一、三角函数的核心定义（从初中到高中的拓展）

1. 直角三角形定义（锐角三角函数）

在直角三角形中，设锐角为\(\alpha\)，对边为\(a\)，邻边为\(b\)，斜边为\(c\)（\(c > a, b > 0\)），则：

正弦：\(\sin\alpha = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{a}{c}\)（取值范围：\(0 < \sin\alpha < 1\)）；

余弦：\(\cos\alpha = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{b}{c}\)（取值范围：\(0 < \cos\alpha < 1\)）；

正切：\(\tan\alpha = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{a}{b}\)（取值范围：\(\tan\alpha > 0\)）；

余切（高中较少用）：\(\cot\alpha = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}} = \frac{b}{a}\)（与正切互为倒数）。

局限：仅适用于\(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\)（锐角），无法表示负角或大于\(\frac{\pi}{2}\)的角。

2. 单位圆定义（任意角三角函数）

在平面直角坐标系中，以原点\(O\)为圆心，半径为1的圆称为单位圆。设任意角\(\alpha\)的终边与单位圆交于点\(P(x, y)\)（\(x^2 + y^2 = 1\)），则：

正弦：\(\sin\alpha = y\)（取值范围：\(-1 \leq \sin\alpha \leq 1\)）；

余弦：\(\cos\alpha = x\)（取值范围：\(-1 \leq \cos\alpha \leq 1\)）；

正切：\(\tan\alpha = \frac{y}{x}\)（\(x \neq 0\)，即\(\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\)，取值范围：\(\mathbb{R}\)）；

正割（\(\sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha}\)）、余割（\(\csc\alpha = \frac{1}{\sin\alpha}\)）：高中阶段仅需了解，核心仍为\(\sin\alpha, \cos\alpha, \tan\alpha\)。

核心优势：

覆盖任意角（如\(\alpha = \pi, \alpha = -\frac{\pi}{3}\)等）；

直接关联终边位置，可通过“象限符号”快速判断三角函数值的正负（见下文“符号规律”）。

3. 三角函数的符号规律（基于单位圆定义）

根据单位圆上点\(P(x, y)\)的坐标符号（\(x\)对应余弦，\(y\)对应正弦），可确定任意角\(\alpha\)所在象限的三角函数符号，口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”：

第一象限（\(2k\pi < \alpha < \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\)）：\(x > 0, y > 0\)，故\(\sin\alpha > 0, \cos\alpha > 0, \tan\alpha > 0\)（全正）；

第二象限（\(\frac{\pi}{2} + 2k\pi < \alpha < \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\)）：\(x < 0, y > 0\)，故\(\sin\alpha > 0, \cos\alpha < 0, \tan\alpha < 0\)（仅正弦正）；

第三象限（\(\pi + 2k\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\)）：\(x < 0, y < 0\)，故\(\sin\alpha < 0, \cos\alpha < 0, \tan\alpha > 0\)（仅正切正）；

第四象限（\(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi < \alpha < 2\pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\)）：\(x > 0, y < 0\)，故\(\sin\alpha < 0, \cos\alpha > 0, \tan\alpha < 0\)（仅余弦正）。

特殊角：终边在坐标轴上的角（如\(\alpha = 0, \frac{\pi}{2}, \pi\)等），三角函数值为0或±1，需熟记（见下表，高频考点）：

二、三角函数的核心性质（以\(\sin\alpha, \cos\alpha, \tan\alpha\)为核心）

三角函数的性质包括周期性、奇偶性、单调性、最值，是解决图像、不等式、方程问题的关键，需逐个突破。

1. 周期性（三角函数的“重复特性”）

定义：若存在非零常数\(T\)，对任意\(\alpha\)（使函数有意义），都有\(f(\alpha + T) = f(\alpha)\)，则\(T\)称为函数的周期；其中最小的正数\(T\)称为最小正周期（高中阶段“周期”默认指最小正周期）。

三大三角函数的周期：

1. \(\sin\alpha\)和\(\cos\alpha\)：最小正周期\(T = 2\pi\)（图像每\(2\pi\)重复一次）；

2. \(\tan\alpha\)：最小正周期\(T = \pi\)（图像每\(\pi\)重复一次，因\(\tan(\alpha + \pi) = \tan\alpha\)）；

3. 复合三角函数的周期（如\(y = A\sin(\omega x + \varphi)\)）：最小正周期\(T = \frac{2\pi}{|\omega|}\)（\(\omega \neq 0\)，\(A, \varphi\)不影响周期）；同理\(y = A\cos(\omega x + \varphi)\)周期为\(\frac{2\pi}{|\omega|}\)，\(y = A\tan(\omega x + \varphi)\)周期为\(\frac{\pi}{|\omega|}\)。

