定积分：概念、性质、计算方法

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定积分是微积分的核心概念之一，主要用于解决“求总量”问题（如面积、体积、路程、功等），其本质是“无限分割、近似代替、求和、取极限”的数学过程。

一、定积分的基本概念

1. 定义（黎曼定积分）

设函数\( f(x) \)在闭区间\( [a,b] \)上有界，将\( [a,b] \)任意分成\( n \)个小区间：\( [x_0,a_1], [x_1,x_2], \dots, [x_{n-1},x_n] \)（其中\( x_0=a, x_n=b \)），记每个小区间的长度为\( \Delta x_i = x_i - x_{i-1} \)（\( i=1,2,\dots,n \)），取任意\( \xi_i \in [x_{i-1},x_i] \)，作和式：\( S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \)

记\( \lambda = \max\{\Delta x_1, \Delta x_2, \dots, \Delta x_n\} \)，若当\( \lambda \to 0 \)时，\( S_n \)的极限存在（且与区间分割方式、\( \xi_i \)的取法无关），则称\( f(x) \)在\( [a,b] \)上黎曼可积，该极限值称为\( f(x) \)在\( [a,b] \)上的定积分，记为：\( \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \)

其中：\( a \)为下限，\( b \)为上限，\( [a,b] \)为积分区间，\( f(x) \)为被积函数，\( x \)为积分变量，\( f(x)dx \)为被积表达式。

2. 几何意义

若\( f(x) \geq 0 \)，则\( \int_a^b f(x)dx \)表示曲线\( y=f(x) \)、直线\( x=a \)、\( x=b \)与x轴围成的曲边梯形面积；

若\( f(x) \leq 0 \)，则积分值为上述曲边梯形面积的负值；

若\( f(x) \)在\( [a,b] \)上正负交替，则积分值为各部分面积的代数和（正面积减负面积）。

3. 可积条件（核心结论）

必要条件：\( f(x) \)在\( [a,b] \)上有界；

充分条件：1. \( f(x) \)在\( [a,b] \)上连续；2. \( f(x) \)在\( [a,b] \)上有界且只有有限个间断点；3. \( f(x) \)在\( [a,b] \)上单调有界。

二、定积分的重要性质

设以下定积分均存在，性质对计算和证明至关重要：

1. 积分上下限的对称性：\( \int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx \)。特别地，当\( a=b \)时，\( \int_a^a f(x)dx = 0 \)（积分区间长度为0，总量为0）。

2. 线性性质：数乘：\( \int_a^b kf(x)dx = k\int_a^b f(x)dx \)（\( k \)为常数）；和差：\( \int_a^b [f(x) \pm g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx \pm \int_a^b g(x)dx \)。（可推广到有限个函数的线性组合）

3. 区间可加性：对任意\( c \)（无论\( c \)在\( [a,b] \)内或外），有：\( \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx \)（核心用途：拆分积分区间，处理分段函数或绝对值函数的积分）

4. 保号性：若在\( [a,b] \)上\( f(x) \geq 0 \)，则\( \int_a^b f(x)dx \geq 0 \)；若在\( [a,b] \)上\( f(x) \leq g(x) \)，则\( \int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx \)（保序性）。

推论：\( \left| \int_a^b f(x)dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|dx \)（积分的绝对值不超过绝对值的积分）。

5. 积分估值定理：设\( M = \max_{x \in [a,b]} f(x) \)，\( m = \min_{x \in [a,b]} f(x) \)，则：\( m(b-a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a) \)（用途：粗略估计积分值的范围）

6. 积分中值定理：若\( f(x) \)在\( [a,b] \)上连续，则存在\( \xi \in [a,b] \)，使得：\( \int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a) \)

几何意义：曲边梯形面积等于以\( [a,b] \)为底、\( f(\xi) \)为高的矩形面积，\( f(\xi) \)称为\( f(x) \)在\( [a,b] \)上的“平均高度”（即积分平均值：\( \bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx \)）。

7. 奇偶函数与周期函数的积分性质

奇偶性：设\( f(x) \)在对称区间\( [-a,a] \)上可积，

1. 若\( f(x) \)为偶函数（\( f(-x)=f(x) \)），则\( \int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx \)；

2. 若\( f(x) \)为奇函数（\( f(-x)=-f(x) \)），则\( \int_{-a}^a f(x)dx = 0 \)。

（核心用途：简化对称区间上的积分计算）

周期性：设\( f(x) \)是以\( T \)为周期的周期函数（\( f(x+T)=f(x) \)），且在\( [0,T] \)上可积，则对任意整数\( n \)和实数\( a \)，有：

