函数的极值、函数的最值

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一、函数的极值

设函数\( y = f(x) \)在点\( x_0 \)及其附近（即\( x_0 \)的某邻域 \( D \) 内）有定义，且满足以下条件：

若对邻域内所有不等于\( x_0 \)的点\( x \)，都有\( f(x) < f(x_0) \)，则称\( f(x_0) \)为函数\( f(x) \)的极大值，\( x_0 \)称为极大值点；

若对邻域内所有不等于\( x_0 \)的点\( x \)，都有\( f(x) > f(x_0) \)，则称\( f(x_0) \)为函数\( f(x) \)的极小值，\( x_0 \)称为极小值点。

极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。

注意：极值是局部概念，仅反映函数在\( x_0 \)邻域内的局部性质，与函数在整个定义域内的整体情况无关。

例如，函数的某个极大值可能小于另一个极小值。

极值点的判定（第1步）：必要条件（极值点的前提）

若函数\( f(x) \)在\( x_0 \)处可导且取得极值，则\( f'(x_0) = 0 \)。满足\( f'(x_0) = 0 \)的点称为驻点。

注意1：驻点不一定是极值点。例如，函数\( f(x) = x^3 \)，\( f'(0) = 0 \)（\( x=0 \)是驻点），但\( x=0 \)处函数无极值；

注意2：不可导点也可能是极值点。例如，函数\( f(x) = |x| \)，在\( x=0 \)处不可导，但\( x=0 \)是极小值点。

因此，函数的极值点只能是驻点或不可导点，需进一步通过充分条件判定。

极值点的判定（第2步）：充分条件（判定极值点的核心方法）

第一充分条件（适用于可导/连续不可导情况）设函数\( f(x) \)在\( x_0 \)处连续，在\( x_0 \)的某去心邻域内可导：

若\( x \)从左到右经过\( x_0 \)时，\( f'(x) \)由正变负，则\( x_0 \)是极大值点；

若\( x \)从左到右经过\( x_0 \)时，\( f'(x) \)由负变正，则\( x_0 \)是极小值点；

若\( x \)经过\( x_0 \)时，\( f'(x) \)符号不变，则\( x_0 \)不是极值点。

第二充分条件（适用于二阶可导情况）设函数\( f(x) \)在\( x_0 \)处二阶可导，且\( f'(x_0) = 0 \)，\( f''(x_0) \neq 0 \)：

若\( f''(x_0) < 0 \)，则\( x_0 \)是极大值点；

若\( f''(x_0) > 0 \)，则\( x_0 \)是极小值点。

总结，求函数极值的步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）求函数的导数\( f'(x) \)，找出定义域内的所有驻点（令\( f'(x) = 0 \)求解）和不可导点；

（3）利用第一充分条件或第二充分条件，判断上述点是否为极值点；

（4）若为极值点，代入原函数计算对应的极值。

例题1：基础驻点判定（第二充分条件）求函数\( f(x) = x^2 e^{-x} \)的极值。

定义域：\( \mathbb{R} \)；

一阶导数：\( f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x e^{-x}(2 - x) \)，令\( f'(x) = 0 \)，得驻点\( x=0 \)，\( x=2 \)；

二阶导数：\( f''(x) = e^{-x}(x^2 - 4x + 2) \)；

判定：\( f''(0) = 2 > 0 \)（\( x=0 \)为极小值点，极小值\( f(0)=0 \)）；\( f''(2) = -2e^{-2} < 0 \)（\( x=2 \)为极大值点，极大值\( f(2)=4e^{-2} \)）。

例题2：含不可导点的极值判定（第一充分条件）求函数\( f(x) = |x^2 - 2x| \)的极值。

定义域：\( \mathbb{R} \)；

分段导数：当\( x < 0 \)或\( x > 2 \)时，\( f(x) = x^2 - 2x \)，\( f'(x) = 2x - 2 \)；当\( 0 < x < 2 \)时，\( f(x) = -x^2 + 2x \)，\( f'(x) = -2x + 2 \)；不可导点为\( x=0 \)，\( x=2 \)，驻点为\( x=1 \)；

判定：\( x=0 \)处导数由负变正（极小值\( 0 \)）；\( x=1 \)处导数由正变负（极大值\( 1 \)）；\( x=2 \)处导数由负变正（极小值\( 0 \)）。