2. 奇偶性（函数的“对称特性”）

定义：若\(f(-\alpha) = -f(\alpha)\)，则为奇函数（图像关于原点对称）；若\(f(-\alpha) = f(\alpha)\)，则为偶函数（图像关于\(y\)轴对称）。

三大三角函数的奇偶性：

1. \(\sin\alpha\)：奇函数，因\(\sin(-\alpha) = -\sin\alpha\)（单位圆上\((x, y)\)与\((x, -y)\)对应）；

2. \(\cos\alpha\)：偶函数，因\(\cos(-\alpha) = \cos\alpha\)（单位圆上\((x, y)\)与\((x, -y)\)的\(x\)坐标相同）；

3. \(\tan\alpha\)：奇函数，因\(\tan(-\alpha) = \frac{-y}{x} = -\tan\alpha\)（定义域关于原点对称）。

3. 单调性（函数的“增减特性”）

单调性需结合周期和象限分析，核心是“一个周期内的单调区间”，再扩展到全体定义域（加\(2k\pi\)或\(k\pi\)，\(k \in \mathbb{Z}\)）：

1. \(\sin\alpha\)的单调性：

增区间：\(\left[ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right], k \in \mathbb{Z}\)（如\(\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)时，\(\sin\alpha\)从-1增到1）；

减区间：\(\left[ \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \right], k \in \mathbb{Z}\)（如\(\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]\)时，\(\sin\alpha\)从1减到-1）。

2. \(\cos\alpha\)的单调性：

增区间：\(\left[ \pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi \right], k \in \mathbb{Z}\)（如\(\alpha \in [\pi, 2\pi]\)时，\(\cos\alpha\)从-1增到1）；

减区间：\(\left[ 2k\pi, \pi + 2k\pi \right], k \in \mathbb{Z}\)（如\(\alpha \in [0, \pi]\)时，\(\cos\alpha\)从1减到-1）。

3. \(\tan\alpha\)的单调性：

增区间：\(\left( -\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right), k \in \mathbb{Z}\)（无减区间，因在每个周期内单调递增，但定义域不连续，不能说“在全体定义域上单调递增”）。

4. 最值（函数的“最大/最小值”）

由单位圆定义的取值范围直接推导：

1. \(\sin\alpha\)和\(\cos\alpha\)：取值范围为\([-1, 1]\)，故

最大值：1（\(\sin\alpha = 1\)当且仅当\(\alpha = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\)；\(\cos\alpha = 1\)当且仅当\(\alpha = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\)）；

最小值：-1（\(\sin\alpha = -1\)当且仅当\(\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\)；\(\cos\alpha = -1\)当且仅当\(\alpha = \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\)）。

2. \(\tan\alpha\)：取值范围为\(\mathbb{R}\)（全体实数），故无最大值也无最小值。

例题1：已知角\(\alpha\)的终边过点\(P(3, -4)\)，求\(\sin\alpha, \cos\alpha, \tan\alpha\)的值

解析：先求点\(P\)到原点的距离\(r = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5\)（单位圆定义的拓展：非单位圆时，\(\sin\alpha = \frac{y}{r}, \cos\alpha = \frac{x}{r}, \tan\alpha = \frac{y}{x}\)）；

\(\sin\alpha = \frac{y}{r} = \frac{-4}{5} = -\frac{4}{5}\)；

\(\cos\alpha = \frac{x}{r} = \frac{3}{5}\)；

\(\tan\alpha = \frac{y}{x} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}\)。

例题2：判断角\(\alpha = \frac{7\pi}{4}\)的三角函数值符号

解析：先确定\(\alpha\)所在象限：\(\frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi\)，故在第四象限；

由符号规律“四余弦”：\(\sin\alpha < 0\)，\(\cos\alpha > 0\)，\(\tan\alpha < 0\)。

例题3：已知\(\sin\alpha > 0\)且\(\tan\alpha < 0\)，求角\(\alpha\)所在的象限

解析：\(\sin\alpha > 0\)时，\(\alpha\)在第一或第二象限；\(\tan\alpha < 0\)时，\(\alpha\)在第二或第四象限；