1. \( \int_a^{a+T} f(x)dx = \int_0^T f(x)dx \)（周期区间上的积分值不变）；

2. \( \int_0^{nT} f(x)dx = n\int_0^T f(x)dx \)。

三、定积分的计算方法

定积分的计算核心是“将积分转化为原函数的增量”（牛顿-莱布尼茨公式），辅以换元、分部积分等技巧处理复杂函数。

1. 核心公式：牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）

设\( f(x) \)在\( [a,b] \)上连续，\( F(x) \)是\( f(x) \)在\( [a,b] \)上的一个原函数（即\( F'(x)=f(x) \)），则：\( \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) \)

记为\( F(x)\bigg|_a^b = F(b)-F(a) \)。

意义：将定积分的计算转化为“求原函数”和“计算增量”，架起导数与积分的桥梁。

2. 换元积分法（对应不定积分的换元法）

设\( f(x) \)在\( [a,b] \)上连续，令\( x = \varphi(t) \)，满足：

1. \( \varphi(t) \)在\( [\alpha,\beta] \)（或\( [\beta,\alpha] \)）上单调、可导，且\( \varphi'(\beta) \)连续；

2. \( \varphi(\alpha) = a \)，\( \varphi(\beta) = b \)；

则：\( \int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f[\varphi(t)] \cdot \varphi'(t)dt \)

关键：换元的同时必须“换积分上下限”，无需回代原变量。

3. 分部积分法（对应不定积分的分部积分法）

设\( u(x) \)、\( v(x) \)在\( [a,b] \)上具有连续导数，则：\( \int_a^b u(x) \cdot v'(x)dx = u(x)v(x)\bigg|_a^b - \int_a^b v(x) \cdot u'(x)dx \)

简记为：\( \int_a^b u \, dv = uv\bigg|_a^b - \int_a^b v \, du \)。

适用场景：被积函数为“多项式×三角函数”“多项式×指数函数”“多项式×对数函数”“三角函数×指数函数”等乘积形式。

4. 特殊技巧

利用奇偶性、周期性简化对称区间/周期区间上的积分；

拆分积分区间（区间可加性）处理分段函数、绝对值函数、根号下含变量的函数（如\( \sqrt{x^2-a^2} \)需分\( x \geq a \)和\( x \leq -a \)）；

递推公式：处理高次幂的三角函数积分（如\( I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx \)），利用分部积分推导递推关系。

例题1：利用牛顿-莱布尼茨公式计算（幂函数）计算\( \int_1^2 x^3 dx \)

解：

1. 求原函数：\( \int x^3 dx = \frac{1}{4}x^4 + C \)（原函数取\( F(x)=\frac{1}{4}x^4 \)）；

2. 代入牛顿-莱布尼茨公式：

\( \int_1^2 x^3 dx = \frac{1}{4}x^4 \bigg|_1^2 = \frac{1}{4}(2^4 - 1^4) = \frac{1}{4}(16-1) = \frac{15}{4} \)

例题2：利用牛顿-莱布尼茨公式计算（指数函数）计算\( \int_0^1 e^{2x} dx \)

解：

1. 求原函数：\( \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C \)（原函数取\( F(x)=\frac{1}{2}e^{2x} \)）；

2. 代入公式：

\( \int_0^1 e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}\bigg|_0^1 = \frac{1}{2}(e^{2} - e^0) = \frac{1}{2}(e^2 - 1) \)

例题3：利用牛顿-莱布尼茨公式计算（三角函数）计算\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx \)

解：

1. 原函数：\( \int \cos x dx = \sin x + C \)；

2. 代入公式：

\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \sin x \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1 \)

例题4：线性性质的应用。计算\( \int_0^1 (2x^2 - 3e^x + 1) dx \)

解：

由线性性质拆分积分：

\( \int_0^1 (2x^2 - 3e^x + 1) dx = 2\int_0^1 x^2 dx - 3\int_0^1 e^x dx + \int_0^1 1 dx \)

分别计算各部分：

\( 2\int_0^1 x^2 dx = 2 \cdot \frac{1}{3}x^3\bigg|_0^1 = \frac{2}{3}(1-0) = \frac{2}{3} \)；

\( -3\int_0^1 e^x dx = -3 \cdot e^x\bigg|_0^1 = -3(e - 1) = 3 - 3e \)；

\( \int_0^1 1 dx = x\bigg|_0^1 = 1 - 0 = 1 \)；

相加得：\( \frac{2}{3} + 3 - 3e + 1 = \frac{2}{3} + 4 - 3e = \frac{14}{3} - 3e \)。

例题5：区间可加性的应用（分段函数）设\( f(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2 - x, & 1 < x \leq 2 \end{cases} \)，计算\( \int_0^2 f(x) dx \)

