微分方程：含导数的方程

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微分方程是描述“函数与其导数之间关系”的数学工具，广泛应用于物理、工程、生物等领域（如运动规律、电路变化、种群增长等）。其核心是从“含导数的方程”中求解出未知函数，按阶数（最高导数的阶数）可分为一阶、二阶及高阶微分方程，按形式可分为常微分方程（仅含一元函数的导数）和偏微分方程（含多元函数的偏导数）。

一、微分方程的基本概念

微分方程：含有未知函数及其导数（或微分）的方程，记为 \( F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) = 0 \)，其中 \( y = y(x) \) 是未知函数，\( x \) 是自变量。

阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。

例：\( y' + 2xy = e^x \) 是一阶微分方程；\( y'' + 3y' - 2y = \sin x \) 是二阶微分方程。

解：代入微分方程后使等式成立的函数 \( y = \varphi(x) \)，分为两类：

通解：含有与阶数相等的独立任意常数的解（如一阶方程的通解含1个任意常数 \( C \)，二阶方程含2个独立任意常数 \( C_1, C_2 \)）。

特解：确定了通解中任意常数的具体值后的解（通常由“初始条件”确定，如 \( y(x_0) = y_0, y'(x_0) = y_1 \)）。

初始条件：确定通解中任意常数的附加条件，用于求特解。一阶方程需1个初始条件，二阶方程需2个初始条件。

按阶数与线性性分类：

一阶微分方程：最高导数为一阶，基本形式为 \( y' = f(x, y) \) 或 \( P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 \)，主要类型包括：可分离变量型、齐次型、线性型、伯努利型。

二阶微分方程：最高导数为二阶，重点是二阶线性常系数微分方程，形式为 \( y'' + py' + qy = f(x) \)（\( p, q \) 为常数），分为齐次（\( f(x) = 0 \)）和非齐次（\( f(x) \neq 0 \)）两类。

二、一阶微分方程的解法

一阶微分方程的核心是“通过代数变形或变量替换，将方程转化为可积分的形式”，不同类型对应不同解法。

（一）可分离变量的微分方程

若一阶微分方程可化为 \( g(y)dy = f(x)dx \) 的形式（即变量 \( x \) 与 \( y \) 分别在等式两侧），则称为可分离变量的微分方程。

解法：两侧分别对各自变量积分，得通解：\( \int g(y)dy = \int f(x)dx + C \)（\( C \) 为任意常数）

例1：求解微分方程 \( \frac{dy}{dx} = 2xy \)

步骤1：分离变量（将含 \( y \) 的项移到左侧，含 \( x \) 的项移到右侧，注意 \( y \neq 0 \)）：\( \frac{1}{y}dy = 2xdx \)

步骤2：两侧分别积分：左侧积分：\( \int \frac{1}{y}dy = \ln|y| \)；右侧积分：\( \int 2xdx = x^2 + C_1 \)（\( C_1 \) 为积分常数）。

步骤3：整理得通解（合并常数，令 \( C = \pm e^{C_1} \)，\( C = 0 \) 对应解 \( y = 0 \)，可纳入通解）：\( \ln|y| = x^2 + C_1 \implies |y| = e^{x^2 + C_1} = e^{C_1}e^{x^2} \implies y = Ce^{x^2} \)（\( C \) 为任意常数）。

例2：求解微分方程 \( (1 + x^2)dy + xydx = 0 \)（初始条件 \( y(0) = 1 \)）

步骤1：分离变量（移项并整理）：\( (1 + x^2)dy = -xydx \implies \frac{1}{y}dy = -\frac{x}{1 + x^2}dx \)（\( y \neq 0 \)）。

步骤2：两侧积分：

左侧：\( \int \frac{1}{y}dy = \ln|y| \)；右侧：令 \( u = 1 + x^2 \)，则 \( du = 2xdx \)，\( \int -\frac{x}{1 + x^2}dx = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du = -\frac{1}{2}\ln|u| + C_1 = -\frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C_1 \)。

步骤3：求通解：\( \ln|y| = -\frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C_1 \implies \ln|y| + \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) = C_1 \implies \ln\left(|y|\sqrt{1 + x^2}\right) = C_1 \)

指数化得：\( |y|\sqrt{1 + x^2} = e^{C_1} \implies y = \frac{C}{\sqrt{1 + x^2}} \)（\( C = \pm e^{C_1} \)，\( C = 0 \) 对应 \( y = 0 \)）。

