函数的图形

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函数图形的描绘是微积分在几何上的重要应用，核心是通过“导数分析函数性态”，结合定义域、奇偶性、周期性等基础性质，精准画出函数的整体轮廓。其本质是将抽象的函数表达式转化为直观的几何图形，关键在于系统分析函数的定义域、奇偶性/周期性、单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线七大核心要素。

函数图形描绘需遵循“先基础分析，后导数分析，再补充细节”的逻辑，具体步骤如下：

第一步：确定函数的基础属性

定义域：明确函数的有效取值范围（排除使函数无意义的点，如分母为0、根号内负、对数真数非正等），定义域决定图形的“横向范围”。

奇偶性/周期性：

若 \( f(-x) = f(x) \)（偶函数），图形关于y轴对称，只需画右半部分再对称；

若 \( f(-x) = -f(x) \)（奇函数），图形关于原点对称，只需画右半部分再对称；

若 \( f(x + T) = f(x) \)（周期函数，周期T），只需画一个周期内的图形再重复。

特殊点：计算函数在关键点的函数值，如与x轴交点（解方程 \( f(x) = 0 \)）、与y轴交点（计算 \( f(0) \)）、定义域边界点的函数值（若存在），这些点是图形的“锚点”。

第二步：用一阶导数分析函数的单调性与极值

一阶导数 \( f'(x) \) 的符号决定函数的增减方向，导数为0或不存在的点是“极值可疑点”.

具体步骤：

求一阶导数 \( f'(x) \)：化简并找出 \( f'(x) = 0 \) 的点（驻点）和 \( f'(x) \) 不存在的点（如尖点、断点），这些点将定义域划分为若干“单调区间”。

判断单调区间：在每个区间内任取一点，代入 \( f'(x) \) 判断符号——

若 \( f'(x) > 0 \)，函数在该区间单调递增；

若 \( f'(x) < 0 \)，函数在该区间单调递减。

判断极值点：根据“单调区间的变化”判断可疑点是否为极值点——

若导数由正变负，该点为极大值点，计算 \( f(x) \) 得极大值；

若导数由负变正，该点为极小值点，计算 \( f(x) \) 得极小值；

若导数符号不变，该点不是极值点（如 \( f(x) = x^3 \) 在 \( x = 0 \) 处）。

第三步：用二阶导数分析函数的凹凸性与拐点

二阶导数 \( f''(x) \) 的符号决定函数图形的“弯曲方向”（凹凸性），导数为0或不存在的点是“拐点可疑点”.

具体步骤：

求二阶导数 \( f''(x) \)：化简并找出 \( f''(x) = 0 \) 的点和 \( f''(x) \) 不存在的点，这些点将定义域划分为若干“凹凸区间”。

判断凹凸区间：在每个区间内任取一点，代入 \( f''(x) \) 判断符号——

若 \( f''(x) > 0 \)，函数在该区间凹（图形向上弯曲，如 \( y = x^2 \)）；

若 \( f''(x) < 0 \)，函数在该区间凸（图形向下弯曲，如 \( y = -x^2 \)）。

判断拐点：根据“凹凸区间的变化”判断可疑点是否为拐点——

若二阶导数由正变负或由负变正，且该点函数连续，则该点为拐点，坐标为 \( (x, f(x)) \)；

若二阶导数符号不变，该点不是拐点。

第四步：分析函数的渐近线（确定图形的“边界趋势”）

渐近线是函数图形在“无限远处”或“定义域断点附近”的极限趋势，分为三类：

水平渐近线：若 \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = A \) 或 \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = A \)（A为常数），则直线 \( y = A \) 是水平渐近线（最多2条，左右各1条）。

垂直渐近线：若 \( \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty \) 或 \( \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty \)（\( x_0 \) 是定义域的断点），则直线 \( x = x_0 \) 是垂直渐近线（可能有多条）。

斜渐近线：若 \( \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = k \)（k≠0，常数），且 \( \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - kx] = b \)（b为常数），则直线 \( y = kx + b \) 是斜渐近线（最多2条，左右各1条，与水平渐近线互斥）。

第五步：描点连线，绘制图形

综合以上分析的“定义域、特殊点、单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐近线”，在坐标系中先标出特殊点（交点、极值点、拐点），再根据单调性和凹凸性连接这些点，同时结合渐近线的趋势，画出函数的完整图形。