二、函数的最值

1、函数最值的定义

函数的最值分为最大值和最小值，是针对函数在特定区间\( I \)（可为定义域，也可为指定的闭区间、开区间等）上的全局性质：

最大值：若存在\( x_0 \in I \)，对任意\( x \in I \)，都有\( f(x) \leq f(x_0) \)，则称\( f(x_0) \)为函数\( f(x) \)在区间\( I \)上的最大值，\( x_0 \)为最大值点。

最小值：若存在\( x_0 \in I \)，对任意\( x \in I \)，都有\( f(x) \geq f(x_0) \)，则称\( f(x_0) \)为函数\( f(x) \)在区间\( I \)上的最小值，\( x_0 \)为最小值点。

注：最值的函数值是唯一的，但最值点可能不唯一（多个点的函数值相同且为最值）。

例如\( f(x) = 1 \)在\(\mathbb{R}\)上，所有点都是最值点，最大值和最小值均为\( 1 \)。

2、最值的存在性定理

函数的最值并非一定存在，其存在性需满足特定条件，最核心的是闭区间连续函数的最值定理：

若函数\( f(x) \)在闭区间\([a,b]\)上连续，则\( f(x) \)在\([a,b]\)上一定存在最大值和最小值。

反之，若函数不满足“闭区间”或“连续”的条件，可能不存在最值：

开区间案例：\( f(x) = \frac{1}{x} \)在\((0,1)\)上连续，但\( x \to 0^+ \)时\( f(x) \to +\infty \)，\( x \to 1^- \)时\( f(x) \to 1 \)，无最大值，也无最小值。

不连续案例：\( f(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x < 1 \\ 0, & x = 1 \end{cases} \)在\([0,1]\)上不连续，\( x \to 1^- \)时\( f(x) \to 1 \)，但\( f(1)=0 \)，无最大值。

3、闭区间\([a,b]\)上连续函数的最值求解步骤

（1）找候选点：求出函数在区间\((a,b)\)内的所有驻点（令\( f'(x)=0 \)的解）和不可导点（导数不存在但函数有定义的点）。

（2）算函数值：计算所有候选点及区间端点\( a, b \)对应的函数值。

（3）比大小：对比所有计算出的函数值，最大者为最大值，最小者为最小值。

4、开区间\((a,b)\)或无穷区间\((-\infty,+\infty)\)函数的最值

（1）先找驻点和不可导点，计算这些点的函数值；

（2）分析函数在区间端点的极限趋势（如\( x \to a^+ \)、\( x \to +\infty \)等）；

（3）若极限趋于\( \pm\infty \)，则无对应最值；若极限存在，结合候选点函数值确定最值。

案例：\( f(x) = x^2 + 2x + 3 \)在\(\mathbb{R}\)上，驻点\( x=-1 \)（\( f'(-1)=0 \)），\( f(-1)=2 \)，\( x \to \pm\infty \)时\( f(x) \to +\infty \)，故最小值为\( 2 \)，无最大值。

5、单调函数的区间函数的最值

若函数在区间\( I \)上单调递增，则左端点（闭区间）为最小值，右端点（闭区间）为最大值；开区间或无穷区间无最值（或仅一端有最值）。

案例：\( f(x) = 2x + 1 \)在\([1,3]\)上单调递增，最小值\( f(1)=3 \)，最大值\( f(3)=7 \)。

例题1：闭区间连续函数的最值。求\( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 \)在\([-2,4]\)上的最值。

步骤1：求导得\( f'(x)=3x^2 - 6x - 9=3(x-3)(x+1) \)，驻点\( x=-1, 3 \)（无不可导点）。

步骤2：计算函数值：\( f(-2)=-1 \)，\( f(-1)=10 \)，\( f(3)=-22 \)，\( f(4)=-15 \)。

步骤3：对比得：最大值\( 10 \)（\( x=-1 \)），最小值\( -22 \)（\( x=3 \)）。

例题2：含不可导点的最值。求\( f(x) = |x^2 - 2x| \)在\([-1,3]\)上的最值。

步骤1：分段求导，不可导点\( x=0, 2 \)，驻点\( x=1 \)。

步骤2：计算函数值：\( f(-1)=3 \)，\( f(0)=0 \)，\( f(1)=1 \)，\( f(2)=0 \)，\( f(3)=3 \)。

步骤3：对比得：最大值\( 3 \)（\( x=-1, 3 \)），最小值\( 0 \)（\( x=0, 2 \)）。

例题3：无穷区间的最值。求\( f(x) = e^{-x} - e^x + 2x \)在\(\mathbb{R}\)上的最值。

步骤1：求导得\( f'(x)=-e^{-x} - e^x + 2 = -(e^x + e^{-x} - 2) \leq 0 \)，仅当\( x=0 \)时\( f'(x)=0 \)，函数单调递减。