步骤4：代入初始条件 \( y(0) = 1 \)：

当 \( x = 0 \) 时，\( 1 = \frac{C}{\sqrt{1 + 0}} \implies C = 1 \)，故特解为 \( y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \)。

例3：求解微分方程 \( \frac{dy}{dx} = \frac{1 + y^2}{(1 + x^2)xy} \)

步骤1：分离变量（交叉相乘，将 \( y \) 与 \( x \) 分离）：\( \frac{y}{1 + y^2}dy = \frac{1}{x(1 + x^2)}dx \)

步骤2：两侧积分（右侧拆项）：

左侧：\( \int \frac{y}{1 + y^2}dy = \frac{1}{2}\ln(1 + y^2) + C_1 \)；

右侧：拆项 \( \frac{1}{x(1 + x^2)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{1 + x^2} \)，积分得 \( \int \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{1 + x^2}\right)dx = \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C_2 \)。

步骤3：整理通解（合并常数 \( C = e^{2(C_2 - C_1)} \)）：\( \frac{1}{2}\ln(1 + y^2) = \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C_3 \quad (C_3 = C_2 - C_1) \)

两边乘2：\( \ln(1 + y^2) = 2\ln|x| - \ln(1 + x^2) + 2C_3 \)

指数化：\( 1 + y^2 = \frac{x^2 \cdot e^{2C_3}}{1 + x^2} \implies 1 + y^2 = \frac{Cx^2}{1 + x^2} \)（\( C = e^{2C_3} > 0 \)）。

（二）一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的标准形式为：\( y' + P(x)y = Q(x) \)

其中 \( P(x) \) 和 \( Q(x) \) 是已知连续函数，若 \( Q(x) = 0 \)，称为一阶线性齐次微分方程；若 \( Q(x) \neq 0 \)，称为一阶线性非齐次微分方程。

解法（常数变易法）：

1. 先解对应的齐次方程 \( y' + P(x)y = 0 \)（可分离变量），得齐次通解 \( y_h = Ce^{-\int P(x)dx} \)；

2. 将齐次通解中的常数 \( C \) 变为“关于 \( x \) 的函数 \( C(x) \)”，设非齐次方程的解为 \( y = C(x)e^{-\int P(x)dx} \)；

3. 代入非齐次方程，求 \( C(x) \)，最终得非齐次通解：\( y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C \right) \)（\( C \) 为任意常数）。

例4：求解微分方程 \( y' + 2xy = 2x e^{-x^2} \)

步骤1：识别标准形式：\( P(x) = 2x \)，\( Q(x) = 2x e^{-x^2} \)。

步骤2：计算积分因子 \( e^{\int P(x)dx} \)：\( \int P(x)dx = \int 2xdx = x^2 \implies e^{\int P(x)dx} = e^{x^2} \)

步骤3：代入非齐次通解公式：\( y = e^{-x^2} \left( \int 2x e^{-x^2} \cdot e^{x^2}dx + C \right) = e^{-x^2} \left( \int 2xdx + C \right) \)

步骤4：计算积分并化简：\( \int 2xdx = x^2 + C_1 \implies y = e^{-x^2}(x^2 + C) \)（\( C = C_1 + C \) 为任意常数），即通解为 \( y = (x^2 + C)e^{-x^2} \)。

例5：求解微分方程 \( x y' - y = x^2 \sin x \)（初始条件 \( y(\pi) = 0 \)）

步骤1：化为标准形式（两边除以 \( x \)，注意 \( x \neq 0 \)）：\( y' - \frac{1}{x}y = x \sin x \)，此时 \( P(x) = -\frac{1}{x} \)，\( Q(x) = x \sin x \)。

步骤2：计算积分因子：\( \int P(x)dx = \int -\frac{1}{x}dx = -\ln|x| = \ln\frac{1}{|x|} \implies e^{\int P(x)dx} = \frac{1}{|x|} \)（不妨取 \( x > 0 \)，积分因子为 \( \frac{1}{x} \)）。

步骤3：代入通解公式：\( y = x \left( \int x \sin x \cdot \frac{1}{x}dx + C \right) = x \left( \int \sin x dx + C \right) \)

步骤4：计算积分得通解：\( \int \sin x dx = -\cos x + C_1 \implies y = x(-\cos x + C) = -x \cos x + Cx \)。

步骤5：代入初始条件 \( y(\pi) = 0 \)：当 \( x = \pi \) 时，\( 0 = -\pi \cos \pi + C\pi \implies 0 = \pi + C\pi \implies C = -1 \)，故特解为 \( y = -x \cos x - x = -x(\cos x + 1) \)。

