函数的微分

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一、微分的基本概念

1. 微分的定义

设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域内有定义，若函数在 \(x_0\) 处的增量 \(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\) 可表示为：

\(\Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x)\)

其中 \(A\) 是与 \(\Delta x\) 无关的常数（仅与 \(x_0\) 和 \(f\) 有关），\(o(\Delta x)\) 是当 \(\Delta x \to 0\) 时比 \(\Delta x\) 高阶的无穷小（即 \(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} = 0\)），则称函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可微，且称 \(A \cdot \Delta x\) 为函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的微分，记为 \(dy|_{x=x_0}\) 或 \(df(x_0)\)，即：

\(dy|_{x=x_0} = A \cdot \Delta x\)

对于自变量 \(x\)，规定其微分 \(dx = \Delta x\)，因此微分可改写为更常用的形式：\(dy|_{x=x_0} = A \cdot dx\)

2. 可微与可导的关系（核心定理）

函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可微的充要条件是 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导，且此时 \(A = f'(x_0)\)。

由此可得微分的最终表达式：\(dy = f'(x) \cdot dx\)

这一关系表明：微分 \(dy\) 是导数 \(f'(x)\) 与自变量微分 \(dx\) 的乘积，且导数可表示为微分的商（即 \(f'(x) = \frac{dy}{dx}\)），因此导数也称为“微商”。

3. 微分的几何意义

在几何上，函数 \(y = f(x)\) 的图像是一条曲线，当自变量在 \(x_0\) 处取得增量 \(\Delta x\) 时，曲线在点 \(P(x_0, f(x_0))\) 处的切线对应的增量为 \(dy = f'(x_0)dx\)（切线的“纵坐标增量”），而曲线本身的纵坐标增量为 \(\Delta y\)。

简言之：微分 \(dy\) 是曲线在点 \(P\) 处切线的纵坐标增量，\(\Delta y - dy\) 是当 \(\Delta x \to 0\) 时的高阶无穷小，因此当 \(|\Delta x|\) 很小时，可用 \(dy\) 近似代替 \(\Delta y\)（即“以切代曲”）。

二、微分的基本性质

微分作为函数增量的线性近似，具有以下性质（设 \(u = u(x)\)、\(v = v(x)\) 均可微，\(C\) 为常数）：

1. 线性性质

常数的微分：\(dC = 0\)（常数的导数为0，故微分也为0）；

线性组合的微分：\(d(Cu) = C \cdot du\)（常数因子可提出）；

和差的微分：\(d(u \pm v) = du \pm dv\)（微分对和差运算满足分配律）。

2. 乘积的微分

\(d(uv) = u \cdot dv + v \cdot du\)

注意区别于导数的乘积法则，形式上更对称，因 \(d(uv) = (uv)'dx = (u'v + uv')dx = v \cdot u'dx + u \cdot v'dx = vdu + udv\)。

3. 商的微分

若 \(v \neq 0\)，则 \(d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \cdot du - u \cdot dv}{v^2}\)（推导类似乘积法则，利用导数的商法则转化）。

4. 复合函数的微分（微分形式不变性）

设 \(y = f(u)\)，\(u = g(x)\)，则复合函数 \(y = f[g(x)]\) 的微分：

从 \(y\) 对 \(x\) 看：\(dy = y'_x dx = f'(u) \cdot g'(x) dx\)；

从 \(y\) 对 \(u\) 看：\(du = g'(x) dx\)，代入得 \(dy = f'(u) du\)。

可见，无论 \(u\) 是自变量还是中间变量，微分 \(dy = f'(u) du\) 的形式始终不变，这一性质称为微分形式不变性。它是微分区别于导数的重要特征，简化了复合函数微分的计算。

5. 高阶微分的性质

函数 \(y = f(x)\) 的一阶微分 \(dy = f'(x) dx\)，若 \(f'(x)\) 仍可微，则二阶微分 \(d^2y = d(dy) = f''(x) dx^2\)（注意 \(dx^2 = (dx)^2\)，非 \(d(x^2)\)）；同理，\(n\) 阶微分 \(d^n y = f^{(n)}(x) dx^n\)。

需注意：高阶微分不满足形式不变性（如二阶微分中，若 \(u\) 是中间变量，\(d^2y = f''(u) du^2 + f'(u) d^2u\)，多了一项 \(f'(u) d^2u\)）。