解：

由区间可加性，拆分区间在分段点\( x=1 \)处：

\( \int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 f(x) dx + \int_1^2 f(x) dx = \int_0^1 x dx + \int_1^2 (2 - x) dx \)

分别计算：

\( \int_0^1 x dx = \frac{1}{2}x^2\bigg|_0^1 = \frac{1}{2} \)；

\( \int_1^2 (2 - x) dx = \left(2x - \frac{1}{2}x^2\right)\bigg|_1^2 = (4 - 2) - (2 - \frac{1}{2}) = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \)；

相加得：\( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \)。

例题6：换元法（第一类换元：凑微分）计算\( \int_0^1 x e^{x^2} dx \)

解：

1. 凑微分：令\( u = x^2 \)，则\( du = 2x dx \)，即\( x dx = \frac{1}{2}du \)；

2. 换上下限：当\( x=0 \)时，\( u=0 \)；当\( x=1 \)时，\( u=1 \)；

3. 代入计算：

\( \int_0^1 x e^{x^2} dx = \frac{1}{2}\int_0^1 e^u du = \frac{1}{2}e^u\bigg|_0^1 = \frac{1}{2}(e - 1) \)

例题7：换元法（第二类换元：根号代换）计算\( \int_0^4 \frac{1}{1 + \sqrt{x}} dx \)

解：

1. 消根号：令\( t = \sqrt{x} \)，则\( x = t^2 \)，\( dx = 2t dt \)；

2. 换上下限：当\( x=0 \)时，\( t=0 \)；当\( x=4 \)时，\( t=2 \)；

3. 代入计算：

\( \int_0^4 \frac{1}{1 + \sqrt{x}} dx = \int_0^2 \frac{2t}{1 + t} dt \)

化简被积函数：\( \frac{2t}{1 + t} = 2 - \frac{2}{1 + t} \)，因此：

\( 2\int_0^2 \left(1 - \frac{1}{1 + t}\right) dt = 2\left[ t - \ln(1 + t) \right]_0^2 = 2\left[ (2 - \ln3) - (0 - \ln1) \right] = 2(2 - \ln3) = 4 - 2\ln3 \)

例题8：换元法（第二类换元：三角代换）计算\( \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} dx \)（\( a > 0 \)）

解：

1. 三角代换：令\( x = a\sin t \)（利用\( 1 - \sin^2 t = \cos^2 t \)消根号），则\( dx = a\cos t dt \)；

2. 换上下限：当\( x=0 \)时，\( t=0 \)；当\( x=a \)时，\( t=\frac{\pi}{2} \)；

3. 代入计算：

\( \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2 - a^2\sin^2 t} \cdot a\cos t dt = a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt \)

利用三角恒等式\( \cos^2 t = \frac{1 + \cos2t}{2} \)：

\( a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos2t}{2} dt = \frac{a^2}{2}\left[ t + \frac{1}{2}\sin2t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{a^2}{2}\left( \frac{\pi}{2} + 0 - 0 \right) = \frac{\pi a^2}{4} \)

（几何意义：单位圆在第一象限的四分之一面积，符合预期）

例题9：分部积分法（多项式×指数函数）计算\( \int_0^1 x e^x dx \)

解：

1. 设\( u = x \)（多项式，导数简化），\( dv = e^x dx \)（指数函数，原函数易求）；

2. 求\( du \)和\( v \)：\( du = dx \)，\( v = e^x \)；

3. 代入分部积分公式：

\( \int_0^1 x e^x dx = uv\bigg|_0^1 - \int_0^1 v du = x e^x \bigg|_0^1 - \int_0^1 e^x dx \)

计算得：

\( (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - e^x\bigg|_0^1 = e - (e - 1) = 1 \)

例题10：分部积分法（多项式×对数函数）计算\( \int_1^e x \ln x dx \)

解：

1. 设\( u = \ln x \)（对数函数，导数简化为幂函数），\( dv = x dx \)（幂函数，原函数易求）；

2. 求\( du \)和\( v \)：\( du = \frac{1}{x}dx \)，\( v = \frac{1}{2}x^2 \)；

3. 代入分部积分公式：

\( \int_1^e x \ln x dx = \frac{1}{2}x^2 \ln x \bigg|_1^e - \int_1^e \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{1}{2}x^2 \ln x \bigg|_1^e - \frac{1}{2}\int_1^e x dx \)

分别计算：

第一项：\( \frac{1}{2}(e^2 \cdot 1 - 1^2 \cdot 0) = \frac{e^2}{2} \)；

第二项：\( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}x^2\bigg|_1^e = \frac{1}{4}(e^2 - 1) \)；

