无穷小、无穷大、洛必达法则求极限

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

极限是微积分的基础，而无穷小、无穷大是描述极限过程中变量趋势的核心概念，洛必达法则则是求解“未定式”极限的重要工具。三者紧密关联——无穷小的比值是未定式的核心形式，洛必达法则通过导数将复杂的未定式极限转化为可直接计算的形式。下

一、无穷小（Infinitesimal）

无穷小不是“很小的数”，而是在某一极限过程中，极限为0的变量（如 \( x \to x_0 \) 或 \( x \to \infty \) 时，\( f(x) \to 0 \)）。

设函数 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 的某去心邻域内（或 \( |x| > M \)，\( M > 0 \)）有定义，若对任意给定的正数 \( \varepsilon \)（无论多小），总存在正数 \( \delta \)（或 \( X \)），使得当 \( 0 < |x - x_0| < \delta \)（或 \( |x| > X \)）时，有 \( |f(x)| < \varepsilon \)，则称 \( f(x) \) 是该极限过程中的无穷小量，简称无穷小，记为：\( \lim_{\substack{x \to x_0 \\ (x \to \infty)}} f(x) = 0 \)

当 \( x \to 0 \) 时，\( x \)、\( \sin x \)、\( 1 - \cos x \) 都是无穷小；

当 \( x \to \infty \) 时，\( \frac{1}{x} \)、\( e^{-x} \)（\( x \to +\infty \)）、\( \frac{\sin x}{x} \) 都是无穷小。

1. 极限与无穷小的关系：\( \lim f(x) = A \iff f(x) = A + \alpha(x) \)，其中 \( \alpha(x) \) 是该过程中的无穷小（即 \( \lim \alpha(x) = 0 \)）。

（意义：任何有极限的变量都可表示为“极限值+无穷小”，将极限问题转化为无穷小分析）

2. 有限个无穷小的和/差/积仍是无穷小（注意：无限个无穷小的和不一定是无穷小，如 \( n \to \infty \) 时，\( \underbrace{\frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n}}_{n次} = 1 \to 1 \)，不是无穷小）。

3. 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小（常用结论：如 \( \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0 \)，因 \( x \to 0 \) 是无穷小，\( \sin \frac{1}{x} \) 有界（\( |\sin \frac{1}{x}| \leq 1 \)））。

4. 无穷小的比较（衡量无穷小趋近于0的“快慢”）：设 \( \alpha(x) \)、\( \beta(x) \) 是同一过程的无穷小，且 \( \beta(x) \neq 0 \)：

若 \( \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0 \)，则称 \( \alpha(x) \) 是 \( \beta(x) \) 的高阶无穷小，记为 \( \alpha(x) = o(\beta(x)) \)；

若 \( \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = C \)（\( C \neq 0 \) 为常数），则称 \( \alpha(x) \) 与 \( \beta(x) \) 是同阶无穷小；

若 \( \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1 \)，则称 \( \alpha(x) \) 与 \( \beta(x) \) 是等价无穷小，记为 \( \alpha(x) \sim \beta(x) \)（等价无穷小是同阶无穷小的特殊情况，求极限时可替换，简化计算）。

常用等价无穷小（\( x \to 0 \) 时）：

\( \sin x \sim x \)

\( \tan x \sim x \)

\( \arcsin x \sim x \)

\( \arctan x \sim x \)

\( 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 \)

\( \ln(1 + x) \sim x \)

\( e^x - 1 \sim x \)

\( (1 + x)^k - 1 \sim kx \)（\( k \) 为常数）。

二、无穷大（Infinite）

无穷大与无穷小互为“倒数关系”，是在某一极限过程中，绝对值无限增大的变量（不是“很大的数”）。

设函数 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 的某去心邻域内（或 \( |x| > M \)，\( M > 0 \)）有定义，若对任意给定的正数 \( G \)（无论多大），总存在正数 \( \delta \)（或 \( X \)），使得当 \( 0 < |x - x_0| < \delta \)（或 \( |x| > X \)）时，有 \( |f(x)| > G \)，则称 \( f(x) \) 是该极限过程中的无穷大量，简称无穷大，记为：\( \lim_{\substack{x \to x_0 \\ (x \to \infty)}} f(x) = \infty \)