步骤2：\( x \to +\infty \)时\( f(x) \to -\infty \)，\( x \to -\infty \)时\( f(x) \to +\infty \)。

步骤3：结论：无最大值和最小值。

三、极值与最值的区别

1. 定义本质：局部性 vs 全局性

极值是局部概念，仅针对函数在某点\( x_0 \)的邻域内（即\( x_0 \)附近的小范围）进行比较。若\( f(x_0) \)比邻域内其他点的函数值大（或小），则\( f(x_0) \)为极大值（或极小值），与函数在整个定义域或指定区间的整体情况无关。例如，函数\( f(x) = x^3 - 3x \)在\( x=-1 \)处的极大值为\( 2 \)，在\( x=1 \)处的极小值为\( -2 \)，这两个极值仅反映局部的函数值大小关系。

最值是全局概念，针对函数的整个定义域或指定区间\( I \)进行比较。若\( f(x_0) \)比区间\( I \)内所有点的函数值都大（或小），则\( f(x_0) \)为最大值（或最小值），覆盖范围是整个区间。例如，函数\( f(x) = x^3 - 3x \)在区间\([-2, 2]\)上，最大值为\( 2 \)（\( x=-1 \)和\( x=2 \)处），最小值为\( -2 \)（\( x=1 \)和\( x=-2 \)处），是对区间内所有点函数值的整体比较结果。

2. 存在数量与关系：一个区间内最值唯一（函数值），极值可多个，且极大值可能小于极小值。

一个函数在定义域或某区间内可能有多个极值，且极大值不一定大于极小值。例如，函数\( f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 \)，其导数\( f'(x) = 4x(x-1)(x-2) \)，驻点为\( x=0,1,2 \)，其中\( x=0 \)和\( x=2 \)处为极小值（均为\( 0 \)），\( x=1 \)处为极大值（为\( 1 \)），此处极大值大于极小值；但对于复杂函数，可能出现某局部极大值小于另一局部极小值的情况（如分段函数或高次函数）。

一个函数在指定区间内的最值是唯一的（函数值唯一，可能在多个点取得相同最值）。例如，函数\( f(x) = \sin x \)在\([0, 2\pi]\)上，最大值为\( 1 \)（\( x=\frac{\pi}{2} \)处），最小值为\( -1 \)（\( x=\frac{3\pi}{2} \)处），函数值唯一；函数\( f(x) = |x| \)在\([-1, 1]\)上，最小值为\( 0 \)（\( x=0 \)处），最大值为\( 1 \)（\( x=\pm1 \)处），最大值在两个点取得，但函数值唯一。

3. 取值位置：极值只能在区间内部取得，不能在端点取得。最值可在区间内部（极值点）或端点取得。

极值只能在区间的内部取得（即不能在区间端点处取得）。因为极值的定义要求比较“邻域内”的点，区间端点只有单侧邻域，不满足极值定义的“附近所有点（\( x \neq x_0 \)）”的条件。

最值可以在区间内部的极值点处取得，也可以在区间的端点处取得。例如，函数\( f(x) = x^2 - 2x \)在\([0, 3]\)上，内部驻点\( x=1 \)处为极小值（也是最小值，为\( -1 \)），区间端点\( x=3 \)处为最大值（为\( 3 \)）。

例题1：求函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 \)在闭区间\([-2,4]\)上的极值与最值。

解析：

1. 求导：\( f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1) \)。

2. 找驻点：令\( f'(x) = 0 \)，得\( x = -1 \)或\( x = 3 \)，无不可导点。

3. 求极值：

用第一充分条件：\( x < -1 \)时\( f'(x) > 0 \)，\( -1 < x < 3 \)时\( f'(x) < 0 \)，故\( x=-1 \)是极大值点，极大值\( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = 10 \)；

\( 3 < x < 4 \)时\( f'(x) > 0 \)，故\( x=3 \)是极小值点，极小值\( f(3) = 3^3 - 3×3^2 - 9×3 + 5 = -22 \)。

4. 求最值：计算端点值\( f(-2) = -8 - 12 + 18 + 5 = 3 \)，\( f(4) = 64 - 48 - 36 + 5 = -15 \)。比较得最大值为10（\( x=-1 \)），最小值为-22（\( x=3 \)）。