三、微分的运算法则（与导数对应）

由于微分 \(dy = f'(x) dx\)，微分的运算法则可直接由导数的运算法则推导而来，核心是“先求导，再乘 \(dx\)”。以下是常见函数的微分公式（设 \(C\) 为常数，\(x > 0\) 对对数函数适用）：

1. 基本初等函数的微分

\(d(C) = 0\)

\(d(x^\alpha) = \alpha x^{\alpha - 1} dx\)（如 \(d(x^2) = 2x dx\)，\(d(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx\)）

\(d(a^x) = a^x \ln a dx\)（特例：\(d(e^x) = e^x dx\)）

\(d(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} dx\)（特例：\(d(\ln x) = \frac{1}{x} dx\)）

\(d(\sin x) = \cos x dx\)

\(d(\cos x) = -\sin x dx\)

\(d(\tan x) = \sec^2 x dx\)（因 \((\tan x)' = \sec^2 x\)）

\(d(\cot x) = -\csc^2 x dx\)

\(d(\sec x) = \sec x \tan x dx\)

\(d(\csc x) = -\csc x \cot x dx\)

\(d(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx\)（\(|x| < 1\)）

\(d(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx\)（\(|x| < 1\)）

\(d(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} dx\)

\(d(\text{arccot } x) = -\frac{1}{1 + x^2} dx\)

2. 复合函数的微分（利用形式不变性）

例如，求 \(y = \sin(2x + 1)\) 的微分：设 \(u = 2x + 1\)，则 \(y = \sin u\)，由形式不变性：

\(dy = \cos u \cdot du = \cos(2x + 1) \cdot d(2x + 1) = \cos(2x + 1) \cdot 2 dx = 2\cos(2x + 1) dx\)。

四、微分的二级结论（高频考点与实用技巧）

微分的二级结论多源于其定义、几何意义及与导数的关联，常用于近似计算、误差分析和导数逆运算（不定积分基础）。

1. 近似计算公式（\(|\Delta x| \ll 1\) 时）

由微分定义 \(\Delta y \approx dy\)，即：\(f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x\)

令 \(x = x_0 + \Delta x\)（则 \(\Delta x = x - x_0\)），公式可改写为：\(f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\)

常用特例（取 \(x_0 = 0\)，\(|x| \ll 1\)）：

\(\sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{1}{2}x\)（因 \(f(x) = \sqrt{1 + x}\)，\(f'(0) = \frac{1}{2}\)）

\(\frac{1}{1 + x} \approx 1 - x\)（因 \(f(x) = \frac{1}{1 + x}\)，\(f'(0) = -1\)）

\(\sin x \approx x\)（弧度制，\(f(x) = \sin x\)，\(f'(0) = 1\)）

\(\cos x \approx 1 - \frac{1}{2}x^2\)（\(f'(0) = 0\)，需用二阶近似，因一阶微分近似为0）

\(e^x \approx 1 + x\)（\(f(x) = e^x\)，\(f'(0) = 1\)）

\(\ln(1 + x) \approx x\)（\(f(x) = \ln(1 + x)\)，\(f'(0) = 1\)）

2. 误差分析公式

设某量 \(x\) 的测量值为 \(x_0\)，绝对误差 \(|\Delta x| \leq \delta_x\)，则由 \(y = f(x)\) 计算 \(y\) 时：

绝对误差：\(|\Delta y| \approx |dy| = |f'(x_0)| \cdot |\Delta x| \leq |f'(x_0)| \cdot \delta_x\)，记为 \(\delta_y = |f'(x_0)| \cdot \delta_x\)；

相对误差：\(\left|\frac{\Delta y}{y_0}\right| \approx \left|\frac{dy}{y_0}\right| = \left|\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}\right| \cdot |\Delta x| \leq \left|\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}\right| \cdot \delta_x\)，记为 \(\frac{\delta_y}{|y_0|}\)（\(y_0 = f(x_0)\)）。

3. 微分与导数的逆关系（不定积分基础）

若 \(dy = f(x) dx\)，则 \(y = \int f(x) dx + C\)（\(C\) 为常数），即微分的逆运算为不定积分，这是积分学的核心桥梁。例如：

已知 \(dy = 2x dx\)，则 \(y = \int 2x dx = x^2 + C\)；

已知 \(dy = \cos x dx\)，则 \(y = \int \cos x dx = \sin x + C\)。

4. 参数方程确定的函数的微分

设函数由参数方程 \(\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}\) 确定（\(\varphi(t)\)、\(\psi(t)\) 均可导，且 \(\varphi'(t) \neq 0\)），则：

