方程的近似解：二分法、切线法、割线法

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在实际问题中，许多方程（如高次代数方程、超越方程）无法通过代数方法求出精确解，此时需要通过数值方法求近似解。常用的数值方法包括二分法（区间逐步逼近）、切线法（牛顿法，利用导数构造切线）、割线法（两点构造割线，无需导数），三者各有适用场景。

一、二分法（对分区间法）

1. 核心原理

二分法基于闭区间上连续函数的介值定理：若函数 \( f(x) \) 在 \( [a,b] \) 上连续，且 \( f(a) \cdot f(b) < 0 \)（两端点函数值异号），则存在 \( \xi \in (a,b) \)，使得 \( f(\xi) = 0 \)（即区间内有实根）。

通过不断将区间 \( [a,b] \) 对分，取中点 \( x_0 = \frac{a+b}{2} \)，判断 \( f(x_0) \) 与 \( f(a) \) 的符号：若异号，则根在 \( [a,x_0] \)；若同号，则根在 \( [x_0,b] \)。重复此过程，使区间长度逐步缩小（每次缩短为原来的 \( \frac{1}{2} \)），直到区间长度小于预设精度，取区间中点（或端点）作为近似解。

2. 适用条件

函数 \( f(x) \) 在 \( [a,b] \) 上连续；

区间两端点满足 \( f(a) \cdot f(b) < 0 \)（存在实根的必要条件）；

适合求“单根”或“隔根区间内的根”，不适合重根（重根处 \( f(x) \) 与 \( f'(x) \) 同时为0，可能导致端点同号）。

3. 求解步骤

1. 确定隔根区间 \( [a,b] \)：通过试算找到 \( a,b \)，使 \( f(a) \cdot f(b) < 0 \)；

2. 计算区间中点 \( x_n = \frac{a_n + b_n}{2} \)，并计算 \( f(x_n) \)；

3. 判断符号：

若 \( f(x_n) = 0 \)，则 \( x_n \) 为精确根，停止计算；

若 \( f(a_n) \cdot f(x_n) < 0 \)，则新区间为 \( [a_{n+1}, b_{n+1}] = [a_n, x_n] \)；

若 \( f(x_n) \cdot f(b_n) < 0 \)，则新区间为 \( [a_{n+1}, b_{n+1}] = [x_n, b_n] \)；

4. 重复步骤2-3，直到区间长度 \( |b_n - a_n| < \varepsilon \)（\( \varepsilon \) 为预设精度），取 \( x \approx \frac{a_n + b_n}{2} \) 作为近似解。

例题1：用二分法求方程 \( x^3 - x - 1 = 0 \) 在 \( [1,2] \) 内的近似解，精度 \( \varepsilon = 0.01 \)

解：

步骤1：验证隔根区间：\( f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0 \)，\( f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0 \)，故 \( [1,2] \) 为隔根区间，长度 \( 1 \)。

步骤2：第1次对分：中点 \( x_1 = 1.5 \)，\( f(1.5) = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875 > 0 \)，因 \( f(1) \cdot f(1.5) < 0 \)，新区间 \( [1,1.5] \)，长度 \( 0.5 \)。

步骤3：第2次对分：中点 \( x_2 = 1.25 \)，\( f(1.25) = 1.953 - 1.25 - 1 = -0.297 < 0 \)，新区间 \( [1.25,1.5] \)，长度 \( 0.25 \)。

步骤4：第3次对分：中点 \( x_3 = 1.375 \)，\( f(1.375) = 2.597 - 1.375 - 1 = 0.222 > 0 \)，新区间 \( [1.25,1.375] \)，长度 \( 0.125 \)。

步骤5：第4次对分：中点 \( x_4 = 1.3125 \)，\( f(1.3125) = 2.261 - 1.3125 - 1 = -0.0515 < 0 \)，新区间 \( [1.3125,1.375] \)，长度 \( 0.0625 \)。