例题2：求函数\( f(x) = x - 2\sin x \)在区间\([0, 2\pi]\)上的极值与最值。

解析：

1. 求导：\( f'(x) = 1 - 2\cos x \)。

2. 找驻点：令\( f'(x) = 0 \)，得\( \cos x = \frac{1}{2} \)，在\([0, 2\pi]\)内解得\( x = \frac{\pi}{3} \)或\( x = \frac{5\pi}{3} \)。

3. 求极值：

二阶导数\( f''(x) = 2\sin x \)，\( f''\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} > 0 \)，故\( x=\frac{\pi}{3} \)是极小值点，极小值\( f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} - 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} \)；

\( f''\left(\frac{5\pi}{3}\right) = 2×\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3} < 0 \)，故\( x=\frac{5\pi}{3} \)是极大值点，极大值\( f\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{5\pi}{3} - 2×\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{3} + \sqrt{3} \)。

4. 求最值：端点值\( f(0) = 0 \)，\( f(2\pi) = 2\pi \)。比较得最大值为\( 2\pi \)（\( x=2\pi \)），最小值为\( \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} \)（\( x=\frac{\pi}{3} \)）。

例题3：求函数\( f(x) = (x^2 - 1)^3 + 1 \)的极值。

解析：

1. 求导：\( f'(x) = 3(x^2 - 1)^2×2x = 6x(x^2 - 1)^2 \)。

2. 找驻点：令\( f'(x) = 0 \)，得\( x = -1, 0, 1 \)。

3. 分析极值：

当\( x < -1 \)时，\( f'(x) < 0 \)；\( -1 < x < 0 \)时，\( f'(x) < 0 \)，\( f'(x) \)在\( x=-1 \)两侧符号不变，故\( x=-1 \)非极值点；

当\( 0 < x < 1 \)时，\( f'(x) > 0 \)，\( f'(x) \)在\( x=0 \)两侧由负变正，故\( x=0 \)是极小值点，极小值\( f(0) = (-1)^3 + 1 = 0 \)；

当\( x > 1 \)时，\( f'(x) > 0 \)，\( f'(x) \)在\( x=1 \)两侧符号不变，故\( x=1 \)非极值点。

例题4：设函数\( f(x) = e^x - ax + 1 \)，求\( f(x) \)的极值，并讨论\( f(x) \)在\( \mathbb{R} \)上的最值。

解析：

1. 求导：\( f'(x) = e^x - a \)。

2. 分类讨论驻点：

当\( a \leq 0 \)时，\( f'(x) = e^x - a > 0 \)恒成立，\( f(x) \)在\( \mathbb{R} \)上单调递增，无极值，也无最值；

当\( a > 0 \)时，令\( f'(x) = 0 \)，得\( x = \ln a \)。

3. 求极值：\( x < \ln a \)时\( f'(x) < 0 \)，\( x > \ln a \)时\( f'(x) > 0 \)，故\( x=\ln a \)是极小值点，极小值\( f(\ln a) = e^{\ln a} - a\ln a + 1 = a - a\ln a + 1 \)，无极大值。

4. 讨论最值：当\( a > 0 \)时，\( \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty \)，故极小值即为最小值，无最大值。

例题5：求函数\( f(x) = x^2 e^{-x} \)在区间\([-1, 3]\)上的最值。

解析：

1. 求导：\( f'(x) = 2x e^{-x} + x^2 (-e^{-x}) = x e^{-x} (2 - x) \)。

2. 找驻点：令\( f'(x) = 0 \)，得\( x = 0 \)或\( x = 2 \)（\( e^{-x} \neq 0 \)）。

3. 计算关键点函数值：

\( f(-1) = (-1)^2 e^{1} = e \approx 2.718 \)；

\( f(0) = 0^2 e^{0} = 0 \)；

\( f(2) = 2^2 e^{-2} = \frac{4}{e^2} \approx 0.541 \)；

\( f(3) = 3^2 e^{-3} = \frac{9}{e^3} \approx 0.448 \)。

4. 比较得最大值为\( e \)（\( x=-1 \)），最小值为0（\( x=0 \)）。

例题6：求函数\( f(x) = \frac{x}{1 + x^2} \)的极值，并判断其在定义域上的最值情况。

解析：

1. 定义域为\( \mathbb{R} \)，求导：\( f'(x) = \frac{(1)(1 + x^2) - x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} \)。

2. 找驻点：令\( f'(x) = 0 \)，得\( x = \pm 1 \)。

3. 求极值：

\( x < -1 \)时\( f'(x) < 0 \)，\( -1 < x < 1 \)时\( f'(x) > 0 \)，故\( x=-1 \)是极小值点，极小值\( f(-1) = \frac{-1}{1 + 1} = -\frac{1}{2} \)；