若进一步有 \( f(x) > G \)（或 \( f(x) < -G \)），则记为 \( \lim f(x) = +\infty \)（或 \( \lim f(x) = -\infty \)）。

当 \( x \to 0 \) 时，\( \frac{1}{x} \to \infty \)，\( \frac{1}{\sin x} \to \infty \)；

当 \( x \to +\infty \) 时，\( x^2 \to +\infty \)，\( e^x \to +\infty \)，\( \ln x \to +\infty \)。

1. 无穷大与无穷小的倒数关系（同一过程）：

若 \( f(x) \) 是无穷大，且 \( f(x) \neq 0 \)，则 \( \frac{1}{f(x)} \) 是无穷小；

若 \( f(x) \) 是无穷小，且 \( f(x) \neq 0 \)，则 \( \frac{1}{f(x)} \) 是无穷大。

（如 \( x \to 0 \) 时，\( x \) 是无穷小，\( \frac{1}{x} \) 是无穷大；\( x \to \infty \) 时，\( x \) 是无穷大，\( \frac{1}{x} \) 是无穷小）。

2. 有限个无穷大的积仍是无穷大（注意：有限个无穷大的和不一定是无穷大，如 \( x \to +\infty \) 时，\( x + (-x) = 0 \to 0 \)，不是无穷大）。

3. 有界函数与无穷大的和仍是无穷大（如 \( x \to +\infty \) 时，\( x + \sin x \to +\infty \)，因 \( x \) 是无穷大，\( \sin x \) 有界，不影响“无限增大”的趋势）。

三、洛必达法则（L'Hôpital's Rule）

洛必达法则是求解“未定式”极限的核心工具，核心思想是：当极限为 \( \frac{0}{0} \) 或 \( \frac{\infty}{\infty} \) 型时，可通过对分子、分母分别求导，转化为新的极限（若新极限存在或为无穷大）。

1. 适用条件（以 \( x \to x_0 \) 为例）

设函数 \( f(x) \)、\( g(x) \) 满足：

1. 未定式类型：\( \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 \) 且 \( \lim_{x \to x_0} g(x) = 0 \)（\( \frac{0}{0} \) 型），或 \( \lim_{x \to x_0} f(x) = \infty \) 且 \( \lim_{x \to x_0} g(x) = \infty \)（\( \frac{\infty}{\infty} \) 型）；

2. 可导性：在 \( x_0 \) 的某去心邻域内，\( f'(x) \)、\( g'(x) \) 都存在，且 \( g'(x) \neq 0 \)；

3. 新极限存在：\( \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A \)（\( A \) 为有限数、\( +\infty \)、\( -\infty \) 或 \( \infty \)）。

则：\( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A \)

对 \( x \to \infty \)、\( x \to x_0^+ \)、\( x \to x_0^- \) 等极限过程，法则同样适用（只需调整定义域条件）。

2. 其他未定式的转化（先化为 \( \frac{0}{0} \) 或 \( \frac{\infty}{\infty} \) 型）

除 \( \frac{0}{0} \) 和 \( \frac{\infty}{\infty} \) 外，常见未定式还有 \( 0 \cdot \infty \)、\( \infty - \infty \)、\( 1^\infty \)、\( 0^0 \)、\( \infty^0 \)，需通过代数变形转化为基本型：

\( 0 \cdot \infty \) 型：\( f(x) \cdot g(x) \)（\( f \to 0 \)，\( g \to \infty \)）→ 转化为 \( \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}} \)（\( \frac{0}{0} \) 型）或 \( \frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}} \)（\( \frac{\infty}{\infty} \) 型）；

\( \infty - \infty \) 型：\( f(x) - g(x) \)（\( f \to \infty \)，\( g \to \infty \)）→ 通分或有理化（如 \( \frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - x}{x \sin x} \)，化为 \( \frac{0}{0} \) 型）；