步骤6：第5次对分：中点 \( x_5 = 1.34375 \)，\( f(1.34375) = 2.426 - 1.34375 - 1 = 0.082 > 0 \)，新区间 \( [1.3125,1.34375] \)，长度 \( 0.03125 \)。

步骤7：第6次对分：中点 \( x_6 = 1.328125 \)，\( f(1.328125) = 2.348 - 1.328125 - 1 = 0.0198 > 0 \)，新区间 \( [1.3125,1.328125] \)，长度 \( 0.015625 \)。

步骤8：第7次对分：中点 \( x_7 = 1.3203125 \)，\( f(1.3203125) = 2.314 - 1.3203125 - 1 = -0.0063 < 0 \)，新区间 \( [1.3203125,1.328125] \)，长度 \( 0.0078125 < 0.01 \)，满足精度。

最终近似解：\( x \approx \frac{1.3203125 + 1.328125}{2} \approx 1.324 \)。

例题2：用二分法求方程 \( e^x - 3x = 0 \) 在 \( [0,1] \) 内的近似解，精度 \( \varepsilon = 0.005 \)

解：

步骤1：验证区间：\( f(0) = 1 - 0 = 1 > 0 \)，\( f(1) = e - 3 \approx 2.718 - 3 = -0.282 < 0 \)，故 \( [0,1] \) 为隔根区间，长度 \( 1 \)。

步骤2：第1次对分：\( x_1 = 0.5 \)，\( f(0.5) \approx 1.6487 - 1.5 = 0.1487 > 0 \)，新区间 \( [0.5,1] \)，长度 \( 0.5 \)。

步骤3：第2次对分：\( x_2 = 0.75 \)，\( f(0.75) \approx 2.117 - 2.25 = -0.133 < 0 \)，新区间 \( [0.5,0.75] \)，长度 \( 0.25 \)。

步骤4：第3次对分：\( x_3 = 0.625 \)，\( f(0.625) \approx 1.868 - 1.875 = -0.007 < 0 \)，新区间 \( [0.5,0.625] \)，长度 \( 0.125 \)。

步骤5：第4次对分：\( x_4 = 0.5625 \)，\( f(0.5625) \approx 1.755 - 1.6875 = 0.0675 > 0 \)，新区间 \( [0.5625,0.625] \)，长度 \( 0.0625 \)。

步骤6：第5次对分：\( x_5 = 0.59375 \)，\( f(0.59375) \approx 1.812 - 1.78125 = 0.03075 > 0 \)，新区间 \( [0.59375,0.625] \)，长度 \( 0.03125 \)。

步骤7：第6次对分：\( x_6 = 0.609375 \)，\( f(0.609375) \approx 1.841 - 1.828125 = 0.012875 > 0 \)，新区间 \( [0.609375,0.625] \)，长度 \( 0.015625 \)。

步骤8：第7次对分：\( x_7 = 0.6171875 \)，\( f(0.6171875) \approx 1.857 - 1.8515625 = 0.0054375 > 0 \)，新区间 \( [0.6171875,0.625] \)，长度 \( 0.0078125 \)。

步骤9：第8次对分：\( x_8 = 0.62109375 \)，\( f(0.62109375) \approx 1.863 - 1.86328125 \approx -0.00028125 < 0 \)，新区间 \( [0.6171875,0.62109375] \)，长度 \( 0.00390625 < 0.005 \)，满足精度。

最终近似解：\( x \approx \frac{0.6171875 + 0.62109375}{2} \approx 0.619 \)。

例题3：用二分法求方程 \( \sin x - x + 1 = 0 \) 在 \( [1,2] \) 内的近似解，精度 \( \varepsilon = 0.02 \)

解：

步骤1：验证区间：\( f(1) = \sin1 - 1 + 1 \approx 0.8415 > 0 \)，\( f(2) = \sin2 - 2 + 1 \approx 0.9093 - 1 = -0.0907 < 0 \)，故 \( [1,2] \) 为隔根区间，长度 \( 1 \)。

