求和符号（∑ ）、连乘符号（∏）

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、∑求和符号（Sigma Notation）

∑是希腊字母“西格玛”的大写形式，用于表示“连续求和”，是数学中简化累加运算的核心符号。

标准形式：\(\sum_{i = k}^{n} a_i\)，读法：从\(i = k\)到\(i = n\)，\(a_i\)的和

展开形式：\(\sum_{i = k}^{n} a_i = a_k + a_{k+1} + a_{k+2} + \dots + a_{n-1} + a_n\)

各部分含义：

\(i\)：求和下标（也可用\(j, k, m\)等字母，仅表示“计数变量”，无实际意义，求和结束后可忽略，称为“哑标”）；

\(k\)：下限（求和的起始位置，即下标从\(k\)开始）；

\(n\)：上限（求和的终止位置，即下标到\(n\)结束）；

\(a_i\)：通项公式（第\(i\)项的表达式，根据下标\(i\)变化的量，如\(a_i = 2i\)表示第\(i\)项为\(2i\)）。

设\(a_i, b_i\)为任意数列，\(c\)为常数（与下标\(i\)无关），则求和符号满足以下性质：

常数因子提外：\(\sum_{i = k}^{n} c \cdot a_i = c \cdot \sum_{i = k}^{n} a_i\)（常数可从求和符号中提取，仅对“变量项”求和）；

和的拆分：\(\sum_{i = k}^{n} (a_i + b_i) = \sum_{i = k}^{n} a_i + \sum_{i = k}^{n} b_i\)（两个数列对应项的和的总与，等于两个数列各自的总和相加，可推广到多个数列）；

差的拆分：\(\sum_{i = k}^{n} (a_i - b_i) = \sum_{i = k}^{n} a_i - \sum_{i = k}^{n} b_i\)（与“和的拆分”类似，适用于差运算）；

区间拆分：\(\sum_{i = k}^{n} a_i = \sum_{i = k}^{m} a_i + \sum_{i = m+1}^{n} a_i\)（其中\(k \leq m < n\)，可将一个求和区间拆分为两个连续区间的和）；

常数求和：\(\sum_{i = k}^{n} c = c \cdot (n - k + 1)\)（若通项为常数\(c\)，总和等于“常数×项数”，项数=上限-下限+1）。

常见特殊求和公式（高频考点）

自然数求和：\(\sum_{i = 1}^{n} i = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}\)；

自然数平方和：\(\sum_{i = 1}^{n} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)；

自然数立方和：\(\sum_{i = 1}^{n} i^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2\)（等于自然数和的平方）；

等比数列求和：\(\sum_{i = 0}^{n} q^i = 1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\)（\(q \neq 1\)，若\(q = 1\)，总和为\(n + 1\)）；

等差数列求和：\(\sum_{i = 1}^{n} (a_1 + (i - 1)d) = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\)（\(a_1\)为首项，\(d\)为公差，\(a_n\)为第\(n\)项）。

二、∏连乘符号（Pi Notation）

∏是希腊字母“派”的大写形式，用于表示“连续乘积”，是数学中简化累乘运算的核心符号。

标准形式为：\(\prod_{i = k}^{n} a_i\)，读法：从\(i = k\)到\(i = n\)，\(a_i\)的积

展开形式：\(\prod_{i = k}^{n} a_i = a_k \cdot a_{k+1} \cdot a_{k+2} \cdot \dots \cdot a_{n-1} \cdot a_n\)

各部分含义：

\(i\)：连乘下标（同求和符号，为“哑标”，仅计数，无实际意义）；

\(k\)：下限（连乘的起始位置）；

\(n\)：上限（连乘的终止位置）；

\(a_i\)：通项公式（第\(i\)项的表达式，随下标\(i\)变化）。

设\(a_i, b_i\)为任意非零数列（连乘中避免出现0，否则乘积为0），\(c\)为非零常数，则连乘符号满足以下性质：

常数因子提外：\(\prod_{i = k}^{n} (c \cdot a_i) = c^{n - k + 1} \cdot \prod_{i = k}^{n} a_i\)（常数的“项数次方”与变量项的乘积，项数=上限-下限+1）；

积的拆分：\(\prod_{i = k}^{n} (a_i \cdot b_i) = \left( \prod_{i = k}^{n} a_i \right) \cdot \left( \prod_{i = k}^{n} b_i \right)\)（两个数列对应项的积的总积，等于两个数列各自的总积相乘）；