\( 1^\infty \)、\( 0^0 \)、\( \infty^0 \) 型：均为幂指函数 \( [f(x)]^{g(x)} \)，先取对数化为 \( g(x) \cdot \ln f(x) \)（\( 0 \cdot \infty \) 型），再转化为基本型。

3. 注意事项

1. 必须是未定式：若极限不是 \( \frac{0}{0} \) 或 \( \frac{\infty}{\infty} \)，直接用洛必达法则会出错（如 \( \lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{2} \)，若误用洛必达法则，求导后得 \( \lim_{x \to 0} \frac{1}{1} = 1 \)，结果错误）；

2. 可多次应用：若第一次求导后仍为 \( \frac{0}{0} \) 或 \( \frac{\infty}{\infty} \) 型，且满足条件，可继续对分子、分母求导（如 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} \)，需用3次洛必达法则）；

3. 结合等价无穷小：洛必达法则可能导致计算复杂（如多次求导），可先对分子/分母的无穷小部分用等价替换，再用洛必达法则，简化计算；

4. 极限不存在时失效：若 \( \lim \frac{f'(x)}{g'(x)} \) 不存在且不为无穷大，不能说明原极限不存在，需换用其他方法（如 \( \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} = 1 \)，用洛必达法则得 \( \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \cos x}{1} \)，极限不存在，但原极限可直接化简为 \( \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{\sin x}{x}) = 1 \)）。

例1：判断下列变量在指定过程中是否为无穷小：（1）\( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)（\( x \to 1 \)）；（2）\( f(x) = \frac{\sin x}{x} \)（\( x \to \infty \)）；（3）\( f(x) = e^x \)（\( x \to -\infty \)）。

（1）\( x \to 1 \) 时，\( f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \)（\( x \neq 1 \)），\( \lim_{x \to 1} f(x) = 2 \neq 0 \)，不是无穷小；

（2）\( x \to \infty \) 时，\( \frac{1}{x} \to 0 \)（无穷小），\( \sin x \) 有界（\( |\sin x| \leq 1 \)），由“有界函数×无穷小=无穷小”，\( \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \)，是无穷小；

（3）\( x \to -\infty \) 时，\( e^x = \frac{1}{e^{-x}} \)，\( e^{-x} \to +\infty \)（无穷大），由“无穷大的倒数=无穷小”，\( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \)，是无穷小。

例2：比较 \( x \to 0 \) 时，无穷小 \( \alpha(x) = 1 - \cos x \) 与 \( \beta(x) = x^2 \) 的阶数。

计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \)；

用等价无穷小替换：\( 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 \)（\( x \to 0 \)），代入得 \( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^2}{x^2} = \frac{1}{2} \)（非零常数）；

故 \( 1 - \cos x \) 与 \( x^2 \) 是同阶无穷小。

例3：求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} \)（用等价无穷小简化）。

先化简分子：\( \tan x - \sin x = \tan x (1 - \cos x) \)；

用等价无穷小替换（\( x \to 0 \) 时）：\( \tan x \sim x \)，\( 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 \)；

代入得 \( \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \frac{1}{2}x^2}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^3}{x^3} = \frac{1}{2} \)。

例4：证明 \( x \to 0 \) 时，\( \ln(1 + x) \sim x \)（等价无穷小的证明）。

需证 \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \)；

令 \( t = \ln(1 + x) \)，则 \( x = e^t - 1 \)，当 \( x \to 0 \) 时，\( t \to 0 \)；

极限转化为 \( \lim_{t \to 0} \frac{t}{e^t - 1} \)，由“\( e^t - 1 \sim t \)（\( t \to 0 \)）”，得 \( \lim_{t \to 0} \frac{t}{t} = 1 \)；

故 \( \ln(1 + x) \sim x \)（\( x \to 0 \)），得证。

例5：求 \( \lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} \)（无穷小与无穷大的关系）。

令 \( t = \frac{1}{x} \)，则 \( x = \frac{1}{t} \)，当 \( x \to \infty \) 时，\( t \to 0 \)；