步骤2：第1次对分：\( x_1 = 1.5 \)，\( f(1.5) = \sin1.5 - 1.5 + 1 \approx 0.9975 - 0.5 = 0.4975 > 0 \)，新区间 \( [1.5,2] \)，长度 \( 0.5 \)。

步骤3：第2次对分：\( x_2 = 1.75 \)，\( f(1.75) = \sin1.75 - 1.75 + 1 \approx 0.9839 - 0.75 = 0.2339 > 0 \)，新区间 \( [1.75,2] \)，长度 \( 0.25 \)。

步骤4：第3次对分：\( x_3 = 1.875 \)，\( f(1.875) = \sin1.875 - 1.875 + 1 \approx 0.9511 - 0.875 = 0.0761 > 0 \)，新区间 \( [1.875,2] \)，长度 \( 0.125 \)。

步骤5：第4次对分：\( x_4 = 1.9375 \)，\( f(1.9375) = \sin1.9375 - 1.9375 + 1 \approx 0.9205 - 0.9375 = -0.017 < 0 \)，新区间 \( [1.875,1.9375] \)，长度 \( 0.0625 \)。

步骤6：第5次对分：\( x_5 = 1.90625 \)，\( f(1.90625) = \sin1.90625 - 1.90625 + 1 \approx 0.936 - 0.90625 = 0.02975 > 0 \)，新区间 \( [1.90625,1.9375] \)，长度 \( 0.03125 \)。

步骤7：第6次对分：\( x_6 = 1.921875 \)，\( f(1.921875) = \sin1.921875 - 1.921875 + 1 \approx 0.928 - 0.921875 = 0.006125 > 0 \)，新区间 \( [1.921875,1.9375] \)，长度 \( 0.015625 < 0.02 \)，满足精度。

最终近似解：\( x \approx \frac{1.921875 + 1.9375}{2} \approx 1.93 \)。

二、切线法（牛顿法）

1. 核心原理

切线法利用函数在某点的切线近似代替曲线，通过切线与x轴的交点逐步逼近方程的根。

设函数 \( f(x) \) 在 \( [a,b] \) 上二阶可导，且满足：

\( f(a) \cdot f(b) < 0 \)（有实根）；

\( f'(x) \) 在 \( [a,b] \) 上不变号（函数单调，保证单根）；

\( f''(x) \) 在 \( [a,b] \) 上不变号（曲线凹凸性不变，保证切线交点收敛）。

取初始近似值 \( x_0 \)（需满足 \( f(x_0) \cdot f''(x) > 0 \)，即“初始点与二阶导数同号”，避免发散），过点 \( (x_0, f(x_0)) \) 作曲线的切线，切线方程为：

\( y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \)

令切线与x轴交点的纵坐标 \( y = 0 \)，解得切线法的迭代公式：

\( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \quad (n = 0,1,2,\dots) \)

重复迭代，直到 \( |x_{n+1} - x_n| < \varepsilon \)（\( \varepsilon \) 为精度），取 \( x_{n+1} \) 作为近似解。

2. 适用条件

函数 \( f(x) \) 一阶、二阶可导（需计算 \( f'(x) \)）；

区间内函数单调（\( f'(x) \neq 0 \)）且凹凸性不变（\( f''(x) \neq 0 \)）；

初始值 \( x_0 \) 选择关键，需满足 \( f(x_0) \cdot f''(x) > 0 \)，否则可能发散。

收敛速度快（二阶收敛），远快于二分法，但依赖初始值和导数。

3. 求解步骤

1. 分析函数：确定 \( f(x) \) 的定义域、\( f'(x) \)（单调性）、\( f''(x) \)（凹凸性），找到满足 \( f(a) \cdot f(b) < 0 \) 的区间 \( [a,b] \)；

2. 选择初始值 \( x_0 \)：在 \( [a,b] \) 内取 \( x_0 \)，使 \( f(x_0) \cdot f''(x) > 0 \)（例如，若 \( f''(x) > 0 \)，取 \( f(x_0) > 0 \) 的端点）；