商的拆分：\(\prod_{i = k}^{n} \frac{a_i}{b_i} = \frac{\prod_{i = k}^{n} a_i}{\prod_{i = k}^{n} b_i}\)（对应项的商的总积，等于总积的商，需保证分母连乘不为0）；

区间拆分：\(\prod_{i = k}^{n} a_i = \left( \prod_{i = k}^{m} a_i \right) \cdot \left( \prod_{i = m+1}^{n} a_i \right)\)（\(k \leq m < n\)，将连乘区间拆分为两个连续区间的积）；

特殊值：当上限=下限时，\(\prod_{i = k}^{k} a_i = a_k\)（仅1项，乘积为自身）；

当上限<下限时，规定\(\prod_{i = k}^{n} a_i = 1\)（“空乘积”，类似空求和为0，是数学中的约定，用于公式统一）。

常见特殊连乘公式（高频考点）

阶乘：\(n! = \prod_{i = 1}^{n} i = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n\)（\(0! = 1\)，约定空乘积）；

奇数双阶乘：\((2n - 1)!! = \prod_{k = 1}^{n} (2k - 1) = 1 \times 3 \times 5 \times \dots \times (2n - 1)\)；

偶数双阶乘：\((2n)!! = \prod_{k = 1}^{n} (2k) = 2 \times 4 \times 6 \times \dots \times 2n = 2^n \cdot n!\)；

等比数列连乘：\(\prod_{i = 0}^{n} q^i = q^0 \cdot q^1 \cdot q^2 \cdot \dots \cdot q^n = q^{0 + 1 + 2 + \dots + n} = q^{\frac{n(n + 1)}{2}}\)（指数部分为自然数求和）；

分式连乘（裂项消积）：\(\prod_{i = 2}^{n} \frac{i - 1}{i} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \dots \times \frac{n - 1}{n} = \frac{1}{n}\)（中间项分子分母抵消，仅留首项分母和末项分子）。

例题1：基础常数求和。计算\(\sum_{i = 3}^{7} 4\)的值。

解析：

通项为常数4，需先确定“项数”：上限7，下限3，项数=7 - 3 + 1 = 5；

根据常数求和性质：\(\sum_{i = 3}^{7} 4 = 4 \times 5 = 20\)；结论：结果为\(\boxed{20}\)。

例题2：简单线性通项求和。计算\(\sum_{i = 1}^{5} (2i + 1)\)的值。

解析：

方法1：直接展开求和\(\sum_{i = 1}^{5} (2i + 1) = (2×1 + 1) + (2×2 + 1) + (2×3 + 1) + (2×4 + 1) + (2×5 + 1) = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35\)；

方法2：用求和性质拆分\(\sum_{i = 1}^{5} (2i + 1) = 2\sum_{i = 1}^{5} i + \sum_{i = 1}^{5} 1 = 2×\frac{5×6}{2} + 1×5 = 30 + 5 = 35\)；

结论：结果为\(\boxed{35}\)。

例题3：自然数平方和公式应用。计算\(\sum_{i = 1}^{4} i^2\)的值，并验证平方和公式。

解析：

直接展开：\(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30\)；

用平方和公式：\(\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)（\(n = 4\)），代入得\(\frac{4×5×9}{6} = 30\)；结论：结果为\(\boxed{30}\)，公式验证成立。

例题4：区间拆分求和。已知\(\sum_{i = 1}^{10} a_i = 50\)，\(\sum_{i = 6}^{10} a_i = 23\)，求\(\sum_{i = 1}^{5} a_i\)的值。

解析：

根据区间拆分性质：\(\sum_{i = 1}^{10} a_i = \sum_{i = 1}^{5} a_i + \sum_{i = 6}^{10} a_i\)；

变形得：\(\sum_{i = 1}^{5} a_i = \sum_{i = 1}^{10} a_i - \sum_{i = 6}^{10} a_i = 50 - 23 = 27\)；结论：结果为\(\boxed{27}\)。

例题5：等比数列求和。计算\(\sum_{i = 0}^{3} 2^i\)的值。

解析：

等比数列：首项\(a_1 = 2^0 = 1\)，公比\(q = 2\)，项数\(n = 4\)（从0到3共4项）；

用等比求和公式：\(\frac{1 - q^{n}}{1 - q} = \frac{1 - 2^4}{1 - 2} = \frac{1 - 16}{-1} = 15\)；