例6：求解微分方程 \( (x + 1)y' - ny = e^x (x + 1)^{n + 1} \)（\( n \) 为常数）

步骤1：化为标准形式（两边除以 \( x + 1 \)，\( x \neq -1 \)）：\( y' - \frac{n}{x + 1}y = e^x (x + 1)^n \)，此时 \( P(x) = -\frac{n}{x + 1} \)，\( Q(x) = e^x (x + 1)^n \)。

步骤2：计算积分因子：\( \int P(x)dx = \int -\frac{n}{x + 1}dx = -n \ln|x + 1| = \ln(x + 1)^{-n} \implies e^{\int P(x)dx} = \frac{1}{(x + 1)^n} \)。

步骤3：代入通解公式：\( y = (x + 1)^n \left( \int e^x (x + 1)^n \cdot \frac{1}{(x + 1)^n}dx + C \right) = (x + 1)^n \left( \int e^x dx + C \right) \)。

步骤4：化简得通解：\( \int e^x dx = e^x + C_1 \implies y = (x + 1)^n (e^x + C) \)（\( C \) 为任意常数）。

例7：求解微分方程 \( y' + y \tan x = \sec x \)（初始条件 \( y(0) = 0 \)）

步骤1：识别标准形式：\( P(x) = \tan x \)，\( Q(x) = \sec x \)。

步骤2：计算积分因子：\( \int P(x)dx = \int \tan x dx = -\ln|\cos x| = \ln|\sec x| \implies e^{\int P(x)dx} = \sec x \)。

步骤3：代入通解公式：\( y = \cos x \left( \int \sec x \cdot \sec x dx + C \right) = \cos x \left( \int \sec^2 x dx + C \right) \)。

步骤4：计算积分得通解：\( \int \sec^2 x dx = \tan x + C_1 \implies y = \cos x (\tan x + C) = \sin x + C \cos x \)。

步骤5：代入初始条件 \( y(0) = 0 \)：当 \( x = 0 \) 时，\( 0 = \sin 0 + C \cos 0 \implies C = 0 \)，故特解为 \( y = \sin x \)。

（三）齐次微分方程

若一阶微分方程可化为 \( \frac{dy}{dx} = \varphi\left( \frac{y}{x} \right) \) 的形式（即右边是“\( \frac{y}{x} \)”的函数），则称为齐次微分方程。

解法（变量替换）：

1. 令 \( u = \frac{y}{x} \)（即 \( y = ux \)），则 \( \frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx} \)（乘积求导法则）；

2. 代入原方程，转化为关于 \( u \) 和 \( x \) 的可分离变量方程；

3. 求解后回代 \( u = \frac{y}{x} \)，得原方程的通解。

例8：求解微分方程 \( x \frac{dy}{dx} = y + x e^{\frac{y}{x}} \)

步骤1：化为齐次形式（两边除以 \( x \)，\( x \neq 0 \)）：\( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + e^{\frac{y}{x}} \)，符合 \( \frac{dy}{dx} = \varphi\left( \frac{y}{x} \right) \)（\( \varphi(u) = u + e^u \)）。

步骤2：变量替换，令 \( u = \frac{y}{x} \)，则 \( y = ux \)，\( \frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx} \)。

步骤3：代入原方程，转化为可分离变量方程：\( u + x \frac{du}{dx} = u + e^u \implies x \frac{du}{dx} = e^u \)。

步骤4：分离变量并积分：\( e^{-u}du = \frac{1}{x}dx \implies \int e^{-u}du = \int \frac{1}{x}dx \)

左侧：\( -e^{-u} + C_1 \)；右侧：\( \ln|x| + C_2 \)。

步骤5：回代 \( u = \frac{y}{x} \)，整理得通解：\( -e^{-\frac{y}{x}} = \ln|x| + C \quad (C = C_2 - C_1) \implies e^{-\frac{y}{x}} + \ln|x| = -C \)

令 \( C' = -C \)（\( C' \) 为任意常数），则通解为 \( e^{-\frac{y}{x}} + \ln|x| = C' \)。

例9：求解微分方程 \( (y^2 - xy)dx + x^2 dy = 0 \)

步骤1：化为齐次形式（整理为 \( \frac{dy}{dx} \) 的表达式）：\( x^2 dy = (xy - y^2)dx \implies \frac{dy}{dx} = \frac{xy - y^2}{x^2} = \frac{y}{x} - \left( \frac{y}{x} \right)^2 \)，符合齐次方程形式（\( \varphi(u) = u - u^2 \)）。