\( x > 1 \)时\( f'(x) < 0 \)，故\( x=1 \)是极大值点，极大值\( f(1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \)。

4. 最值判断：\( \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{1 + x^2} = 0 \)，故极大值\( \frac{1}{2} \)是最大值，极小值\( -\frac{1}{2} \)是最小值。

例题7：求函数\( f(x) = x + \frac{1}{x} \)在区间\((0, +\infty)\)上的极值与最值。

解析：

1. 求导：\( f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} \)。

2. 找驻点：令\( f'(x) = 0 \)，得\( x = 1 \)（\( x > 0 \)，舍去负根）。

3. 求极值：\( 0 < x < 1 \)时\( f'(x) < 0 \)，\( x > 1 \)时\( f'(x) > 0 \)，故\( x=1 \)是极小值点，极小值\( f(1) = 2 \)，无极大值。

4. 最值判断：\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty \)，\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)，故极小值2是最小值，无最大值。

例题8：设函数\( f(x) = x^3 + 3ax^2 + 3bx + c \)在\( x = 2 \)处有极值，且其图像在\( x = 1 \)处的切线与直线\( 6x + 2y + 5 = 0 \)平行，求\( a,b \)的值，并求\( f(x) \)的极值（用\( c \)表示）。

解析：

1. 求导：\( f'(x) = 3x^2 + 6ax + 3b = 3(x^2 + 2ax + b) \)。

2. 利用极值条件：\( x=2 \)是极值点，故\( f'(2) = 0 \)，即\( 4 + 4a + b = 0 \) ①；

3. 利用切线条件：直线\( 6x + 2y + 5 = 0 \)斜率为-3，切线斜率\( f'(1) = -3 \)，即\( 1 + 2a + b = -1 \) ②；

4. 解方程组①②：①-②得\( 3 + 2a = 1 \)，\( a = -1 \)，代入②得\( 1 - 2 + b = -1 \)，\( b = 0 \)。

5. 求极值：\( f'(x) = 3(x^2 - 2x) = 3x(x - 2) \)，驻点\( x=0,2 \)。

\( x < 0 \)时\( f'(x) > 0 \)，\( 0 < x < 2 \)时\( f'(x) < 0 \)，故\( x=0 \)是极大值点，极大值\( f(0) = c \)；

\( x > 2 \)时\( f'(x) > 0 \)，故\( x=2 \)是极小值点，极小值\( f(2) = 8 + 12×(-1) + 0 + c = c - 4 \)。

例题9：求函数\( f(x) = \ln x + \frac{1}{x} \)在区间\([\frac{1}{2}, 2]\)上的最值。

解析：

1. 求导：\( f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} = \frac{x - 1}{x^2} \)。

2. 找驻点：令\( f'(x) = 0 \)，得\( x = 1 \)。

3. 计算关键点函数值：

\( f\left(\frac{1}{2}\right) = \ln \frac{1}{2} + 2 = 2 - \ln 2 \approx 1.307 \)；

\( f(1) = \ln 1 + 1 = 1 \)；

\( f(2) = \ln 2 + \frac{1}{2} \approx 1.193 \)。

4. 比较得最大值为\( 2 - \ln 2 \)（\( x=\frac{1}{2} \)），最小值为1（\( x=1 \)）。

例题10：已知函数\( f(x) = x^3 - 3x + m \)，若\( f(x) \)在区间\([-2, 2]\)上的最大值为2，求其最小值。

解析：

1. 求导：\( f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1) \)。

2. 找驻点：\( x = -1, 1 \)。

3. 计算关键点函数值：

\( f(-2) = -8 + 6 + m = m - 2 \)；

\( f(-1) = -1 + 3 + m = m + 2 \)；

\( f(1) = 1 - 3 + m = m - 2 \)；

\( f(2) = 8 - 6 + m = m + 2 \)。

4. 求最大值：最大值为\( m + 2 = 2 \)，得\( m = 0 \)。

5. 求最小值：最小值为\( m - 2 = -2 \)。

例题11：求函数\( f(x) = (x - 1)x^{\frac{2}{3}} \)的极值。

解析：

1. 定义域为\( \mathbb{R} \)，化简：\( f(x) = x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{2}{3}} \)。

2. 求导：\( f'(x) = \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}}(5x - 2) \)（\( x \neq 0 \)）。

