}(k) = 5 \)，但题目未给 \( f(5) \) 信息？实际因 \( f(x) \) 关于 \( y = x \) 对称，故 \( f(x) = f^{-1}(x) \)，\( f(5) = f^{-1}(5) = 2 \)，故和为4。

例题16：已知函数 \( f(x) \) 是周期为4的周期函数，且关于直线 \( x = 2 \) 对称，当 \( x \in [0, 2] \) 时，\( f(x) = x^2 \)，求 \( f(7) \) 的值。

解析：

\( f(7) = f(7 - 4) = f(3) \)，由对称轴 \( x = 2 \)，\( f(3) = f(1) = 1^2 = 1 \)。

例题17：设函数 \( f(x) \) 关于点 \( (1, 0) \) 对称，且在 \( (-\infty, 0) \) 上单调递减，判断 \( f(x) \) 在 \( (2, +\infty) \) 上的单调性。

解析：

由中心对称，\( f(1 + x) = -f(1 - x) \)，令 \( x = t - 1 \)，得 \( f(t) = -f(2 - t) \)。任取 \( x_1 > x_2 > 2 \)，则 \( 2 - x_1 < 2 - x_2 < 0 \)，因 \( (-\infty, 0) \) 递减，故 \( f(2 - x_1) > f(2 - x_2) \)，则 \( f(x_1) = -f(2 - x_1) < -f(2 - x_2) = f(x_2) \)，故 \( (2, +\infty) \) 单调递减。

例题18：已知函数 \( f(x) \) 满足 \( f(x + 2) = f(-x) \)，且当 \( x \in [0, 1] \) 时，\( f(x) = 2^x \)，求 \( f(3) \) 的值。

解析：

由 \( f(x + 2) = f(-x) \)，对称轴 \( x = 1 \)，故 \( f(3) = f(-1) = f(3) \)（或令 \( x = 1 \)，\( f(3) = f(-1) = f(1 + 2) = f(1) = 2 \)）。

例题19：若函数 \( f(x) \) 关于直线 \( x = 1 \) 对称，且 \( f(x) = 0 \) 有三个零点，求这三个零点的和。

解析：

设零点为 \( x_1, x_2, x_3 \)，由对称性，若 \( x_1 \) 是零点，则 \( 2 - x_1 \) 也是零点，第三个零点必为对称轴 \( x = 1 \)（否则零点成对出现，无法为奇数个），故和为 \( x_1 + (2 - x_1) + 1 = 3 \)。

例题20：已知函数 \( f(x) \) 与 \( g(x) = f(x + 1) \) 关于 \( y \) 轴对称，证明 \( f(x) \) 关于直线 \( x = \frac{1}{2} \) 对称。

解析：

\( g(x) = f(-x) \)（关于 \( y \) 对称），又 \( g(x) = f(x + 1) \)，故 \( f(-x) = f(x + 1) \)，即 \( f(\frac{1}{2} - x) = f(\frac{1}{2} + x) \)，故 \( f(x) \) 对称轴为 \( x = \frac{1}{2} \)。