例1：描绘函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的图形

步骤1：基础属性分析

定义域：全体实数 \( \mathbb{R} \)（多项式函数定义域无限制）。

奇偶性：\( f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -f(x) \)，是奇函数，图形关于原点对称。

特殊点：

与x轴交点：解方程 \( x^3 - 3x = 0 \implies x(x^2 - 3) = 0 \implies x = 0, \pm\sqrt{3} \approx \pm1.732 \)，交点为 \( (-\sqrt{3}, 0)、(0, 0)、(\sqrt{3}, 0) \)；

与y轴交点：\( f(0) = 0 \)，即 \( (0, 0) \)（与x轴交点重合）。

步骤2：一阶导数分析（单调性与极值）

求一阶导数：\( f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1) \)。

找驻点：令 \( f'(x) = 0 \implies x = 1 \) 或 \( x = -1 \)（无导数不存在的点），将定义域分为 \( (-\infty, -1)、(-1, 1)、(1, +\infty) \)。

判断单调区间与极值：

\( x \in (-\infty, -1) \)：取 \( x = -2 \)，\( f'(-2) = 3(4 - 1) = 9 > 0 \)，函数单调递增；

\( x \in (-1, 1) \)：取 \( x = 0 \)，\( f'(0) = -3 < 0 \)，函数单调递减；

\( x \in (1, +\infty) \)：取 \( x = 2 \)，\( f'(2) = 9 > 0 \)，函数单调递增；

极值点：\( x = -1 \) 处导数由正变负，是极大值点，极大值 \( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2 \)；\( x = 1 \) 处导数由负变正，是极小值点，极小值 \( f(1) = 1 - 3 = -2 \)。

步骤3：二阶导数分析（凹凸性与拐点）

求二阶导数：\( f''(x) = 6x \)。

找拐点可疑点：令 \( f''(x) = 0 \implies x = 0 \)（无导数不存在的点），将定义域分为 \( (-\infty, 0)、(0, +\infty) \)。

判断凹凸区间与拐点：

\( x \in (-\infty, 0) \)：取 \( x = -1 \)，\( f''(-1) = -6 < 0 \)，函数凸；

\( x \in (0, +\infty) \)：取 \( x = 1 \)，\( f''(1) = 6 > 0 \)，函数凹；

拐点：\( x = 0 \) 处二阶导数由负变正，且 \( f(0) = 0 \)，故拐点为 \( (0, 0) \)。

步骤4：渐近线分析

水平渐近线：\( \lim_{x \to \pm\infty} (x^3 - 3x) = \pm\infty \)，无水平渐近线。

垂直渐近线：定义域为 \( \mathbb{R} \)，无断点，无垂直渐近线。

斜渐近线：\( \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x^2 - 3) = \pm\infty \)，无斜渐近线。

步骤5：描点连线

标出关键点：极大值点 \( (-1, 2) \)、极小值点 \( (1, -2) \)、拐点 \( (0, 0) \)、x轴交点 \( (\pm\sqrt{3}, 0) \)；

结合奇函数对称性：先画右半部分（\( x \geq 0 \)）——从 \( +\infty \) 递减到 \( (1, -2) \)，再递增到 \( +\infty \)，\( (0, 0) \) 处由凸变凹；左半部分对称于原点；

最终图形：“S”形曲线，过原点，在 \( x = -1 \) 处达到最高点，\( x = 1 \) 处达到最低点。

例2：描绘函数 \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \) 的图形

步骤1：基础属性分析

定义域：\( x > 0 \)（对数真数需正，分母非0）。

奇偶性/周期性：定义域不关于原点对称，非奇非偶；无周期性。

特殊点：

与x轴交点：解方程 \( \frac{\ln x}{x} = 0 \implies \ln x = 0 \implies x = 1 \)，交点为 \( (1, 0) \)；

与y轴交点：\( x = 0 \) 不在定义域内，无y轴交点；

边界点：\( x \to 0^+ \) 时，\( \ln x \to -\infty \)，\( x \to 0^+ \)，故 \( f(x) \to -\infty \)；\( x = 1 \) 时 \( f(1) = 0 \)。