3. 找驻点和不可导点：令\( f'(x) = 0 \)，得\( x = \frac{2}{5} \)；\( x=0 \)时导数不存在。

4. 分析极值：

当\( x < 0 \)时，\( x^{-\frac{1}{3}} < 0 \)，\( 5x - 2 < 0 \)，故\( f'(x) > 0 \)；

当\( 0 < x < \frac{2}{5} \)时，\( x^{-\frac{1}{3}} > 0 \)，\( 5x - 2 < 0 \)，故\( f'(x) < 0 \)；

当\( x > \frac{2}{5} \)时，\( x^{-\frac{1}{3}} > 0 \)，\( 5x - 2 > 0 \)，故\( f'(x) > 0 \)。

因此，\( x=0 \)是极大值点，极大值\( f(0) = 0 \)；\( x=\frac{2}{5} \)是极小值点，极小值\( f\left(\frac{2}{5}\right) = \left(\frac{2}{5} - 1\right)\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{2}{3}} = -\frac{3}{5}×\left(\frac{4}{25}\right)^{\frac{1}{3}} = -\frac{3×4^{\frac{1}{3}}}{5×5^{\frac{2}{3}}} = -\frac{3×2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}} \)。

例题12：设函数\( f(x) = e^{2x} - 2e^x + ax + 1 \)在\( \mathbb{R} \)上存在最小值，求实数\( a \)的取值范围，并求此时的最小值（用\( a \)表示）。

解析：

1. 令\( t = e^x \)（\( t > 0 \)），则\( f(x) = g(t) = t^2 - 2t + a\ln t + 1 \)，问题转化为\( g(t) \)在\((0, +\infty)\)上存在最小值。

2. 求导：\( g'(t) = 2t - 2 + \frac{a}{t} = \frac{2t^2 - 2t + a}{t} \)。

3. 分析\( g(t) \)存在最小值的条件：\( g'(t) = 0 \)在\((0, +\infty)\)上有正根，即\( 2t^2 - 2t + a = 0 \)在\((0, +\infty)\)上有解。

方程\( 2t^2 - 2t + a = 0 \)的判别式\( \Delta = 4 - 8a \geq 0 \)，得\( a \leq \frac{1}{2} \)。

当\( a \leq \frac{1}{2} \)时，正根为\( t = \frac{2 + \sqrt{4 - 8a}}{4} = \frac{1 + \sqrt{1 - 2a}}{2} \)（另一根\( \frac{1 - \sqrt{1 - 2a}}{2} \)，当\( a > 0 \)时为正，当\( a \leq 0 \)时非正，舍去非正根）。

4. 求最小值：设正根为\( t_0 \)，则\( 2t_0^2 - 2t_0 + a = 0 \)，即\( a = 2t_0 - 2t_0^2 \)。

\( g(t_0) = t_0^2 - 2t_0 + (2t_0 - 2t_0^2)\ln t_0 + 1 \)，即为\( f(x) \)的最小值。

例题13：求函数\( f(x) = x^2 - 2\ln x \)在区间\([1, e]\)上的最值。

解析：

1. 求导：\( f'(x) = 2x - \frac{2}{x} = \frac{2(x^2 - 1)}{x} \)。

2. 找驻点：在\([1, e]\)内，令\( f'(x) = 0 \)，得\( x = 1 \)（\( x=-1 \)舍去）。

3. 计算关键点函数值：

\( f(1) = 1 - 0 = 1 \)；

\( f(e) = e^2 - 2\ln e = e^2 - 2 \approx 5.389 \)。

4. 分析单调性：在\([1, e]\)上\( f'(x) \geq 0 \)，函数单调递增，故最大值为\( e^2 - 2 \)（\( x=e \)），最小值为1（\( x=1 \)）。

例题14：已知函数\( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)的图像过点\( P(0, 2) \)，且在\( x = 1 \)处取得极值\(-1\)，又在\( x = 2 \)处的切线斜率为0，求函数\( f(x) \)的解析式及极值。

解析：

1. 由过点\( P(0,2) \)得\( d = 2 \)，故\( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 2 \)。

2. 求导：\( f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \)。

3. 利用极值条件：\( x=1 \)处极值为-1，故\( f(1) = a + b + c + 2 = -1 \) ①，\( f'(1) = 3a + 2b + c = 0 \) ②；