3. 代入迭代公式：计算 \( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \)，并计算 \( f(x_{n+1}) \)；

4. 验证精度：若 \( |x_{n+1} - x_n| < \varepsilon \)，停止迭代，\( x_{n+1} \) 为近似解；否则重复步骤3。

例题4：用切线法求方程 \( x^3 - 3x + 1 = 0 \) 在 \( [0,1] \) 内的近似解，精度 \( \varepsilon = 0.001 \)

解：

步骤1：分析函数：

\( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)，\( f(0) = 1 > 0 \)，\( f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0 \)，故 \( [0,1] \) 为隔根区间；

\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，在 \( [0,1] \) 内 \( f'(x) \leq 0 \)（单调递减）；

\( f''(x) = 6x \)，在 \( [0,1] \) 内 \( f''(x) \geq 0 \)（曲线凹）。

步骤2：选择初始值 \( x_0 \)：因 \( f''(x) > 0 \)，需取 \( f(x_0) > 0 \) 的点，故 \( x_0 = 0 \)（\( f(0) = 1 > 0 \)）。

步骤3：迭代计算：

第1次迭代：\( f(0) = 1 \)，\( f'(0) = -3 \)，\( x_1 = 0 - \frac{1}{-3} \approx 0.3333 \)；

第2次迭代：\( f(0.3333) \approx (0.3333)^3 - 3 \times 0.3333 + 1 \approx 0.037 - 1 + 1 = 0.037 \)，\( f'(0.3333) \approx 3 \times (0.3333)^2 - 3 \approx -2.6667 \)，\( x_2 = 0.3333 - \frac{0.037}{-2.6667} \approx 0.3478 \)；

第3次迭代：\( f(0.3478) \approx (0.3478)^3 - 3 \times 0.3478 + 1 \approx 0.0418 - 1.0434 + 1 = -0.0016 \)，\( f'(0.3478) \approx 3 \times (0.3478)^2 - 3 \approx -2.638 \)，\( x_3 = 0.3478 - \frac{-0.0016}{-2.638} \approx 0.3473 \)；

第4次迭代：\( f(0.3473) \approx (0.3473)^3 - 3 \times 0.3473 + 1 \approx 0.0416 - 1.0419 + 1 \approx -0.0003 \)，\( f'(0.3473) \approx -2.638 \)，\( x_4 = 0.3473 - \frac{-0.0003}{-2.638} \approx 0.3472 \)；

步骤4：验证精度：\( |x_4 - x_3| = |0.3472 - 0.3473| = 0.0001 < 0.001 \)，满足精度。

最终近似解：\( x \approx 0.347 \)。

例题5：用切线法求方程 \( e^{-x} - x = 0 \) 的近似解，精度 \( \varepsilon = 0.0001 \)

解：

步骤1：分析函数：

\( f(x) = e^{-x} - x \)，\( f(0) = 1 > 0 \)，\( f(1) = e^{-1} - 1 \approx -0.632 < 0 \)，故 \( [0,1] \) 为隔根区间；

\( f'(x) = -e^{-x} - 1 < 0 \)（单调递减）；

\( f''(x) = e^{-x} > 0 \)（曲线凹）。

步骤2：选择初始值 \( x_0 \)：因 \( f''(x) > 0 \)，取 \( f(x_0) > 0 \) 的点，故 \( x_0 = 0 \)。

步骤3：迭代计算：

第1次迭代：\( f(0) = 1 \)，\( f'(0) = -2 \)，\( x_1 = 0 - \frac{1}{-2} = 0.5 \)；

第2次迭代：\( f(0.5) = e^{-0.5} - 0.5 \approx 0.6065 - 0.5 = 0.1065 \)，\( f'(0.5) = -e^{-0.5} - 1 \approx -1.6065 \)，\( x_2 = 0.5 - \frac{0.1065}{-1.6065} \approx 0.5663 \)；