\(dy = \psi'(t) dt\)，\(dx = \varphi'(t) dt\)，故 \(\frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\)（即参数方程的导数公式，由微分商推导）。

5. 隐函数的微分

对隐函数 \(F(x, y) = 0\)，两边同时对 \(x\) 求微分（利用微分四则运算和形式不变性），再解出 \(dy\)。例如：

对 \(x^2 + y^2 = 1\) 求微分：\(d(x^2) + d(y^2) = d(0)\) → \(2x dx + 2y dy = 0\) → \(dy = -\frac{x}{y} dx\)（即隐函数的导数 \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\)）。

6. 高阶微分的递推公式

若 \(y = f(x)\) 的 \(n\) 阶导数存在，则 \(n\) 阶微分 \(d^n y = f^{(n)}(x) dx^n\)，且满足递推关系：\(d^n y = d(d^{n-1} y)\)

例如：\(y = e^x\)，则 \(d^n y = e^x dx^n\)；\(y = \sin x\)，则 \(d^n y = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) dx^n\)。

例题1：基本初等函数的微分（幂函数）求函数 \(y = x^3 - 2x^2 + 3x - 1\) 的微分 \(dy\)。

解：

先求导数 \(y' = 3x^2 - 4x + 3\)，再乘 \(dx\)：

\(dy = (3x^2 - 4x + 3) dx\)。

例题2：基本初等函数的微分（指数函数）求函数 \(y = e^{2x}\) 的微分 \(dy\)。

解：

导数 \(y' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}\)，故：

\(dy = 2e^{2x} dx\)（或用形式不变性：设 \(u = 2x\)，\(dy = e^u du = e^{2x} \cdot 2 dx = 2e^{2x} dx\)）。

例题3：基本初等函数的微分（三角函数）求函数 \(y = \cos(x^2)\) 的微分 \(dy\)。

解：

设 \(u = x^2\)，则 \(y = \cos u\)，由形式不变性：

\(dy = -\sin u \cdot du = -\sin(x^2) \cdot d(x^2) = -\sin(x^2) \cdot 2x dx = -2x\sin(x^2) dx\)。

例题4：乘积的微分。求函数 \(y = x^2 \ln x\) 的微分 \(dy\)。

解：

由乘积微分法则 \(d(uv) = u dv + v du\)，设 \(u = x^2\)，\(v = \ln x\)：

\(du = 2x dx\)，\(dv = \frac{1}{x} dx\)，故：

\(dy = x^2 \cdot \frac{1}{x} dx + \ln x \cdot 2x dx = x dx + 2x\ln x dx = x(1 + 2\ln x) dx\)。

例题5：商的微分。求函数 \(y = \frac{x}{1 + x^2}\) 的微分 \(dy\)。

解：

由商的微分法则 \(d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v du - u dv}{v^2}\)，设 \(u = x\)，\(v = 1 + x^2\)：

\(du = dx\)，\(dv = 2x dx\)，故：

\(dy = \frac{(1 + x^2) \cdot dx - x \cdot 2x dx}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} dx = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} dx\)。

例题6：复合函数的微分（形式不变性）求函数 \(y = \sqrt{1 + \sin^2 x}\) 的微分 \(dy\)。

解：

设 \(u = 1 + \sin^2 x\)，则 \(y = \sqrt{u}\)，由形式不变性：

\(dy = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot du\)；

再求 \(du = d(1 + \sin^2 x) = 2\sin x \cdot d(\sin x) = 2\sin x \cos x dx = \sin 2x dx\)；

代入得：\(dy = \frac{1}{2\sqrt{1 + \sin^2 x}} \cdot \sin 2x dx = \frac{\sin 2x}{2\sqrt{1 + \sin^2 x}} dx\)。

例题7：隐函数的微分。设 \(x^2 + xy + y^2 = 3\)，求微分 \(dy\) 及在点 \((1, 1)\) 处的 \(dy\)。

解：

对等式两边求微分：

\(d(x^2) + d(xy) + d(y^2) = d(3)\)；

展开得：\(2x dx + (x dy + y dx) + 2y dy = 0\)；

整理含 \(dy\) 的项：\((x + 2y) dy = -(2x + y) dx\)；

解得：\(dy = -\frac{2x + y}{x + 2y} dx\)；

代入点 \((1, 1)\)：\(dy|_{(1,1)} = -\frac{2 \times 1 + 1}{1 + 2 \times 1} dx = -dx\)。

