初等数论：能被N整除的数的规律

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1. 能被2整除的数

规律：个位数字是0、2、4、6、8的数能被2整除。

技巧：直接观察个位数字即可。

例子：12、34、568等都能被2整除。

原理：任何整数都可以表示为\(10a + b\)（\(a\)为十位及以上的数字组成的数，\(b\)为个位数字），\(10a\)能被2整除，当\(b\)是0、2、4、6、8时，整个数也能被2整除。

2. 能被3整除的数

规律：各位数字之和能被3整除的数能被3整除。

技巧：将数字各位相加，判断和是否能被3整除。

例子：123，\(1 + 2 + 3 = 6\)，6能被3整除，所以123能被3整除。

原理：设一个数\(n=a_{k}10^{k}+a_{k - 1}10^{k - 1}+\cdots+a_{1}10 + a_{0}\)，因为\(10\equiv1(\bmod3)\)，所以\(10^{m}\equiv1(\bmod3)\)（\(m\)为正整数），那么\(n\equiv a_{k}+a_{k - 1}+\cdots+a_{1}+a_{0}(\bmod3)\)。

3. 能被4整除的数

规律：末两位数字能被4整除的数能被4整除。

技巧：重点看末两位数字。

例子：124，末两位24能被4整除，所以124能被4整除。

原理：一个数可以写成\(100a + b\)（\(a\)为百位及以上的数字组成的数，\(b\)为末两位数），\(100\)能被4整除，只要\(b\)能被4整除，整个数就能被4整除。

4. 能被5整除的数

规律：个位数字是0或5的数能被5整除。

技巧：只需看个位数字。

例子：10、25、105等都能被5整除。

原理：整数可表示为\(10a + b\)，当\(b = 0\)或\(5\)时，\(10a + b\)能被5整除。

5. 能被6整除的数

规律：能同时被2和3整除的数能被6整除。

技巧：先判断是否能被2整除，再判断是否能被3整除。

例子：12，个位是2能被2整除，\(1 + 2 = 3\)能被3整除，所以12能被6整除。

原理：因为\(6 = 2×3\)，所以要同时满足被2和3整除的条件。

6. 能被7整除的数

规律：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

技巧：按照“截尾、倍减、验差”的步骤，如判断161，\(16 - 1×2 = 14\)，14能被7整除，所以161能被7整除。

原理：设这个数为\(10a + b\)，经过变换后得到\(a - 2b\)，通过数学推导可知这种变换与原数和7的整除关系等价。

7. 能被8整除的数

规律：末三位数字能被8整除的数能被8整除。

技巧：关注末三位数字。

例子：1120，末三位120能被8整除，所以1120能被8整除。

原理：一个数可写成\(1000a + b\)（\(a\)为千位及以上的数字组成的数，\(b\)为末三位数），\(1000\)能被8整除，只要\(b\)能被8整除，整个数就能被8整除。

8. 能被9整除的数

规律：各位数字之和能被9整除的数能被9整除。

技巧：将各位数字相加判断和是否能被9整除。

例子：279，\(2 + 7 + 9 = 18\)，18能被9整除，所以279能被9整除。

原理：设数\(n=a_{k}10^{k}+a_{k - 1}10^{k - 1}+\cdots+a_{1}10 + a_{0}\)，因为\(10\equiv1(\bmod9)\)，所以\(10^{m}\equiv1(\bmod9)\)（\(m\)为正整数），那么\(n\equiv a_{k}+a_{k - 1}+\cdots+a_{1}+a_{0}(\bmod9)\)。