步骤2：一阶导数分析（单调性与极值）

求一阶导数（商的导数法则）：\( f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \)。

找驻点：令 \( f'(x) = 0 \implies 1 - \ln x = 0 \implies x = e \approx 2.718 \)（无导数不存在的点，\( x > 0 \) 时 \( f'(x) \) 有意义），将定义域分为 \( (0, e)、(e, +\infty) \)。

判断单调区间与极值：

\( x \in (0, e) \)：取 \( x = 1 \)，\( f'(1) = \frac{1 - 0}{1} = 1 > 0 \)，函数单调递增；

\( x \in (e, +\infty) \)：取 \( x = e^2 \)，\( f'(e^2) = \frac{1 - 2}{e^4} = -\frac{1}{e^4} < 0 \)，函数单调递减；

极值点：\( x = e \) 处导数由正变负，是极大值点，极大值 \( f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e} \approx 0.368 \)。

步骤3：二阶导数分析（凹凸性与拐点）

求二阶导数（商的导数法则）：\( f''(x) = \frac{(-\frac{1}{x}) \cdot x^2 - (1 - \ln x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \ln x}{x^4} = \frac{2\ln x - 3}{x^3} \)。

找拐点可疑点：令 \( f''(x) = 0 \implies 2\ln x - 3 = 0 \implies x = e^{\frac{3}{2}} \approx 4.481 \)（无导数不存在的点），将定义域分为 \( (0, e^{\frac{3}{2}})、(e^{\frac{3}{2}}, +\infty) \)。

判断凹凸区间与拐点：

\( x \in (0, e^{\frac{3}{2}}) \)：取 \( x = e \)，\( f''(e) = \frac{2 - 3}{e^3} = -\frac{1}{e^3} < 0 \)，函数凸；

\( x \in (e^{\frac{3}{2}}, +\infty) \)：取 \( x = e^2 \)，\( f''(e^2) = \frac{4 - 3}{e^6} = \frac{1}{e^6} > 0 \)，函数凹；

拐点：\( x = e^{\frac{3}{2}} \) 处二阶导数由负变正，函数值 \( f(e^{\frac{3}{2}}) = \frac{\ln e^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2e^{\frac{3}{2}}} \approx 0.27 \)，故拐点为 \( (e^{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2e^{\frac{3}{2}}}) \)。

步骤4：渐近线分析

水平渐近线：\( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \)（洛必达法则：\( \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 0 \)），故水平渐近线为 \( y = 0 \)（x轴）。

垂直渐近线：\( \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = -\infty \)（\( \ln x \to -\infty \)，\( x \to 0^+ \)），故垂直渐近线为 \( x = 0 \)（y轴）。

斜渐近线：\( \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2} = 0 \)，无斜渐近线。

步骤5：描点连线

标出关键点：极大值点 \( (e, \frac{1}{e}) \)、拐点 \( (e^{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2e^{\frac{3}{2}}}) \)、x轴交点 \( (1, 0) \)；

结合渐近线：\( x \to 0^+ \) 时沿 \( x = 0 \) 向下趋近 \( -\infty \)，从 \( 0^+ \) 递增到 \( (e, \frac{1}{e}) \)（凸曲线），再递减到 \( +\infty \) 时趋近 \( y = 0 \)（凹曲线）；

最终图形：在 \( x > 0 \) 内，先增后减，有一个最高点 \( (e, \frac{1}{e}) \)，过 \( (1, 0) \)，靠近y轴时向下无限延伸，靠近x轴时向右无限趋近。

例3：描绘函数 \( f(x) = e^{-x^2} \)（高斯函数）的图形

步骤1：基础属性分析

定义域：全体实数 \( \mathbb{R} \)（指数函数定义域无限制）。

奇偶性：\( f(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = f(x) \)，是偶函数，图形关于y轴对称。

特殊点：

与y轴交点：\( f(0) = e^0 = 1 \)，即 \( (0, 1) \)；

与x轴交点：解方程 \( e^{-x^2} = 0 \)，无实根（指数函数恒正），故无x轴交点；

函数值范围：\( e^{-x^2} > 0 \)，图形始终在x轴上方。

步骤2：一阶导数分析（单调性与极值）

求一阶导数（复合函数求导）：\( f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2} \)。

找驻点：令 \( f'(x) = 0 \implies -2x e^{-x^2} = 0 \implies x = 0 \)（\( e^{-x^2} > 0 \) 恒成立），将定义域分为 \( (-\infty, 0)、(0, +\infty) \)。