直接展开验证：\(1 + 2 + 4 + 8 = 15\)；结论：结果为\(\boxed{15}\)。

例题6：含负号的求和。计算\(\sum_{i = 2}^{5} (3 - i^2)\)的值。

解析：

拆分求和：\(\sum_{i = 2}^{5} 3 - \sum_{i = 2}^{5} i^2\)；

第一部分（常数求和）：项数=5 - 2 + 1 = 4，故\(\sum_{i = 2}^{5} 3 = 3×4 = 12\)；

第二部分（平方和）：\(\sum_{i = 2}^{5} i^2 = \sum_{i = 1}^{5} i^2 - \sum_{i = 1}^{1} i^2 = \frac{5×6×11}{6} - 1 = 55 - 1 = 54\)；

总结果：\(12 - 54 = -42\)；结论：结果为\(\boxed{-42}\)。

例题7：等差数列求和（已知首项与公差）求等差数列\(\{a_i\}\)（首项\(a_1 = 2\)，公差\(d = 3\)）的前6项和，即\(\sum_{i = 1}^{6} a_i\)。

解析：

等差数列通项：\(a_i = a_1 + (i - 1)d = 2 + 3(i - 1) = 3i - 1\)；

求和：\(\sum_{i = 1}^{6} (3i - 1) = 3\sum_{i = 1}^{6} i - \sum_{i = 1}^{6} 1 = 3×\frac{6×7}{2} - 6 = 63 - 6 = 57\)；

用等差数列求和公式验证：\(\frac{n(a_1 + a_6)}{2}\)，\(a_6 = 3×6 - 1 = 17\)，故\(\frac{6×(2 + 17)}{2} = 57\)；

结论：结果为\(\boxed{57}\)。

例题8：自然数立方和公式应用。计算\(\sum_{i = 1}^{3} i^3\)的值，并验证立方和公式。

解析：

直接展开：\(1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36\)；

用立方和公式：\(\left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2\)（\(n = 3\)），代入得\(\left( \frac{3×4}{2} \right)^2 = 6^2 = 36\)；

也可通过“平方和”验证：\(\sum_{i = 1}^{3} i^3 = (\sum_{i = 1}^{3} i)^2 = (6)^2 = 36\)；

结论：结果为\(\boxed{36}\)，公式验证成立。

例题9：含变量上限的求和（表达式化简）化简\(\sum_{k = 1}^{n} (k^2 + 2k)\)的表达式（用\(n\)表示）。

解析：

拆分求和：\(\sum_{k = 1}^{n} k^2 + 2\sum_{k = 1}^{n} k\)；

代入公式：\(\sum_{k = 1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)，\(\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}\)；

合并化简：

\(\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + 2×\frac{n(n + 1)}{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + n(n + 1)\)

\(= n(n + 1) \left( \frac{2n + 1}{6} + 1 \right) = n(n + 1) \cdot \frac{2n + 7}{6} = \frac{n(n + 1)(2n + 7)}{6}\)；

结论：化简结果为\(\boxed{\frac{n(n + 1)(2n + 7)}{6}}\)。

例题10：错位相减求和（进阶）计算\(\sum_{i = 1}^{3} i \cdot 2^i\)的值（提示：错位相减）。

解析：

设\(S = \sum_{i = 1}^{3} i \cdot 2^i = 1×2^1 + 2×2^2 + 3×2^3 = 2 + 8 + 24 = 34\)（直接展开验证）；

错位相减方法（适用于一般\(n\)）：

1. \(S = 1×2 + 2×2^2 + 3×2^3\)；

2. 两边乘公比2：\(2S = 1×2^2 + 2×2^3 + 3×2^4\)；

3. ① - ②：\(S - 2S = 2 + (2^2 + 2^3) - 3×2^4\)；

4. 计算：\(-S = 2 + (4 + 8) - 3×16 = 14 - 48 = -34\)，故\(S = 34\)；结论：结果为\(\boxed{34}\)。