步骤2：变量替换，令 \( u = \frac{y}{x} \)，则 \( y = ux \)，\( \frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx} \)。

步骤3：代入原方程，化简：\( u + x \frac{du}{dx} = u - u^2 \implies x \frac{du}{dx} = -u^2 \)。

步骤4：分离变量并积分（\( u \neq 0 \)）：\( \frac{1}{u^2}du = -\frac{1}{x}dx \implies \int u^{-2}du = -\int \frac{1}{x}dx \)

左侧：\( -\frac{1}{u} + C_1 \)；右侧：\( -\ln|x| + C_2 \)。

步骤5：回代 \( u = \frac{y}{x} \)，整理得通解：\( -\frac{x}{y} = -\ln|x| + C \quad (C = C_2 - C_1) \implies \frac{x}{y} = \ln|x| - C \)

令 \( C' = -C \)，则 \( \frac{x}{y} = \ln|x| + C' \)，变形为 \( y = \frac{x}{\ln|x| + C'} \)（\( u = 0 \) 对应 \( y = 0 \)，可验证为解）。

（四）伯努利方程

伯努利方程是一阶线性微分方程的推广，标准形式为：\( y' + P(x)y = Q(x)y^n \)（\( n \neq 0, 1 \)，若 \( n = 0 \) 或 \( 1 \)，则退化为线性方程或可分离变量方程）。

解法（变量替换降阶）：

1. 两边除以 \( y^n \)，得 \( y^{-n}y' + P(x)y^{1 - n} = Q(x) \)；

2. 令 \( z = y^{1 - n} \)，则 \( \frac{dz}{dx} = (1 - n)y^{-n}y' \)，即 \( y^{-n}y' = \frac{1}{1 - n}\frac{dz}{dx} \)；

3. 代入方程，转化为关于 \( z \) 的一阶线性微分方程，求解后回代 \( z = y^{1 - n} \)。

例10：求解微分方程 \( y' - \frac{2}{x}y = x^2 y^{\frac{1}{2}} \)

步骤1：识别伯努利方程：\( n = \frac{1}{2} \)，\( P(x) = -\frac{2}{x} \)，\( Q(x) = x^2 \)。

步骤2：两边除以 \( y^{\frac{1}{2}} \)（\( y > 0 \)）：\( y^{-\frac{1}{2}}y' - \frac{2}{x}y^{\frac{1}{2}} = x^2 \)。

步骤3：变量替换，令 \( z = y^{1 - \frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}} \)，则 \( \frac{dz}{dx} = \frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}y' \)，即 \( y^{-\frac{1}{2}}y' = 2\frac{dz}{dx} \)。

步骤4：代入方程，转化为线性方程：\( 2\frac{dz}{dx} - \frac{2}{x}z = x^2 \implies \frac{dz}{dx} - \frac{1}{x}z = \frac{x^2}{2} \)。

步骤5：求解线性方程（积分因子 \( e^{\int -\frac{1}{x}dx} = \frac{1}{x} \)）：\( z = x \left( \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}dx + C \right) = x \left( \int \frac{x}{2}dx + C \right) = x \left( \frac{x^2}{4} + C \right) = \frac{x^3}{4} + Cx \)。

步骤6：回代 \( z = y^{\frac{1}{2}} \)，得通解：\( y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^3}{4} + Cx \implies y = \left( \frac{x^3}{4} + Cx \right)^2 \)（\( C \) 为任意常数）。

三、二阶线性常系数微分方程的解法

二阶线性常系数微分方程是高阶微分方程的重点，分为齐次方程（\( y'' + py' + qy = 0 \)）和非齐次方程（\( y'' + py' + qy = f(x) \)），解法核心是“先求齐次通解，再求非齐次特解，叠加得非齐次通解”。

（一）二阶线性常系数齐次微分方程

方程形式：\( y'' + py' + qy = 0 \)（\( p, q \) 为常数）

解法（特征方程法）：

1. 写出对应的特征方程：\( r^2 + pr + q = 0 \)（将 \( y'' \) 换为 \( r^2 \)，\( y' \) 换为 \( r \)，\( y \) 换为 \( 1 \)）；

2. 求解特征方程的根 \( r_1, r_2 \)（由求根公式 \( r = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2} \)），根据根的类型（两个不等实根、两个相等实根、一对共轭复根），齐次通解分为三类：