判断单调区间与极值：

\( x \in (-\infty, 0) \)：\( x < 0 \)，故 \( -2x > 0 \)，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增；

\( x \in (0, +\infty) \)：\( x > 0 \)，故 \( -2x < 0 \)，\( f'(x) < 0 \)，函数单调递减；

极值点：\( x = 0 \) 处导数由正变负，是极大值点（也是最大值点），最大值 \( f(0) = 1 \)，无极小值。

步骤3：二阶导数分析（凹凸性与拐点）

求二阶导数（乘积求导法则）：\( f''(x) = -2\left[ e^{-x^2} + x \cdot e^{-x^2} \cdot (-2x) \right] = -2e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} = 2e^{-x^2}(2x^2 - 1) \)。

找拐点可疑点：令 \( f''(x) = 0 \implies 2x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \pm 0.707 \)（\( e^{-x^2} > 0 \) 恒成立），将定义域分为 \( (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2})、(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})、(\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) \)。

判断凹凸区间与拐点（利用偶函数对称性，仅分析右半部分）：

\( x \in (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \)：取 \( x = 0.5 \)，\( 2x^2 - 1 = 0.5 - 1 = -0.5 < 0 \)，\( f''(x) < 0 \)，函数凸；

\( x \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) \)：取 \( x = 1 \)，\( 2x^2 - 1 = 2 - 1 = 1 > 0 \)，\( f''(x) > 0 \)，函数凹；

拐点：\( x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \) 处二阶导数变号，函数值 \( f(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0.606 \)，故拐点为 \( (\pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}) \)。

步骤4：渐近线分析

水平渐近线：\( \lim_{x \to \pm\infty} e^{-x^2} = 0 \)（\( x^2 \to +\infty \)，\( -x^2 \to -\infty \)，指数趋近0），故水平渐近线为 \( y = 0 \)（x轴）。

垂直渐近线：定义域为 \( \mathbb{R} \)，无断点，无垂直渐近线。

斜渐近线：\( \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{e^{-x^2}}{x} = 0 \)，无斜渐近线。

步骤5：描点连线

标出关键点：最大值点 \( (0, 1) \)、拐点 \( (\pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}) \)；

结合偶函数对称性：先画右半部分（\( x \geq 0 \)）——从 \( +\infty \) 趋近 \( y = 0 \)，递增到 \( (0, 1) \)（凸曲线），再递减到 \( +\infty \) 趋近 \( y = 0 \)（凹曲线）；左半部分对称于y轴；

最终图形：“钟形曲线”，关于y轴对称，最高点在 \( (0, 1) \)，在 \( x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \) 处改变弯曲方向，向两侧无限趋近x轴。

例4：描绘函数 \( f(x) = \frac{x^2}{x - 1} \) 的图形

步骤1：基础属性分析

定义域：\( x \neq 1 \)（分母不为0），定义域分为 \( (-\infty, 1) \) 和 \( (1, +\infty) \)。

奇偶性/周期性：\( f(-x) = \frac{x^2}{-x - 1} \neq \pm f(x) \)，非奇非偶；无周期性。

特殊点：

与x轴交点：解方程 \( \frac{x^2}{x - 1} = 0 \implies x = 0 \)，交点为 \( (0, 0) \)；

与y轴交点：\( f(0) = 0 \)，即 \( (0, 0) \)；

断点处趋势：\( x \to 1^+ \) 时，分子 \( 1 \)，分母 \( 0^+ \)，故 \( f(x) \to +\infty \)；\( x \to 1^- \) 时，分母 \( 0^- \)，故 \( f(x) \to -\infty \)。

步骤2：一阶导数分析（单调性与极值）

求一阶导数（商的导数法则）：\( f'(x) = \frac{2x(x - 1) - x^2 \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} \)。

找驻点与导数不存在的点：

驻点：令 \( f'(x) = 0 \implies x = 0 \) 或 \( x = 2 \)；

导数不存在的点：\( x = 1 \)（分母为0，不在定义域内）；

将定义域分为 \( (-\infty, 0)、(0, 1)、(1, 2)、(2, +\infty) \)。

判断单调区间与极值：

\( x \in (-\infty, 0) \)：取 \( x = -1 \)，\( f'(-1) = \frac{(-1)(-3)}{(-2)^2} = \frac{3}{4} > 0 \)，函数单调递增；