第3次迭代：\( f(0.5663) = e^{-0.5663} - 0.5663 \approx 0.5665 - 0.5663 = 0.0002 \)，\( f'(0.5663) = -e^{-0.5663} - 1 \approx -1.5665 \)，\( x_3 = 0.5663 - \frac{0.0002}{-1.5665} \approx 0.5664 \)；

第4次迭代：\( f(0.5664) = e^{-0.5664} - 0.5664 \approx 0.5664 - 0.5664 = 0 \)，\( x_4 = 0.5664 \)；

步骤4：验证精度：\( |x_4 - x_3| = 0 < 0.0001 \)，满足精度。

最终近似解：\( x \approx 0.5664 \)（此为著名的“兰伯特W函数”的特殊值 \( W(1) \)）。

例题6：用切线法求方程 \( x - \cos x = 0 \) 在 \( [0,1] \) 内的近似解，精度 \( \varepsilon = 0.0001 \)

解：

步骤1：分析函数：

\( f(x) = x - \cos x \)，\( f(0) = -1 < 0 \)，\( f(1) = 1 - \cos1 \approx 0.4597 > 0 \)，故 \( [0,1] \) 为隔根区间；

\( f'(x) = 1 + \sin x > 0 \)（单调递增）；

\( f''(x) = \cos x > 0 \)（在 \( [0,1] \) 内，曲线凹）。

步骤2：选择初始值 \( x_0 \)：因 \( f''(x) > 0 \)，需取 \( f(x_0) > 0 \) 的点，故 \( x_0 = 1 \)（\( f(1) \approx 0.4597 > 0 \)）。

步骤3：迭代计算：

第1次迭代：\( f(1) \approx 0.4597 \)，\( f'(1) = 1 + \sin1 \approx 1.8415 \)，\( x_1 = 1 - \frac{0.4597}{1.8415} \approx 0.7504 \)；

第2次迭代：\( f(0.7504) \approx 0.7504 - \cos0.7504 \approx 0.7504 - 0.7317 = 0.0187 \)，\( f'(0.7504) = 1 + \sin0.7504 \approx 1.6816 \)，\( x_2 = 0.7504 - \frac{0.0187}{1.6816} \approx 0.7391 \)；

第3次迭代：\( f(0.7391) \approx 0.7391 - \cos0.7391 \approx 0.7391 - 0.7391 = 0 \)，\( f'(0.7391) \approx 1 + \sin0.7391 \approx 1.6736 \)，\( x_3 = 0.7391 \)；

步骤4：验证精度：\( |x_3 - x_2| = |0.7391 - 0.7391| = 0 < 0.0001 \)，满足精度。

最终近似解：\( x \approx 0.7391 \)（此为“杜芬方程”的平衡点之一）。

三、割线法

1. 核心原理

割线法是切线法的改进：切线法需计算导数 \( f'(x) \)，而割线法用两点 \( (x_{n-1}, f(x_{n-1})) \) 和 \( (x_n, f(x_n)) \) 构造的割线代替切线，避免导数计算。

设已知两个初始近似值 \( x_0, x_1 \)（无需满足 \( f(x_0) \cdot f(x_1) < 0 \)，但需接近真实根），过两点作割线，割线方程为：

\( \frac{y - f(x_n)}{x - x_n} = \frac{f(x_n) - f(x_{n-1})}{x_n - x_{n-1}} \)

令割线与x轴交点的纵坐标 \( y = 0 \)，解得割线法的迭代公式：

\( x_{n+1} = x_n - f(x_n) \cdot \frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})} \quad (n = 1,2,\dots) \)