极限转化为 \( \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot \sin t = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 \)（\( \frac{\sin t}{t} \) 是重要极限，也可理解为“\( \sin t \sim t \)（\( t \to 0 \)）”，替换后得 \( \lim_{t \to 0} \frac{t}{t} = 1 \)）。

例6：判断下列变量在指定过程中是否为无穷大：（1）\( f(x) = \frac{x^2}{x + 1} \)（\( x \to \infty \)）；（2）\( f(x) = \frac{1}{x \sin x} \)（\( x \to 0 \)）；（3）\( f(x) = x \cos x \)（\( x \to +\infty \)）。

（1）\( x \to \infty \) 时，\( f(x) = \frac{x^2}{x + 1} = \frac{x}{1 + \frac{1}{x}} \to +\infty \)（分子 \( x \to \infty \)，分母 \( 1 + \frac{1}{x} \to 1 \)），是无穷大；

（2）\( x \to 0 \) 时，\( x \sin x \to 0 \)（\( x \to 0 \) 是无穷小，\( \sin x \) 有界），由“无穷小的倒数=无穷大”，\( \frac{1}{x \sin x} \to \infty \)，是无穷大；

（3）\( x \to +\infty \) 时，取 \( x_n = 2n\pi \)（\( n \to \infty \)），则 \( f(x_n) = 2n\pi \cdot \cos(2n\pi) = 2n\pi \to +\infty \)；取 \( x_n = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \)（\( n \to \infty \)），则 \( f(x_n) = (\frac{\pi}{2} + 2n\pi) \cdot 0 = 0 \)。因变量不“无限增大”，不是无穷大。

例7：求 \( \lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x^2 + 1}) \)（\( \infty - \infty \) 型，先转化为分式）。

有理化：分子分母同乘 \( x + \sqrt{x^2 + 1} \)，得：

\( x - \sqrt{x^2 + 1} = \frac{(x - \sqrt{x^2 + 1})(x + \sqrt{x^2 + 1})}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x^2 - (x^2 + 1)}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{-1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \)；

当 \( x \to +\infty \) 时，分母 \( x + \sqrt{x^2 + 1} \to +\infty \)（无穷大），故 \( \lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = 0 \)（无穷大的倒数是无穷小）。

例8：求 \( \lim_{x \to 1^+} \frac{\ln x}{1 - x} \)（结合无穷小与洛必达法则）。

先判断类型：\( x \to 1^+ \) 时，\( \ln x \to 0 \)，\( 1 - x \to 0 \)，是 \( \frac{0}{0} \) 型；

用洛必达法则：分子分母分别求导，得 \( \lim_{x \to 1^+} \frac{\frac{1}{x}}{-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{-1}{x} = -1 \)；

也可用等价无穷小：\( x \to 1 \) 时，\( \ln x = \ln(1 + (x - 1)) \sim x - 1 \)，代入得 \( \lim_{x \to 1^+} \frac{x - 1}{1 - x} = \lim_{x \to 1^+} (-1) = -1 \)，结果一致。

例9：证明 \( x \to 0^+ \) 时，\( \ln x \to -\infty \)（无穷大的证明）。

需证：对任意 \( G > 0 \)，存在 \( \delta > 0 \)，当 \( 0 < x < \delta \) 时，\( \ln x < -G \)；

解不等式 \( \ln x < -G \)，得 \( x < e^{-G} \)；

取 \( \delta = e^{-G} \)，则当 \( 0 < x < \delta = e^{-G} \) 时，\( \ln x < \ln e^{-G} = -G \)；

故 \( x \to 0^+ \) 时，\( \ln x \to -\infty \)，得证。

例10：求 \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 2x^2 + 1}{2x^3 - x + 3} \)（无穷大的比值，抓“最高次项”）。

分子分母同除以 \( x^3 \)（最高次幂），得：\( \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}}{2 - \frac{1}{x^2} + \frac{3}{x^3}} \)；

当 \( x \to \infty \) 时，\( \frac{2}{x} \to 0 \)，\( \frac{1}{x^3} \to 0 \)，\( \frac{1}{x^2} \to 0 \)，\( \frac{3}{x^3} \to 0 \)；