两者交集为“第二象限”，故\(\alpha\)在第二象限。

例题4：计算\(\sin\frac{3\pi}{2} + \cos\pi - \tan0\)的值

解析：由特殊角三角函数值：

\(\sin\frac{3\pi}{2} = -1\)，\(\cos\pi = -1\)，\(\tan0 = 0\)；

代入得：\(-1 + (-1) - 0 = -2\)。

例题5：已知角\(\alpha\)的终边在\(y\)轴正半轴上，求\(\sin\alpha, \cos\alpha\)的值

解析：\(y\)轴正半轴上的点可设为\(P(0, 1)\)，\(r = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1\)；

\(\sin\alpha = \frac{y}{r} = \frac{1}{1} = 1\)；

\(\cos\alpha = \frac{x}{r} = \frac{0}{1} = 0\)。

例题6：求函数\(y = 2\sin(3x + \frac{\pi}{4})\)的最小正周期

解析：复合正弦函数周期公式\(T = \frac{2\pi}{|\omega|}\)，此处\(\omega = 3\)；

故\(T = \frac{2\pi}{3}\)。

例题7：求函数\(y = \tan\left(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6}\right)\)的最小正周期

解析：复合正切函数周期公式\(T = \frac{\pi}{|\omega|}\)，此处\(\omega = \frac{1}{2}\)；

故\(T = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi\)。

例题8：已知函数\(f(x) = \cos(\omega x)\)的最小正周期为\(\frac{\pi}{2}\)，求\(\omega\)的值

解析：由周期公式\(T = \frac{2\pi}{|\omega|} = \frac{\pi}{2}\)，解得\(|\omega| = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4\)；

故\(\omega = \pm4\)。

例题9：计算\(\sin\left(\frac{2\pi}{3} + 4\pi\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} + 6\pi\right)\)的值

解析：利用周期性（\(\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin\alpha\)，\(\cos(\alpha + 2k\pi) = \cos\alpha\)）：

\(\sin\left(\frac{2\pi}{3} + 4\pi\right) = \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)；

\(\cos\left(\frac{\pi}{4} + 6\pi\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)；

总和为\(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}\)。

例题10：判断函数\(f(x) = x\sin x\)的奇偶性

解析：先看定义域：\(\mathbb{R}\)，关于原点对称；

计算\(f(-x) = (-x)\sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x\sin x = f(x)\)，故为偶函数。

例题11：判断函数\(f(x) = \sin x + \tan x\)的奇偶性

解析：定义域为\(\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\)，关于原点对称；

计算\(f(-x) = \sin(-x) + \tan(-x) = -\sin x - \tan x = -(\sin x + \tan x) = -f(x)\)，故为奇函数。

例题12：已知函数\(f(x) = A\cos(\omega x + \varphi)\)是奇函数，求\(\varphi\)的一个值（\(A \neq 0, \omega \neq 0\)）

解析：奇函数满足\(f(-x) = -f(x)\)，即\(A\cos(-\omega x + \varphi) = -A\cos(\omega x + \varphi)\)；

化简得\(\cos(\omega x - \varphi) = -\cos(\omega x + \varphi)\)，利用余弦和角公式展开：

\(\cos\omega x\cos\varphi + \sin\omega x\sin\varphi = -(\cos\omega x\cos\varphi - \sin\omega x\sin\varphi)\)；

整理得\(2\cos\omega x\cos\varphi = 0\)对任意\(x\)成立，故\(\cos\varphi = 0\)；

因此\(\varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\)，取\(k=0\)时，\(\varphi = \frac{\pi}{2}\)。

例题13：求函数\(y = \sin x\)在区间\([0, 2\pi]\)上的单调增区间

解析：由\(\sin x\)的单调性，在\([0, 2\pi]\)内，增区间为\(\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]\)和\(\left[ \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right]\)（对应全体增区间\(\left[ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right]\)中\(k=0\)和\(k=1\)的部分）。

例题14：判断函数\(y = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\)在区间\(\left[ \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \right]\)上的单调性

解析：令\(t = x - \frac{\pi}{3}\)，则当\(x \in \left[ \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \right]\)时，\(t \in [0, \pi]\)；

原函数化为\(y = \cos t\)，而\(\cos t\)在\([0, \pi]\)上单调递减，故原函数在\(\left[ \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \right]\)上单调递减。

例题15：求函数\(y = \tan(2x + \frac{\pi}{6})\)的单调增区间

解析：正切函数的增区间为\(\left( -\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right), k \in \mathbb{Z}\)；

令\(-\frac{\pi}{2} + k\pi < 2x + \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} + k\pi\)，解不等式：

1. 左半部分：\(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + k\pi < 2x \implies -\frac{2\pi}{3} + k\pi < 2x \implies -\frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2} < x\)；