重复迭代，直到 \( |x_{n+1} - x_n| < \varepsilon \)，取 \( x_{n+1} \) 作为近似解。

2. 适用条件

函数 \( f(x) \) 连续（无需可导，避免导数计算的麻烦）；

初始值 \( x_0, x_1 \) 需接近真实根（否则可能发散）；

收敛速度为1.618阶收敛（慢于切线法的二阶收敛，但快于二分法）；

适合无法求导或导数计算复杂的函数（如超越函数、高次函数）。

3. 求解步骤

1. 确定两个初始近似值 \( x_0, x_1 \)：通过试算或图像估计，取接近真实根的两个点（无需异号）；

2. 代入迭代公式：计算 \( x_{n+1} = x_n - f(x_n) \cdot \frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})} \)；

3. 验证精度：若 \( |x_{n+1} - x_n| < \varepsilon \)，停止迭代，\( x_{n+1} \) 为近似解；否则重复步骤2。

例题7：用割线法求方程 \( x^3 - 2x - 5 = 0 \) 在 \( [2,3] \) 内的近似解，精度 \( \varepsilon = 0.001 \)

解：

步骤1：选择初始值：\( f(2) = 8 - 4 - 5 = -1 < 0 \)，\( f(3) = 27 - 6 - 5 = 16 > 0 \)，取 \( x_0 = 2 \)，\( x_1 = 2.1 \)（接近2，减少迭代次数）。

步骤2：迭代计算：

第1次迭代（\( n=1 \)）：\( f(x_0)=f(2)=-1 \)，\( f(x_1)=f(2.1)= (2.1)^3 - 2 \times 2.1 - 5 = 9.261 - 4.2 - 5 = 0.061 \)，

\( x_2 = 2.1 - 0.061 \times \frac{2.1 - 2}{0.061 - (-1)} \approx 2.1 - 0.061 \times \frac{0.1}{1.061} \approx 2.0947 \)；

第2次迭代（\( n=2 \)）：\( f(x_2)=f(2.0947) \approx (2.0947)^3 - 2 \times 2.0947 - 5 \approx 9.197 - 4.1894 - 5 \approx 0.0076 \)，

\( x_3 = 2.0947 - 0.0076 \times \frac{2.0947 - 2.1}{0.0076 - 0.061} \approx 2.0947 - 0.0076 \times \frac{-0.0053}{-0.0534} \approx 2.0946 \)；

步骤3：验证精度：\( |x_3 - x_2| = |2.0946 - 2.0947| = 0.0001 < 0.001 \)，满足精度。

最终近似解：\( x \approx 2.0946 \)。

例题8：用割线法求方程 \( \ln x - x + 2 = 0 \) 在 \( [2,3] \) 内的近似解，精度 \( \varepsilon = 0.0001 \)

解：

步骤1：选择初始值：\( f(2) = \ln2 - 2 + 2 = \ln2 \approx 0.6931 > 0 \)，\( f(3) = \ln3 - 3 + 2 \approx 1.0986 - 1 = 0.0986 > 0 \)，取 \( x_0 = 2.5 \)，\( x_1 = 2.7 \)（试算得 \( f(2.5) \approx \ln2.5 - 0.5 \approx 0.9163 - 0.5 = 0.4163 \)，\( f(2.7) \approx \ln2.7 - 0.7 \approx 0.9933 - 0.7 = 0.2933 \)）。

步骤2：迭代计算：

第1次迭代（\( n=1 \)）：\( x_2 = 2.7 - 0.2933 \times \frac{2.7 - 2.5}{0.2933 - 0.4163} \approx 2.7 - 0.2933 \times \frac{0.2}{-0.123} \approx 3.175 \)；

\( f(x_2) = \ln3.175 - 3.175 + 2 \approx 1.155 - 1.175 = -0.02 \)；

第2次迭代（\( n=2 \)）：\( x_3 = 3.175 - (-0.02) \times \frac{3.175 - 2.7}{-0.02 - 0.2933} \approx 3.175 - (-0.02) \times \frac{0.475}{-0.3133} \approx 3.145 \)；

\( f(x_3) = \ln3.145 - 3.145 + 2 \approx 1.146 - 1.145 = 0.001 \)；

第3次迭代（\( n=3 \)）：\( x_4 = 3.145 - 0.001 \times \frac{3.145 - 3.175}{0.001 - (-0.02)} \approx 3.145 - 0.001 \times \frac{-0.03}{0.021} \approx 3.1464 \)；