若 \( r_1 \neq r_2 \)（两个不等实根）：通解 \( y_h = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} \)；

若 \( r_1 = r_2 = r \)（两个相等实根）：通解 \( y_h = (C_1 + C_2 x)e^{r x} \)；

若 \( r_{1,2} = \alpha \pm i\beta \)（一对共轭复根，\( \alpha, \beta \) 为实数，\( \beta > 0 \)）：通解 \( y_h = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) \)。

例11：求解微分方程 \( y'' - 3y' + 2y = 0 \)

步骤1：写出特征方程：\( r^2 - 3r + 2 = 0 \)。

步骤2：求解特征根（因式分解）：\( (r - 1)(r - 2) = 0 \implies r_1 = 1, r_2 = 2 \)（两个不等实根）。

步骤3：代入通解公式：

齐次通解为 \( y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} \)（\( C_1, C_2 \) 为任意常数）。

例12：求解微分方程 \( y'' - 4y' + 4y = 0 \)（初始条件 \( y(0) = 1, y'(0) = 3 \)）

步骤1：写出特征方程：\( r^2 - 4r + 4 = 0 \)。

步骤2：求解特征根（完全平方）：\( (r - 2)^2 = 0 \implies r_1 = r_2 = 2 \)（两个相等实根）。

步骤3：齐次通解：\( y_h = (C_1 + C_2 x)e^{2x} \)。

步骤4：代入初始条件求特解：

首先求导：\( y_h' = C_2 e^{2x} + 2(C_1 + C_2 x)e^{2x} = (2C_1 + C_2 + 2C_2 x)e^{2x} \)；

代入 \( y(0) = 1 \)：\( (C_1 + 0)e^{0} = 1 \implies C_1 = 1 \)；

代入 \( y'(0) = 3 \)：\( (2 \times 1 + C_2 + 0)e^{0} = 3 \implies 2 + C_2 = 3 \implies C_2 = 1 \)；

故特解为 \( y = (1 + x)e^{2x} \)。

例13：求解微分方程 \( y'' + 2y' + 5y = 0 \)

步骤1：写出特征方程：\( r^2 + 2r + 5 = 0 \)。

步骤2：求解特征根（求根公式）：\( r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i \)（一对共轭复根，\( \alpha = -1, \beta = 2 \)）。

步骤3：代入复根通解公式：齐次通解为 \( y_h = e^{-x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) \)（\( C_1, C_2 \) 为任意常数）。

（二）二阶线性常系数非齐次微分方程

方程形式：\( y'' + py' + qy = f(x) \)（\( p, q \) 为常数，\( f(x) \neq 0 \)）。

解法（通解结构定理）：

非齐次方程的通解 = 对应的齐次方程的通解 \( y_h \) + 非齐次方程的一个特解 \( y_p \)，即 \( y = y_h + y_p \)。

核心是求特解 \( y_p \)，根据 \( f(x) \) 的常见形式，采用“待定系数法”设出特解形式，代入方程求解系数，常见 \( f(x) \) 类型及特解形式如下：

1. 类型1：\( f(x) = P_m(x)e^{\lambda x} \)（\( P_m(x) \) 是 \( m \) 次多项式，\( \lambda \) 是常数）：

设特解 \( y_p = x^k Q_m(x)e^{\lambda x} \)，其中 \( Q_m(x) \) 是与 \( P_m(x) \) 同次的待定多项式，\( k \) 按 \( \lambda \) 是否为特征根确定：

若 \( \lambda \) 不是特征根：\( k = 0 \)，即 \( y_p = Q_m(x)e^{\lambda x} \)；

若 \( \lambda \) 是单特征根：\( k = 1 \)，即 \( y_p = x Q_m(x)e^{\lambda x} \)；

若 \( \lambda \) 是二重特征根：\( k = 2 \)，即 \( y_p = x^2 Q_m(x)e^{\lambda x} \)。

2. 类型2：\( f(x) = e^{\alpha x}(A \cos \beta x + B \sin \beta x) \)（\( A, B, \alpha, \beta \) 为常数，\( \beta > 0 \)）：

设特解 \( y_p = x^k e^{\alpha x}(C \cos \beta x + D \sin \beta x) \)，其中 \( C, D \) 是待定常数，\( k \) 按 \( \alpha \pm i\beta \) 是否为特征根确定：

若 \( \alpha \pm i\beta \) 不是特征根：\( k = 0 \)，即 \( y_p = e^{\alpha x}(C \cos \beta x + D \sin \beta x) \)；