2. 右半部分：\(2x < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + k\pi \implies 2x < \frac{\pi}{3} + k\pi \implies x < \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}\)；

故增区间为\(\left( -\frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}, \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \right), k \in \mathbb{Z}\)。

例题16：比较\(\sin\frac{5\pi}{7}\)与\(\sin\frac{4\pi}{7}\)的大小

解析：先确定两角所在区间：\(\frac{\pi}{2} < \frac{4\pi}{7} < \frac{5\pi}{7} < \pi\)，属于\(\sin x\)的减区间\(\left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right]\)；

减区间内，自变量越大，函数值越小，故\(\sin\frac{5\pi}{7} < \sin\frac{4\pi}{7}\)。

例题17：求函数\(y = 3\sin x - 1\)的最大值和最小值

解析：\(\sin x\)的取值范围为\([-1, 1]\)，故：

最大值：\(3×1 - 1 = 2\)；

最小值：\(3×(-1) - 1 = -4\)。

例题18：求函数\(y = 2\cos^2 x + 1\)（\(x \in \mathbb{R}\)）的最值

解析：\(\cos^2 x\)的取值范围为\([0, 1]\)（因\(\cos x \in [-1, 1]\)，平方后非负）；

最大值：\(2×1 + 1 = 3\)；

最小值：\(2×0 + 1 = 1\)。

例题19：求函数\(y = \sin x + \cos x\)在区间\([0, \frac{\pi}{2}]\)上的最大值

解析：先用辅助角公式化简：\(y = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\)；

当\(x \in [0, \frac{\pi}{2}]\)时，\(x + \frac{\pi}{4} \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]\)；

\(\sin t\)在\([\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]\)上的最大值为1（当\(t = \frac{\pi}{2}\)，即\(x = \frac{\pi}{4}\)时）；

故原函数最大值为\(\sqrt{2}×1 = \sqrt{2}\)。

例题20：已知函数\(f(x) = A\sin(\omega x + \varphi)\)（\(A > 0, \omega > 0\)）的最大值为5，最小正周期为\(\frac{\pi}{2}\)，求\(A\)和\(\omega\)的值

解析：由正弦函数最值性质，\(A\)为最大值，故\(A = 5\)；

由周期公式\(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{\pi}{2}\)，解得\(\omega = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4\)。

结论：\(A = \boxed{5}\)，\(\omega = \boxed{4}\)。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学

• 函数的值域：Rf
• 函数的解析式：f(x)
• 抽象函数：定义域、值域、解析式
• 分段函数：定义域、值域、单调性
• 复合函数： y = f[g(x)]
• 反函数：严格单调函数
• 隐函数：F(x, y) = 0
• 函数的有界性：\( |f(x)| \leq M \)
• 函数的单调性：增函数、减函数
• 函数的奇偶性：奇函数、偶函数
• 函数的周期性：\( f(x + T) = f(x) \)
• 类周期性：\(f(x+T)=f(x)+g(x)\)
• 函数的对称性：自对称、互对称
• 函数的凹凸性：凹函数、凸函数
• 图象平移、对称、翻折、缩放、旋转
• 函数的极值、函数的最值
• 二次函数：最值、根的分布、恒成立问题
• 三次函数：\( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)
• 幂函数： \(y = x^a\)
• 对勾函数与双刀函数
• 指数方程：\(a^{x}=b\)（\(a > 0\)且\(a\neq1\)）
• 指数函数：\(y = a^{x}(a>0\)，且\(a\neq1)\)
• 双曲函数与反双曲函数
• 对数函数：对数运算性质
• 角度制与弧度制、弧长公式
• 三角函数：定义、性质
• 三角函数：诱导公式、恒等变换、辅助角
• 反三角函数：\(\arcsin x\)
• 三角函数二级结论
• 极坐标：\((\rho,\theta)\)=(极径,极角)
• 参数方程
• 等差数列
• 等比数列
• 数学归纳法
• 求和符号（∑ ）、连乘符号（∏）
• 数列极限、函数极限、两个重要极限
• 函数的连续性：间断点、运算法则
• 函数的导数
• 函数的图形
• 函数的微分
• 罗尔定理、拉格朗日、柯西中值定理
• 无穷小、无穷大、洛必达法则求极限
• 泰勒公式、麦克劳林公式
• 弧微分、曲率、渐屈线、渐伸线、摆线
• 方程的近似解：二分法、切线法、割线法
• 平面向量
• 复数 \(a + bi\)
• 多面体：棱柱、棱锥、棱台
• 旋转体：圆柱、圆锥、圆台
• 球、半球、球冠、球缺、球带