例题11：基础阶乘计算（连乘定义）计算\(\prod_{i = 1}^{4} i\)的值（即4!）。

解析：

展开连乘：\(1×2×3×4 = 24\)；

阶乘定义：\(4! = 24\)；结论：结果为\(\boxed{24}\)。

例题12：常数因子提外。计算\(\prod_{i = 2}^{5} (3i)\)的值。

解析：

通项为\(3i\)，常数因子3，项数=5 - 2 + 1 = 4；

根据性质：\(\prod_{i = 2}^{5} 3i = 3^4 × \prod_{i = 2}^{5} i\)；

计算：\(81 × (2×3×4×5) = 81 × 120 = 9720\)；结论：结果为\(\boxed{9720}\)。

例题13：双阶乘计算（奇数型）计算\((2×3 - 1)!!\)（即5!!）的值。

解析：

奇数双阶乘定义：\((2n - 1)!! = \prod_{k = 1}^{n} (2k - 1)\)，此处\(n = 3\)（因\(2×3 - 1 = 5\)）；

展开：\(1×3×5 = 15\)；结论：结果为\(\boxed{15}\)。

例题14：等比数列连乘。计算\(\prod_{i = 0}^{2} 3^i\)的值。

解析：

通项为\(3^i\)，连乘即指数求和：\(\prod_{i = 0}^{2} 3^i = 3^{0 + 1 + 2} = 3^3 = 27\)；

直接展开验证：\(3^0 × 3^1 × 3^2 = 1×3×9 = 27\)；结论：结果为\(\boxed{27}\)。

例题15：分式裂项消积（基础）计算\(\prod_{i = 1}^{4} \frac{i}{i + 1}\)的值。

解析：

展开连乘（观察抵消规律）：\(\frac{1}{2} × \frac{2}{3} × \frac{3}{4} × \frac{4}{5}\)；

中间项抵消：分子2、3、4与分母2、3、4抵消，剩余\(\frac{1}{5}\)；结论：结果为\(\boxed{\frac{1}{5}}\)。

例题16：连乘与求和结合。计算\(\prod_{k = 1}^{3} (2 + \sum_{i = 1}^{k} 1)\)的值。

解析：

先计算内层求和：\(\sum_{i = 1}^{k} 1 = k\)（常数求和，项数\(k\)）；

外层连乘通项变为：\(2 + k\)，即\(\prod_{k = 1}^{3} (k + 2)\)；

展开计算：\(3×4×5 = 60\)；结论：结果为\(\boxed{60}\)。

例题17：偶数双阶乘与阶乘的关系。验证\((2×2)!! = 2^2 × 2!\)（即4!!与\(2^2×2!\)的关系）。

解析：

左边（4!!）：偶数双阶乘，展开为\(2×4 = 8\)；

右边（\(2^2×2!\)）：\(4 × (1×2) = 4×2 = 8\)；

等式成立，符合偶数双阶乘公式：\((2n)!! = 2^n × n!\)（此处\(n = 2\)）；结论：\(\boxed{4!! = 2^2 × 2! = 8}\)，关系成立。

例题18：含负号的连乘。计算\(\prod_{i = 2}^{4} (-i)\)的值。

解析：

项数=4 - 2 + 1 = 3，负号的个数为3（奇数个）；

展开计算：\((-2) × (-3) × (-4) = -24\)；

用性质验证：\(\prod_{i = 2}^{4} (-i) = (-1)^3 × \prod_{i = 2}^{4} i = -1 × 24 = -24\)；结论：结果为\(\boxed{-24}\)。

例题19：空乘积的应用。计算\(\prod_{i = 5}^{3} 2i\)的值（上限<下限，空乘积）。

解析：

数学约定：当连乘上限<下限时，结果为“空乘积”1（类似空求和为0）；

无需展开，直接根据约定得结果；结论：结果为\(\boxed{1}\)。

例题20：进阶裂项消积。计算\(\prod_{i = 1}^{n} \frac{2i - 1}{2i + 1}\)的表达式（用\(n\)表示）。

解析：

展开前几项观察规律（以\(n = 3\)为例）：\(\frac{1}{3} × \frac{3}{5} × \frac{5}{7}\)；

抵消规律：分子3、5与分母3、5抵消，剩余首项分子1和末项分母\(2n + 1\)；

一般情况：\(\prod_{i = 1}^{n} \frac{2i - 1}{2i + 1} = \frac{1}{2n + 1}\)；

验证（\(n = 3\)）：\(\frac{1}{2×3 + 1} = \frac{1}{7}\)，与展开结果一致；结论：表达式为\(\boxed{\frac{1}{2n + 1}}\)。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学