若 \( \alpha \pm i\beta \) 是特征根：\( k = 1 \)，即 \( y_p = x e^{\alpha x}(C \cos \beta x + D \sin \beta x) \)。

例14：求解微分方程 \( y'' - 3y' + 2y = x e^{x} \)

步骤1：求对应的齐次方程通解 \( y_h \)：

齐次方程 \( y'' - 3y' + 2y = 0 \) 的特征方程为 \( r^2 - 3r + 2 = 0 \)，根 \( r_1 = 1, r_2 = 2 \)（例11已求），故 \( y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x} \)。

步骤2：设非齐次特解 \( y_p \)：\( f(x) = x e^x \) 属于类型1（\( P_1(x) = x \) 是1次多项式，\( \lambda = 1 \)）；

因 \( \lambda = 1 \) 是单特征根（\( r_1 = 1 \)），故设 \( y_p = x Q_1(x)e^x = x (ax + b)e^x \)（\( Q_1(x) = ax + b \) 是1次待定多项式，\( k = 1 \)）。

步骤3：计算 \( y_p' \) 和 \( y_p'' \)（乘积求导）：

先化简 \( y_p = (ax^2 + bx)e^x \)，则：

\( y_p' = (2ax + b)e^x + (ax^2 + bx)e^x = (ax^2 + (2a + b)x + b)e^x \)；

\( y_p'' = (2ax + 2a + b)e^x + (ax^2 + (2a + b)x + b)e^x = (ax^2 + (4a + b)x + 2a + 2b)e^x \)。

步骤4：代入非齐次方程，消去 \( e^x \)：\( [ax^2 + (4a + b)x + 2a + 2b] - 3[ax^2 + (2a + b)x + b] + 2[ax^2 + bx] = x \)

展开整理左侧：\( ax^2 + (4a + b)x + 2a + 2b - 3ax^2 - 6a x - 3b + 2ax^2 + 2b x = (-2a x) + (2a - b) \)。

步骤5：比较系数求 \( a, b \)：

左侧：\( -2a x + (2a - b) \)；右侧：\( 1 \cdot x + 0 \)，故：\( \begin{cases} -2a = 1 \\ 2a - b = 0 \end{cases} \implies a = -\frac{1}{2}, b = 2a = -1 \)。

步骤6：非齐次通解：\( y_p = x \left(-\frac{1}{2}x - 1\right)e^x = -\frac{1}{2}x(x + 2)e^x \)，故通解为 \( y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} - \frac{1}{2}x(x + 2)e^x \)。

例15：求解微分方程 \( y'' - 4y' + 4y = e^{2x} \)

步骤1：求齐次通解 \( y_h \)：

齐次方程 \( y'' - 4y' + 4y = 0 \) 的特征方程为 \( r^2 - 4r + 4 = 0 \)，根 \( r_1 = r_2 = 2 \)（例12已求），故 \( y_h = (C_1 + C_2 x)e^{2x} \)。

步骤2：设特解 \( y_p \)：\( f(x) = e^{2x} \) 属于类型1（\( P_0(x) = 1 \) 是0次多项式，\( \lambda = 2 \)）；

因 \( \lambda = 2 \) 是二重特征根，故设 \( y_p = x^2 Q_0(x)e^{2x} = A x^2 e^{2x} \)（\( Q_0(x) = A \) 是0次多项式，\( k = 2 \)）。

步骤3：计算 \( y_p' \) 和 \( y_p'' \)：

\( y_p = A x^2 e^{2x} \)，则：

\( y_p' = A(2x e^{2x} + 2x^2 e^{2x}) = 2A e^{2x}(x + x^2) \)；

\( y_p'' = 2A[ (1 + 2x)e^{2x} + 2(x + x^2)e^{2x} ] = 2A e^{2x}(1 + 4x + 2x^2) \)。

步骤4：代入非齐次方程，消去 \( e^{2x} \)：\( 2A(1 + 4x + 2x^2) - 4 \times 2A(x + x^2) + 4 \times A x^2 = 1 \)

展开整理：\( 2A + 8A x + 4A x^2 - 8A x - 8A x^2 + 4A x^2 = 2A = 1 \implies A = \frac{1}{2} \)。

步骤5：通解：\( y_p = \frac{1}{2}x^2 e^{2x} \)，故通解为 \( y = (C_1 + C_2 x)e^{2x} + \frac{1}{2}x^2 e^{2x} \)。

例16：求解微分方程 \( y'' + y = x^2 + 1 \)