例题8：参数方程的微分。设函数由参数方程 \(\begin{cases} x = t^2 \\ y = \sin t \end{cases}\) 确定，求 \(\frac{dy}{dx}\)（即 \(\frac{dy}{dx}\) 可由微分商表示）。

解：

分别求 \(x\) 和 \(y\) 的微分：

\(dx = d(t^2) = 2t dt\)，\(dy = d(\sin t) = \cos t dt\)；

故 \(\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t dt}{2t dt} = \frac{\cos t}{2t}\)（\(t \neq 0\)）。

例题9：近似计算（平方根）用微分近似计算 \(\sqrt{1.02}\) 的值。

解：

取 \(f(x) = \sqrt{x}\)，需计算 \(f(1.02)\)，选 \(x_0 = 1\)（因 \(1.02\) 接近 \(1\)，且 \(f(1)\)、\(f'(1)\) 易算）；

\(f(x_0) = f(1) = 1\)，\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)，故 \(f'(1) = \frac{1}{2}\)；

\(\Delta x = 1.02 - 1 = 0.02\)，由近似公式 \(f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x\)：

\(\sqrt{1.02} \approx 1 + \frac{1}{2} \times 0.02 = 1 + 0.01 = 1.01\)（精确值约为 \(1.00995\)，误差极小）。

例题10：近似计算（三角函数）用微分近似计算 \(\sin 31^\circ\) 的值（提示：\(31^\circ = 30^\circ + 1^\circ\)，需转化为弧度制）。

解：

\(1^\circ = \frac{\pi}{180} \approx 0.01745\) 弧度，取 \(f(x) = \sin x\)，\(x_0 = 30^\circ = \frac{\pi}{6}\)（弧度），\(\Delta x = 0.01745\)；

\(f(x_0) = \sin\frac{\pi}{6} = 0.5\)，\(f'(x) = \cos x\)，故 \(f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660\)；

由近似公式：\(\sin 31^\circ \approx 0.5 + 0.8660 \times 0.01745 \approx 0.5 + 0.0151 = 0.5151\)（精确值约为 \(0.5150\)，误差极小）。

例题11：近似计算（指数函数）用微分近似计算 \(e^{-0.05}\) 的值。

解：

取 \(f(x) = e^x\)，\(x_0 = 0\)，\(\Delta x = -0.05\)（因 \(|-0.05| \ll 1\)）；

\(f(0) = 1\)，\(f'(0) = e^0 = 1\)；

由近似公式：\(e^{-0.05} \approx 1 + 1 \times (-0.05) = 0.95\)（精确值约为 \(0.9512\)，误差较小）。

例题12：误差分析（面积误差）测量正方形的边长为 \(a = 20\) cm，绝对误差 \(\delta_a = 0.05\) cm，求正方形面积 \(S = a^2\) 的绝对误差 \(\delta_S\) 和相对误差 \(\frac{\delta_S}{S}\)。

解：

面积 \(S = a^2\)，微分 \(dS = 2a da\)；

绝对误差 \(\delta_S \approx |dS| = 2a \cdot \delta_a = 2 \times 20 \times 0.05 = 2\) cm²；

面积 \(S = 20^2 = 400\) cm²，相对误差 \(\frac{\delta_S}{S} \approx \frac{2}{400} = 0.5\%\)。

例题13：误差分析（体积误差）测量球体的半径为 \(r = 10\) cm，绝对误差 \(\delta_r = 0.1\) cm，求球体体积 \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) 的绝对误差 \(\delta_V\) 和相对误差 \(\frac{\delta_V}{V}\)。

解：

体积 \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)，微分 \(dV = 4\pi r^2 dr\)；

绝对误差 \(\delta_V \approx |dV| = 4\pi r^2 \cdot \delta_r = 4\pi \times 10^2 \times 0.1 = 40\pi \approx 125.66\) cm³；

体积 \(V = \frac{4}{3}\pi \times 10^3 = \frac{4000}{3}\pi\) cm³，相对误差 \(\frac{\delta_V}{V} \approx \frac{40\pi}{\frac{4000}{3}\pi} = \frac{3}{100} = 3\%\)。

例题14：高阶微分（二阶微分）求函数 \(y = x^2 e^x\) 的二阶微分 \(d^2 y\)。

解：

先求一阶微分 \(dy\)：

\(dy = d(x^2 e^x) = x^2 d(e^x) + e^x d(x^2) = x^2 e^x dx + e^x \cdot 2x dx = e^x(x^2 + 2x) dx\)；