4. 利用切线斜率条件：\( x=2 \)处切线斜率为0，故\( f'(2) = 12a + 4b + c = 0 \) ③；

5. 解方程组：②-①得\( 2a + b - 3 = 0 \) ④；③-②得\( 9a + 2b = 0 \) ⑤；

由④得\( b = 3 - 2a \)，代入⑤得\( 9a + 6 - 4a = 0 \)，\( 5a = -6 \)，\( a = -\frac{6}{5} \)，则\( b = 3 - 2×\left(-\frac{6}{5}\right) = \frac{27}{5} \)，代入①得\( -\frac{6}{5} + \frac{27}{5} + c + 2 = -1 \)，\( c = -\frac{24}{5} \)。

6. 解析式：\( f(x) = -\frac{6}{5}x^3 + \frac{27}{5}x^2 - \frac{24}{5}x + 2 \)。

7. 求极值：\( f'(x) = -\frac{18}{5}x^2 + \frac{54}{5}x - \frac{24}{5} = -\frac{3}{5}(6x^2 - 18x + 8) \)，驻点\( x=1,2 \)。

\( x < 1 \)时\( f'(x) < 0 \)，\( 1 < x < 2 \)时\( f'(x) > 0 \)，\( x > 2 \)时\( f'(x) < 0 \)，故\( x=1 \)是极小值点，极小值\(-1\)；\( x=2 \)是极大值点，极大值\( f(2) = -\frac{48}{5} + \frac{108}{5} - \frac{48}{5} + 2 = 0 \)。

例题15：求函数\( f(x) = \frac{\ln x}{x} \)的极值，并讨论其在定义域上的最值。

解析：

1. 定义域为\((0, +\infty)\)，求导：\( f'(x) = \frac{\frac{1}{x}×x - \ln x×1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \)。

2. 找驻点：令\( f'(x) = 0 \)，得\( x = e \)。

3. 求极值：\( 0 < x < e \)时\( f'(x) > 0 \)，\( x > e \)时\( f'(x) < 0 \)，故\( x=e \)是极大值点，极大值\( f(e) = \frac{1}{e} \)，无极小值。

4. 最值判断：\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty \)，\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \)，故极大值\( \frac{1}{e} \)是最大值，无最小值。

例题16：设函数\( f(x) = x^3 - 3kx + 2k \)（\( k \)为常数），讨论\( f(x) \)的极值情况，并求其在区间\([0, 2]\)上的最小值。

解析：

1. 求导：\( f'(x) = 3x^2 - 3k = 3(x^2 - k) \)。

2. 分类讨论极值：

当\( k \leq 0 \)时，\( f'(x) \geq 0 \)，\( f(x) \)单调递增，无极值；

当\( k > 0 \)时，令\( f'(x) = 0 \)，得\( x = \pm \sqrt{k} \)。\( x < -\sqrt{k} \)或\( x > \sqrt{k} \)时\( f'(x) > 0 \)，\( -\sqrt{k} < x < \sqrt{k} \)时\( f'(x) < 0 \)，故\( x=-\sqrt{k} \)是极大值点，极大值\( f(-\sqrt{k}) = -k\sqrt{k} + 3k\sqrt{k} + 2k = 2k\sqrt{k} + 2k \)；\( x=\sqrt{k} \)是极小值点，极小值\( f(\sqrt{k}) = k\sqrt{k} - 3k\sqrt{k} + 2k = -2k\sqrt{k} + 2k \)。

3. 求区间\([0,2]\)上的最小值：

当\( k \leq 0 \)时，\( f(x) \)单调递增，最小值为\( f(0) = 2k \)；

当\( 0 < k \leq 4 \)（即\( \sqrt{k} \leq 2 \)）时，最小值为极小值\( -2k\sqrt{k} + 2k \)；

当\( k > 4 \)（即\( \sqrt{k} > 2 \)）时，\( f(x) \)在\([0,2]\)上单调递减，最小值为\( f(2) = 8 - 6k + 2k = 8 - 4k \)。

例题17：求函数\( f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 \)在区间\([-2, 2]\)上的最值。

解析：

1. 求导：\( f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1) \)。

2. 找驻点：令\( f'(x) = 0 \)，得\( x = -1, 0, 1 \)。

3. 计算关键点函数值：

\( f(-2) = 16 - 8 + 3 = 11 \)；

\( f(-1) = 1 - 2 + 3 = 2 \)；

\( f(0) = 0 - 0 + 3 = 3 \)；

\( f(1) = 1 - 2 + 3 = 2 \)；

\( f(2) = 16 - 8 + 3 = 11 \)。

4. 比较得最大值为11（\( x=\pm2 \)），最小值为2（\( x=\pm1 \)）。

例题18：已知函数\( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 1 \)，求其极值，并求曲线\( y = f(x) \)在极值点处的切线方程。