步骤1：求齐次通解 \( y_h \)：

齐次方程 \( y'' + y = 0 \) 的特征方程为 \( r^2 + 1 = 0 \)，根 \( r_{1,2} = \pm i \)（\( \alpha = 0, \beta = 1 \)），故 \( y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x \)。

步骤2：设特解 \( y_p \)：\( f(x) = x^2 + 1 \) 属于类型1（\( P_2(x) = x^2 + 1 \) 是2次多项式，\( \lambda = 0 \)）；

因 \( \lambda = 0 \) 不是特征根（特征根为 \( \pm i \)），故设 \( y_p = Q_2(x) = ax^2 + bx + c \)（\( k = 0 \)，无 \( e^{\lambda x} \) 项）。

步骤3：计算 \( y_p' \) 和 \( y_p'' \)：\( y_p' = 2ax + b \)，\( y_p'' = 2a \)。

步骤4：代入非齐次方程：\( 2a + (ax^2 + bx + c) = x^2 + 1 \implies ax^2 + bx + (2a + c) = x^2 + 0x + 1 \)。

步骤5：比较系数求 \( a, b, c \)：\( \begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \\ 2a + c = 1 \end{cases} \implies a = 1, b = 0, c = 1 - 2a = -1 \)。

步骤6：通解：\( y_p = x^2 - 1 \)，故通解为 \( y = C_1 \cos x + C_2 \sin x + x^2 - 1 \)。

例17：求解微分方程 \( y'' + 3y' + 2y = \sin x \)

步骤1：求齐次通解 \( y_h \)：

齐次方程 \( y'' + 3y' + 2y = 0 \) 的特征方程为 \( r^2 + 3r + 2 = 0 \)，根 \( r_1 = -1, r_2 = -2 \)，故 \( y_h = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} \)。

步骤2：设特解 \( y_p \)：\( f(x) = \sin x \) 属于类型2（\( e^{\alpha x}(A \cos \beta x + B \sin \beta x) \)，其中 \( \alpha = 0, \beta = 1, A = 0, B = 1 \)）；

因 \( \alpha \pm i\beta = 0 \pm i \) 不是特征根（特征根为 \( -1, -2 \)），故设 \( y_p = C \cos x + D \sin x \)（\( k = 0 \)）。

步骤3：计算 \( y_p' \) 和 \( y_p'' \)：\( y_p' = -C \sin x + D \cos x \)，\( y_p'' = -C \cos x - D \sin x \)。

步骤4：代入非齐次方程：\( (-C \cos x - D \sin x) + 3(-C \sin x + D \cos x) + 2(C \cos x + D \sin x) = \sin x \)

整理左侧（按 \( \cos x \) 和 \( \sin x \) 分组）：\( [ -C + 3D + 2C ] \cos x + [ -D - 3C + 2D ] \sin x = (C + 3D) \cos x + (D - 3C) \sin x \)。

步骤5：比较系数求 \( C, D \)：

右侧为 \( 0 \cdot \cos x + 1 \cdot \sin x \)，故：\( \begin{cases} C + 3D = 0 \\ D - 3C = 1 \end{cases} \implies C = -\frac{3}{10}, D = \frac{1}{10} \)。

步骤6：通解：\( y_p = -\frac{3}{10}\cos x + \frac{1}{10}\sin x \)，故通解为 \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} - \frac{3}{10}\cos x + \frac{1}{10}\sin x \)。

例18：求解微分方程 \( y'' + 2y' + 2y = e^{-x} \cos x \)

步骤1：求齐次通解 \( y_h \)：

齐次方程 \( y'' + 2y' + 2y = 0 \) 的特征方程为 \( r^2 + 2r + 2 = 0 \)，根 \( r_{1,2} = -1 \pm i \)（\( \alpha = -1, \beta = 1 \)），故 \( y_h = e^{-x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x) \)。

步骤2：设特解 \( y_p \)：\( f(x) = e^{-x} \cos x \) 属于类型2（\( \alpha = -1, \beta = 1, A = 1, B = 0 \)）；

因 \( \alpha \pm i\beta = -1 \pm i \) 是特征根，故设 \( y_p = x e^{-x}(C \cos x + D \sin x) \)（\( k = 1 \)）。

步骤3：计算 \( y_p' \) 和 \( y_p'' \)（复杂乘积求导，需耐心）：

先化简 \( y_p = e^{-x}(C x \cos x + D x \sin x) \)，用乘积法则求导：\( y_p' = -e^{-x}(C x \cos x + D x \sin x) + e^{-x}[ C(\cos x - x \sin x) + D(\sin x + x \cos x) ] \)