因此结果为：\( \frac{e^2}{2} - \frac{1}{4}(e^2 - 1) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4} \)。

例题11：分部积分法（三角函数×指数函数）计算\( \int_0^{\pi} e^x \sin x dx \)

解：

设\( I = \int_0^{\pi} e^x \sin x dx \)，需两次分部积分：

1. 第一次分部：设\( u = \sin x \)，\( dv = e^x dx \)，则\( du = \cos x dx \)，\( v = e^x \)，得：

\( I = e^x \sin x \bigg|_0^{\pi} - \int_0^{\pi} e^x \cos x dx = 0 - \int_0^{\pi} e^x \cos x dx = -\int_0^{\pi} e^x \cos x dx \)

2. 第二次分部：对\( \int e^x \cos x dx \)，设\( u = \cos x \)，\( dv = e^x dx \)，则\( du = -\sin x dx \)，\( v = e^x \)，得：

\( \int e^x \cos x dx = e^x \cos x \bigg|_0^{\pi} + \int_0^{\pi} e^x \sin x dx = (e^\pi \cdot (-1) - e^0 \cdot 1) + I = -e^\pi - 1 + I \)

3. 代入第一次结果：

\( I = -(-e^\pi - 1 + I) = e^\pi + 1 - I \)

移项得：\( 2I = e^\pi + 1 \)，因此\( I = \frac{e^\pi + 1}{2} \)。

例题12：利用奇偶性简化积分（偶函数）计算\( \int_{-2}^2 (x^2 + \sin x) dx \)

解：

拆分积分：\( \int_{-2}^2 x^2 dx + \int_{-2}^2 \sin x dx \)

第一项：\( f(x)=x^2 \)是偶函数，故\( \int_{-2}^2 x^2 dx = 2\int_0^2 x^2 dx = 2 \cdot \frac{1}{3}x^3\bigg|_0^2 = \frac{16}{3} \)；

第二项：\( g(x)=\sin x \)是奇函数，故\( \int_{-2}^2 \sin x dx = 0 \)；

因此结果为：\( \frac{16}{3} + 0 = \frac{16}{3} \)。

例题13：利用奇偶性简化积分（构造偶函数）计算\( \int_{-1}^1 \frac{x^2}{1 + e^x} dx \)

解：

被积函数\( f(x)=\frac{x^2}{1 + e^x} \)非奇非偶，利用“对称区间积分公式”：\( \int_{-a}^a f(x)dx = \int_0^a [f(x) + f(-x)]dx \)

计算\( f(x) + f(-x) \)：

\( f(x) + f(-x) = \frac{x^2}{1 + e^x} + \frac{x^2}{1 + e^{-x}} = \frac{x^2}{1 + e^x} + \frac{x^2 e^x}{e^x + 1} = x^2 \cdot \frac{1 + e^x}{1 + e^x} = x^2 \)

因此：

\( \int_{-1}^1 \frac{x^2}{1 + e^x} dx = \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}x^3\bigg|_0^1 = \frac{1}{3} \)

例题14：利用周期性简化积分。计算\( \int_{-1}^3 \sin(\pi x) dx \)（\( \sin(\pi x) \)的周期\( T = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \)）

解：

由周期函数积分性质\( \int_a^{a+T} f(x)dx = \int_0^T f(x)dx \)，拆分区间：

\( \int_{-1}^3 \sin(\pi x) dx = \int_{-1}^{1} \sin(\pi x) dx + \int_{1}^{3} \sin(\pi x) dx \)

第一个积分：区间\( [-1,1] \)长度为2（一个周期），\( \int_{-1}^1 \sin(\pi x) dx = \int_0^2 \sin(\pi x) dx = \left[ -\frac{1}{\pi}\cos(\pi x) \right]_0^2 = -\frac{1}{\pi}(1 - 1) = 0 \)；

第二个积分：区间\( [1,3] \)长度为2（一个周期），\( \int_{1}^3 \sin(\pi x) dx = \int_0^2 \sin(\pi x) dx = 0 \)；

因此结果为：\( 0 + 0 = 0 \)。

例题15：绝对值函数的积分（区间拆分）计算\( \int_{-1}^2 |x - 1| dx \)

解：

先找绝对值内表达式的零点：\( x - 1 = 0 \implies x=1 \)，拆分区间\( [-1,2] \)为\( [-1,1] \)和\( [1,2] \)：