再求二阶微分 \(d^2 y = d(dy) = d\left[e^x(x^2 + 2x) dx\right]\)（\(dx\) 为常数，可提出）：

\(d^2 y = dx \cdot d\left[e^x(x^2 + 2x)\right] = dx \cdot \left[e^x(x^2 + 2x) dx + e^x(2x + 2) dx\right] = e^x(x^2 + 4x + 2) dx^2\)。

例题15：高阶微分（三阶微分）求函数 \(y = \ln x\) 的三阶微分 \(d^3 y\)。

解：

一阶微分 \(dy = \frac{1}{x} dx\)；

二阶微分 \(d^2 y = d\left(\frac{1}{x} dx\right) = dx \cdot d\left(x^{-1}\right) = dx \cdot (-1)x^{-2} dx = -\frac{1}{x^2} dx^2\)；

三阶微分 \(d^3 y = d\left(-\frac{1}{x^2} dx^2\right) = dx^2 \cdot d\left(-x^{-2}\right) = dx^2 \cdot 2x^{-3} dx = \frac{2}{x^3} dx^3\)。

例题16：微分与导数的逆关系（不定积分基础）已知 \(dy = (3x^2 + 2\cos x) dx\)，求函数 \(y = f(x)\)。

解：

由微分与积分的逆关系，\(y = \int (3x^2 + 2\cos x) dx + C\)；

计算积分：\(\int 3x^2 dx = x^3\)，\(\int 2\cos x dx = 2\sin x\)，故：

\(y = x^3 + 2\sin x + C\)（\(C\) 为任意常数）。

例题17：微分与导数的逆关系（含指数函数）已知 \(dy = (e^x - \frac{1}{x}) dx\)（\(x > 0\)），求函数 \(y = f(x)\)。

解：

\(y = \int \left(e^x - \frac{1}{x}\right) dx + C = e^x - \ln x + C\)（\(C\) 为任意常数）。

例题18：复合函数微分的应用（求导数）已知 \(y = \ln(\tan x)\)，用微分求 \(\frac{dy}{dx}\)。

解：

先求微分 \(dy\)，设 \(u = \tan x\)，则 \(y = \ln u\)：

\(dy = \frac{1}{u} du = \frac{1}{\tan x} \cdot d(\tan x) = \cot x \cdot \sec^2 x dx\)；

化简：\(\cot x \cdot \sec^2 x = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}\)；

故 \(\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sin 2x}\)。

例题19：微分的几何意义（切线增量）求函数 \(y = x^2\) 在点 \(x = 1\) 处，当 \(\Delta x = 0.1\) 时的 \(\Delta y\) 和 \(dy\)，并比较两者大小。

解：

1. 计算 \(\Delta y\)：\(\Delta y = f(1 + 0.1) - f(1) = (1.1)^2 - 1^2 = 1.21 - 1 = 0.21\)；

2. 计算 \(dy\)：\(f'(x) = 2x\)，故 \(dy|_{x=1} = f'(1) \Delta x = 2 \times 1 \times 0.1 = 0.2\)；

3. 比较：\(\Delta y = 0.21\)，\(dy = 0.2\)，两者差值 \(\Delta y - dy = 0.01\)，为高阶无穷小（\(\frac{0.01}{0.1} = 0.1 \to 0\) 当 \(\Delta x \to 0\) 时）。

例题20：微分的综合应用（近似计算与误差）用微分近似计算 \(\sqrt[3]{8.02}\)，并估计绝对误差（设测量值 \(8.02\) 的绝对误差 \(\delta_x = 0.02\)）。

解：

1. 近似计算：取 \(f(x) = \sqrt[3]{x}\)，\(x_0 = 8\)（\(\sqrt[3]{8} = 2\)），\(\Delta x = 0.02\)；

\(f'(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\)，故 \(f'(8) = \frac{1}{3} \times 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}\)；

由近似公式：\(\sqrt[3]{8.02} \approx 2 + \frac{1}{12} \times 0.02 \approx 2 + 0.00167 = 2.00167\)（精确值约为 \(2.001665\)）；

2. 绝对误差估计：\(\delta_y \approx |f'(x_0)| \cdot \delta_x = \frac{1}{12} \times 0.02 \approx 0.00167\)，即绝对误差不超过 \(0.0017\)。

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