解析：

1. 求导：\( f'(x) = x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \)。

2. 找驻点：令\( f'(x) = 0 \)，得\( x = -1, 3 \)。

3. 求极值：

\( x < -1 \)时\( f'(x) > 0 \)，\( -1 < x < 3 \)时\( f'(x) < 0 \)，故\( x=-1 \)是极大值点，极大值\( f(-1) = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 1 = \frac{8}{3} \)；

\( x > 3 \)时\( f'(x) > 0 \)，故\( x=3 \)是极小值点，极小值\( f(3) = 9 - 9 - 9 + 1 = -8 \)。

4. 求切线方程：

极大值点\((-1, \frac{8}{3})\)处，切线斜率\( f'(-1) = 0 \)，切线方程为\( y = \frac{8}{3} \)；

极小值点\((3, -8)\)处，切线斜率\( f'(3) = 0 \)，切线方程为\( y = -8 \)。

例题19：求函数\( f(x) = e^x \cos x \)在区间\([0, \frac{\pi}{2}]\)上的最值。

解析：

1. 求导：\( f'(x) = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x (\cos x - \sin x) \)。

2. 找驻点：令\( f'(x) = 0 \)，得\( \cos x = \sin x \)，在\([0, \frac{\pi}{2}]\)内解得\( x = \frac{\pi}{4} \)。

3. 计算关键点函数值：

\( f(0) = e^0 \cos 0 = 1 \)；

\( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = e^{\frac{\pi}{4}} \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{4}} \approx 1.550 \)；

\( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{\frac{\pi}{2}} \cos \frac{\pi}{2} = 0 \)。

4. 比较得最大值为\( \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{4}} \)（\( x=\frac{\pi}{4} \)），最小值为0（\( x=\frac{\pi}{2} \)）。

例题20：设函数\( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1 \)，若\( x = 1 \)是函数\( f(x) \)的一个极值点，且\( f(x) \)在区间\([0, 2]\)上的最小值为\(-1\)，求\( a,b \)的值。

解析：

1. 求导：\( f'(x) = 3x^2 + 2ax + b \)。

2. 利用极值点条件：\( x=1 \)是极值点，故\( f'(1) = 3 + 2a + b = 0 \)，即\( b = -3 - 2a \) ①。

3. 代入解析式：\( f(x) = x^3 + ax^2 - (3 + 2a)x + 1 \)，\( f'(x) = 3x^2 + 2ax - 3 - 2a = (x - 1)(3x + 3 + 2a) \)。

4. 找驻点：令\( f'(x) = 0 \)，得\( x = 1 \)或\( x = -\frac{3 + 2a}{3} \)。

5. 分类讨论区间\([0,2]\)上的最小值：

情况1：\( -\frac{3 + 2a}{3} \leq 0 \)，即\( a \geq -\frac{3}{2} \)。此时\( f(x) \)在\([0,1]\)上单调递减，在\([1,2]\)上单调递增，最小值为\( f(1) = 1 + a - 3 - 2a + 1 = -a - 1 \)。由\(-a - 1 = -1\)，得\( a = 0 \)，代入①得\( b = -3 \)。

情况2：\( 0 < -\frac{3 + 2a}{3} < 1 \)，即\(-3 < a < -\frac{3}{2}\)。此时\( f(x) \)在\([0, -\frac{3 + 2a}{3}]\)递增，\([-\frac{3 + 2a}{3}, 1]\)递减，\([1,2]\)递增，最小值为\( \min\{f(0), f(1)\} \)。\( f(0) = 1 \)，\( f(1) = -a - 1 \)，由\(-a - 1 = -1\)得\( a=0 \)，不满足区间条件，舍去。

情况3：\( 1 < -\frac{3 + 2a}{3} < 2 \)，即\(-\frac{9}{2} < a < -3\)。此时\( f(x) \)在\([0,1]\)递增，\([1, -\frac{3 + 2a}{3}]\)递减，\([-\frac{3 + 2a}{3}, 2]\)递增，最小值为\( \min\{f(0), f(-\frac{3 + 2a}{3})\} \)。\( f(0)=1 \)，计算\( f(-\frac{3 + 2a}{3}) \)得正值，不满足最小值为-1，舍去。

情况4：\( -\frac{3 + 2a}{3} \geq 2 \)，即\( a \leq -\frac{9}{2} \)。此时\( f(x) \)在\([0,2]\)上单调递增，最小值为\( f(0)=1 \)，不满足，舍去。

6. 综上，\( a=0 \)，\( b=-3 \)。