\( x \in (0, 1) \)：取 \( x = 0.5 \)，\( f'(0.5) = \frac{(0.5)(-1.5)}{(-0.5)^2} = \frac{-0.75}{0.25} = -3 < 0 \)，函数单调递减；

\( x \in (1, 2) \)：取 \( x = 1.5 \)，\( f'(1.5) = \frac{(1.5)(-0.5)}{(0.5)^2} = \frac{-0.75}{0.25} = -3 < 0 \)，函数单调递减；

\( x \in (2, +\infty) \)：取 \( x = 3 \)，\( f'(3) = \frac{(3)(1)}{(2)^2} = \frac{3}{4} > 0 \)，函数单调递增；

极值点：\( x = 0 \) 处导数由正变负，是极大值点，极大值 \( f(0) = 0 \)；\( x = 2 \) 处导数由负变正，是极小值点，极小值 \( f(2) = \frac{4}{1} = 4 \)。

步骤3：二阶导数分析（凹凸性与拐点）

求二阶导数（商的导数法则）：\( f''(x) = \frac{(2x - 2)(x - 1)^2 - (x^2 - 2x) \cdot 2(x - 1)}{(x - 1)^4} = \frac{(2x - 2)(x - 1) - 2(x^2 - 2x)}{(x - 1)^3} \)（约去一个 \( x - 1 \)，\( x \neq 1 \)）；

化简分子：\( 2(x - 1)^2 - 2(x^2 - 2x) = 2(x^2 - 2x + 1) - 2x^2 + 4x = 2x^2 - 4x + 2 - 2x^2 + 4x = 2 \)，故 \( f''(x) = \frac{2}{(x - 1)^3} \)。

找拐点可疑点：\( f''(x) = \frac{2}{(x - 1)^3} \neq 0 \)（分子恒为2），导数不存在的点为 \( x = 1 \)（不在定义域内），故无拐点。

判断凹凸区间：

\( x \in (-\infty, 1) \)：\( x - 1 < 0 \)，故 \( f''(x) < 0 \)，函数凸；

\( x \in (1, +\infty) \)：\( x - 1 > 0 \)，故 \( f''(x) > 0 \)，函数凹。

步骤4：渐近线分析

水平渐近线：\( \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x - 1} = \pm\infty \)，无水平渐近线。

垂直渐近线：\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty \)，\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty \)，故垂直渐近线为 \( x = 1 \)。

斜渐近线：

求斜率 \( k \)：\( \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x(x - 1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x - 1} = 1 \)；

求截距 \( b \)：\( \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - kx] = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^2}{x - 1} - x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - x(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x - 1} = 1 \)；

故斜渐近线为 \( y = x + 1 \)。

步骤5：描点连线

标出关键点：极大值点 \( (0, 0) \)、极小值点 \( (2, 4) \)；

分区间画图：

\( (-\infty, 1) \)：从 \( -\infty \) 沿斜渐近线 \( y = x + 1 \) 递增到 \( (0, 0) \)（凸曲线），再递减到 \( x \to 1^- \) 时趋近 \( -\infty \)（沿 \( x = 1 \) 向下）；

\( (1, +\infty) \)：从 \( x \to 1^+ \) 时沿 \( x = 1 \) 向上趋近 \( +\infty \)，递减到 \( (2, 4) \)（凹曲线），再递增到 \( +\infty \) 时趋近斜渐近线 \( y = x + 1 \)；

最终图形：分为左右两部分，以 \( x = 1 \) 为界，左部分凸，右部分凹，整体沿 \( y = x + 1 \) 向两侧延伸，过 \( (0, 0) \)，最低点为 \( (2, 4) \)。

例5：描绘函数 \( f(x) = x - 2\arctan x \) 的图形

步骤1：基础属性分析

定义域：全体实数 \( \mathbb{R} \)（反正切函数定义域无限制）。

奇偶性：\( f(-x) = -x - 2\arctan(-x) = -x + 2\arctan x = -f(x) \)，是奇函数，图形关于原点对称。

特殊点：

与坐标轴交点：\( f(0) = 0 - 2\arctan 0 = 0 \)，即 \( (0, 0) \)（唯一交点）；

趋势参考：\( \arctan x \) 当 \( x \to \pm\infty \) 时趋近 \( \pm \frac{\pi}{2} \)，故 \( f(x) \to \pm\infty \)。