\( f(x_4) = \ln3.1464 - 3.1464 + 2 \approx 1.1465 - 1.1464 = 0.0001 \)；

第4次迭代（\( n=4 \)）：\( x_5 = 3.1464 - 0.0001 \times \frac{3.1464 - 3.145}{0.0001 - 0.001} \approx 3.1464 - 0.0001 \times \frac{0.0014}{-0.0009} \approx 3.1466 \)；

步骤3：验证精度：\( |x_5 - x_4| = |3.1466 - 3.1464| = 0.0002 \)，继续迭代；

第5次迭代（\( n=5 \)）：\( f(x_5) \approx \ln3.1466 - 3.1466 + 2 \approx 1.1466 - 1.1466 = 0 \)，\( x_6 = 3.1466 \)；

步骤4：验证精度：\( |x_6 - x_5| = 0 < 0.0001 \)，满足精度。

最终近似解：\( x \approx 3.1466 \)。

例题9：用割线法求方程 \( 2^x - 4x = 0 \) 在 \( [0,1] \) 内的近似解，精度 \( \varepsilon = 0.001 \)

解：

步骤1：选择初始值：\( f(0) = 1 - 0 = 1 > 0 \)，\( f(1) = 2 - 4 = -2 < 0 \)，取 \( x_0 = 0.5 \)，\( x_1 = 0.6 \)（试算得 \( f(0.5) = 2^{0.5} - 2 \approx 1.414 - 2 = -0.586 \)，\( f(0.6) = 2^{0.6} - 2.4 \approx 1.5157 - 2.4 = -0.8843 \)）。

步骤2：迭代计算：

第1次迭代（\( n=1 \)）：\( x_2 = 0.6 - (-0.8843) \times \frac{0.6 - 0.5}{-0.8843 - (-0.586)} \approx 0.6 - (-0.8843) \times \frac{0.1}{-0.2983} \approx 0.306 \)；

\( f(x_2) = 2^{0.306} - 4 \times 0.306 \approx 1.235 - 1.224 = 0.011 \)；

第2次迭代（\( n=2 \)）：\( x_3 = 0.306 - 0.011 \times \frac{0.306 - 0.6}{0.011 - (-0.8843)} \approx 0.306 - 0.011 \times \frac{-0.294}{0.8953} \approx 0.3096 \)；

\( f(x_3) = 2^{0.3096} - 4 \times 0.3096 \approx 1.24 - 1.2384 = 0.0016 \)；

第3次迭代（\( n=3 \)）：\( x_4 = 0.3096 - 0.0016 \times \frac{0.3096 - 0.306}{0.0016 - 0.011} \approx 0.3096 - 0.0016 \times \frac{0.0036}{-0.0094} \approx 0.3102 \)；

\( f(x_4) = 2^{0.3102} - 4 \times 0.3102 \approx 1.2405 - 1.2408 = -0.0003 \)；

第4次迭代（\( n=4 \)）：\( x_5 = 0.3102 - (-0.0003) \times \frac{0.3102 - 0.3096}{-0.0003 - 0.0016} \approx 0.3102 - (-0.0003) \times \frac{0.0006}{-0.0019} \approx 0.3101 \)；

步骤3：验证精度：\( |x_5 - x_4| = |0.3101 - 0.3102| = 0.0001 < 0.001 \)，满足精度。

最终近似解：\( x \approx 0.3101 \)。

四、三种方法的核心区别总结

方法	收敛速度	初始值要求	计算复杂度	适用场景
二分法	线性收敛	只需端点异号	低（仅函数值）	稳健但需慢收敛的场景
切线法（牛顿）	二阶收敛	需接近根且导数非零	中（需导数）	高精度、收敛快的单根问题
割线法	超线性收敛	需两点接近根	低（无需导数）	避免求导且收敛速度要求适中的场景