整理：\( e^{-x}[ (C - C x + D x) \cos x + (D - D x - C x) \sin x ] \)；

再求 \( y_p'' \)（略去中间步骤，最终结果）：\( y_p'' = e^{-x}[ (-2D x + 2C - 2D) \cos x + (2C x - 2D - 2C) \sin x ] \)。

步骤4：代入非齐次方程，消去 \( e^{-x} \)：\( [(-2D x + 2C - 2D) \cos x + (2C x - 2D - 2C) \sin x] + 2[ (C - C x + D x) \cos x + (D - D x - C x) \sin x ] + 2[ C x \cos x + D x \sin x ] = \cos x \)

展开整理后，\( x \) 项系数抵消，剩余常数项：\( (-2D) \cos x + (2C) \sin x = \cos x \)。

步骤5：比较系数求 \( C, D \)：\( \begin{cases} -2D = 1 \\ 2C = 0 \end{cases} \implies C = 0, D = -\frac{1}{2} \)。

步骤6：通解：\( y_p = x e^{-x}(0 \cdot \cos x - \frac{1}{2} \sin x) = -\frac{1}{2}x e^{-x} \sin x \)，故通解为 \( y = e^{-x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x) - \frac{1}{2}x e^{-x} \sin x \)。

例19：求解微分方程 \( y'' - y = e^x + x \)（叠加原理）

步骤1：利用叠加原理：若 \( y_{p1} \) 是 \( y'' - y = e^x \) 的特解，\( y_{p2} \) 是 \( y'' - y = x \) 的特解，则 \( y_p = y_{p1} + y_{p2} \) 是原方程的特解。

步骤2：求齐次通解 \( y_h \)：

齐次方程 \( y'' - y = 0 \) 的特征方程为 \( r^2 - 1 = 0 \)，根 \( r_1 = 1, r_2 = -1 \)，故 \( y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-x} \)。

步骤3：求 \( y_{p1} \)（对应 \( f(x) = e^x \)）：\( \lambda = 1 \) 是单特征根，设 \( y_{p1} = A x e^x \)，代入方程得 \( A = \frac{1}{2} \)，故 \( y_{p1} = \frac{1}{2}x e^x \)。

步骤4：求 \( y_{p2} \)（对应 \( f(x) = x \)）：\( \lambda = 0 \) 不是特征根，设 \( y_{p2} = B x + C \)，代入方程得 \( B = -1, C = 0 \)，故 \( y_{p2} = -x \)。

步骤5：原方程特解 \( y_p = y_{p1} + y_{p2} = \frac{1}{2}x e^x - x \)。

步骤6：通解：\( y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + \frac{1}{2}x e^x - x \)。

例20：求解微分方程 \( y'' + 4y = \sin 2x \)（初始条件 \( y(0) = 0, y'(0) = \frac{1}{4} \)）

步骤1：求齐次通解 \( y_h \)：

齐次方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的特征方程为 \( r^2 + 4 = 0 \)，根 \( r_{1,2} = \pm 2i \)，故 \( y_h = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x \)。

步骤2：求特解 \( y_p \)（对应 \( f(x) = \sin 2x \)）：\( \alpha \pm i\beta = 0 \pm 2i \) 是特征根，设 \( y_p = x (C \cos 2x + D \sin 2x) \)，代入方程得 \( C = -\frac{1}{4}, D = 0 \)，故 \( y_p = -\frac{1}{4}x \cos 2x \)。

步骤3：非齐次通解：\( y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x - \frac{1}{4}x \cos 2x \)。

步骤4：代入初始条件求特解：

首先求导：\( y' = -2C_1 \sin 2x + 2C_2 \cos 2x - \frac{1}{4}(\cos 2x - 2x \sin 2x) \)；

代入 \( y(0) = 0 \)：\( C_1 \cos 0 + C_2 \sin 0 - 0 = 0 \implies C_1 = 0 \)；

代入 \( y'(0) = \frac{1}{4} \)：\( 0 + 2C_2 \cos 0 - \frac{1}{4}\cos 0 = \frac{1}{4} \implies 2C_2 - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \implies C_2 = \frac{1}{4} \)；

故特解为 \( y = \frac{1}{4}\sin 2x - \frac{1}{4}x \cos 2x = \frac{1}{4}(\sin 2x - x \cos 2x) \)。