步骤2：一阶导数分析（单调性与极值）

求一阶导数：\( f'(x) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \frac{(1 + x^2) - 2}{1 + x^2} = \frac{x^2 - 1}{1 + x^2} \)。

找驻点：令 \( f'(x) = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1 \)（\( 1 + x^2 > 0 \) 恒成立，无导数不存在的点），将定义域分为 \( (-\infty, -1)、(-1, 1)、(1, +\infty) \)。

判断单调区间与极值（利用奇函数对称性，仅分析右半部分）：

\( x \in (0, 1) \)：\( x^2 - 1 < 0 \)，\( f'(x) < 0 \)，函数单调递减；

\( x \in (1, +\infty) \)：\( x^2 - 1 > 0 \)，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增；

极值点：\( x = 1 \) 处导数由负变正，是极小值点，极小值 \( f(1) = 1 - 2\arctan 1 = 1 - 2 \cdot \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\pi}{2} \approx -0.571 \)；由奇函数对称性，\( x = -1 \) 是极大值点，极大值 \( f(-1) = -1 + \frac{\pi}{2} \approx 0.571 \)。

步骤3：二阶导数分析（凹凸性与拐点）

求二阶导数（商的导数法则）：\( f''(x) = \frac{2x(1 + x^2) - (x^2 - 1) \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \frac{2x + 2x^3 - 2x^3 + 2x}{(1 + x^2)^2} = \frac{4x}{(1 + x^2)^2} \)。

找拐点可疑点：令 \( f''(x) = 0 \implies x = 0 \)（无导数不存在的点），将定义域分为 \( (-\infty, 0)、(0, +\infty) \)。

判断凹凸区间与拐点（利用奇函数对称性）：

\( x \in (0, +\infty) \)：\( x > 0 \)，\( f''(x) > 0 \)，函数凹；

\( x \in (-\infty, 0) \)：\( x < 0 \)，\( f''(x) < 0 \)，函数凸；

拐点：\( x = 0 \) 处二阶导数由负变正，函数值 \( f(0) = 0 \)，故拐点为 \( (0, 0) \)。

步骤4：渐近线分析

水平渐近线：\( \lim_{x \to \pm\infty} (x - 2\arctan x) = \pm\infty \)，无水平渐近线。

垂直渐近线：定义域为 \( \mathbb{R} \)，无断点，无垂直渐近线。

斜渐近线：

求斜率 \( k \)：\( \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \left( 1 - \frac{2\arctan x}{x} \right) = 1 - 0 = 1 \)（\( \arctan x \) 有界，\( \frac{\arctan x}{x} \to 0 \)）；

求截距 \( b \)：\( \lim_{x \to +\infty} [f(x) - kx] = \lim_{x \to +\infty} (-2\arctan x) = -2 \cdot \frac{\pi}{2} = -\pi \)；\( \lim_{x \to -\infty} [f(x) - kx] = \lim_{x \to -\infty} (-2\arctan x) = -2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) = \pi \)；

故斜渐近线为 \( y = x - \pi \)（\( x \to +\infty \)）和 \( y = x + \pi \)（\( x \to -\infty \)）。

步骤5：描点连线

标出关键点：极大值点 \( (-1, 1 - \frac{\pi}{2}) \)、极小值点 \( (1, 1 - \frac{\pi}{2}) \)、拐点 \( (0, 0) \)；

结合奇函数对称性：先画右半部分（\( x \geq 0 \)）——从 \( +\infty \) 沿 \( y = x - \pi \) 递减到 \( (1, 1 - \frac{\pi}{2}) \)（凹曲线），再递增到 \( +\infty \) 趋近 \( y = x - \pi \)；左半部分对称于原点，沿 \( y = x + \pi \) 延伸；

最终图形：“S”形曲线，关于原点对称，过 \( (0, 0) \)，在 \( x = \pm1 \) 处有极值，左右两侧分别沿两条斜渐近线延伸。