当\( x \in [-1,1] \)时，\( |x - 1| = 1 - x \)；

当\( x \in [1,2] \)时，\( |x - 1| = x - 1 \)；

因此：

\( \int_{-1}^2 |x - 1| dx = \int_{-1}^1 (1 - x) dx + \int_{1}^2 (x - 1) dx \)

分别计算：

第一个积分：\( \int_{-1}^1 1 dx - \int_{-1}^1 x dx = 2 - 0 = 2 \)（\( x \)是奇函数，第二个积分为0）；

第二个积分：\( \int_{1}^2 x dx - \int_{1}^2 1 dx = \left(2 - \frac{1}{2}\right) - (2 - 1) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \)；

相加得：\( 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \)。

例题16：递推公式（高次三角函数积分）计算\( I_3 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x dx \)

解：

高次三角函数积分递推公式：对\( I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx \)，有

\( I_n = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2} \quad (n \geq 2) \)

且\( I_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = \frac{\pi}{2} \)，\( I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = 1 \)。

对于\( n=3 \)（奇数）：

\( I_3 = \frac{3 - 1}{3} I_1 = \frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3} \)

例题17：定积分的估值（积分估值定理）估计\( \int_1^4 (x^2 + 1) dx \)的值

解：

1. 求\( f(x)=x^2 + 1 \)在\( [1,4] \)上的最值：

\( f(x) \)在\( [1,4] \)上单调递增，故\( m = f(1) = 2 \)，\( M = f(4) = 17 \)；

2. 由估值定理：\( m(b - a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b - a) \)，代入得：

\( 2(4 - 1) \leq \int_1^4 (x^2 + 1)dx \leq 17(4 - 1) \implies 6 \leq \int_1^4 (x^2 + 1)dx \leq 51 \)

（实际计算值：\( \int_1^4 (x^2 + 1)dx = \left( \frac{1}{3}x^3 + x \right)\bigg|_1^4 = \frac{64}{3} + 4 - \frac{1}{3} - 1 = 24 \)，在估值范围内）

例题18：积分中值定理的应用（证明等式）设\( f(x) \)在\( [a,b] \)上连续，证明存在\( \xi \in [a,b] \)，使得\( \int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b - a) \)（积分中值定理本身）

解：

1. 由闭区间上连续函数的性质，\( f(x) \)在\( [a,b] \)上存在最大值\( M \)和最小值\( m \)；

2. 由估值定理：\( m(b - a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b - a) \)，两边除以\( b - a \)（\( b > a \)）得：

\( m \leq \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)dx \leq M \)

3. 由介值定理：存在\( \xi \in [a,b] \)，使得\( f(\xi) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)dx \)，即：

\( \int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b - a) \)

例题19：综合应用（换元+分部）计算\( \int_0^1 \arcsin x dx \)

解：

1. 分部积分：设\( u = \arcsin x \)（反三角函数，导数简化），\( dv = dx \)，则\( du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx \)，\( v = x \)；

2. 代入分部公式：

\( \int_0^1 \arcsin x dx = x \arcsin x \bigg|_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx \)

3. 计算第一项：\( 1 \cdot \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} \)；

4. 计算第二项（换元）：令\( t = 1 - x^2 \)，则\( dt = -2x dx \)，即\( x dx = -\frac{1}{2}dt \)；当\( x=0 \)时\( t=1 \)，\( x=1 \)时\( t=0 \)，因此：

\( \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\frac{1}{2}\int_1^0 \frac{1}{\sqrt{t}} dt = \frac{1}{2}\int_0^1 t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{2} \cdot 2t^{\frac{1}{2}}\bigg|_0^1 = 1 \)

5. 最终结果：\( \frac{\pi}{2} - 1 \)。

例题20：综合应用（分段函数+奇偶性）设\( f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases} \)，计算\( \int_{-2}^1 f(x) dx \)

解：

1. 拆分区间：由区间可加性，\( \int_{-2}^1 f(x) dx = \int_{-2}^0 f(x) dx + \int_0^1 f(x) dx \)；

2. 计算\( \int_{-2}^0 f(x) dx \)：当\( x < 0 \)时，\( f(x) = -x \)，令\( t = -x \)（换元简化），则\( x = -t \)，\( dx = -dt \)；当\( x=-2 \)时\( t=2 \)，\( x=0 \)时\( t=0 \)，因此：

\( \int_{-2}^0 (-x) dx = \int_2^0 t (-dt) = \int_0^2 t dt = \frac{1}{2}t^2\bigg|_0^2 = 2 \)

3. 计算\( \int_0^1 f(x) dx \)：当\( x \geq 0 \)时，\( f(x) = x^2 \)，因此：

\( \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}x^3\bigg|_0^1 = \frac{1}{3} \)

4. 相加得：\( 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \)。