代入得 \( \frac{1 + 0 + 0}{2 - 0 + 0} = \frac{1}{2} \)（规律：无穷大的比值，极限为“分子最高次项系数/分母最高次项系数”）。

例11：求 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \)（\( \frac{0}{0} \) 型，一次洛必达）。

类型判断：\( x \to 0 \) 时，分子 \( e^0 - 1 - 0 = 0 \)，分母 \( 0^2 = 0 \)，是 \( \frac{0}{0} \) 型；

洛必达法则：分子分母求导，得 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} \)；

仍为 \( \frac{0}{0} \) 型，再用等价无穷小：\( e^x - 1 \sim x \)（\( x \to 0 \)），代入得 \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{2x} = \frac{1}{2} \)（或继续用洛必达法则，求导得 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2} \)）。

例12：求 \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^k} \)（\( k > 0 \)，\( \frac{\infty}{\infty} \) 型）。

类型判断：\( x \to +\infty \) 时，\( \ln x \to +\infty \)，\( x^k \to +\infty \)，是 \( \frac{\infty}{\infty} \) 型；

洛必达法则：分子分母求导，得 \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{k x^{k - 1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{k x^k} \)；

当 \( x \to +\infty \) 时，\( x^k \to +\infty \)，故 \( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{k x^k} = 0 \)（结论：当 \( x \to +\infty \) 时，幂函数 \( x^k \) 增长比对数函数 \( \ln x \) 快）。

例13：求 \( \lim_{x \to +\infty} \frac{x^k}{e^x} \)（\( k > 0 \)，\( \frac{\infty}{\infty} \) 型，多次洛必达）。

类型判断：\( x \to +\infty \) 时，\( x^k \to +\infty \)，\( e^x \to +\infty \)，是 \( \frac{\infty}{\infty} \) 型；

设 \( k = n + r \)（\( n \) 为正整数，\( 0 \leq r < 1 \)），需用 \( n + 1 \) 次洛必达法则：

第一次：\( \lim_{x \to +\infty} \frac{k x^{k - 1}}{e^x} \)（仍为 \( \frac{\infty}{\infty} \) 型）；

第二次：\( \lim_{x \to +\infty} \frac{k(k - 1) x^{k - 2}}{e^x} \)；

...

第 \( n + 1 \) 次：\( \lim_{x \to +\infty} \frac{k(k - 1)\dots(k - n) x^{k - n - 1}}{e^x} \)；

此时 \( k - n - 1 < 0 \)，\( x^{k - n - 1} \to 0 \)（无穷小），\( e^x \to +\infty \)，故极限为 \( 0 \)（结论：当 \( x \to +\infty \) 时，指数函数 \( e^x \) 增长比幂函数 \( x^k \) 快）。

例14：求 \( \lim_{x \to 0} x \ln x \)（\( 0 \cdot \infty \) 型，转化为 \( \frac{\infty}{\infty} \) 型）。

转化类型：\( x \ln x = \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} \)，\( x \to 0^+ \) 时，分子 \( \ln x \to -\infty \)，分母 \( \frac{1}{x} \to +\infty \)，是 \( \frac{\infty}{\infty} \) 型（注意：\( x \to 0^- \) 时，\( \ln x \) 无意义，故仅需考虑 \( x \to 0^+ \)）；

洛必达法则：分子分母求导，得 \( \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0 \)。

例15：求 \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x} \right) \)（\( \infty - \infty \) 型，通分转化）。

通分转化：\( \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x} = \frac{x - \sin x}{x \sin x} \)，\( x \to 0 \) 时，分子 \( 0 - 0 = 0 \)，分母 \( 0 \cdot 0 = 0 \)，是 \( \frac{0}{0} \) 型；

先等价替换：分母 \( x \sin x \sim x \cdot x = x^2 \)（\( x \to 0 \)），极限化为 \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^2} \)；

洛必达法则：求导得 \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{2x} \)，仍为 \( \frac{0}{0} \) 型；

再等价替换：\( 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 \)（\( x \to 0 \)），代入得 \( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^2}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{4} = 0 \)。

例16：求 \( \lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1 - x}} \)（\( 1^\infty \) 型，取对数转化）。

设 \( y = x^{\frac{1}{1 - x}} \)，取自然对数得 \( \ln y = \frac{\ln x}{1 - x} \)；

求 \( \lim_{x \to 1} \ln y \)：\( x \to 1 \) 时，分子 \( \ln 1 = 0 \)，分母 \( 1 - 1 = 0 \)，是 \( \frac{0}{0} \) 型；

洛必达法则：\( \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{-1} = \lim_{x \to 1} \frac{-1}{x} = -1 \)；

原极限：\( \lim_{x \to 1} y = e^{\lim_{x \to 1} \ln y} = e^{-1} = \frac{1}{e} \)。

例17：求 \( \lim_{x \to 0^+} x^x \)（\( 0^0 \) 型，取对数转化）。

设 \( y = x^x \)，取自然对数得 \( \ln y = x \ln x \)；

求 \( \lim_{x \to 0^+} \ln y \)：由例14知，\( \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \)；

原极限：\( \lim_{x \to 0^+} y = e^{\lim_{x \to 0^+} \ln y} = e^0 = 1 \)。

例18：求 \( \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x})^x \)（重要极限，用洛必达法则验证）。

设 \( y = (1 + \frac{1}{x})^x \)，取自然对数得 \( \ln y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) = \frac{\ln(1 + \frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} \)；

求 \( \lim_{x \to +\infty} \ln y \)：令 \( t = \frac{1}{x} \)，则 \( x \to +\infty \) 时，\( t \to 0^+ \)，极限化为 \( \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(1 + t)}{t} \)（\( \frac{0}{0} \) 型）；

洛必达法则：\( \lim_{t \to 0^+} \frac{\frac{1}{1 + t}}{1} = 1 \)；

原极限：\( \lim_{x \to +\infty} y = e^1 = e \)（与重要极限结果一致）。

例19：求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x} \)（\( \frac{0}{0} \) 型，洛必达+等价替换）。

第一次洛必达：分子求导 \( \sec^2 x - 1 = \tan^2 x \)，分母求导 \( 1 - \cos x \)，极限化为 \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan^2 x}{1 - \cos x} \)；

等价替换：\( \tan x \sim x \)，\( 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 \)（\( x \to 0 \)），代入得 \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\frac{1}{2}x^2} = 2 \)；

也可继续洛必达：\( \lim_{x \to 0} \frac{\tan^2 x}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \tan x \sec^2 x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^3 x}{1} = 2 \)，结果一致。

例20：求 \( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\tan x}{\tan 3x} \)（\( \frac{\infty}{\infty} \) 型，洛必达+三角化简）。

类型判断：\( x \to \frac{\pi}{2} \) 时，\( \tan x \to \infty \)，\( \tan 3x \to \infty \)，是 \( \frac{\infty}{\infty} \) 型；

第一次洛必达：分子求导 \( \sec^2 x \)，分母求导 \( 3 \sec^2 3x \)，极限化为 \( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2 x}{3 \sec^2 3x} = \frac{1}{3} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 3x}{\cos^2 x} \)（\( \frac{0}{0} \) 型，因 \( \cos \frac{\pi}{2} = 0 \)，\( \cos \frac{3\pi}{2} = 0 \)）；

第二次洛必达：分子求导 \( 2 \cos 3x \cdot (-3 \sin 3x) = -3 \sin 6x \)，分母求导 \( 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -\sin 2x \)，极限化为 \( \frac{1}{3} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-3 \sin 6x}{-\sin 2x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 6x}{\sin 2x} \)；

代入 \( x = \frac{\pi}{2} \)：\( \sin 6 \cdot \frac{\pi}{2} = \sin 3\pi = 0 \)，\( \sin 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \sin \pi = 0 \)，仍为 \( \frac{0}{0} \) 型，第三次洛必达：\( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{6 \cos 6x}{2 \cos 2x} = \frac{6 \cos 3\pi}{2 \cos \pi} = \frac{6 \cdot (-1)}{2 \cdot (-1)} = 3 \)。